考研数学一（高等数学）模拟试卷18（共259题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷18（共9套）（共259题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、下列函数：在(0，1)内有界的有()个．A、0B、1C、2D、3标准答案：B知识点解析：所以，只有函数在(0，1)内有界．故选B．判断函数的有界性除了用定义及已知函数的有界性外，下列结论也是很有用的：设f(x)在开区间(a，b)内连续，若存在，则f(x)在(a，b)内有界．2、设函数f(x)在x=x0处可导，则函数｜f(x)｜在点x=x0处不可导的充分必要条件是()．A、f(x0)=0，f’(x0)=0B、f(x0)=0，f’(x0)≠0C、f(x0)>0，f’(x0)>0D、f(x0)<0，f’(x0)＜0标准答案：B知识点解析：若f(x0)≠0，则排除C、D．f(x0)=0时，若｜f(x)｜在x0处不可导，则｜f’(x0)｜≠一｜f’(x0)｜，即f’(x0)≠0．故选B．3、设∑为柱面x2+y2=5介于一1≤z≤1的部分，则曲面积分的值为()．A、一20πB、20πC、D、标准答案：C知识点解析：故选C．4、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为当故选C．5、设二阶常系数齐次线性微分方程y’’+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，则实数b的取值范围是()．A、[0，+∞)B、(一∞，0)C、(一∞，4]D、(一∞，+∞)标准答案：A知识点解析：因为特征方程为λ2+bλ+1=0，其判别式为△=b2—4．所以，当b2一4＞0时，要使解y(x)在(0，+∞)上有界，只需要即b＞2；当b2一4＜0时，要使解y(x)在(0，+∞)上有界，只需要的实部大于等于0，即0≤b<2；当b=2时，解y(x)=(c1+c2x)e－x在区间(0，+∞)上有界；当b=一2时，解y(x)=(c1+c2x)ex在区间(0，+∞)上无界．综上所述，当且仅当b≥0时，微分方程y’’+by’+y=0的每一个解y(x)都在区间(0，+∞)上有界，故选A．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与P间的距离为l．若点P横坐标时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是______．标准答案：应填知识点解析：设动点为P(x,x3)，则7、已知向量a、b、c都是单位向量，且满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=______．标准答案：应填知识点解析：本题主要考查向量的点积运算及向量模的概念．因为a+b+c=0，所以(a+b+c)．(a+b+c)=0，即a．a+b．b+c．c+2(a．b+b．c+c．a)=0，亦即｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2+2(a．b+b．c+c．a)=0，再即3+2(a．b+b．c+c．a)=0，所以，a．b+b．c+c．a=8、设______．标准答案：应填xy+z．知识点解析：本题考查一阶全微分形式不变性以及复合函数偏导数的求法．可用复合函数连锁法则直接求出三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)9、求极限标准答案：因为所以知识点解析：该极限为“1∞”型，转化为函数的极限，再用洛必塔法则等方法．利用函数极限及洛必塔法则求数列极限的理论依据是：(1)若(2)若10、设g(x)在x=0的某邻域内连续，且已知在x=0处连续，求a,b．标准答案：由得g(0)=1，g’(0)=a．又f(x)在x=0处连续，所以可得a=1．又知识点解析：用函数在x=0处连续的充分必要条件求解．已知分段函数在分段点x0处连续，求f(x)中待定常数的问题，通常利用连续的充要条件，即f(x)在x0处连续的充要条件是f(x)在x0处左、右连续．即11、设可导，求a，b．标准答案：由f(x)可导知，f(x)在x=1处连续，于是有即又由f’+(1)=f’－(1)，得2=a．②解联立方程①②，可得a=2，b=一1．知识点解析：先计算含参变量的极限，求出f(x)的表达式，再由连续和可导的充要条件求a，b的值．(1)若已知在分段点x0处函数f(x)可导，则由方程组可确定函数f(x)中的两个待定常数．(2)在求下列极限时，要讨论参数的取值范围：12、验证函数在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理中的点ξ．标准答案：由得f(x)在[0，2]上连续．又因而f(x)在(0,2)内可导，且f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理．由f(x)一f(x)=2f’(ξ)得知识点解析：用定义判断f(x)在分段点x=1处的连续性和可导性，然后利用拉格朗日中值定理求出相应的ξ．13、设f’(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，f’(a)f’(b)>0，试证：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．标准答案：不妨设f’(a)>0，则由f’(a)f’(b)>0可知，f’(b)>0．由导数的定义：f(x2)＜f(b)＜f(a)，于是有f(x2)＜f(a)＜f(x1)．由介值定理，存在点η∈(x1，x2)，使得f(η)=f(a)．由洛尔定理可知存在点ξ1∈(x1，η)，使得f(ξ1)=0，存在点ξ2∈(η，x2)，使得f(ξ2)=0．所以，f’(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，由洛尔定理，存在点ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f’’(ξ)=0．知识点解析：证f’’(ξ)=0的关键是找出使得f’(ξ1)=f’(ξ2)=0的区间[ξ1，ξ2]．由f’(a)f’(b)>0及导数的定义、介值定理和洛尔定理便可找到这样的ξ1和ξ2．14、求标准答案：令arcsinx=t，则x=sint，dx=costdt．原式知识点解析：含反三角函数的积分，通常令反三角函数为t，然后分部积分：∫f(x)arctanφ(x)dx=∫arctanφ(x)dF(x)一F(x)arctanφ(x)一其中F(x)=∫f(x)dx．其他反三角函数可用类似的方法积分．15、设f(x)连续，且求f(x)．标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+1，则F(0)=1，F’(x)=f(x)．由题设可得知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[一1，1]上连续，f(0)=1，求标准答案：知识点解析：所给含参变量的积分不易计算，先将积分拆分，然后由积分中值定理将f(x)提到积分号外再计算．17、设y=y(x)由方程确定，且y(0)=0，求y=y(x)的最小值．标准答案：方程两边对x求导得由y(0)=0，得2y’’(0)=1，所以，y(0)=0为极小值，又驻点唯一，故y=y(x)的最小值为y(0)=0．知识点解析：隐函数虽然难以求出其解析表达式，但可以求出它的极值和最值．18、求证：若向量a、b、c不共面，则向量a×b，b×c，c×a也不共面．标准答案：反证法．假设向量a×b，b×c，c×a共面，则存在三个不全为零的常数k1、k2、k3，使得k1(a×b)+k2(b×c)+k3(c×a)=0．对上式分别用向量a、b、c作数积，得所以，[a，b，c]=0．这与向量a、b、c不共面矛盾，从而原结论正确．知识点解析：本题主要考查向量混合积的概念、向量共面的概念及其充分必要条件．如图1－7－1所示，设函数19、当f连续时，求u’’yx(x，y)和u’’xy(x，y)．标准答案：交换二次积分的次序，有知识点解析：暂无解析20、当f具有连续的一阶偏导数时，进一步再求u’’xx(x，y)和u’’yy(x，y)．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)、g(x)均可微，且满足条件u(x，y)=f(2x+5y)+g(2x—5y)，u(x，0)一sin2x，u’y(x，0)=0．求f(x)、g(x)、u(x，y)的表达式．标准答案：因为u’y(x，y)=5f’(2x+5y)一5g’(2x一5y)，且知识点解析：暂无解析22、计算二重积分其中积分区域为D={(x，y)｜｜x｜≤1，0≤y≤2}．标准答案：因为被积函数关于变量x是偶函数，且积分区域D关于y坐标轴对称．因此，其中积分区域D1={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2)∪{(x，y)｜0≤x≤1，x2≤y≤2}．由于知识点解析：对于绝对值函数的二重积分，关键问题是根据条件画出相应的图形，如图1—8—5．[*1351]本题的关键在于用到了积分区域的对称性．23、将下列累次积分按照先y、次z、后x的次序，换成新的累次积分．标准答案：由累次积分可知，积分区域Ω在坐标平面xOy上的投影为中心在原点的单位圆，而积分区域Ω是由锥面与平面z=1所围成．要按照先y、次z、后x的次序确定新的累次积分，应当将积分区域Ω向坐标平面xOz上投影，其投影区域是由z=x，z=一x，z=1围成的三角形，如图1—8—7所示．知识点解析：变换累次积分的次序一般应按下列步骤进行：(1)先由原累次积分确定积分区域Ω，即将原累次积分变为区域Ω上的三重积分．(2)由区域Ω上的三重积分，按照新要求的次序，决定新的累次积分的表达式．三重积分的累次积分的交换次序，与二重积分的累次积分的交换次序的方法完全一样，都需要作出相应的积分区域的图形．24、设f(x)、g(x)均为连续二阶可导的函数，若曲线积分其中L为平面上任意一条简单封闭曲线．(1)试求：f(x)、g(x)使得f(0)=g(0)=0．(2)计算沿任意一条曲线从点(0，0)到点(1，1)的曲线积分．标准答案：在曲线积分[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy中，令P(x,y)=y2f(x)+2yex+2yg(x)，Q(x,y)=2[yg(x)+f(x)]则(1)由于曲线积分与路径无关，则即2yg’(x)+2f’(x)=2yf(x)+2ex+2g(x)，亦即yg’(x)+f’(x)=yf(x)+ex+g(x)．比较变量y的同次幂前的系数，得于是，就有g’’(x)一g(x)=ex．解此二阶线性微分方程，得通解为g(x)=c1ex+c2e一x+，其中c1c2为任意常数．根据条件g(0)=0，g’(0)=f(0)=0，得(2)再由曲线积分与路径无关，可取路径为OAB，如图1—9—3所示，则I=∫L[y2f(x)+2yex+2yg(x)]dx+2[yg(x)+f(x)]dy=∫01P(x,0)dx+∫01Q(1,y)dy=∫010dx+∫012[yg(1)+f(1)]dy=g(1)+2f(1)知识点解析：(1)利用曲线积分与路径无关的充要条件，将问题化为微分方程问题，这是一类很典型的综合题型．(2)利用曲线积分与路径无关的充分必要条件在求解曲线积分时，一般均采用折线段的方法．25、设∑是平面标准答案：因为在曲面∑上知识点解析：暂无解析26、设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任意一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数为k>0)，求球体的重心位置．标准答案：记所考虑的球体为Ω，以Ω的球心为原点，射线OP0为正向x轴，建立直角坐标系，则点P0的坐标为(R，0，0)，且球面方程为x2+y2+z2=R2．设Ω的重心位置为(x*，y*，z*)，由对称性，得知识点解析：因为坐标系建立的不同，所以球体的重心位置一般也不一样．27、计算积分标准答案：将函数ln(1—x)展开称为x的幂级数为知识点解析：本题的关键在于函数ln(1－x)的幂级数展开式，利用了级数的逐项求积分的方法．28、求解微分方程xy’一2y=2x4．标准答案：利用线性微分方程的求解方法．利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为y=cx2，其中c为任意常数．利用常数变易法，设非齐次线性微分方程的通解为y=c(x)x2，代入到原微分方程中，得c(x)=x2+c．于是，原微分方程的通解为y=(x2+c)x2，其中c为任意常数．知识点解析：暂无解析29、求解微分方程(eysiny一2ysinx)dx+(excosy+2cosx)dy=0．标准答案：设P(x，y)=exsiny一2ysinx，Q(x，y)=excosy+2cosx，由于则所给方程是一个全微分方程．将所给微分方程重新分项、组合，得(exsinydx+excosydy)+(2cosxdy一2ysinxdx)=0，即d(exsiny)+d(2ycosx)=0．于是，所给微分方程的通解为exsiny+2ycosx=c，其中c为任意常数．知识点解析：本题主要考查全微分方程的求解方法．设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．30、试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)所满足的微分方程．标准答案：由反函数的求导法则，知在上式两边同时对变量x求导，得代入原微分方程，得y’’一y=sinx．①知识点解析：暂无解析31、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，的解．标准答案：微分方程①所对应的齐次微分方程y’’一y=0的通解为其中C1，C2为任意常数．微分方程①的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入到微分方程①中，得A=0，其中c1，c2为任意常数．由条件y(0)=0，得c1=1，c2=一1．因此，所求初值问题的解为知识点解析：利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则求出的表达式．代入原微分方程，即得所求的微分方程．然后再求此方程满足初始条件的微分方程．利用反函数的求导法则与复合函数的求导法则变换微分方程的形式，这一思路在微分方程的求解过程中经常使用．(1)典型微分方程(诸如：齐次微分方程、线性微分方程、伯努利方程、高阶可降阶的微分方程及欧拉方程)，有固定的解法．(2)非典型微分方程，通常结合微分方程的特定形式，选择适当的变量替换，化为典型的微分方程，常常是求解的一个非常有效的途径．考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、级数A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、敛散性与a有关．标准答案：B知识点解析：由莱布尼兹法则知，原级数收敛．因此是条件收敛．选(B)．2、设有级数an，Sn＝ak，则Sn有界是级数an收敛的A、充分条件．B、必要条件．C、充分必要条件．D、既非充分条件也非必要条件．标准答案：B知识点解析：由级数收敛性概念知收敛，即部分和数列{Sn}收敛．由数列收敛性与有界性的关系知，{Sn}收敛｛Sn｝有界，因此选(B)．3、已知an＞0(n＝1，2，…)，且(一1)n—1an条件收敛，记bn＝2a2n—1一a2n，则级数A、绝对收敛．B、条件收敛．C、发散．D、收敛或发散取决于an的具体形式．标准答案：C知识点解析：由已知条件4、下列命题中正确的是A、若幂级数收敛半径R≠0，则B、若，则不存在收敛半径．C、若的收敛域为[一R，R]，则的收敛域为[一R，R]．D、若的收敛区间(—R，R)即它的收敛域，则的收敛域可能是[—R，R]．标准答案：D知识点解析：收敛半径，或R＝＋∞，或0＜R＜＋∞，或R＝0，三种情形必有一种成立．因而(B)不正确，但幂级数，不一定有(如缺项幂级数收敛半径，这里a2n＝2n，a2n＋1＝0，于是，)，因而(A)也不正确．(C)也是不正确的．如，收敛域为[—1，1]，但的收敛域为[一1，1)．因此只有(D)正确．事实上，若取的收敛区间即收敛域为(一1，1)，而的收敛域为[—1，1]．5、对于任意x的值，A、0．B、1．C、D、∞．标准答案：A知识点解析：考虑级数的敛散性．由可知幂级数的收敛半径R＝＋∞，因此此级数对任意的x值均收敛．由级数收敛的必要条件得知，故选(A)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)6、设级数的部分和，则＝______．标准答案：知识点解析：因为，所以级数收敛，那么由级数的基本性质有7、级数的和S＝______．标准答案：知识点解析：考察部分和8、幂级数的收敛区间是______．标准答案：(一2，2)知识点解析：先求收敛半径R：有相同的收敛半径R，R＝2，收敛区间为(一2，2)．9、(n—1)x的和函数及定义域是______·标准答案：知识点解析：10、幂级数的和函数及定义域是______·标准答案：知识点解析：11、设级数收敛，则p的取值范围是______。标准答案：(1，＋∞)知识点解析：而，因此p的取值范围是(1，＋∞)．12、设anxn满足，又bnx2n满足，则的收敛半径R＝______．标准答案：知识点解析：考察的收敛半径为的收敛半径R＝．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)13、将下列函数在指定点展开成幂级数：(I)f(x)＝arcsinx，在x＝0处；(Ⅱ)f(c)＝lnx，在x＝1及x＝2处；(Ⅲ)f(x)＝，在x＝1处．标准答案：(I)f’(x)＝，又这里f(x)＝arcsinx在x＝1(一1)处右(左)连续．右端级数在x＝±1均收敛，故展开式在x＝±1也成立．(Ⅱ)知识点解析：暂无解析14、将函数f(x)＝sin(x＋a)展开成x的幂级数，并求收敛域．标准答案：sin(x＋a)＝sinxcosa＋cosxsina．由sinx与cosx的展开式得其中，m＝0，1，2，3，…知识点解析：暂无解析15、将函数f(x)＝在点x0＝1处展开成幂级数，并求f(n)(1)·标准答案：将f(x)视为(x一1)，因此只需将展开成即可．因为利用公式(11．17)，并以代替其中的x，则有由于f(x)的幂级数an(x—1)n的系数，所以f(n)(1)＝(n!)an＝知识点解析：暂无解析16、已知的收敛半径R＝R0＞0，求证：级数收敛域为(—∞，＋∞)．标准答案：即证x，幂级数均收敛．任取｜x0｜＜R0≠0，考察与｜anx0n｜的关系并利用比较判别法．注意，给定的x，≤M(n＝0，1，2，…)，M＞0为某常数，于是由幂级数在收敛区间内绝对收敛｜anx0n｜收敛．由比较原理收敛收敛．因此，原幂级数的收敛域为(—∞，＋∞)．知识点解析：暂无解析17、求的收敛域及和函数．标准答案：(I)求收敛域：原幂级数记为，则由收敛域为(一∞，＋∞)．(II)求和函数．方法2逐项积分与逐项求导法我们也是为了利用e—x的展开式，作如下变形：知识点解析：暂无解析18、求的和S．标准答案：先分解由ln(1＋x)的展开式知，S1＝ln(1＋1)＝ln2．为求S2引进幂级知识点解析：暂无解析19、设有级数，(I)若＝0，又(u2n—1＋u2n)＝(u1＋u2)＋(u3＋u4)＋…＋收敛，求证：收敛．(Ⅱ)设u2n—1＝。u2n＝(n＝1，2，…)，求证：(—1)n—1u2收敛．标准答案：(I)考察的部分和该级数的部分和S2n＝(u2k—1＋u2k)收敛，[*582](S2n—u2n)＝S—0＝S．因此收敛且和为S．(Ⅱ)显然，方法2这是交错级数，已知为证｛un｝单调下降，只需证因此原级数收敛．知识点解析：暂无解析20、设(an—an—1)收敛，又bn是收敛的正项级数，求证：anbn绝对收敛．标准答案：级数(an—an—1)收敛，即其部分和Sm＝(an一an—1)＝(a1—a0)＋(a2一a1)＋…＋(am一am—1)＝am一a0为收敛数列，从而{an}也是收敛数列．我们知道数列收敛则一定有界，设｜an｜≤M，n＝1，2，…，则｜anbn≤M｜bn｜＝Mb2．再由于是收敛的正项级数，这样，利用比较判别法，即知收敛，即绝对收敛．知识点解析：暂无解析21、设f(x)在[一2，2]上有连续的导数，且f(0)＝0，F(x)＝f(x＋t)dt，证明级数绝对收敛．标准答案：不必先求出F(x)，只须考察．知识点解析：暂无解析22、设有级数＜U＞：un与＜V＞：vn，求证：(I)若＜U＞，＜y＞均绝对收敛，则绝对收敛；(Ⅱ)若＜U＞绝对收敛，＜V＞条件收敛，则条件收敛．标准答案：(I)由｜un＋vn｜≤｜un｜＋｜vn｜，又收敛，再由比较原理(un＋vn)绝对收敛．(Ⅱ)由假设条件知，用反证法．若｜vn｜＝｜un＋vn一un｜≤｜un＋vn｜＋｜un｜，且收敛，与已知条件矛盾．因此条件收敛．知识点解析：暂无解析23、设an＞0，bn＞0，(n＝1，2，…)，且满足试证：(Ⅰ)若级数收敛，则收敛；(Ⅱ)若级数发散，则发散．标准答案：由于根据比较判别法即知：知识点解析：暂无解析24、考察级数，其中，p为常数．(I)证明：；(Ⅱ)证明：级数当P＞2时收敛，当P≤2时发散．标准答案：(I)将an2改写成再将an2改写成(Ⅱ)容易验证比值判别法对级数失效，因此需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性．题(I)已给出了{an}上下界的估计，由注意当p＞2即收敛，当p≤2即发散．因此级数当p＞2时收敛，当P≤2时发散．知识点解析：暂无解析25、设an＝x2(1—x)n，求．标准答案：先求an．知识点解析：暂无解析26、设有两条抛物线y＝nx2＋和y＝(n＋1)x2＋，记它们交点的横坐标的绝对值为an．(I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(Ⅱ)求级数的和．标准答案：(I)由y＝nx2＋与y＝(n＋1)x2＋，得.又因为两条抛物线所围图形关于y轴对称，所以(Ⅱ)利用(I)的结果知识点解析：暂无解析27、设f(x)是区间[一π，π]上的偶函数，且满足．证明：f(x)在[一π，π]上的傅里叶级数展开式中系数a2n＝0，n＝1，2，…．标准答案：由于f(x)为偶函数，所以对于右端前一个积分，令x＝一t，后一个积分，令x＝＋t，则根据假设，所以a2n＝0，所以a2n＝1，2，…．知识点解析：暂无解析28、设(I)求f(x)以2π为周期的傅氏级数，并指出其和函数S(x)；(Ⅱ)求标准答案：该傅氏级数的和函数其中S(0)＝[f(0＋0)＋f(0—0)]，S(±π)＝[f(一π＋0)＋f(π—0)]．知识点解析：暂无解析29、设f(x)＝sinax，一π≤x≤π，a＞0，将其展开为以2π为周期的傅里叶级数．标准答案：由于f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数．如果a不是自然数，则故f(x)＝sinax＝，—π＜x＜π，在x＝±π时，右端为0，即其傅里叶级数收敛于[sinaπ＋sin(一aπ)]＝0．当a为自然数时，根据三角函数系的正交性有f(x)＝sinax＝sinnx，n＝a，一π≤x≤π．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f’(x)g(x)一f(x)g’(x)＜0，则当a＜x＜b时，有()．A、f(x)g(b)＞f(b)g(x)B、f(x)g(a)＞f(a)g(x)C、f(x)g(x)＞f(b)g(b)D、f(x)g(x)＞f(a)g(a)标准答案：A知识点解析：由f’(x)g(x)－f(x)g’(x)＜0得，从2、设k＞0，且级数()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与k的取值有关标准答案：C知识点解析：3、设f(x)=∫0xdt∫0ttln(1+μ2)dμ，g(x)=∫0sinx2(1一cost)dt，则当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：A知识点解析：4、设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导数的图形如图，则f(x)有()．A、两个极大点，两个极小点，一个拐点B、两个极大点，两个极小点，两个拐点C、三个极大点，两个极小点，两个拐点D、两个极大点，三个极小点，两个拐点标准答案：C知识点解析：设当x＜0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x1，0)，(x2，0)，其中x1＜x2；当x＞0时，f’(x)与x轴的两个交点为(x3，0)，(x4，0)，其中x3＜x4，当x＜x1时，f’(x)＞0，当x∈(x1，x2)时，f’(x)＜0，则x=x1为f(x)的极大点；当x∈(x2，0)时，f’(x)＞0，则x=x2为f(x)的极小点；当x∈(0，x3)时，f’(x)＜0，则x=0为f(x)的极大点；当x∈(x3，x4)时，f’(x)＞0，则x=x3为f(x)的极小点；当x＞x4时，f’(x)＜0，则x=x4为f(x)的极大点，即f(x)有三个极大点，两个极小点，又f’’(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选(C)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、设f(x)连续可导，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则A=________．标准答案：A=a＋b知识点解析：6、=_________．标准答案：＋C知识点解析：7、=_________．标准答案：知识点解析：8、设两曲线y=x2＋ax＋b与－2y=－l＋xy3在点(一1，1)处相切，则a=________，b=_______．标准答案：a=3，b=3知识点解析：因为两曲线过点(一1，1)，所以b一a=0，又由y=x2+ax+b得=a－2，再由一2y=一1+xy3得，且两曲线在点(一1，1)处相切，则a一2=1，解得a=b=3．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设x1=2，xn＋1=2+，求xn．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设=∫0xcos(x—t)2dt确定y为x的函数，求．标准答案：∫0xcos(x－t)2dt∫x0cosμ2(－dμ)=∫0xcot2dt，知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求arcsinxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设C1，C2是任意两条过原点的曲线，曲线C介于C1，C2之间，如果过C上任意一点P引平行于x轴和y轴的直线，得两块阴影所示区域A，B有相等的面积，设C的方程是y=x2，C1的方程是y=x2，求曲线C2的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设μ=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy一y=0与ez一xz=0确定，求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算(x2+y2)dxdy，其中D=｛(x，y)｜x2+y2≤4x，0≤y≤x｝．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算I=(x+3z2)dydz＋(x3z2＋yz)dzdx一3y2dxdy，其中∑为z=2－在z=0上方部分的下侧．标准答案：令∑0：z=0(x2+y2≤4)取上侧，则I=(x+3z2)dydz+(x3z2+yz)dzdx－3y2dxdy由高斯公式得所以原式=8π．知识点解析：暂无解析18、求幂级数的和函数S(x)及其极值．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求微分方程的通解．标准答案：令x+y=μ，则，于是有=dx两边积分得μ一arctanμ=x+C，所以原方程的通解为y—arctan(x+y)=C．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，2]上三阶连续可导，且f(0)=1，f’(1)=0，f(2)=．证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’’’(ξ)=2．标准答案：方法一先作一个函数P(x)=ax3+bx2+cx+d．使得P(0)=f(0)=1，P’(1)=f’(1)=0，P(2)=f(2)=，P(1)=f(1)，则P(x)=，令g(x)=f(x)一P(x)，则g(x)在[0，2]上三阶可导，且g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1∈(0，1)，c2∈(1，2)，使得g’(c1)=g’(1)=g’(c2)=0，又存在d1∈(c1，1)，d2∈(1，c2)使得g’’(d1)=g’’(d2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(d1，d2)(0，2)，使得g’’’(ξ)=0，而g’’’(x)=f’’’(x)一2，所以f’’’(ξ)=2．方法二由泰勒公式，得知识点解析：暂无解析21、求．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[a，b]上连续，且对任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]满足：f[tx1+(1一t)x2]≤tf(x1)+(1一t)f(x2)．证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析23、已知二元函数f(x，y)满足且f(x，y)=g(μ，ν)，若=μ2+ν2，求a，b．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x，y)dx+xcosydy=t2，f(x，y)有一阶连续偏导数，求f(x，y)．标准答案：因为曲线积分与路径无关，所以有cosy=fy’(x，y)，则f(x，y)=siny+C(x)，而=t2，两边对t求导数得C(t)=2t—sint2一2t2cost2，于是f(x，y)=siny+2x—sinx2一2x2cosx2．知识点解析：暂无解析25、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛区间为[一1，1]，知识点解析：暂无解析设f(x)=xn，且a0=1，an＋1=an+n(n=0．1，2，…)．26、求f(x)满足的微分方程；标准答案：知识点解析：暂无解析27、求．标准答案：知识点解析：暂无解析28、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为ν0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg·s2／m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg·s2／m2)，设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．标准答案：水平方向的空气阻力Rx=kxν2，垂直方向的空气阻力Ry=kyν2，摩擦力为W=μ(mg-Ry)，由牛顿第二定律，有知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、极限A、等于．B、等于．C、等于e－6．D、不存在．标准答案：A知识点解析：注意到=1，本题为1∞型．设f(x)=，则原极限=而故原极限=，应选(A)．2、设f(x)在x=a处连续，φ(x)在x=a处间断，又f(a)≠0，则A、φ[f(x)]在x=a处间断．B、f[φ(x)]在x=a处间断．C、[φ(x)]2在x=a处间断．D、在x=a处间断．标准答案：D知识点解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对．不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)．3、“f(x)在点a连续”是｜f(x)｜在点a处连续的()条件．A、必要非充分B、充分非必要C、充要D、既非充分又非必要标准答案：B知识点解析：f(x)在x=a连续｜f(x)｜在x=a连续(｜｜f(x)｜－｜f(a)｜｜≤｜f(x)－f(a)｜)．｜f(x)｜在x=a连续f(x)在x=a连续．如f(x)=｜f(x)｜=1，｜f(x)｜在x=a连续，但f(x)在x=a间断．因此，选(B)．4、设数列xn，yn满足xnyn=0，则下列正确的是A、若xn发散，则yn必发散．B、若xn无界，则yn必有界．C、若xn有界，则yn必为无穷小．D、若为无穷小，则yn必为无穷小．标准答案：D知识点解析：直接考察．若为无穷小，则因此(D)成立．5、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)内有界．B、当x→+∞时为无穷大．C、在(－∞，+∞)内无界．D、当x→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：取xn=2nπ+∈(一∞，+∞)(n=1，2，3，…)，则f(xn)=(2nπ+→+∞(n→∞)．因此f(x)在(一∞，+∞)无界．选(C)．6、设f(x)，g(x)在x=x0均不连续，则在x=x0处A、f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续．B、f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定．C、f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续．D、f(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定．标准答案：D知识点解析：如：f(x)=在x=0均不连续，但f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0在x=0均连续．又如：f(x)=在x=0均不连续，而f(x)+g(x)=f(x).g(x)=在x=0均不连续．因此选(D)．7、当n→∞时(1+)n－e是的A、高阶无穷小．B、低阶无穷小．C、等价无穷小．D、同阶但非等价无穷小．标准答案：D知识点解析：该题就是要计算极限因此选(D)．8、设f(x)=，下列结论错误的是A、x=1，x=0，x=－1为间断点．B、x=0为可去间断点．C、x=－1为无穷间断点．D、x=0为跳跃间断点．标准答案：B知识点解析：计算可得由于f(0+0)与f(0—0)存在但不相等，故x=0不是f(x)的可去间断点．应选(B)．9、把当x→0+时的无穷小量α=tanx－x，β=－1排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是A、α，β，γ．B、γ，β，α．C、β，α，γ．D、γ，α，β．标准答案：C知识点解析：因即当x→0+时α是比β高阶的无穷小量，α与β应排列为β，α．故可排除(A)与(D)．又因即当x→0+时γ是较α高阶的无穷小量，α与γ应排列为α，γ．可排除(B)，即应选(C)．10、在①中，无穷大量是A、①②．B、③④．C、②④．D、②．标准答案：D知识点解析：本题四个极限都可以化成的形式，其中n=2，3，故只需讨论极限要选择该极限为+∞的，仅当n=3并取“+”号时，即二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)11、=____________．标准答案：3知识点解析：原式==3+0=3．12、设=3，则f(x)=___________．标准答案：12知识点解析：由题设及f(x)tanx=0．现利用等价无穷小因子替换f(x)tanx(x→0)，e2x一1～2x(x→0)，=12．13、设K，L，δ为正的常数，则[δK－x+(1－δ)L－x=___________．标准答案：KδL1－δ知识点解析：属1∞型极限．原式=，而因此，原式=elnKδ+lnL1－δ=KδL1－δ．14、设在点x=0处连续，则常数a=___________．标准答案：－2知识点解析：f(x)在x=0连续f(x)=f(0)．由于因此a=－2．15、1+x2－ex2当x→0时是x的___________阶无穷小(填数字)．标准答案：4知识点解析：由于因此当x→0时1+x2一ex2是x的4阶无穷小．16、已=9，则a=___________．标准答案：ln3知识点解析：a=ln3．17、=___________．标准答案：3知识点解析：本题属“∞0”型未定式．数列极限不能直接用洛必达法则．如用，得先转化成连续变量的极限，利用求得，但比较麻烦．事实上，恒等变形后可转化为直接用幂指数运算法则的情形，即18、若=___________．标准答案：5知识点解析：令2x3=y，则故=3+2=5．19、arctan(x－lnx.sinx)=___________．标准答案：知识点解析：x一lnx.sinx=x(1－.sinx)，由于x→+∞时，→0，sinx有界，故.sinx→0．x－lnx.sinx→+∞，于是arctan(x一lnx.sinx)=．20、xsinx=___________．标准答案：1知识点解析：本题属“00”型未定式．利用基本极限xx=1及重要极限=1即得21、=___________．标准答案：0知识点解析：当x＞0时，＜1，于是有而=0，故由夹逼定理可知=0．22、设=4，则a=___________，b=___________．标准答案：，1知识点解析：利用洛必达法则可得23、函数f(x)=的连续区间是___________．标准答案：(－∞，1)∪(1，+∞)知识点解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此f(x)=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(－∞，1)∪(1，+∞)．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)24、求下列极限：(17)标准答案：(1)属型．利用洛必达法则．原式=(2)记pn=(－npn)=－t，因此，原式=e－t．(3)属∞一∞型．先通分，有故原式=e0=1．因此，原极限=(12)被积函数中含有参数x，把因子e－x2提到积分号外后，易见所求极限为“”型未定式．应当想到洛必达法则，而且含积分上限函数的未定式，除有的题可联想到导数定义、积分中值定理外，多数得利用洛必达法则．从而x≠0时，xn=x=0时，xn=1，则xn=1．(17)分别求左、右极限：知识点解析：暂无解析25、设xn+1=ln(1+xn)，x1＞0，(I)求xn；(Ⅱ)求标准答案：(I)注意：x＞ln(1+x)(x＞0)，于是xn+1一xn=ln(1+xn)一xn＜0(n=1，2，3，…)极限(a≥0)a=ln(1+a)．又a＞0时a＞ln(1+a)，故a=0．(Ⅱ)知识点解析：暂无解析26、设a＞0为常数，xn=，求xn．标准答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，an=0；当a=1时xn==0；当a＞1时0＜xn＜=0．因此xn=0．知识点解析：暂无解析27、(x－3sin3x+ax－2+b)=0，试确定常数a，b的值．标准答案：由题设知(*)利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明3+a=0a=－3．将a=－3代入(*)式，即得故b=．知识点解析：暂无解析28、讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(I)y=(1+x)arctan；(II)y=－x)；(Ⅲ)y=(Ⅳ)=f(x)=，x∈(0，2π)；(Ⅴ)y=f[g(x)]，其中f(x)=标准答案：(I)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又y=0，故x=－1也是第一类间断点(可去)．(Ⅱ)先求极限函数．注意=0(｜x｜＜1)，=0(｜x｜＞1)，x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均，不相等．(Ⅲ)在区间(0，+∞)，[－1，0)上函数y分别与某初等函数相同，因而连续．在x=0处y无定义，而x=0是第一类间断点(可去间断点)．(Ⅳ)f(x)=是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续．仅在tan(x－无定义处及tan(x－)=0处f(x)不连续．(V)先求f[g(x)]表达式．当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因而连续．当x=1时，分别求左、右极限故x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．知识点解析：暂无解析29、设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：｜xn｜收敛并求xn．标准答案：令f(x)=x(2一x)，则xn+1=f(xn)．易知f′(x)=2(1一x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2一x0)=1一(x0一1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2一xn)∈(0，1)．又x1一x0=x0(1一x0)＞0xn=a．由递归方程得a=a(2一a)．显然a＞0xn=1．知识点解析：暂无解析30、证明：标准答案：令取对数化乘积为和差故知识点解析：暂无解析31、设(x)=0，且f(x)～f*(x)，g(x)～g*(x)(x→a)．(I)当x→a时f(x)与g(x)可比较，不等价(=∞)，求证：f(x)－g(x)～f*(x)－g*(x)(x→a)；(II)当0＜｜x－a｜＜δ时f(x)与f*(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)．标准答案：(I)考察极限因此，f(x)一g(x)～f*(x)一g*(x)(x→a)．(Ⅱ)2+1=0+1=1，其中lnf*(x)=一∞．再证知识点解析：暂无解析32、设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn为任意n个正数，求证：ξ∈(a，b)，使得标准答案：依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(xn)}=f(xn)，则记f(xi)，若η=f(x1)，则1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，则n∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，由定理知，1与xn之间，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．知识点解析：只需证明：αif(xi)是f(x)在(a，b)内某两个函数值的中间值．33、设f(x)在[a，b]连续，且x∈[a，b]，总y∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：ξ∈[a，b]，使得f(ξ)=0．标准答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则＞0．由题设，对此x0，y∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，ξ∈[a，b]，使f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析34、设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A＞0，求证：f(t)dt=+∞．标准答案：因由极限的不等式性质可知，X，当x＞X时f(x)＞，则x＞X时有因此f(t)dt=+∞．知识点解析：暂无解析35、设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A≠0，证明：f(nx)dx=A．标准答案：先作变量替换：这是型数列极限．将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、函数f(x)=｜xsinx｜ecosx，一∞＜x＜+∞是()．A、有界函数B、单调函数C、周期函数D、偶函数标准答案：D知识点解析：显然函数为偶函数，选(D)．2、在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()．A、只有1条B、只有2条C、至少3条D、不存在标准答案：B知识点解析：在t=t0处曲线的切向量为T=｛1，一2t0，3t02｝，切线与平面x+2y+z=4平行的充分必要条件是n．T=0，即1—4t0+3t02=0，解得t0=或t0=1，选(B)．3、下列说法正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、设f(x)在x=a处可导，则=__________．标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x=a处可导，所以f(x)在x=a处连续．=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．5、=_________．标准答案：＋C知识点解析：6、∫01dx=________．标准答案：知识点解析：7、设z==_________．标准答案：知识点解析：8、∫01dy∫0y2ycos(1一x)2dx=________．标准答案：sin1知识点解析：∫01dy∫0y2ycos(1－x)2dx=∫01cos(1－x)2dx∫1ydy=∫01(1一x)cos(1一x)2dx=∫01cos(1一x)2d(1一x)2=．9、级数收敛，则p的范围为__________．标准答案：p＞知识点解析：，当时，级数收敛．10、设函数φ(μ)可导且φ(0)=1，二元函数z=φ(x+y)exy满足=0，则φ(μ)=_______．标准答案：知识点解析：令x+y=μ，则=φ’(μ)exy＋yφ(μ)exy，=φ’(μ)exy+xφ(μ)exy，=2φ’(μ)exy+μφ(μ)exy，由=0得2φ’(μ)+μφ(μ)=0，或φ’(μ)+φ(μ)=0，解得φ(μ)=，再由φ(0)=1得C=1，故φ(μ)=．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、设f(x)=，求f(x)的间断点，并进行分类．标准答案：x=0，x=1，x=π为f(x)的间断点．f(0—0)=，由f(0—0)≠f(0+0)得x=0为跳跃间断点；由f(π一0)≠f(π+0)得x=π为跳跃间断点；由f(1—0)=0，f(1+0)=一∞得x=1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析12、(x≠0)．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设x一(a+bcosx)sinx为x→0时x的5阶无穷小，求a，b的值．标准答案：x→0时，x一(a+bcosx)sinx=x一asinx—sin2x知识点解析：暂无解析14、设f(x)可导且f’(0)≠0，且．标准答案：由=3．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[0，]上连续，在(0，)内可导，证明：存在ξ，η∈(0，)，使得．标准答案：令g(x)=cosx，g’(x)=一sinx≠0(0＜x＜)，由柯西中值定理，存在η∈(0，)，使得；由拉格朗日中值定理，存在ξ∈，故．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上连续，证明：存在ξ∈(0，1)，使得∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=∫0xf(t)dt+(x一1)f(x)，故∫0ξf(t)dt+(ξ一1)f(ξ)=0．知识点解析：由∫0xf(t)dt+(x—1)f(x)=0，得∫0xf(t)dt+xf(x)一f(x)=0，从而(x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt)’=0，辅助函数为φ(x)=x∫0xf(t)dt一∫0xf(t)dt．17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)=∫1xe－t2dt，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)为连续函数，20、证明：∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx=πf(sinx)dx；标准答案：令I=∫0πxf(sinx)dx，则I=∫0πxf(sinx)dx∫π0（π－t)f(sint)(一dt)=∫0π(π一t)f(sint)dt=∫0π(π－x)f(sinx)dx=π∫0π(π－t)f(sint)(－dt)=∫0π(π－t)f(sint)dt=π∫0πf(sinx)dx－I，则I=∫0πxf(sinx)dx=．知识点解析：暂无解析21、证明：∫02πf(｜sinx｜)dx=4f(sinx)dx．标准答案：∫02πf(｜sinx｜)dx=∫－ππf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(｜sinx｜)dx=2∫0πf(sinx)dx=4∫0f(sinx)dx．知识点解析：暂无解析22、求∫0πdx．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求摆线L：(a＞0)的第一拱绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：V=π∫02πaf2(x)dx=π∫02πay2dx=π∫02πa3(1－cos)3dt=8π∫03πa3()3dt=32πa3∫0πsin6=32πa3I6=32πa3×=5π2a3．知识点解析：暂无解析24、设μ=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：=f1’+2xf2’，=f1’+2yf2’，=f11’’+2xf12’’+2f2’+2x(f21’’+2xf22’’)=f11’’+4xf12’’+4x2f22’’+2f2’，=f11’’+2yf12’’+2f2’+2y(f21’’+2yf22’’)=f11’’+4yf12’’+4y2f22’’+2f2’．则=2f11’’+4(x+y)f12’’+4(x2+y2)f22’’+4f2’．知识点解析：暂无解析25、计算(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲线绕z轴一周所成的曲面介于z=2与z=8之间的几何体．标准答案：曲线绕z轴一周所成的曲面为z=(x2+y2)，则Ω=｛(x，y，z)｜(x，y)∈Dz，2≤z≤8｝，其中Dz：x2+y2≤2z，于是(x2+y2)dxdydz=∫28dz(x2+y2)dxdy=∫28dz∫02πdθr∫3dr=2π∫28z2dz=336π．知识点解析：暂无解析26、在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．标准答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．acosx]dx=π一4a＋．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I’’(a)=8a，由I’’(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(a)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．知识点解析：暂无解析27、求幂级数的收敛域．标准答案：令x一1=t，显然级数的收敛半径为R=1，又当t=±1时，绝对收敛，所以级数的收敛区间为[一1，1]，故原级数的收敛域为[0，2]．知识点解析：暂无解析28、求微分方程的通解．标准答案：令x+y=μ，则，变量分离得dμ=dx，两边积分得μ一arctanμ=x+C，所以原方程的通解为y—arctan(x+y)=C．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、设当x→0时，f(x)，g(x)均为x的同阶无穷小量，则下列命题正确的是()A、f(x)-g(x)一定是x的高阶无穷小量．B、f(x)+g(x)一定是x的高阶无穷小量．C、f(x)g(x)一定是x的高阶无穷小量．D、一定是x的高阶无穷小量．标准答案：C知识点解析：由已知条件，设当a≠b时，a-b≠0，即f(x)-g(x)不是x的高阶无穷小量，排除A；当a≠-b时，a+b≠0，即f(x)+g(x)不是x的高阶无穷小量，排除B．取f(x)=sin2x，g(x)=tan2x，则当x→0时f(x)，g(x)均为x的同阶无穷小量，但即不是x的高阶无穷小量，排除D．故应选C．事实上2、设a为常数，f(x)=则()A、当0＜a＜1时，f’+(1)存在．B、当1≤a＜2时，f’+(1)存在．C、当a＞1时，f’+(1)存在．D、当a≥2时，f’(x)在x=1处右连续．标准答案：C知识点解析：当x＞1时，f’(x)=a(x-1)a-1而由此可知，当a-1≤0，即a≤1时，f’+(1)不存在；当a-1＞0，即a＞1时，f’+(1)=0；当a=2时，不存在；当a＞2时，=0=f’+(1)．综上所述，只有C正确．3、设f(x)=处处可导，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为f(x)处处可导，所以f(x)处处连续，当然在点x=0处连续，于是由于f(x)在点x=0处可导，所以f’-(0)=f’+(0)，而4、函数y=x3cos3x在内有()A、一个驻点，无极值点．B、两个驻点，一个极值点．C、两个驻点，两个极值点．D、三个驻点，两个极值点．标准答案：D知识点解析：y’=3x2cos3x～3x3sin3x=3x2(cos3x-xsin3x)，令y’=0，则x=0，或cos3x-xsin3x=0．令φ(x)=cos3x-xsin3x，则φ(x)在上连续，而由零点定理，至少存在点ξ1∈，使φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，故y=x3cos3x在内至少存在三个驻点：0，ξ1，ξ2．选D．5、下列积分中，不等于零的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：本题主要考查奇偶函数在对称积分区间上的积分特点．由于A、B、C选项中的被积函数均为连续的奇函数，所以其积分的结果均为零，故应选D．事实上，6、由曲线y=1-(x-1)2及直线y=0围成的图形绕y轴旋转形成的旋转体的体积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：一般地，求旋转体的体积都有两种方法．根据本题的选项，取y为积分变量，为此将曲线y=1-(x-1)2表示成(两条)：如图15所示，所求旋转体的体积V看成是两个旋转体的体积之差：于是V=V1-V2=故应选D．7、设，则f(x，y)在点(0，0)处()A、不连续．B、连续但两个偏导数不存在．C、两个偏导数存在但不可微．D、可微．标准答案：D知识点解析：由已知条件(记△z=f(x，y)=f(0，0)，dz=dx-2dy，ρ=知△z-dz=o(ρ)，即△z=dz+o(ρ)．由可微的定义知，f(x，y)在点(0，0)处可微，且dz=dx-2dy，故应选D．8、设u(x，y，z)-=zarctan，则grad(1，1，1)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：这是一个三元函数在某点的梯度的计算问题，由梯度计算公式，有9、设空间区域Ω由旋转抛物面z=x2+y2与圆锥面围成，则Ω的体积等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：(用柱坐标计算)空间区域Ω在xOy面上的投影区域为x2+y2≤1，所求体积为10、设三元函数u=xy2+z2+xyz，则rotgradu=()A、xi+yi+zk．B、(y2+yz)i+(2xy+xz)j+(2z+xy)k．C、0．D、yi+zj+xk．标准答案：C知识点解析：这是一个梯度与旋度的综合计算问题．11、幂级数(-1)n(x+1)n的和函数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令s(x)=(-1)nn(x+1)n=(x+1)(-1)nn(x+1)n-1，记s1(x)=(-1)nn(x+1)n-1，等式两边从-1到x积分得等式两边求导，得故幂级数的和函数为d(x)=(x+1)s1(x)=，x∈(-2，0)．12、微分方程y’’+3y’+2y=x2+xe-x的特解应具有的形式为()A、y*=Ax2+Bx+C+x(ax+b)e-x．B、y*=Ax2+Bx+C+(ax+b)e-x．C、y*=Ax2+x(ax+b)e-x．D、y*=Ax2+(ax+b)e-x.标准答案：A知识点解析：二阶线性齐次微分方程y’’+3y’+2y=0的特征方程为r2+3r+2=0，特征根为r1=-1，r2=-2．故y’’+3y’+2y=x2的特解应具有的形式为y*1=Ax2+Bx+C；y’’+3y’+2y=xe-x的特解应具有的形式为y*2=x(ax+b)c-x，从而y’’+3y’+2y=x2+xe-x的特解应具有的形式为y*=y*2+y*2=Ax2+Bx+C+x(ax+b)e-x．二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)13、=______.标准答案：e3知识点解析：14、设f(x)=在点x=0处连续，则a=_______．标准答案：知识点解析：因为f(x)在点x=0处连续，所以15、设y=ln[arctan(1-x)]，则dy=______．标准答案：知识点解析：16、曲线y=4x-x2在点_______处的曲率最大．标准答案：(2，4)知识点解析：y’=4-2x，y’’=-2，曲率函数当x=2时，k为最大，此时y=4，故曲线在点(2，4)处的曲率最大．17、=________.标准答案：知识点解析：18、=_______.标准答案：知识点解析：这是一个函数记号的灵活表示与定积分计算结合的问题．应先写出f(x)的表达式，然后再计算定积分．因为所以f(x)=．从而19、曲线与直线x=0，x=及x轴围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转曲面的侧面积为_______．标准答案：知识点解析：本题主要考查旋转曲面的侧面积的计算．由旋转曲面的侧面积计算公式，有20、设函数z=z(x，y)是由方程x2+y2=确定的隐函数，其中φ为可导函数，则=______.标准答案：知识点解析：这是一个三元方程所确定的二元隐函数的偏导数计算问题．题设三元方程可写成x2+y2-=0．记F(z，y，z)=x2+y2-，利用隐函数求偏导公式，有21、=______(其中a，b均为大于零的常数)．标准答案：知识点解析：由于被积函数的原函数求不出来，无法直接计算定积分，但考虑到被积函数的特点，以及22、已知f(x)具有一阶连续导数，f(1)=e，曲线积分与路径无关，则当积分曲线从A(0，1)到B(1，2)时，I的值为________．标准答案：知识点解析：这是一个第二类曲线积分的计算与微分方程求解的综合问题．解题思路是：利用曲线积分与路径无关，建立微分方程，解微分方程求出未知函数f(y)，然后再计算从A(0，1)到B(1，2)时I的值．记P(x，y)=yf(y)，Q(x，y)=，因为曲线积分I与路径无关，所以即-f(y)=f(y)+yf’(y)，也即这是一个一阶线性微分方程的初值求解问题．其通解为由f(1)=e，得C=0，于是f(y)=．此时故当积分曲线从A(0，1)到B(1，2)时，I的值为23、设幂级数an(x-x0)n，如果由该幂级数在x=2点发散，在x=-1点收敛，便可知其收敛半径，则幂级数an(x-1)n的收敛域是_______．标准答案：知识点解析：本题主要考查利用阿贝尔定理确定幂级数的收敛半径与收敛域的方法．由阿贝尔定理知，如果幂级数a(x-x0)n在x=2处发散，则该幂级数在适合｜x-x0｜＞｜2-x0｜的一切x发散．如果幂级数an(x-x0)n在x=-1处收敛，则该幂级数在适合｜x-x0｜＜｜-1-x0｜=｜1+x0｜的一切x收敛．由已知条件，令｜2-x0｜=｜1+x0｜，得x0=，故该幂级数的收敛半径R=an(x-1)n的收敛区间为当x=收敛；当x=发散．故幂级数an(x-1)n的收敛域为24、微分方程的通解为______.标准答案：y=C(x-2y)2或x=知识点解析：(利用齐次方程)原微分方程可写成令，代入上面方程得分离变量，得等式两边积分，得所以．变量还原并化简，得y=C(x-2y)2．25、二阶线性常系数非齐次微分方程y’’+y=2x+cosx具有的特解形式为______．标准答案：y*=Ax+B+x(Ccosx+Dsinx)知识点解析：因为0不是特征方程r2+1=0的根，所以设y’’+y=2x的一个特解为y1*=Ax+B．又因为±i是特征方程r2+1=0的根，所以设y’’+y=cosx的一个特解为y2*=x(Ccosx+Dsinx)，故y’’+y=2x+cosx具有的特解形式为y*=y1*+y2*=Ax+B+x(Ccosx+Dsinx)．26、差分方程2yt+1-6yt=3t的通解为______．标准答案：yt=C.3t+t.3t知识点解析：差分方程可化为yt+1-3yt=.3t．这是一个一阶线性差分方程，其对应的齐次差分方程为yt+1-3yt=0，通解为Yt=C.3t，其中C为任意常数．设yt*=At.3t是yt+1-3yt=.3t具有的特解形式，则yt+1*=A(t+1)3t+1，将yt*，yt+1*代入到yt+1-3yt=.3t，并化简得A=，所以yt*=t.3t．故原差分方程的通解为yt=Yt+yt*=C.3t+t.3t．考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设当x→x0时，f(x)的极限存在，而g(x)的极限不存在，则下列命题正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(反例排除法)取f(x)=x，g(x)=不存在，但，排除A．2、设f(x)=x∈(0，1)，则f[g(x)]在(0，1)内()A、有一个间断点．B、有两个间断点．C、有无穷多个间断点．D、没有间断点．标准答案：D知识点解析：当x∈(0，1)时，若x为有理数，g(x)=x∈(0，1)，f[g(x)]=f(x)=x；若x为无理数，g(x)=2-x∈(1，2)，f[g(x)]=f(2-x)=2-(2-x)=x．所以f[g(x)]=x，x∈(0，1)．故f[g(x)]在(0，1)内连续，即没有间断点．3、设f(x)，g(x)都是可导函数，下列命题正确的是()A、如果f(x)＜g(x)，则f’(x)＞g’(x)．B、如果f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)．C、如果f’(x)-g’(x)=0，则f(x)-g(x)=0．D、如果f(x0)=g(x0)，f(x)，g(x)在点x0处可导，且=0，则f’(x0)=g’(x0)．标准答案：D知识点解析：(反例排除法)取f(x)=x，g(x)=x+1，则f(x)＜g(x)，但f’(x)=1=g’(x)，排除A；取f(x)=x+1，g(x)=x，则f(x)＞g(x)，但f’(x)=1=g’(x)，排除B、C；故应选D．4、设f(x)=x(x-1)2(x-2)，则f’(x)的零点个数为()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：由于f(x)=x(x-1)2(x-2)在[0，1]，[1，2]上连续，在(0，1)，(1，2)内可导，且f(0)=f(1)=f(2)=0，由罗尔定理可知，存在ξ1∈(0，1)，ξ2∈(1，2)使f’(ξ1)=f’(ξ2)=0．又因为f’(x)=(x-1)2(x-2)+2x(x-1)(x-2)+x(x-1)2=2(x-1)(2x2-4x+1)，易知f’(1)=0，所以f’(x)=0至少有三个根x=1，ξ1，ξ2，由于f’(x)为三次多项式，因此f’(x)=0至多有三个实根，故ξ1，ξ2，1是f’(x)=0的全部根，所以f’(x)的零点个数为3．5、设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内连续，其二阶导函数y’’=f’’(x)的图形如图9所示，则曲线y=f(x)的拐点的个数为()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：C知识点解析：只需考察f’’(x)=0的点与f’’(x)不存在的点．由于f’’(x1)=f’’(x4)=0，在点x1，x4的两侧，f’’(x)变号，即从x1，x4的左侧到右侧，曲线y=f(x)由凹变凸，所以(x1，f(x1))，(x4，f(x4))是曲线y=f(x)的拐点．当x=0时f’’(0)不存在，但f(x)在点x=0处连续，且在x=0的两侧，f’’(x)变号，即从0的左侧到右侧，曲线由凸变凹，所以(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．虽然f’’(x2)=0，但在点x2的两侧，f’’(x)＞0，即曲线y=f(x)是凹的，所以(x2，f(x2))不是曲线y=f(x)的拐点，故应选C．6、设f(x)=，则()A、f(x)有驻点，但无极值点．B、f(x)有驻点，但曲线无拐点．C、f(x)有驻点，且有极值点，但曲线无拐点．D、f(x)有驻点，有极值点，且曲线有拐点．标准答案：D知识点解析：研究函数的驻点与曲线的拐点，须先求函数的一、二阶导数．f’’(x)=e-x2+e-x2+xe-x2(-2x)=2(1-x2)e-x2．当x=0时，f’(0)=0，f(x)有驻点x=0；当x＜0时，f’(x)＜0，当x＞0时，f’(x)＞0，由极值的第一充分条件知，f(x)有极值点x=0；当x=±1时，f’’(±1)=0，列表5：由此可知，曲线有拐点(-1，y(-1))，(1，y(1))．7、曲线y=的弧长为()A、4n．B、2n．C、n．D、标准答案：A知识点解析：因为，由积分上限函数的求导公式得再由弧长计算公式，得所求曲线弧长为8、设函数f(r)具有二阶连续导数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于u=中的x，y，z具有轮换对称性，同理可得9、设I1=，且D={(x，y)｜(x-1)2+(y-1)2≤2)，则有()A、I1＜I1＜I3．B、I2＜I3＜I1．C、I3＜I1＜I2．D、I3＜I2＜I1．标准答案：A知识点解析：在同一积分区域上比较二重积分的大小，只要比较被积函数在积分区域上的大小即可．对于本题，要比较I1，I2，I3的大小，即比较的大小，关键看在D上是大于1或小于1．如图20所示，显然有10、设空间曲线г是球面x2+y2+z2=R2与平面x+y+z=0的交线，则∫L(x2+y2-z2+2y)ds=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：