1.4行列式的性质

§1.4

行列式的性质二、用行列式的性质计算一、行列式的性质三、小结1一、行列式的性质行列式的转置记行列式称为行列式的转置行列式.

性质1

行列式与它的转置行列式相等说明:行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.2性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.3例1.0解推论:如果行列式D有两行(列)完全相同，则如4行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式性质3记号外.例如2推论:若行列式D中有某行(列)全为0,则行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一个数

k,等于用数k

乘以此行列式.5例26例32计算行列式性质4若行列式D中有两行(列)成比例,则例如7性质5行列式可按某一行(列)拆成两个行列式之和.8例如注意：9性质6所得的行列式值不变.将行列式中某一行(列)的k倍加到另一行(列),由性质5记法数k乘第

j行加到第

i

行上：数k乘第j列加到第i列上：10

性质2,3,6介绍了行列式关于行和列的三种运算，交换运算：行交换列交换线性运算：行运算列运算数乘运算：行运算列运算分别记为分别称为交换运算、线性运算、数乘运算.注意11二、用行列式的性质计算方法：例4计算行列式0830420012例5计算行列式3521-1313-2413---11053521-1313-2413---13-12021-100-84-6167-213-12021-10-84-60167-213-12021-1008-1000-1015-1105-13练习0-1-122110-12-101-1020-1-122110-12-101-102-

031-401-12

0-1-121-102-

0

0-22

0

0-24-

0-1-121-102

000-2

0

0-24-

0-1-121-102=4.计算14例5计算行列式特点：各列（行）元素之和均为6解注意：本题的做法具有一般性.提出公因子15如计算n阶行列解将第列都加到第一列得1617例6计算分析特点：第一列a系数相同，第二列b的系数相同，a的系数成等差数列，第三、四列类似.解18解19

化零时一般尽量选含有１的行(列)及含零较多的行(列),若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行(列)中的某数化为1；利用行列式的性质，采用“化零”的方法，列式化为三角形行列式要注意下列问题：将行

若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．说明20例7证明证明特殊情况21222324上述的证明过程虽有些抽象，但思路是简单的.对于本例重要在于它的结果，以后常要用到此结果.

显然它是的推广.

它的特例还有说明25例8计算2n阶行列式分析特点：只有主、副对角线上的元素不为零，而且不为零的元素很有规律，如果去掉第一行和最后一行，第一列和最后一列，剩下元素构成的行列式形式不变.解题思路：交换行(列)的方法化为例7的形式，利用例7的结果建立递推公式.2627这是递推公式递推法根据例7的结果28

本例采用的方法是递推法.

上述交换行列式的行（列）的方法,递推法是n阶行列式计算中常用的、有效的方法.在解题时,经常用到，它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，其余各行之间原有的先后次序没有改变（只是行的序号可能改变而已）.P22题6(5)、8(4)P22题7、8（3）说明29三、小结

行列式的6个性质行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

计算行列式方法利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．(常用）30作业：P21-23

习题一4.(1)(2)5.(1)6.(2)(3)8.(2)311.若行列式D=0，则D都可能是什么类型的行列式？(1)行列式D有两行或两列的元素相同；(2)行列式D有两行或两列的元素成比例；(3)行列式D有至少有一行