考研数学一（高等数学）模拟试卷20（共252题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷20（共9套）（共252题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设=一2，则f(x)在x=a处()．A、不可导B、可导且f’(a)≠0C、有极大值D、有极小值标准答案：C知识点解析：由局部保号性定理，存在a的去心邻域，使得当即f(x)知f(x)在x=a处可导，当然在x=a处连续．所以，f(x)在x=a处有极大值．故选C．注意极限表达式中隐含的连续、可导等条件及结论．2、设曲面∑为柱面x2+y2=5介于一1≤z≤1的部分，方向为外侧，则曲面积分的值为()．A、10π一2B、2—10πC、10πD、0标准答案：D知识点解析：令∑1：z=1(x2+y2≤5)，方向向上，∑2：z=一1(x2+y2≤5)，方向向下，则∑∪∑1∪∑2为一封闭曲面，方向为外侧，设它围成的区域为Ω，则其体积V=故选D．3、已知级数()．A、3B、7C、8D、9标准答案：C知识点解析：因为级数则级数故选C．4、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是()．A、y’’’一y’’一y’+y=0B、y’’’一2y’’一y’+2y=0C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0D、y’’’+y’’一y’一y=0标准答案：D知识点解析：由方程的齐次性知e－x，xe－x，ex是三个线性无关的解，故其对应的特征根为λ1=λ2=一1，λ3=1，于是特征方程为(λ+1)2(λ一1)=0，即λ3+λ2一λ一1=0．故选D．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)5、设∫f’(x2)dx=x7+c，则f(x)=______．标准答案：应填知识点解析：由不定积分的定义f’(x2)=7x6。令x2=t，则f’(t)=7t3，此题主要考查原函数的概念．6、已知向量p、g、r两两互相垂直，且｜p｜=1，｜q｜=2，｜r｜=3，则向量s=p+q+r的模为______．标准答案：应填知识点解析：本题主要考查向量模的概念以及两个向量相互垂直的充分必要条件．根据向量模的定义及向量相互垂直的充分必要条件，得｜s｜2=s．s=(p+q+r)．(p+q+r)=p．p+q．q+r．r=｜p｜2+｜q｜2+｜r｜2=14．所以，向量s=p+q+r的模为7、函数在点(0，1)处的梯度等于______．标准答案：应填{1，0}或i．知识点解析：本题考查梯度的定义和偏导数的求法．因为所以，所求的梯度为{1，0}或i．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)8、设1≤x<+∞时，标准答案：当1≤x＜+∞时，由f’(x)＞0知，f(x)单调增加，由题设和定积分的性质，可得：由牛顿一莱布尼兹公式得：即f(1)＜f(x)＜f(1)+1．所以，数列{f(x)}单调有界．由单调有界定理知，存在．知识点解析：要证明存在，只要证f(n)单调有界，即证f(x)单调有界．由已知条件、定积分的性质和牛顿一莱布尼兹公式，便可知f(x)单调有界．关于递推数列的极限，用先验证后求或先求后验证这些传统的方法无疑是正确的，但在单调性和有界性判断方面用传统的方法会遇到困难．此时，应尽可能转化为函数单调性和有界性的判断．这样就可综合运用函数的性质、重要公式和结论来解决极限问题．9、设讨论函数f(x)的连续性，若有间断点，指明其类型．标准答案：显然，x≠±2时，f(x)是连续的．而所以x=－2为f(x)的连续点．所以x=2是f(x)的跳跃间断点．知识点解析：x≠±2时，f(x)连续，x=±2时，考虑单侧极限．10、设f(x)连续，f’’(1)存在，且令φ(x)=∫01f’[1+(x－1)t]dt，求φ’(x)并讨论其连续性．标准答案：所以，φ’(x)在x=1连续．知识点解析：由条件可知，f(1)=0，f’(1)=0，于是可得φ(1)=∫01f’(1)dt=0．再将参变量提至积分号外，然后求导．为求φ(1)，用到了隐含条件：设f(x)在x=1连续，则一般地，有：若f(x)，f’(x)在x=x0处连续，则11、设b>a>0，f(x)在[a，b]上连续，单调递增，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)使得a2f(b)+b2f(a)=2ξ2f(ξ)．标准答案：令F(x)=2x2f(x)一a2f(b)一b2f(a)．显然F(x)在[a，b]上连续且F(a)=a2[f(a)一f(b)]+f(a)(a2一b2)<0，F(b)=f(b)(b2一a2)+b2[f(b)一f(a)]>0，由零点定理，至少存在一个点ξ∈[a，b]使得F(ξ)=0，即a2f(b)+b2f(a)=2ξ2f(ξ)．知识点解析：作辅助函数F(x)=2x2f(x)－a2f(b)一b2f(a)，F(x)在[a，b]上用零点定理．12、设f(x)在[a，b]上一阶可导，且f’(x)l≤M，∫abf(x)dx=0，试证：当a≤x≤b时，标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在a，b]上连续，且F(a)=F(b)=0．由最值定理，存在点x0∈[a，b]，使得若F(x0)=0，则F(x)≡0，结论自然成立．若F(x0)≠0，由点x0∈(a，b)可知，F(x0)必是F(x)的极值．于是，有F’(x0)=0，在x0处由台劳公式可得知识点解析：暂无解析13、求标准答案：令知识点解析：变量替换法是积分的一种重要方法，常见的变量替换有：(4)其他变换：令ln(ax+b)=t，arcsinx=t等．14、设f(x)连续，f(2)=0，且满足∫0xtf(3x—t)dt=arctan(1+ex)，求∫23f(x)dx．标准答案：∫0πtf(3x－t)dt∫2x3xf(u)du=3x∫2x3xf(u)du—∫2x3xuf(u)du=arctan(1+ex)．两边求导得3∫2x3xf(u)du+3xf(3x)．3－3xf(2x)．2－9xf(3x)+4xf(2x)=即3∫2x3xf(u)du－2xf(2x)=令x=1，得∫23f(x)dx=．知识点解析：暂无解析15、计算标准答案：知识点解析：关于广义积分的计算问题，通常用定义直接计算．若F(x)是f(x)在(a，+∞)上的一个原函数，且16、讨论方程实根的个数．标准答案：由零值定理，f(x)在(0，1)内至少有一个实根．又所以，当x>0时，f(x)单调增加，因此，f(x)在[0，+∞)内有且仅有一个零点．由f(x)是偶函数可知，f(x)在(一∞，0)内也只有一个零点，故f(x)在(一∞，+∞)内有两个零点，即原方程有两个实根．知识点解析：可将方程实根的问题转化为f(x)的零点问题．又f(－x)=f(x)，所以，只要讨论f(x)在[0,+∞)内的零点问题．关于方程实根的个数或两曲线交点的个数问题，通常都可转化为函数的零点问题来讨论，并利用函数的奇偶性缩小讨论区间．17、曲线y=k(x2一3)2在拐点处的法线通过原点，求k的值．标准答案：y’=4kx(x2—3)，y’’=12k(x2一1)．令y’’=0，得x=±1．而y’(±1)=y(±1)=4k．无论k是正数还是负数，(±1，4k)都是曲线y=f(x)的拐点，所以，过拐点(±1，4k)的法线方程为知识点解析：曲线y=f(x)过点(x0，f(x0))的切线方程为y一f(x0)=f’(x0)(x—x0)．法线方程为18、已知向量a与单位向量e不共线，另有一个与它们共面的向量p，当向量a、e、p起点相同时，向量p关于向量e与向量a对称，试用向量a和向量e来表示向量P．标准答案：利用向量的平行四边形法则．如图1—6—1所示，由于向量P与向量口对称，可见a+P=ke，且k=2(a．e)．于是，p=2(e．a)e－a．知识点解析：本题主要考查向量的投影、共面的概念以及向量的三角形运算法则．在平面上，显然用向量的平行四边形法则更容易．19、求函数f(x，y)=(x一6)2+(y+8)2在D={(x，y)：z2+y2≤25)上的最大值、最小值．标准答案：得x0=6，y0=一8，而(x0，y0)不在D的内部，所以f(x，y)在D的内部没有极值，故它的最大、最小值一定在边界г：x+y=25上取到．而在г上：f(x，y)=x2+y2一12x+16y+100=125—12x+16y．令L(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+y2一25)，得λ1=—2，x1=一3，y1=4，或λ2=2，x2=3，y2=一4．而f(x1，y1)=125+36+64=225，f(x2，y2)=125—36—64=25，所以f(x，y)在D上的最大值(即在г上的最大值)为f(x1，y1)=225，f(x，y)在D上的最小值(即在г上的最小值)为f(x2，y2)=25．知识点解析：暂无解析20、计算二重积分其中D为x2+y2=1与y=｜x｜所围成的区域．标准答案：知识点解析：如图1—8—1，因为被积函数所以应先定变量x的上、下限，然后再定变量y的上、下限．又因为被积函数与积分区域关于y坐标轴对称，故只需考虑积分区域D在第一象限部分的情况．本题若先对变量y求积分，虽然只有一个积分表达式但积分却比较繁琐．21、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)>0，证明：标准答案：知识点解析：本题主要考查如何将定积分的问题化为二重积分．本题的关键所在是利用了不等式特别地，设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则∫01ef(x)dx．∫01e一f(x)dx≥1．22、设函数f(x)连续，且F(t)=[x2+f(x2+y2)]dv，其中空间区域Ω为：0≤z≤h,x2+y2≤t2，标准答案：因为积分空间区域Ω为柱状区域，且被积函数中的第二项为f(x2+y2)，所以用柱坐标的方法比较简单、方便．因为利用洛必塔法则，得知识点解析：根据题意，先确定三重积分的相应计算方法(直角坐标、柱坐标、球坐标)．然后，再求对应的导数和极限．本题的关键在于如何求得函数F(t)的表达式．23、设曲线积分∫Lxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的一阶导数，且φ(0)=0．计算曲线积分I=∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy的值．标准答案：设P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，由即2xy=yφ’(x)．解此一阶线性微分方程，得φ(x)=x2+c．再由φ(0)=0，得c=0，故φ(x)=x2．于是：利用全微分方程知识点解析：本题主要考查曲线积分与路径无关的充分必要条件，一阶线性微分方程求特解的方法以及相应的曲线积分．24、计算曲面积分标准答案：因为曲面∑在xOy坐标平面上的投影区域为D：x2+y2≤2x，且知识点解析：暂无解析25、设有一半径为a的物质球面，其上任意一点的面密度等于该点到此球的一条直径距离的平方，试求此球面的质量．标准答案：利用曲面积分的轮换对称性．选择已知直径所在的直线为Oz轴，球心为坐标原点，则球面∑的方程为x2+y2+z2=a2，面密度为ρ=x2+y2，则球面的质量为知识点解析：暂无解析26、证明：正项级数与数列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+n)}是同敛散的．标准答案：因为级数的前n项的部分和Sn为Sn=a1+a2+…+an≤(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)≤由此可见，前n项的部分和Sn与单调增加数列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同时有界或同时无界．因此，正项级数与数列{(1+a1)(1+a2)．…．(1+an)}是同敛散的．知识点解析：暂无解析27、已知级数证明：f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=标准答案：因为幂级的收敛域为[一1，1]，所以函数f(x)的定义域是[一1，1]，函数f(1一x)的定义域是[0，2]．令函数F(x)=f(x)+f(1一x)+lnx．ln(1—x)，则F(x)的定义域是(0，1)．由于所以，F’(x)=f’(x)一f’(1一x)+[lnx．ln(1一x)]’=0，x∈(0，1)．因此，F(x)=f(z)+f(1一x)+lnx．ln(1一x)=c，x∈(0，1)．在上式两端，令x→1－，取极限，得从而f(x)+f(1一x)+lnx?ln(1一x)=知识点解析：欲证明一个函数在整个区间上恒等于常数C，常用的一个方法是：证明其导数在该区间上恒为零，再计算某个x的函数值即得．设f(x)、g(x)均为连续的可微函数，且x=yf(xy)dx+xg(xy)dy．28、若存在二元可微函数u(x，y)，使得du=z，求f(xy)一g(xy)．标准答案：因为其中c为任意常数．知识点解析：暂无解析29、若f(x)=φ’(x)，求二元可微函数u(x，y)，使得du=z．标准答案：由条件f(x)=φ’(x)及上一题题的结论，知du=z=yf(xy)dx+xg(xy)dy=yφ’(xy)dx+=d[φ(xy)]一cd(1ny)=d[φ(xy)一clny]．所以，u(x，y)=φ(xy)一clny+c0．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设f(x)=∫01－cosxsint2dt，g(x)=，则当x→0时，f(x)是g(x)的()·A、低阶无穷小B、高阶无穷小C、等价无穷小D、同阶但非等价的无穷小标准答案：B知识点解析：二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)2、设f(x)在x=a处可导，则=_________．标准答案：10f(a)f’(a)知识点解析：因为f(x)在x－a处可导，所以f(x)在x=a处连续，=2f(a)×5f’(a)=10f(a)f’(a)．3、设f(x)=dt，则∫01dx=_________．标准答案：e-1-1知识点解析：4、设y=y(x)由x—=________．标准答案：e一1知识点解析：5、计算∫01dxdy=________．标准答案：1一sin1知识点解析：改变积分次序得6、设L：=1，且L的长度为l，则(9x2+72xy+4y2)ds=________．标准答案：36l知识点解析：7、设函数φ(μ)可导且φ(0)=1，二元函数z=φ(x＋y)exy满足=0，则φ(μ)=________．标准答案：知识点解析：令x+y=μ，则=φ’(μ)exy+yφ(μ)exy，=φ’(μ)exy+xφ(μ)exy，=2φ’(μ)exy+μφ(μ)exy，8、设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=________．标准答案：知识点解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得．9、设f(lnx)=，则∫f(x)dx=_________．标准答案：知识点解析：10、设直线，在平面x+y+z=0上的投影为直线L，则点(1，2，1)到直线L的距离等于________．标准答案：知识点解析：过直线的平面束为(x+2y—z一2)+k(2x—y+z一3)=0，即(1＋2k)x+(2一k)y+(k一1)z一2—3k=0，由｛1+2k，2一k，k一1｝·｛1，1，1｝=0，得k=一1，则投影直线为L：，s=｛1，1，1｝×｛1，－3，2｝=｛5，－1，－4｝，对称式方程为L：，令M0，M1的坐标分别为(一1，0，1)，(1，2，1)，．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、设当x→0时，f(x)=∫0x2ln(1+t)dt～g(x)=xa(ebx一1)，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求下列函数的导数：标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)=f’(η)．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算下列列积分：标准答案：知识点解析：暂无解析设L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0,L及y=sint围成的区域面积为S1(t)；由L、y=sint及x=围成的区域面积为S2(t)，其中0≤t≤．16、求S(t)=S1(t)+S2(t)．标准答案：S1(t)=∫0t(sint-sinx)dx=tsint＋cost－1，知识点解析：暂无解析17、t取何值时，S(t)取最小值?t取何值时，S(t)取最大值?标准答案：知识点解析：暂无解析18、设曲线y=，过原点作切线，求此曲线、切线及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的表面积．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算位于平面z=1及z=2之间部分的外侧．标准答案：∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析21、用变量代换x=sint将方程(1一x2)一4y=0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：故原方程的通解为y=C1e－2arcsinx＋C2e2arcsinx．知识点解析：暂无解析22、设f(x)可导且f’’(0)=6，且．标准答案：由=0得f(0)=0，f’(0)=0，知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内二阶可导，且=0，又f(2)=f(x)dx，证明：存在ξ∈(0，2)，使得f’(ξ)＋f’’(ξ)=0．标准答案：由=0，得F(1)=一1，又，所以f’(1)=0．由积分中值定理得，由罗尔定理，存在x0∈(c，2)(1，2)，使得f’(x0)=0．令φ(x)=exf’(x)，则φ(1)=φ(x0)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(1，x0)(0，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=ex[f’(x)+f’’(x)]且ex≠0，所以f’(ξ)+f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析24、设f’(lnx)=，求f(x)．标准答案：令lnx=t，则f’(t)=，当t≤0时，f(t)=t+C1；当t＞0时，f(t)=et+C2，显然F’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1＋C2，故f(x)=知识点解析：暂无解析25、设f(x)连续，且f(0)=1，令F(t)=f(x2+y2)dxdy(t≥0)，求F’’(0)．标准答案：由F(t)=∫02πdθ∫0trf(r2)dr=2π∫0trf(r2)dr=π∫0t2f(μ)dμ，得F’(t)=2πtf(t2)，F’(0)=0，F’’(0)==2πf(0)=2π．知识点解析：暂无解析26、设空间曲线C由立体0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面与平面x+y+z=所截而成，计算｜(z2－y2)dx+(x2－z2)dy+(y2－x2）dz｜．标准答案：取平面x+y+z=上被折线C所围的上侧部分为S，其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=，设Dxy表示曲面S在平面xOy上的投影区域，其面积为A=，由斯托克斯公式得知识点解析：暂无解析27、求幂级数xn的和函数．标准答案：由=0，得收敛半径R=+∞，该幂级数的收敛区间为(－∞，+∞)．知识点解析：暂无解析28、设a0=1，a1=－2，(n≥2)．证明：当｜x｜＜1时，幂级数anxn收敛，并求其和函数S(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设x→x0时，f(x)不是无穷大量，则下述结论正确的是()A、当x→x0时，g(x)是无穷小量，则f(x)g(x)必是无穷小量．B、当x→x0时，g(x)不是无穷小量，则f(x)g(x)必不是无穷小量．C、设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大量．D、设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大量．标准答案：D知识点解析：(反例排除法)取f(x)=，当x→0时，f(x)是无界的，不是无穷大量；取g(x)=x，当x→0时，g(x)是无穷小量，但不存在，排除A．取f(x)=x2，g(x)=，当x→0时，f(x)不是无穷大量，g(x)不是无穷小量，且在x=0的某邻域无界，但，排除B、C．2、设函数f(x)=则x=1是f(x)的()A、连续点．B、可去间断点．C、无穷间断点．D、跳跃间断点．标准答案：B知识点解析：因为所以x=1是f(x)的可去间断点．3、设f(x)在点x0处不可导，g(x)在点x0处可导，则下列4个函数中在点x0处肯定不可导的是()A、f(x)+g(x)．B、f(x)g(x)．C、f2(x)．D、f[g(x)]．标准答案：A知识点解析：(推理法)设f(x)+g(x)在点x0处可导，则f(x)=[f(x)+g(x)]-g(x)也在点x0处可导，与f(x)在点x0处不可导矛盾．所以f(x)+g(x)在点x0处肯定不可导．4、设f(x)在x=x0的某一邻域内具有四阶导数，f’(x0)=f’’(x0)=f’’(x0)=0，且f(4)(x0)＞0，则下列选项中正确的是()A、x0是f(x)的极大值点．B、x0是f(x)的极小值点．C、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．D、x0不是f(x)的极值点，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．标准答案：B知识点解析：将f(x)在x0点展开成四阶泰勒公式在x0的某一去心邻域内，，从而f(x)-f(x0)＞0，即f(x)＞f(x0)，故f(x0)是f(x)的极小值，即x0是f(x)的极小值点，故应选B．5、设f(x)的一个原函数为arcsinx，则f(x)的导函数为()A、B、sinx．C、xarcsinx．D、标准答案：D知识点解析：因为f(x)的一个原函数为arcsinx，所以6、等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题主要考查凑微分法与分部积分法．7、曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长的()A、1倍．B、2倍．C、3倍．D、4倍．标准答案：A知识点解析：设s1为曲线y=sinx的一个周期的弧长，s2为椭圆2x2+y2=2的周长，由弧长计算公式，有将椭圆2x2+y2=2化为参数方程则由参数方程表示下面曲线的弧长计算公式，有从而s1=s2.8、设函数f(x，y)为可微函数，且对任意x，y都有f’x(x，y)＞0，f’y(x，y)＜0，则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是()A、x1＞x2，y1＜y2．B、x1＞x2，y1＞y2．C、x1＜x2，y1＜y2．D、x1＜x2，y1＞y2．标准答案：D知识点解析：由f’x(x，y)＞0得当y固定时，f(x，y)对x是单调增加的；由f’y(x，y)＜0得当x固定时，f(x，y)对y是单调减少的．于是当x1＜x2时，f(x1，y1)＜f(x2，y1)；当y1＞y2时，f(x2，y1)＜f(x2，y2).综上所述，当x1＜x2，y1＞y2时，f(x1，y2)＜f(x2，y2)．9、极坐标下的二次积分可写成()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是一个将极坐标下的二次积分转化为直角坐标下的二次积分问题，应根据极坐标下的二次积分画出积分区域图，根据积分区域图化为直角坐标下的二次积分．由r=2sinθ，得r2=2rsinθ，其直角坐标方程为x2+y2=2y，又0≤θ≤，故积分区域D为以(0，1)为圆心，半径为1的右半圆．在直角坐标下，X型区域可表示为Y型区域可表示为D={(x，y)｜0≤y≤2，0≤x≤}，故应选C．10、已知曲线L：x=y2(0≤y≤)，则∫Lyds=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：这是一个平面曲线上对弧长的曲线积分的计算问题，其计算方法是转化为定积分．利用计算公式，有11、设级数收敛，则必收敛的级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(推理法)因为级数收敛，由级数的性质知，收敛．故应选D．12、幂级数的和函数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：令s(x)=，s(0)=1，等式两边求导得所以和函数s(x)满足方程s’(x)+s(x)=ex两边乘以ex，得[s(x)ex]’=e2x，两边积分，得s(x)ex=e2x+C，由s(0)=1，得C=13、已知微分方程y’’-6y’+9y=e2x的积分曲线y=y(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线6x-3y+2=0，则该积分曲线的方程为()A、y=x2e2x+sin2x．B、y=(x2cosx+sin2x)e3x．C、y=sin2x．D、y=(x+4)e3x．标准答案：D知识点解析：因为积分曲线y=y(x)过原点，所以y(0)=0；又在原点处的切线平行于直线6x-3y+2=0，由导数的几何意义知，y’(0)=2．故本题就是求微分方程y’’-6y’+9y=e2x满足初始条件y(0)=0，y’(0)=2的特解．首先求y’’-6y’+9y=0的通解．特征方程为r2-6r+9=0，特征根为r1=r2=3，所以其通解为y=C1e3x+C2xe3x．其次求y’’-6y’+9y=e3x的一个特解．因为3为特征方程的二重根，所以设y*=Ax2e3x为其特解形式，求导得y’*=2Axe3x+3Ax2e3x，y’’*=2Ae3x+12Axe3x+9Ax2e3x，将y*，y’*，y’*代入到y’’-6y’+9y=e3x并化简，得A=x2e3x．写出y’’-6y+9y=e3x的通解，为y=C1e3x+C2xe3x+x2e3x．求导得y’=3C1e3x+C2e3x+3C2xe3x+xe3x2+x2e3x，由y(0)=0，y’(0)=2得从而C1=0，C2=2．故所求积分曲线方程为y=2xe3x+x2e3x=(x+4)e3x．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、=_____.标准答案：知识点解析：15、设f(x)=，则f(x)的连续区间是_______．标准答案：(-∞，0)∪(0，+∞)知识点解析：其连续区间为(-∞，0)∪(0，+∞)．16、设曲线y=ax2与y=ln2x相切，则切点坐标为_______．标准答案：知识点解析：设切点坐标为(x0，y0)，则则y0=ln2x0=．故所求切点坐标为(x0，y0)=17、曲线的渐近线的条数为______．标准答案：2知识点解析：因为所以y=1是曲线的水平渐近线，从而无斜渐近线．因为所以x=-1是曲线的铅直渐近线．18、=______.标准答案：知识点解析：由于被积函数中的arctanex不易积出，故可考虑用变量代换方法．令arctanex=t，则ex=tant，x=lntant．从而19、设f(2x+1)=xex，则=_______.标准答案：知识点解析：令t=2x+1，则20、已知两条直线的方程是L1：，则过L1且平行于L2的平面方程为_______．标准答案：x-3y+z+2=0知识点解析：过L1平行于L2的平面的法向量n同时垂直于L1，L2，即n同时垂直于L1的方向向量s1=(1，0，-1)与L2的方向向量s2=(2，1，1)，故n=s1×s2==i-3j+k=(1，-3，1)．在L1上取一点(1，2，3)，由平面的点法式方程知，所求平面方程为(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0，即x-3y+2+2=0．21、设u=f(x-y，y-z，z-t)，其中f具有连续的偏导数，则=______.标准答案：0知识点解析：这是一个复合函数的偏导数计算的延伸题目．由复合函数的链式法则，有22、(3x-2y)dxdy=_________．标准答案：35π知识点解析：无论在直角坐标下还是极坐标下计算该二重积分，都将比较烦琐，可考虑用下面简便方法．积分区域D={(x，y)｜x2+y2≤2x-4y)={(x，y)｜(x-1)2+(y+2)2≤5}，所以区域D的面积σ==5π，形心坐标=(1，-2)，故23、设L为上半椭圆4x2+y2=1的逆时针方向，则曲线积分=________.标准答案：知识点解析：本题考查参数方程表示下第二类曲线积分的计算或考查格林公式应用的条件．由于曲线积分被积表达式的分母中含4x2+y2，故不能直接补曲线构成封闭曲线用格林公式，而是先代入再补曲线．于是I=∫Lxdy-ydx=∫L(-y)dx+xdy．补曲线L1：y=0，从，则L与L1构成封闭曲线的正向，所以I=∫L+L1(-y)dx+xdy-∫L1(-y)dx+xdy24、设级数an条件收敛，则幂级数(x-2)n的收敛区间为______．标准答案：(1，3)知识点解析：级数an条件收敛，即幂级数anxn在x=1点处条件收敛，故它的收敛半径R=1．因为如果R＜1，则幂级数anxn在x=1点处应发散，矛盾；如果R＞1，则幂级数anxn在x=1点处应绝对收敛，矛盾．由于逐项积分所得幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，故幂级数(x-2)n与幂级数an(x-2)n+1的收敛半径均为1，所以所求收敛区间为(2-1，2+1)=(1，3)．25、微分方程xy’+y-ex=0满足条件y(1)=e的特解为______．标准答案：知识点解析：原微分方程可写成这是一阶线性微分方程，可利用一阶线性微分方程求解公式求解，但用观察法更简捷．xy’+y=ex，(xy)’=ex，等式两边积分，得xy=ex+C，由y(1)=e，得C=0，所以xy=ex，即y=ex．考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若a.b=a.c，则A、b=c．B、a⊥b且a⊥c．C、a=0或b一c=0．D、a⊥(b-c)．标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设c=(b×a)-b，则A、a垂直于b+c．B、a平行于b+c．C、b垂直于c.D、b平行于c．标准答案：A知识点解析：暂无解析3、若直线相交，则必有A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析4、通过直线x=2t一1，y=3t+2，z=2t一3和直线x=2t+3，y=3t一1，z=2t+1的平面方程为A、x—z一2=0．B、x+z=0．C、x一2y+z=0．D、x+y+z=1．标准答案：A知识点解析：暂无解析5、原点(0，0，0)关于平面6x+2y一9z+121=0对称的点为A、(12，8，3)．B、(一4，1，3)．C、(2，4，8)．D、(一12，一4，18)．标准答案：D知识点解析：暂无解析6、设f(x，y)=则f(0，0)点处A、不连续．B、偏导数不存在．C、偏导数存在但不可微．D、偏导数存在且可微．标准答案：C知识点解析：暂无解析7、若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是A、连续．B、偏导数存在．C、偏导数连续．D、切平面存在．标准答案：C知识点解析：暂无解析8、函数在(0，0)点处A、不连续．B、偏导数存在．C、任一方向的方向导数存在．D、可微．标准答案：C知识点解析：暂无解析9、设fx’(0，0)=1，fy’(0,0)=2，则A、f(x,y)在(0，0)点连续．B、df(x，y)|(0,0)=dx+2dy．C、=cosα+2cosβ，其中cosα，cosβ为1的方向余弦．D、f(x，y)在(0，0)点沿x轴负方向的方向导数为一1．标准答案：D知识点解析：暂无解析10、函数f(x，y)=x2y3在点(2，1)沿方向l=i+j的方向导数为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)11、若向量x与向量a=2i—j+2k共线，且满足方程a.x=一8，则向量x=_______．标准答案：一4i+21—4k知识点解析：暂无解析12、平行于平面5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程为_______．标准答案：5x一14y+2z+81=0或5x一14y+2z一9=0知识点解析：暂无解析13、设标准答案：z知识点解析：暂无解析14、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则fx’(0，1，一1)=______标准答案：1知识点解析：暂无解析15、设f(x，y)=xy，则=_____标准答案：xy-1+yxy-1lnx知识点解析：暂无解析16、标准答案：dx—dy知识点解析：暂无解析17、设z=z(x，y)由方程x一mx=φ(y—nz)所确定(其中m，n为常数，φ为可微函数)，则=_______标准答案：1知识点解析：暂无解析18、函数u=xy+yz+xz在点P(1，2，3)处沿P点向径方向的方向导数为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析19、函数z=2x2+y2在点(1，1)处的梯度为_______．标准答案：4i+2j知识点解析：暂无解析20、曲面3x2+y2一z2=27在点(3，1，1)处的切平面方程为_______．标准答案：9x+y—z一27=0知识点解析：暂无解析21、曲线的平行于平面x+3y+2z=0的切线方程为________．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)22、已知|a|=4，|b|=2，|a—b|=求向量a与b的夹角．标准答案：知识点解析：暂无解析23、求通过z轴且与平面的平面方程．标准答案：x+3y=0或3x—y=0知识点解析：暂无解析24、求过点(1，2，3)，与y轴相交，且与直线x=y=z垂直的直线方程．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求过点(2，一1，5)，且与直线平行，与平面2x—y+z=1垂直的平面方程．标准答案：x+7y+5z一20=0知识点解析：暂无解析26、试写出oyz面上的双曲线分别绕z轴和y轴旋转而产生的旋转面的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析27、设z=x3cos(1一y)+(y一1)sin，求zx’(x，1)，zx’(1，1)，zy’(1，1)．标准答案：3x2，3，sin1知识点解析：暂无解析28、求曲线处的切线与y轴的夹角．标准答案：知识点解析：暂无解析29、设函数f(x，y)=|x—y|g(x，y)，其中g(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续．试问(1)g(0，0)为何值时，偏导数fx’(0，0)，fy’(0，0)都存在?(2)g(0，0)为何值时，f(x，y)在点(0，0)处的全微分存在?标准答案：(1)g(0，0)=0，(2)g(0，0)=0知识点解析：暂无解析30、设u=f(x2+y2+z2)，其中f具有二阶连续导数，求标准答案：2f’+4y2f"知识点解析：暂无解析31、设曲线L的极坐标方程为r=r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上M0，M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．标准答案：知识点解析：暂无解析32、以yOz坐标面上的平面曲线段y=f(x)(0≤z≤h)绕z轴旋转所构成的旋转曲面和xOy坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为16πcm2，如果以3cm3／s的速率把水注入容器，水表面的面积以πcm2／s增大，试求曲线y=f(z)的方程．标准答案：y=f(x)=知识点解析：暂无解析33、要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h，上底面半径为a，要求桥墩在任一水平面上所受上部桥墩的平均压强为一常数P，设水泥比重为ρ．试求桥墩形状．标准答案：桥墩应为曲线段(0≤x≤h)绕x轴旋转所成曲面与平面x=0和x=h所围成的旋转体．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=_____．标准答案：知识点解析：暂无解析2、已知|a|=2，|b|=且a.b=2，则|a×b|=_____．标准答案：2知识点解析：暂无解析3、过点(一1，2，3)，垂直于直线且平行于平面7x+8y+9z+10=0的直线方程是_______标准答案：知识点解析：暂无解析二、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)4、计算标准答案：知识点解析：暂无解析5、计算标准答案：知识点解析：暂无解析6、计算标准答案：知识点解析：暂无解析7、计算标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(x)=求∫f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设F(x)是f(x)的原函数，F(1)=若当x＞0时，有f(x)F(x)=，试求f(x)．标准答案：知识点解析：暂无解析10、计算标准答案：4—π知识点解析：暂无解析11、计算标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算标准答案：知识点解析：暂无解析13、计算∫01x2f(x)dx，其中f(x)=标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、标准答案：知识点解析：暂无解析17、求正常数a，b，使标准答案：a=2，b=1知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)可导，且f(0)=0，F(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，试求标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设星形线的方程为(a＞0)，试求：(1)它所围的面积；(2)它的周长；(3)它绕x轴旋转而成的旋转体的体积和表面积．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设平面图形A由x2+y2≤2x与y≥x所确定，求图形A绕x=2旋转一周所得的旋转体体积．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)=∫-1x(1-|t|)dt(x≥一1)，求曲线y=f(x)与x轴所围图形的面积．标准答案：知识点解析：暂无解析23、一容器由y=x2绕y轴旋转而成．其容积为72πm3，其中盛满水，水的比重为μ,现将水从容器中抽出64πm3，问需作功多少?标准答案：知识点解析：暂无解析24、某闸门的形状与大小如右图所示，其中直线l为对称轴，闸门的上部为矩形ABCD，下部由二次抛物线与线段AB所围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的压力之比为5：4，闸门矩形部分的高h应为多少m(米)?标准答案：h=2知识点解析：暂无解析25、设直线y=ax与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1，它们与直线x=1所围成图形的面积为S2，并且a＜1．(1)试确定a的值，使S1+S2达到最小，并求出最小值；(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析26、已经抛物线y=px2+qx(其中p＜0，q＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S．(1)问p和q为何值时，S达到最大值?(2)求出此最大值．标准答案：(1)，q=3时，S达到最大；(2)S的最大值为知识点解析：暂无解析27、计算下列广义积分标准答案：(3)ln2；(4)2(1一ln2)．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是标准答案：D知识点解析：暂无解析29、已知曲线L的方程为，(t≥0)1)讨论L的凹凸性；2)过点(一1，0)引L的切线，求切点(x0，y0)，并写出切线方程；3)求此切线L(对应于x≤x0的部分)及x轴所围成的平面图形面积．标准答案：1)上凸．2)切点为(2，3)；切线方程为y=x+1．3)知识点解析：暂无解析30、求方程y(4)一y"=0的一个特解，使其在x→0时与x3为等价无穷小．标准答案：y=一6x+3ex一3e-x知识点解析：暂无解析31、假设：(1)函数y=f(x)(0≤x＜+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；(2)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；(3)曲线y=f(x)、直线MN与x轴所围封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度．求函数y=f(x)的表达式．标准答案：f(x)=知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)在[1，+∞)上连续，若由曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为试求y=f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y|x=2=的解．标准答案：3f2(t)=ztf(t)+t2f’(t)，f(t)=知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)=则在x=1处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但不是连续可导D、连续可导标准答案：D知识点解析：因为(x2+x+1)=3=f(1)，所以f(x)在x=1处连续．因为=3，所以f(x)在x=1处可导．当x≠1时，f’(x)=2x+1，因为=3=f’(1)，所以f(x)在x=1处连续可导，选(D)．2、设f’’(x)连续，f’(0)=0，=1，则()．A、f(0)是f(x)的极大值B、f(0)是f(x)的极小值C、(0，f(0))是y=f(x)的拐点D、f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点标准答案：B知识点解析：由=1及f’’(x)的连续性，得f’’(0)=0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＞0，从而f’’(x)＞0，于是f’(x)在(一δ，δ)内单调增加，再由f’(0)=0，得当x∈(一δ，0)时，f’(x)＜0，当x∈(0，δ)时，f’(x)＞0，x=0为f(x)的极小值点，选(B)．3、设f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且g(x)＜f(x)＜m，则由曲线y=g(x)，y=f(x)及直线x=a，x=b所围成的平面区域绕直线y=m旋转一周所得旋转体体积为()．A、π∫ab[2m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxB、π∫ab[2m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dxC、π∫ab[m—f(x)+g(x)][f(x)一g(x)]dxD、π∫ab[m—f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx标准答案：B知识点解析：由元素法的思想，对[x，x+dx][a，b]，dν=｛π[m－g(x)]2一π[m一f(x)]2｝dx=π[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，则V=∫abdν=π∫ab[2m一f(x)一g(x)][f(x)一g(x)]dx，选(B)．4、设fx’(x0，y0)，fy’(x0，y0)都存在，则()．A、f(x，y)在(x0，y0)处连续B、存在C、f(x，y)在(x0，y0)处可微D、f(x，y0)存在标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数f(x，y)=在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，应选(D)，事实上由fx’(x0，y0)==f(x0，y0)．5、微分方程y’’一4y=e2x+x的特解形式为()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx+cC、axe2x+bx2+cxD、axe2x+bx+c标准答案：D知识点解析：y‘’一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1=一2，λ2=2，y’’一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x，y’’一4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，应选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)6、=_________．标准答案：知识点解析：由ln(1+x)=x一+ο(x2)得x→0时，x2一xln(1+x)=，则7、=_________．标准答案：知识点解析：8、=_________．标准答案：知识点解析：9、过点(2，0，－3)且与直线垂直的平面方程为________．标准答案：一16x+14y+11z+65=0知识点解析：s1=｛1，一2，4｝，s2=｛3，5，一2｝，所求平面的法向量n=s1×s2=｛一16，14，11｝，则所求平面方程为一16x+14y+11z+65=0．10、改变积分次序∫01dxf(x，y)dy=________．标准答案：∫01dy∫0yf(x，y)dx＋f(x，y)dx．知识点解析：∫01dxf(x，y)dy=∫01dy∫0yf(x，y)dx＋f(x，y)dx．11、设=________．标准答案：知识点解析：(x2＋y2+z2)ds=，原点到平面x+y+z=1的距离为d=的半径为r=，则．12、幂级数的收敛域为_________．标准答案：(0，4)知识点解析：令x一2=t，对级数，所以收敛半径为R=2，当t≠±2时，的收敛域为(一2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x－sinx,当x→0时，比较这两个无穷小的关系．标准答案：因为x→0时，g(x)=x一sinx=x—，，所以当x→0时，f(x)=∫0tanxarctant2dt与g(x)=x一sinx是同阶非等价的无穷小．知识点解析：暂无解析15、求f(x)=的间断点并判断其类型．标准答案：x=一1、x=0、x=1、x=2为f(x)的间断点，知识点解析：暂无解析16、求常数a，b使得f(x)=在x=0处可导．标准答案：因为f(x)在x=0处可导，所以f(x)在x=0处连续，从而有f(0+0)=2a=f(0)=f(0一0)=3b，f－’(0)==3+2a，f’(0)==10+6b，由f(x)在x=0处可导，则3+2a=10＋6b，解得．知识点解析：暂无解析17、求f(x)=∫01｜x一t｜dt在[0，1]上的最大值与最小值．标准答案：f(x)=∫01｜x一t｜dt=∫0x(x—t)dt+∫x1(t—x)dt=x2一一x(1一x)=x2一x+．由f’(x)=2x一1=0得x=，因为f(0)=，所以f(x)在[0，1]上的最大值为．知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析20、设z=f(t2，e2t)二阶连续可偏导，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：=2tf1’+2e2tf2’，=2f1’+2t(2tf11’’+2e2tf12’’)+4e2tf2’+2e2t(2tf21’’+2e2tf22’’)=2f1’+4t2f11’’+8te2tf12’’+4e2tf2’+4e4tf22’’．知识点解析：暂无解析21、计算I=ydxdy，其中D由曲线=1及x轴和y轴围成，其中a＞0，b＞0．标准答案：令t=1一，则x=a(1一t)2，dx=一2a(1一t)dt，于是I=．知识点解析：暂无解析22、设∑是球面x2+y2+z2=4(z≥0)的外侧，计算yzdzdx+2dxdy．标准答案：补充曲面∑0：z=0(x2+y2≤4)取下侧，则知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性．标准答案：由收敛．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)以2π为周期，且其在[一π，π)上的表达式为f(x)=｜x｜，求f(x)的傅里叶级数，并求的和．标准答案：a0=∫0πxdx=π，知识点解析：暂无解析25、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度ν｜t=0=ν0，已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为ν(t)，阻力F=ma一解此微分方程得ν(t)=ν0e－t，由ν0e－t=得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为S=∫0ln3ν0e－tdt=ν0．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、当x→0时与xn是同阶无穷小量，则n等于()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：C知识点解析：因为当x→0时，与xn是同阶无穷小量，所以故n-1=2，即n=3．2、设f(x)具有二阶导数，且f(0)=0，f’(0)=2，f’’(0)=-4，则等于()A、不存在．B、0．C、-1．D、-2．标准答案：D知识点解析：这是一个已知导数求极限的问题．3、设f(x)在点x=0处可导，且，则f’(0)等于()A、0．B、1．C、2．D、3．标准答案：A知识点解析：由条件从而f(0)=0．又4、曲线y=(x-1)2(x-2)2的拐点为()A、(1，0)．B、(2，0)．C、(-1，0)．D、(-2，0)．标准答案：B知识点解析：设f(x)=(x-1)2，则y=f(x)(x-2)2，x=2是y的三重零点，是y’的二重零点，是y’’的零点，不是y’’’的零点，即y’’(2)=0，y’’’(2)≠0．所以(2，0)是曲线y=(x-1)2(x-2)3的拐点．5、设f(x)是以l为周期的连续周期函数，则(其中a为任意常数，k为自然数)的值()A、仅与a有关．B、仅与k有关．C、与a，k均无关．D、与a，k均有关．标准答案：C知识点解析：因为f(x)是以l为周期的连续周期函数，故可考虑用平移变换化简积分表达式．因为6、由曲线y=｜lnx｜，直线x=，x=e及y=0所围成的图形的面积为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：题中所给图形如图12所示，故所求面积7、二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续是函数z=f(x，y)在该点处两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在的()A、必要但非充分条件．B、充分但非必要条件．C、充要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：D知识点解析：由二元函数f(x，y)在点(x0，y0)处连续、偏导数存在、偏导数连续和可微之间的关系知，二元函数f(x，y)在点(x0，y0)连续是f(x，y)在该点处两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在的无关条件，故应选D．事实上，若取f(x，y)=，则f(x，y)在点(0，0)处偏导数f’x(0，0)，f’y(0，0)不存在，但f(x，y)在点(0，0)处连续．若取f(x，y)=则由偏导数的定义同理f’y(0，0)=0，但由于不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处不连续．8、设w=f(u)可导，u=φ(x，y)具有连续偏导数，则必有()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查二元函数的梯度的计算．由梯度计算公式故应选A．9、设有空间区域Ω1={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2，z≥0}，Ω2={(x，y，2)｜x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0}，则下列选项中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于Ω1关于xOz面、yOz面对称，而函数z关于y，x均是偶函数，故应选C．10、设∑是球面x2+y2+z2=1的外侧在x≥0，y≥0，z≥0的部分，则曲面积分xyzdxdy=()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题考查利用直接计算法计算第二类曲面积分的方法．利用“一代二投三定向”将其转化为二重积分进行计算．曲面∑可写成，其在xOy面上的投影区域为x2+y2≤1，x≥0，y≥0，取上侧，则11、已知幂级数在x=2点处条件收敛，则幂级数n(x+a)n在x=处()A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、敛散性不能确定．标准答案：B知识点解析：因为幂级数在x=2点处条件收敛，故它的收敛半径为R=2．因为如果R＜2，则幂级数在x=2点处应发散，矛盾；如果R＞2，则幂级数在x=2点处应绝对收敛，矛盾．从而幂级数的收敛区间为(a-2，a+2)，由已知条件知，x=2是其收敛区间的一个端点，故a=0或a=4．当a=0时，原幂级数为，该幂级数在x=2时为，发散，与已知条件矛盾；当a=4时，原幂级数为，该幂级数在x=2时为，条件收敛．故a=4．幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(-4-1，-4+1)=(-5，-3)，而x=e∈(-5，-3)．故幂级数处绝对收敛．12、利用变量代换x=ex可以将微分方程x2(x＞0)化为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题主要考查利用变量代换将欧拉方程转化为线性常系数微分方程的方法．由x=et，得t=lnx．于是将它们代入到原方程，并化简得二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、=______.标准答案：知识点解析：14、=_____.标准答案：知识点解析：这是一个型未定式的极限，但用洛必达法则求不出来．可将分子提取esinx或ex，然后利用等价无穷小替换进行转化．15、设f(x)=(x-1)arcsin，则f’(1)=_______．标准答案：知识点解析：本题是初等函数的求导问题，一般应先求导函数，再求导数值．由于本题函数表达式的特殊性，用导数定义求f’(1)更简捷．16、设点(1，3)是曲线y=ax3+bx2的拐点，则a=_____，b=_______．标准答案：知识点解析：y’=3ax2+2bx，y’’=6ax+2b．因为点(1，3)是曲线y=ax3+bx2的拐点，所以3=a+b．由拐点的必要条件，得y’’｜x=1=6a+2b=0，解关于a，b的方程组，得17、设f’(ex)=则f(x)=________．标准答案：知识点解析：这是一个函数记号的灵活表示与分段函数不定积分的综合问题，先写出f’(x)的表达式，再求f(x)．令ex=t，则x=lnt，于是因为∫lnxdx=xlnx-x+C’，所以由原函数的连续性，得(xlnx+C1)，即1+C2=C1，令C2=C，则C1=1+C，从而18、=_______.标准答案：知识点解析：一般地，被积函数中，如果有哪一项或哪一因子导致不易积出时，就令其为t，用第二换元法计算．令=t，ex=t2-1，x=ln(t2-1)，则19、一根长为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标=_____．标准答案：知识点解析：因为，所以，所求质心坐标为20、设f(u，v)是二元可微函数，=_____.标准答案：知识点解析：这是一个二元复合函数的一阶偏导数计算问题．由二元复合函数偏导数的链式法则，有21、设f(x，y)在有界闭区域D={(x，y)｜x2+y2≤t2)(t＞0)上连续，g(x)有连续的导数，且g(0)=0，g’(0)=a≠0，则=_____.标准答案：知识点解析：由积分中值定理，其中(ξ，η)为积分区域x2+y2≤t2上的一个点，则22、设f(x，y)在区域D={(x，y)｜+y2≤1}上具有二阶连续偏导数，L是椭圆+y2=1的顺时针方向，则I=∮L[3y+f’x(x，y)]dx+f’y(x，y)dy=________．标准答案：6π知识点解析：本题考查格林公式及混合偏导数相等的条件．由题设条件知，D是由L围成的区域，由于L是顺时针方向，由格林公式，得I=∮L[3y+f’x(x，y)]dx+f’y(x，y)dy=[f’’yx(x，y)-3-f’’xy(x，y)]dxdy．由于f(x，y)具有二阶连续偏导数，所以f’’xy(x，y)=f’’yx(x，y)，故I=3dxdy=3.π.2.π.1=6π．23、=_______.标准答案：0知识点解析：用一般求数列极限的方法无法求出该极限，考虑级数的敛散性．因为由比值审敛法知，该级数收敛，由级数收敛的必要条件有24、设f(x)=bnsinnπx是f(x)的傅里叶级数，则=______.标准答案：1知识点解析：f(x)的图形如图54所示，因为s(x)=bnsinnπx是f(x)的傅里叶级数(正弦级数)，所以应先将f(x)延拓成[-1，1]上的奇函数，再将其延拓成周期为2的周期函数，由傅里叶级数收敛定理，有25、微分方程y’’+3y’+2y=e-x满足条件y(0)=1，y’(0)=1的特解为_________．标准答案：y=2e-x-e-2x+xe-x知识点解析：这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求特解问题．首先，求y’’+3y’+2y=0的通解．y’’+3y’+2y=0的特征方程为r2+3r+2=0，特征根为r1==1，r2=-2，所以其通解为y=C1e-x+C2e-2x．其次，求y’’+3y’+2y=e-x的一个特解．因为-1是特征单根，故设y*=Axe-x是其一个特解，则y*’=Ae-x-Axe-x，y*’’=2Ae-x+Axe-x，将其代入到y’’+3y’+2y=e-x并化简，得A=1，所以y*=xe-x．第三，写出y’’+3y’+2y=e-x的通解，为y=Y+y*=-C1ex+C2e-2x+xe-x．第四，求满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．y’=-C1e-x-2C2e-2x+e-x-xe-x，由y(0)=1，y’(0)=1，得解得C1=2，C2=-1，故所求特解为y=2e-x-e-2x+xe-x．考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设μn=(一1)nln(1+)，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由交错级数审敛法发散，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)2、设f(x)=在x=0处连续，则a=________．标准答案：知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以a=．3、=_________．标准答案：＋C知识点解析：4、设f(x)连续，则∫0xxf(x—t)dt=_________．标准答案：∫0xf(μ)dμ+xf(x)知识点解析：∫0xxf(x一t)dt=一x∫0xf(x—t)d(x－t)一x∫x0f(μ)dμ=x∫0xf(μ)dμ，则∫0xxf(x－t)dt=[x∫0xf(μ)dμ]=∫0xf(μ)dμ+xf(x)．5、曲面z—ez+2xy=3在点(1，2，0)处的切平面方程为________．标准答案：π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0知识点解析：曲面z—ez+2xy=3在点(1，2，0)处的法向量为n=｛2y，2x，1一ez｝(1，2，0)=｛4，2，0｝，则切平面为π：4(x一1)+2(y一2)=0，即π：2x+y一4=0．6、设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则=________．标准答案：知识点解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求x求偏导得，解得．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)7、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析8、求．标准答案：知识点解析：暂无解析9、求．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设y=ln(4x+1)，求y(n)．标准答案：y’==4(4x+1)－1．y’’=42．(－1)(4x+1)－2，y’’’=43．(一1)(一2)(4x+1)－3，由归纳法得y(n)=．知识点解析：暂无解析11、设由e－y+x(y－x)=1+x确定y=y(x)，求y’’(0)．标准答案：x=0时，y=0．e－y+x(y—x)=1+x两边关于x求导得一e－yy’+y—x+x(y’－1)=1，则y’(0)=一1；一e－yy’+y—x+x(y’一1)=1两边关于x求导得e－y(y’)2一e－yy’’+2(y’一1)+2(y’一1)＋xy’’=0，代入得y’’(0)=一3．知识点解析：暂无解析12、设f(x)二阶可导，且=0，f(1)=1，证明：存在ξ∈(0，1)，使得ξf’’(ξ)+2f’(ξ)=0．标准答案：由=0得f(0)=1，f’(0)=0，f(0)=f(1)=1，由罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0．令φ(x)=x2f’(x)，φ(0)=φ(c)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，c)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2xf’(x)+x2f’’(x)，于是2ξf’(ξ)+ξ2f’’(ξ)=0，再由ξ≠0得ξf’’(ξ)+2f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，且f(a)=0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)=f’(ξ)．标准答案：令φ(x)=(b一x)af(x)，显然φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导．因为φ(a)=φ(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0．由φ’(x)=(b一x)a－1[(b一x)f’(x)一af(x)]得(b一ξ)a－1[(b一ξ)f’(ξ)一af(ξ)]且(b一ξ)a－1≠0，故f(ξ)=f’(ξ)．知识点解析：暂无解析设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f(x)≠0(1＜x＜2)，又存在，证明：14、存在ξ∈(1，2)，使得．标准答案：令h(x)=lnx，F(x)=∫1xf(t)dt，且F’(x)=f(x)≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得．知识点解析：暂无解析15、存在η∈(1，2)，使得∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．标准答案：由得f(1)=0，由拉格朗日中值定理得f(ξ)=f(ξ)一f(1)=f’(η)(ξ一1)，其中1＜η＜ξ，故∫12f(t)dt=ξ(ξ一1)f’(η)ln2．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：dx=一∫lnsinxd(cotx)=一cotxlnsinx+∫cotxdx=－cotxlnsinx+∫(csc2x一1)dx=一cotxlnsinx－cotx—x+C．知识点解析：暂无解析18、求∫0nπx｜cosx｜dx．标准答案：∫0nπx｜cosx｜dx=∫0πx｜cosx｜dx＋∫π2πx｜cosx｜dx＋…＋∫(n－1)πnπx｜cosx｜dx，∫0πx｜cosx｜dx=∫0π｜cosx｜dx==π，∫π2πx｜cosx｜dx∫0π(t＋π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt＋π∫0π｜cost｜dt=π＋2π=3π，∫2π3πx｜cosx｜dx∫0π(t＋2π)｜cost｜dt=∫0πt｜cost｜dt＋2π∫0π｜cost｜dt=5π，则∫0nπx｜cosx｜dx=π＋3π＋…＋(2n－1)π=n2π．知识点解析：暂无解析19、设平面图形D由x2+y2≤2x与y≥x围成，求图形D绕直线x=2旋转一周所成的旋转体的体积．标准答案：取[x，x+dx][0，1]，则dν=2π(2一x)(一x)dx，知识点解析：暂无解析20、设z=yf(x2一y2)，其中f可导，证明：．标准答案：=2xyf’(x2一y2)，=f(x2一y2)一2y2f’(x2一y2)，则=2yf’(x2一y2)+f(x2一y2)一2yf’(x2一y2)=(x2一y2)=．知识点解析：暂无解析21、计算x2zdν，其中Ω：≤z≤1．标准答案：x2dxdy=∫01zdz∫02πdθ∫0zr3cos2θdr=∫01z5dz∫02πcos2θdθ=．知识点解析：暂无解析22、计算(x2+y2)dxdy，其中D={(x，y)｜x2+y2≤4x，0≤y≤x}．标准答案：知识点解析：暂无解析23、利用格林公式计算∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy，其中L是圆周y=上从点A(2a，0)到点O(0，0)的弧段．标准答案：I=∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy而(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy=，(exsiny+x一y)dx+(excosy+y)dy=∫02axdx=2a2，所以∫L(exsiny+x一y)dx＋(excosy＋y)dy=(－2)a2．知识点解析：暂无解析24、对右半空间x＞0内的任意光滑有侧封闭曲面∑，有xf(x)dydz—xyf(x)dzdx—e2xzdxd