考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷1（共188题）

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷1（共6套）（共188题）考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f’(x)为连续函数，下列命题正确的是()A、如果f’(x)是周期函数，则f(x)也一定是周期函数。B、如果f’(x)是增函数，则f(x)也一定是增函数。C、如果f’(x)是偶函数，则f(x)一定是奇函数。D、如果f’(x)是奇函数，则f(x)一定是偶函数。标准答案：D知识点解析：取f’(x)=sinx+1，则f’(x)是周期函数，但f(x)=一cosx+x不是周期函数，排除A。取f’(x)=2x+2，则f’(x)在(一∞，一1)上是增函数，但f(x)=x2+2x在(一∞，一1)上不是增函数，排除(B)。取f’(x)=x2，则f’(x)是偶函数，但f(x)=x3+c(c≠0)不是奇函数，排除(C)，故应选D。2、设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时f(x)与g(x)为等价无穷小量，则当x→0时，∫0xf(t)(1一cost)dt是∫0xt2g(t)dt的()A、等价无穷小量。B、同阶但非等价无穷小量。C、高阶无穷小量。D、低阶无穷小量。标准答案：B知识点解析：即∫0xf(t)(1一cost)dt与∫0xt2g(t)dt是x→0时的同阶但非等价无穷小量，故应选B。3、设=2，则()A、a=1，b=一。B、a=0，b=一2。C、a=0，b=一。D、a=1，b=一2。标准答案：A知识点解析：根据洛必达法则，4、极限=()A、1。B、e。C、ea—b。D、eb—a。标准答案：C知识点解析：5、设f(x)=，则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点。B、1个可去间断点，1个无穷间断点。C、2个可去间断点。D、2个无穷间断点。标准答案：A知识点解析：由f(x)的表达式可判断f(x)的间断点为x=0，1。因故x=0是函数f(x)的可去间断点。又故x=1是函数f(x)的跳跃间断点。故应选A。二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、已知f(x)=sinx，f[φ(x)]=1一x2，则φ(x)的定义域为_________。标准答案：知识点解析：因为f[φ(x)]=simp(x)=1一x2，所以φ(x)=arcsin(1—x2)，则有一1≤1一x2≤1，故。7、=________。标准答案：知识点解析：8、设f(x)=在x=0处连续，则a=_________，b=_________。标准答案：a=一1，b=1知识点解析：由题设条件因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1。三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)9、求函数y=ln(x+)的反函数。标准答案：所以函数y=ln(x+)为奇函数，因此可得方程组知识点解析：暂无解析10、设fn(x)=[fn(x)]。标准答案：比较以上两式，由归纳法可知fn(x)=。于是知识点解析：暂无解析11、设f(x)=，则()标准答案：将f(x)中的自变量x用一x替换，得故选D。知识点解析：暂无解析12、证明数列，…的极限存在，并求出其极限。标准答案：设数列通项xn+1=。n=1时，x1=＜2；假设n=k时，xk＜2，则当n=k+1时，xk+1==2，故xn＜2(n∈N+)。因此数列{xn}有界。又xn+1—xn=，且0＜xn＜2，故xn+1一xn＞0，即xn+1＞xn(n∈N+)。因此数列{xn}为单调递增数列。根据单调有界准则可知，得xn+12=2+xn。该式两端同时取极限(2+xn)，于是a2=2+a→a2一a一2=0→a1=2，a2=一1(舍去)。因此xn=2。知识点解析：暂无解析13、设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明xn存在，并求该极限。标准答案：当n=1时，0＜x1＜π；当n=2时，0＜x2=sinx1≤1＜π；假设当n=k时，0＜xk＜π成立，则当n=k+1时，0＜xk+1=sinxk≤1＜π；由数学归纳法可知，对任意的n∈N+，0＜xn＜π，即数列{xn}有界。又因为当x＞0时，sinx＜x，所以＜1，即数列{xn}单调递减。根据单调有界准则可知xn=a，在等式xn+1=sinxn两端同时取极限可得，a=sina，所以a=0，即xn=0。知识点解析：暂无解析14、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析15、求。标准答案：知识点解析：暂无解析16、求。标准答案：因为即左、右极限均存在且相等，所以=1。知识点解析：暂无解析17、标准答案：(Ⅰ)分子、分母同除以x的最高次幂，即知识点解析：暂无解析18、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析19、设函数f(x)连续，且f(0)≠0，求极限。标准答案：作积分变量代换，令x一t=u，则∫0xf(x—t)dt=∫0xf(u)(一du)=∫0xf(u)du，于是所以由极限的四则运算法则得原式=。知识点解析：暂无解析20、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析21、求极限。标准答案：连续使用3次洛必达法则，即知识点解析：暂无解析22、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析23、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)由极限的运算法则有，知识点解析：暂无解析24、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析25、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析26、求(a＞0，b＞0)。标准答案：知识点解析：暂无解析27、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析29、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析30、求极限。标准答案：设函数f(x)=，n=1，2，3，…，则知识点解析：暂无解析31、求数列极限。标准答案：先用等价无穷小因子代换，在n→∞时：令t=一，转化为函数极限，再用洛必达法则得知识点解析：暂无解析32、设f(x)在[a，b]上连续，a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，ci＜0，i=1，2，…，n，证明存在ξ∈[a，b]，使得标准答案：不妨设f(x)在[a，b]上的最大值为M，最小值为m，则m≤f(xi)≤M，cim≤cif(xi)≤ciM，i=1，2，…，n。由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使知识点解析：暂无解析33、记极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型。标准答案：由f(x)=，可知自变量x应满足sinx≠0，从而x≠kπ，k=0，±1，±2，…。当x→0时，=e1=e，由于f(x)在0处左右极限都相等，所以x=0为f(x)的第一类间断点中的可去间断点。对于非零整数k：若k是奇数，则=0；若k是偶数，则=+∞；故x=kπ，k=±1，±2，…为f(x)的第二类间断点中的无穷间断点。知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)=则f{f[f(x)]}等于()A、0B、1C、D、标准答案：B知识点解析：因为｜f(x)｜≤1恒成立，所以f[f(x)]=1恒成立，从而f{f[f(x)]}=f(1)=1，故选B。2、当x→时，函数f(x)=的极限()A、等于2B、等于0C、为∞D、不存在，但不为∞标准答案：D知识点解析：因为故当x→1时，函数极限不存在，也不是∞，故选D。3、设数列{xn}与{yn}满足xnyn=0，则下列判断正确的是()A、若{xn}发散，则{yn}必发散。B、若{xn}无界，则{yn}必无界。C、若{xn}有界，则{yn}必为无穷小。D、若为无穷小，则{yn}必为无穷小。标准答案：D知识点解析：取xn=n，yn=0，显然满足xnyn=0，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也满足=0，又排除C，故选D。4、当x→0时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是()A、x2B、1—cosxC、D、x—tanx标准答案：D知识点解析：利用等价无穷小代换。由于x→0时，，所以当x→0时，B、C两项与A项是同阶的无穷小，由排除法知本题选D。5、设x→0时ax2+bx+c—cosx是比x2高阶的无穷小，其中a，b，c为常数，则()A、a=，b=0，c=1B、a=，b=0，c=0C、a=，b=0，c=1D、a=，b=0，c=0标准答案：C知识点解析：由题意得(ax2+bx+c—cosx)=0，则c=1。又因为所以b=0，a=，故选C。6、设x→0时，(1+sinx)x—1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比(esin2x—1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数n等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：当x→0时，(1+sinx)x—1=exln(1+sinx)—1～xln(1+sinx)～xsinx～x2，(esin2x—1)ln(1+x2)～sin2x.x2～x4，而xtanxn～x.xn=xn+1。所以2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。7、设=2，其中a2+c2≠0，则必有()A、b=4dB、b=—4dC、a=4cD、a=—4c标准答案：D知识点解析：当x→0时，由带有佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1—2x)均为x的一阶无穷小；而1—cosx，1—e—x2均为x的二阶无穷小，所以即a=—4c，故选D。8、设函数f(x)=在(一∞，+∞)内连续，且=0，则常数a，b满足()A、a＜0，b＜0。B、a＞0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。标准答案：D知识点解析：因为f(x)连续，故a+ebx≠0，因此只要a≥0即可。再由可知x→—∞时，a+ebx必为无穷大(否则极限必不存在)，此时需b＜0，故选D。9、设f(x)在R上连续，且f(x)≠0，φ(x)在R上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是()①φ[f(x)]必有间断点。②[φ(x)]2必有间断点。③f[φ(x)]没有间断点。A、0B、1C、2D、3标准答案：A知识点解析：①错误。举例：设φ(x)=f(x)=ex，则φ[f(x)]=1在R上处处连续。②错误。举例：设φ(x)=则[φ(x)]2=9在R上处处连续。③错误。举例：设φ(x)=f(x)=ex，则f[φ(x)]=在x=0处间断。故选A。10、函数f(x)=的间断点及类型是()A、x=1为第一类间断点，x=—1为第二类间断点。B、x=±1均为第一类间断点。C、x=1为第二类间断点，x=—1为第一类间断点。D、x=±1均为第二类间断点。标准答案：B知识点解析：分别就｜x｜=1，｜x｜＜1，｜x｜＞1时求极限得出f(x)的分段表达式所以x=±1均为f(x)的第一类间断点，故选B。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)11、=________。标准答案：知识点解析：方法一：将分子化简后应用等价无穷小因子代换。易知，则原式=方法二：借助(1+u)λ的麦克劳林展开式(1+u)λ=1+λu+u2+o(u2)。当x→0时，12、=________。标准答案：知识点解析：13、=________。标准答案：0知识点解析：因为x→0时，为有界函数，即=0。14、=________。标准答案：知识点解析：15、=________。标准答案：知识点解析：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，则。16、设=8，则a=________。标准答案：ln2知识点解析：=e3a=8，所以a=ln2。17、[x]表示不超过x的最大整数，则=________。标准答案：2知识点解析：，当x＞0时，；当x＜0时，。又=2，由夹逼准则可知，=2。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)18、求。标准答案：方法一：原式方法二：可借助麦克劳林展开式进行计算，即知识点解析：暂无解析19、求。标准答案：知识点解析：暂无解析20、求。标准答案：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，知识点解析：暂无解析21、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。22、证明xn存在，并求该极限。标准答案：0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π。由数学归纳法知0＜xn+1=sinxn≤1＜π，n=1，2，…，即数列{xn}有界。于是(因当x＞0时，sinx＜x)，则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限存在。设，在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即=0。知识点解析：暂无解析23、计算。标准答案：因，由上小题知该极限为1∞型。令t=xn，则n→∞，t→0，而知识点解析：暂无解析24、设函数f(x)在x=1的某邻域内连续，且有求f(1)及标准答案：由已知条件得[f(x+1)+1+3sin2x]=0，因此有[f(x+1)+3sin2x]=f(1)+0=0，故f(1)=0。又因为在x=0的某空心邻域内f(x+1)+3sin2x≠0，现利用等价无穷小替换：当x→0时，ln[1+f(x+1)+3sin2x]～f(x+1)+3sin2x，知识点解析：暂无解析25、求函数f(x)=的间断点，并指出类型。标准答案：函数f(x)的可疑间断点只有x=0和x=1。因为所以x=0为可去间断点，x=1为跳跃间断点。知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f’(x)为连续函数，下列命题正确的是()A、如果f’(x)是周期函数，则f(x)也一定是周期函数。B、如果f’(x)是增函数，则f(x)也一定是增函数。C、如果f’(x)是偶函数，则f(x)一定是奇函数。D、如果f’(x)是奇函数，则f(x)一定是偶函数。标准答案：D知识点解析：取f’(x)=sinx+1，则f’(x)是周期函数，但f(x)=－cosx+x不是周期函数，排除(A)。取f’(x)=2x+2，则f’(x)在(－∞，－1)上是增函数，但f(x)=x2+2x在(－∞，－1)上不是增函数，排除(B)。取f’(x)=x2，则f’(x)是偶函数，但f(x)=x3+c(c≠0)不是奇函数，排除(C)，故选(D)。2、设则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：将f(x)中的自变量x用－x替换，得即有故选(D)。3、设f(x)，g(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时f(x)与g(x)为等价无穷小量，则当x→0时，是的()A、等价无穷小量。B、同阶但非等价无穷小量。C、高阶无穷小量。D、低阶无穷小量。标准答案：B知识点解析：由已知得即是x→0时的同阶但非等价无穷小量，故选(B)。4、设则()A、a=1，B、a=0，b=－2。C、a=0，D、a=1，b=－2。标准答案：A知识点解析：由泰勒展开式可知故原式可化为由于x前的系数如果不为0，则极限为无穷，因此显然a=1，此时故选(A)。5、极限A、1。B、e。C、ea-b。D、eb-a。标准答案：C知识点解析：方法一：故选(C)。方法二：故选(C)。6、设则f(x)有()A、1个可去间断点，1个跳跃间断点。B、1个可去间断点，1个无穷间断点。C、2个可去间断点。D、2个无穷间断点。标准答案：A知识点解析：由f(x)的表达式可判断f(x)的间断点为x=0，1。因故x=0是函数f(x)的可去间断点。又故x=1是函数f(x)的跳跃间断点。故选(A)。7、函数的有界区间是()A、(－1，0)。B、(0，1)。C、(1，2)。D、(2，3)。标准答案：A知识点解析：函数f(x)在开区间(a，b)内是否有界，需验证f(x)在(a，b)内是否连续，且f(x)在区间端点处的极限是否存在。显然x≠0，1，2时f(x)连续。而可见f(x)在(－1，0)内连续，且存在，因此在(－1，0)内有界，故选(A)。8、当x→0时，x－sinx是x3的()A、低阶无穷小。B、高阶无穷小。C、等价无穷小。D、同阶但非等价无穷小。标准答案：D知识点解析：根据无穷小阶数的定义，因故x→0时，x－sinx与x3是同阶但非等价的无穷小，故选(D)。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、已知f(x)=sinx,f[φ(x)]=1－x2，则φ(x)的定义域为_______________。标准答案：知识点解析：因为f[φ(x)]=sinφ(x)=1－x2，所以φ(x)=arcsin(1－x2)，则有－1≤1－x2≤1，故10、标准答案：知识点解析：又所以11、设在x=0处连续，则a=_____________，b=_______________。标准答案：a=－1，b=1。知识点解析：由题设条件因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=－1，b=1。12、标准答案：0知识点解析：分子、分母同除以(ex)3。其中根据洛必达法则易知13、标准答案：0知识点解析：根据洛必达法则，对任意x∈(－∞，+∞)，有即sinx+cosx在(－∞，+∞)内有界，因为有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，所以原极限为零。14、设则f(x)的间断点为x=___________。标准答案：0知识点解析：对于不同的x，先得出f(x)的表达式，再讨论f(x)的间断点。当x=0时f(x)=0；当x≠0时，所以f(x)的表达式为由于故x=0为f(x)的间断点。15、若则a=___________，b=___________。标准答案：1，－4知识点解析：因为且所以得a=1，于是由等价无穷小代换得b=－4。因此，a=1，b=－4。16、已知f(x)=ex2，f[φ(x)]=1－x且φ(x)≥0，则φ(x)的定义域为____________。标准答案：(－∞，0]知识点解析：由f(x)=ex2及f[φ(x)]=1－x，得eφ2(x)=1－x，即φ2(x)=ln(1－x)，已知φ(x)≥0，所以于是可得方程组故φ(x)的定义域为(－∞，0]。三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)17、求函数的反函数。标准答案：令因为所以函数为奇函数，因此可得方程组解得即函数的反函数为知识点解析：暂无解析18、设若求标准答案：依题设比较以上两式，由归纳法可知于是知识点解析：暂无解析19、证明数列的极限存在，并求出其极限。标准答案：设数列通项n=1时，假设n=k时，xk＜2，则当n=k+1时，故xn＜2(n∈N+)。因此数列{xn}有界。又且0＜xn＜2，故xn+1－xn＞0，即xn+1＞xn(n∈N+)。因此数列{xn}为单调递增数列。根据单调有界准则可知存在。记由得xn+12=2+xn。该式两端同时取极限于是因此知识点解析：暂无解析20、设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn(n=1，2，…)。证明存在，并求该极限。标准答案：当n=1时，0＜x1＜π；当n=2时，0＜x2=sinx1≤1＜π；假设当n=k时，0k＜π成立，则当n=k+1时，0＜xk+1=sinxk≤1＜π；由数学归纳法可知，对任意的n∈N+，0＜xn＜π，即数列{xn}有界。又因为当x＞0时，sinx即数列{xn}单调递减。根据单调有界准则可知存在。记在等式xn+1=sinxn两端同时取极限可得，a=sina，所以a=0，即知识点解析：暂无解析21、求极限标准答案：因为i=1，2，…，n，所以其中由夹逼准则可知知识点解析：暂无解析22、求标准答案：因为i=1，2，…，n，所以其中由夹逼准则知，知识点解析：暂无解析23、求标准答案：因为即左、右极限均存在且相等，所以知识点解析：暂无解析24、标准答案：(I)分子、分母同除以x的最高次幂，即(Ⅱ)知识点解析：暂无解析25、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)连续，且f(0)≠0，求极限标准答案：作积分变量代换，令x－t=u，则于是所以由极限的四则运算法则得知识点解析：暂无解析27、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析28、求极限标准答案：连续使用3次洛必达法则，即知识点解析：暂无解析29、求极限标准答案：令则x→∞时，故知识点解析：暂无解析求下列极限：30、标准答案：由极限的运算法则有，知识点解析：暂无解析31、标准答案：知识点解析：暂无解析32、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析33、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析34、求标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由重要极限结论=e，可立即排除B、D。对于A、C两项，只要验算其中之一即可。对于C选项，因=e—1，故C项不正确，A项正确，故选A。2、函数f(x)=xsinx()A、当x→∞时为无穷大B、在(一∞，+∞)内有界C、在(一∞，+∞)内无界D、当x→∞时极限存在标准答案：C知识点解析：令xn=2nπ+，yn=2nπ+π，则f(xn)=2nπ+=0。因为f(xn)=+∞，(yn)=0，所以f(x)在(一∞，+∞)内无界，且当x→∞时不一定为无穷大，故选C。3、设对任意的x，总有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且=0，则()A、存在且等于零B、存在但不一定为零C、一定不存在D、不一定存在标准答案：D知识点解析：取φ(x)=f(x)=g(x)=x，显然有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且[g(x)—φ(x)]=0，但不存在，故排除A、B。再取φ(x)=f(x)=g(x)=1，同样有φ(x)≤f(x)≤g(x)，且=0，但=1，可见C项也不正确，故选D。4、把x→0+时的无穷小量α=∫0xcost2dt，β=∫0x2，γ=∫sint3dt排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是()A、α，β，γB、α，γ，βC、β，α，γD、β，γ，α标准答案：B知识点解析：因为所以当x→0+时，α是x的一阶无穷小，β是x的三阶无穷小，γ是x的二阶无穷小，故选B。5、当x→0时，ex—(ax2+bx+1)是比x2高阶的无穷小，则()A、a=，b=1B、a=1，b=1C、a=，b=—1D、a=—1，b=1标准答案：A知识点解析：因ex=1+x++o(x2)，故ex—(ax2+bx+1)=(1—b)x+(—a)x2+o(x2)。显然要使上式是比x2高阶的无穷小(x→0时)，只要故选A。6、设x→a时，f(x)与g(x)分别是x—a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()①f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小。②若n＞m，则是x—a的n—m阶无穷小。③若n≤m，则f(x)+g(x)是x—a的n阶无穷小。A、1B、2C、3D、0标准答案：B知识点解析：此类问题要逐一进行分析，按无穷小阶的定义：故x→a时f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小；关于②，若n＞m，故x→a时，f(x)/g(x)是x—a的n—m阶无穷小；关于③，例如，x→0时，sinx与—x均是x的一阶无穷小，但即sinx+(—x)是x的三阶无穷小。因此①、②正确，③错误，故选B。7、设f(x)=则()A、f(x)在点x=1处连续，在点x=—1处间断。B、f(x)在点x=1处间断，在点x=—1处连续。C、f(x)在点x=1，x=—1处都连续。D、f(x)在点x=1，x=—1处都间断。标准答案：B知识点解析：因为所以f(x)在x=1处间断。为有界量，=0，则=0=f(—1)，所以f(x)在x=—1处连续，故选B。8、设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在点x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是()A、f(x)sinxB、f(x)+sinxC、f2(x)D、｜f(x)｜标准答案：B知识点解析：方法一：若f(x)+sinx在点x0处连续，则f(x)=[f(x)+sinx]—sinx在点x0处连续，与已知矛盾。因此f(x)+sinx在点x0处必间断，故选B。方法二：借助极限的四则运算性质即可直接得出结论，连续×间断=?，间断×间断=?，连续+间断=间断，故选B。9、设f(x)和φ(x)在(一∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ[f(x)]必有间断点。B、[φ(x)]2必有间断点。C、f[φ(x)]必有间断点。D、必有间断点。标准答案：D知识点解析：方法一：取f(x)=1，x∈(一∞，+∞)，φ(x)=则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=1，[φ(x)]2=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，可排除A、B、C，故选D。方法二：借助极限的四则运算性质可知，连续×间断=由题意知，函数f(x)连续，且f(x)≠0，则必定间断，故选。10、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且，则()A、x=0必是g(x)的第一类间断点。B、x=0必是g(x)的第二类间断点。C、x=0必是g(x)的连续点。D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。标准答案：D知识点解析：因为且g(0)=0，所以当a=0时，有=g(0)，此时g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，≠g(0)，此时x=0是g(x)的第一类间断点。所以g(x)在x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)11、=________。标准答案：1知识点解析：利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即12、=________。标准答案：知识点解析：13、设a＞0，a≠1，且=lna，则p=_______。标准答案：2知识点解析：14、=________。标准答案：知识点解析：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，15、设a1，a2，…，am(m≥2)为正数，则=________。标准答案：max{a1，a2，…，am}知识点解析：不妨设a1为最大值，则原式==a1.1=a1。因此=max{a1，a2，…，am}。16、数列xn==________。标准答案：知识点解析：17、若f(x)=在(一∞，+∞)内连续，则a=________。标准答案：0知识点解析：因为f(x)在(一∞，0)及(0，+∞)内连续，所以需要确定a的值，使f(x)在x=0处连续。当a=0时，f(x)在x=0处连续。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)18、求极限。标准答案：知识点解析：暂无解析19、求。标准答案：所以原式极限为1。知识点解析：暂无解析20、求。标准答案：该极限式为1∞型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，知识点解析：暂无解析求下列极限：21、标准答案：因为知识点解析：暂无解析22、标准答案：利用定积分的定义可得知识点解析：暂无解析23、标准答案：因为知识点解析：暂无解析24、标准答案：因为知识点解析：暂无解析25、标准答案：利用定积分的定义可得知识点解析：暂无解析26、标准答案：利用定积分的定义可得知识点解析：暂无解析27、证明：(Ⅰ)对任意正整数n，都有成立；(Ⅱ)设an=，证明{an}收敛。标准答案：(Ⅰ)令，则原不等式可化为＜ln(1+x)＜x，x＞0。先证明ln(1+x)＜x，x＞0。令f(x)=x—ln(1+x)。由于f′(x)=＞0，x＞0，可知f(x)在[0，+∞)上单调递增。又由于f(0)=0，所以当x＞0时，f(x)＞f(0)=0。也即ln(1+x)＜x，x＞0。可知g(x)在[0，+∞)上单调递增。又因g(0)=0，所以当x＞0时，g(x)＞g(0)=0。即再代入=x，即可得到所需证明的不等式。(Ⅱ)an+1—an=，可知数列{an}单调递减。又由不等式，可知an==ln(n+1)—lnn＞0，因此数列{an}是有界的。由单调有界收敛定理可知数列{an}收敛。知识点解析：暂无解析28、设f(x)=，求常数a与b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上处处连续。标准答案：当｜x｜＞1时，当x=1时，f(x)=；当x=—1时，f(x)=；当｜x｜＜1时，f(x)==ax2+bx。所以即有解得a=0，b=1。知识点解析：暂无解析29、求函数f(x)=所有的间断点及其类型。标准答案：函数f(x)有可疑间断点x=0，x=1，x=—1，且所以x=0为跳跃间断点，x=1为可去间断点，x=—1为无穷间断点。知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)在(－∞，+∞)内有定义，且则()A、x=0必是g(x)的第一类间断点。B、x=0必是g(x)的第二类间断点。C、x=0必是g(x)的连续点。D、g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关。标准答案：D知识点解析：因为又g(0)=0，故当a=0时，即g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，即x=0是g(x)的第一类间断点。因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选(D)。2、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：对于选项(A)，其中因此故(A)项正确，(B)项错误。对于选项(C)，故(C)项错误。对于选项(D)，故(D)项错误。3、当x→0+时，与等价的无穷小量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当x→0+时，有等价无穷小量故用排除法可得，故选(B)。4、设其中a2+c2≠0，则必有()A、6=4d。B、b=－4d。C、a=4c。D、a=－4c。标准答案：D知识点解析：当x→0时，由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知，tanx，ln(1－2x)均为x的一阶无穷小；而1－cosx，1－e－x2均为x的二阶无穷小，因此有故有即a=－4c，故选(D)。5、设在(－∞，+∞)内连续，但则常数a，b满足()A、a≤0，b＜0。B、a≥0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。标准答案：D知识点解析：由题意可知f(x)在(－∞，+∞)内恒成立，因此a+ebx≠0。由于ebx＞0且ebx在(－∞，+∞)内连续，所以a≥0。又因分子x→∞，故从而b＜0，故选(D)。6、设则x→0时f(x)是g(x)的()A、高阶无穷小。B、低阶无穷小。C、同阶而非等价无穷小。D、等价无穷小。标准答案：B知识点解析：由洛必达法则与等价无穷小代换得其中用到下面的等价无穷小代换：x→0时，ln(1+sin2x2)～sin2x2～x4，故根据低阶无穷小的定义可知故选(B)。7、设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是()A、f(x)sinx。B、f(x)+sinx。C、f2(x)。D、|f(x)|。标准答案：B知识点解析：若f(x)+sinx在x=x0连续，则f(x)=[f(x)+sinx]－sinx在x=x0连续，与已知矛盾。因此f(x)+sinx在x0处必间断，故选(B)。8、设则()A、x=0与x=1都是f(x)的第一类间断点。B、x=0与x=1都是f(x)的第二类间断点。C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点。D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点。标准答案：C知识点解析：因为因此即左、右极限存在但不相等，因此x=0是f(x)的第一类间断点。且显然x=1是第二类间断点，故选(C)。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、标准答案：0知识点解析：因为arctanx为有界函数，即无穷小量与有界量相乘，结果仍为无穷小量，所以10、设函数在(－∞，+∞)内连续，则c=____________。标准答案：1知识点解析：由题设知则有又因为f(x)在(－∞，+∞)内连续f(x)必在x=c处连续，所以即得c=1。11、设且当x→0时，f(x)与cxk是等价无穷小，则常数c=____________，k=___________。标准答案：6，3知识点解析：由题设条件可知因x→0时，分母是无穷小，故分子必是无穷小。因此由等价无穷小代换sinx～ex－1～x，得即故c=6，k=3。12、标准答案：知识点解析：对原极限进行恒等变形，即因为x→0时，ln(1+x)～x，ex－1～x，cosx－1～x2，则有所以13、设则标准答案：e2知识点解析：将进行恒等变形，即有因此得当x→0时，分母为无穷小，所以分子也为无穷小，即有因此，当x→0时所以(*)可写为因此于是14、标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)15、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析16、求极限标准答案：令则知识点解析：暂无解析17、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析18、求极限标准答案：设函数数列n=1，2，3，…，则且因此有其中故有知识点解析：暂无解析19、求数列极限其中标准答案：先用等价无穷小因子代换，在n→∞时：于是令转化为函数极限，再用洛必达法则得故知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，b]上连续，a1＜x2＜…＜xn＜b，ci＞0，i=1，2，…，n，证明存在ξ∈[a，b]，使得标准答案：不妨设f(x)在[a，b]上的最大值为M，最小值为m，则m≤f(xi)≤M，cim≤ci)f(xi)≤ciM，i=1，2，…，n。由介值定理知，存在ξ∈[a，b]，使知识点解析：暂无解析21、记极限为f(x)，求函数f(x)的间断点并指出其类型。标准答案：由又所以由可知自变量x应满足sinx≠0，从而x≠kπ，k=0，±1，±2，…。当x→0时，由于f(x)在0处左右极限都相等，所以x=0为f(x)的第一类间断点中的可去间断点。对于非零整数k：若k是奇数，则若k是偶数，则故x=kπ，k=±1，±2，…为f(x)的第二类间断点中的无穷间断点。知识点解析：暂无解析22、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…，是[a，b]上一个点列，求标准答案：由f(x)在[a，b]上连续知，ef(x)在[a，b]上非负连续，且0f(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故由根据夹逼准则，得知识点解析：暂无解析23、设求f[φ(x)]。标准答案：根据复合函数的定义(1)当φ(x)＜1时，若x＜0，则φ(x)=x+2＜1，即故x＜－1；若x≥0，则φ(x)=x2－1＜1，即故(2)当φ(x)≥1时，若x＜0，则φ(x)=x+2≥1，即故－1≤x＜0；若x≥0，则φ(x)=x2－1≥1，即故综上所述，有知识点解析：暂无解析24、求函数的连续区间，并求极限标准答案：由已知，由此可知，函数f(x)在x=－3及x=2处无定义，因而点x=－3，x=2不是函数的连续点，所以f(x)的连续区间为(－∞，－3)∪(－3，2)∪(2，+∞)。根据初等函数的连续性定义得同理知识点解析：暂无解析25、设f(x)在0＜|x|＜δ时有定义，其中δ为正常数，且求极限：标准答案：即有而故知识点解析：暂无解析26、求函数在区间(0，2π)内的间断点，并判断其类型。标准答案：因为在处均为0，在处无定义，故函数f(x)在区间(0，2π)内的间断点是在处，故为f(x)的可去间断点；同理，也是f(x)的可去间断点，即为第一类间断点。在处，故为f(x)的第二类间断点；同理，也是f(x)的第二类间断点。知识点解析：暂无解析27、求函数的间断点，并判断其类型。标准答案：由得x=±1，因此f(x)的间断点为x=0以及x=1和x=－1。故x=0是f(x)的第二类间断点，且是无穷间断点。故x=1和x=－1是f(x)的第一类间断点，且是跳跃间断点。知识点解析：暂无解析28、若x→0时，与xsinx是等价无穷小量，试求常数a。标准答案：方法一：因为x→0时，因此由等价无穷小的定义知，即a=－4。方法二：即a=－4。知识点解析：暂无解析29、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析设x＞0，y＞0，求30、标准答案：知识点解析：暂无解析31、标准答案：由上题的结果，知识点解析：暂无解析32、求极限标准答案：其中知识点解析：暂无解析33、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析34、当x→0时，1－cosx·cos2x·cos3x与axn为等价无穷小，求n与a的值。标准答案：根据等价无穷小的定义，可知由此可见n=2，a=7。知识点解析：暂无解析考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷第6套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数f(x)=的有界区间是()A、(一1，0)。B、(0，1)。C、(1，2)。D、(2，3)。标准答案：A知识点解析：函数f(x)在开区间(a，b)内是否有界，需验证f(x)在(a，b)内是否连续，且f(x)在区间端点处的极限是否存在。显然x≠0，1，2时，f(x)连续。而可见f(x)在(一1，0)内连续，且存在，因此在(一1，0)内有界。应选A。2、当x→0时，x一sinx是x3的()A、低阶无穷小。B、高阶无穷小。C、等价无穷小。D、同阶但非等价无穷小。标准答案：D知识点解析：根据无穷小阶数的定义，因故x→0时，x一sinx与x3是同阶但非等价的无穷小，应选D。3、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且则()A、x=0必是g(x)的第一类间断点。B、x=0必是g(x)的第二类间断点。C、x=0必是g(x)的连续点。D、g(x)在点x=0处的连续性与口的取值有关。标准答案：D知识点解析：因为，又g(0)=0，故当a=0时，g(x)=g(0)，即g(x)在点x=0处连续；当a≠0时，g(x)≠g(0)，即x=0是g(x)的第一类间断点。因此，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关，故选D。4、下列各式中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：5、当x→0+时，与等价的无穷小量是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当x→0时，有等价无穷小量故用排除法可得，正确选项为(B)。6、设=2，其中a2+c2≠0，则必有()A、b=4d。B、b=一4d。C、a=4c。D、a=一4c。标准答案：D知识点解析：当x→0时，由等价无穷小代换及无穷小阶的定义可知，tanx，ln(1—2x)均为x的一阶无穷小；而1一cosx，1一均为x的二阶无穷小，因此有故有一=2，即a=一4c，故选D。7、设f(x)=在(一∞，+∞)内连续，但f(x)=0，则常数a，b满足()A、a≤0，b＜0。B、a≥0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。标准答案：D知识点解析：由题意可知f(x)在(一∞，+∞)内恒成立，因此a+ebx≠0。由于ebx＞0且ebx在(一∞，+∞)内连续，所以a≥0。又因ebx=∞，从而b＜0，因此选D。8、设f(x)=，g(x)=∫01—cosxtant2dt，则x→0时，f(x)是g(x)的()A、高阶无穷小。B、低阶无穷小。C、同阶而非等价无穷小。D、等价无穷小。标准答案：B知识点解析：由洛必达法则与等价无穷小代换得其中用到下面的等价无穷小代换：x→0时，ln(1+sin2x2)一sin2x2～x4，tan(1一cosx)2一(1一cosx)2～(x2)2。故根据低阶无穷小的定义可知应选B。9、设f(x)在点x0的某邻域内有定义，且f(x)在x0处间断，则在点x0处必定间断的函数是()A、f(x)sinx。B、f(x)+sinx。C、f2(x)。D、｜f(x)｜。标准答案：B知识点解析：若f(x)+sinx在x=x0连续，则f(x)=[f(x)+sinx]一sinx在x=x0连续，与已知矛盾。因此f(x)+sinx在x0处必间断。选B。10、设f(x)=，则()A、x=0与x=1都是f(x)的第一类间断点。B、x=0与x=1都是f(x)的第二类间断点。C、x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点。D、x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点。标准答案：C知识点解析：因为，左、右极限存在但不相等，因此x=0是f(x)的第一类间断点。且显然x=1是第二类间断点，因此选C。二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)11、I==___________。标准答案：0知识点解析：分子、分母同除以(ex)3。其中根据洛必达法则易知=0。12、(sinx+cosx)=___________。标准答案：0知识点解析：根据洛必达法则，对任意x∈(一∞，+∞)，有｜sinx+cosx｜≤，即sinx+cosx在(一∞，+∞)内有界，因为有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量，所以原极限为零。13、设f(x)=，则f(x)的间断点为x=___________。标准答案：0知识点解析：对于不同的x，先得出f(x)的表达式，再讨论