考研数学一（高等数学）模拟试卷14（共245题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷14（共9套）（共245题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)1、当x→0+时，若lna(1+2x)、均是比x高阶的无穷小，则a的取值范围是()A、(2，+∞)．B、(1，2)．C、D、标准答案：B知识点解析：显然，a≠0，当x→0-时，lna(1+2x)～(2x)a=2axa，故由题意可得a＞1，且＞1，即1＜a＜2．2、设f’(x0)存在，则下列极限中等于f’(x0)的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：这是一个考查导数定义及其推广形式的问题．故应选D．3、已知f(0)=0，则f(x)在点x=0处可导的充分必要条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：(反例排除法)取f(x)=｜x｜，则f(0)=0，f(x)在点x=0处不可导，但排除A．排除C．排除D．故应选B．4、设f(x)在点x0的某一邻域内可导，且(A是大于零的常数)，则()A、f(x0)是f(x)的极大值．B、f(x0)是f(x)的极小值．C、在点x0的某一邻域内f(x)单调增加．D、在点x0的某一邻域内f(x)单调减少．标准答案：B知识点解析：由及极限的局部保号性知，存在x0的某一去心邻域，使得在该邻域内，列表2：因为f(x)在点x0处可导，所以f(x)在点x0处连续，故由极值的第一充分条件知，f(x0)是f(x)的极小值．5、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导且f’(x)＞0，F(x)=，则F(x)在(a，b)内()A、单调增加．B、单调减少．C、是偶函数．D、是奇函数．标准答案：A知识点解析：考虑F(x)的单调性．由积分中值定理得于是因为f’(x)＞0，所以f(x)单调增加，从而当a≤ξ≤x时，f(ξ)≤f(x)，因此F’(x)≥0，即F(x)在(a，b)内单调增加．6、设曲线y=x2与y=4所围成的图形的面积为S，则下列各式中，错误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于定积分的结果与积分变量用什么符号表示无关，故如果B错误，则D错误；同样如果D错误，则B错误，排除B、D．由于平面图形关于y轴对称，取z为积分变量，则平面图形的面积为(4-x2)dx．故错误的是C．7、二元函数f(x，y)=在点(0，0)处()A、连续、偏导数不存在．B、不连续、偏导数存在．C、偏导数存在、可微．D、偏导数存在、不可微．标准答案：C知识点解析：这是一个二元分段函数在分段点的连续性、偏导数的存在性以及可微性的判断问题，应用相应定义去判断．连续性因为=f(0，0)(无穷小量与有界变量的乘积仍然是无穷小量)，所以f(x，y)在点(0，0)处连续，不选B．偏导数的存在性由于f(x，y)中的自变量x，y具有轮换对称性，故类似地有f’y(0，0)=0，不选A．可微性因为所以△z-dz=o(ρ)，即Az=dz+o(ρ)，其中故f(x，y)在点(0，0)处可微；应选C．8、设y=f(x，t)，而t=t(x，y)由方程F(x，y，t)=0确定，其中f，F都具有连续偏导数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：这是一个关于抽象方程组所确定的函数的求导问题．将方程y=f(x，t)，F(x，y，t)=0两端求全微分，得dy=f’xdx+f’tdt，F’xdx+F’ydy+F’tdt=0，消去dt，得(f’tF’y+F’t)dy=(f’xF’t-f’tF’x)dx，于是9、设D=((x，y){x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，f(x)是D上的连续函数，且f(x)＞0，a，b为常数，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于被积函数是抽象函数表达式，所以不能直接计算．由积分区域与被积函数的特点考虑用轮换对称性．10、设∑={(x，y，z)｜x2+y2+z2=R2，z≥0}，Dxy={(x，y)｜x2+y2≤R2}，对于下列三个等式说法正确的是()A、只有①正确．B、只有②正确．C、只有③正确．D、都不正确．标准答案：D知识点解析：本题考查两类曲面积分的计算方法．第一类曲面积分是利用“一代二换三投影”将其转化为二重积分进行计算，第二类曲面积分是利用“一代二投三定向”将其转化为二重积分进行计算．由于∑可以写成，所以由于没有指明曲面∑的侧，所以故三个等式都不正确，应选D．11、若幂级数an(x-1)n在x=-2点处收敛，则此幂级数在x=3点处()A、条件收敛．B、绝对收敛．C、发散．D、敛散性不能确定．标准答案：B知识点解析：本题主要考查阿贝尔定理的条件与结论．因为幂级数an(x-1)n在x=-2点处收敛，由阿贝尔定理，该幂级数在适合｜x-1｜＜｜-2-1｜=3的范围内，即x∈(-2，4)时绝对收敛，而3∈(-2，4)，所以此幂级数在x=3点处绝对收敛．故应选B．12、设y1，y2，y3是二阶线性非齐次微分方程y’’+P(x)y’+Q(x)y=f(x)的三个线性无关解，C1，C2是任意常数，则该微分方程的通解是()A、y=C1y1+C2y2+y3．B、y=C1y1+C2y2-(C1+C2)y3．C、y=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3．D、y=C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3．标准答案：D知识点解析：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程解的性质与结构．二阶线性非齐次微分方程的通解等于二阶线性齐次微分方程的通解加上二阶线性非齐次微分方程的一个特解．A因为C1y1+C2y2不是二阶线性齐次微分方程的通解，排除A．By=C1y1+C2y2=(C1+C2)y3=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)，而y1-y3，y2-y3是二阶线性齐次微分方程的两个线性无关解(如果其线性相关，则y1-y2=k(y2-y3)，y1=ky2+(1-k)y3，从而y1，y2，y3线性相关，与y1，y2，y3线性无关矛盾)，因此B是二阶线性齐次微分方程的通解，而不是二阶线性非齐次微分方程的通解，排除B．Cy=C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3=C1(y1+y2)+C2(y2+y3)-y3，而y1+y3，y2+y3一般来说不是二阶线性齐次微分方程的解，排除C．故只有选D．事实上D可以写成y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3，其中C1(y1-y3)+C2(y2-y3)是二阶线性齐次微分方程的通解，y3是二阶线性非齐次微分方程的一个特解．所以y=C1(y1-y3)+C2(y2-y3)+y3是二阶线性非齐次微分方程的通解．二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、设f(x)定义在(0，+∞)上，f(ex)=1+x，f[φ(x)]=1+x+lnx，则φ(x)_____．标准答案：xex知识点解析：这是一个函数记号灵活表示的问题．令ex=t，则x=lnt，由f(ex)=1+x，得f(t)=1+lnt．从而f[φ(x)]=1+lnφ(x)=1+x+lnx，所以lnφ(x)=x+lnx，φ(x)=xex．14、=_____.标准答案：-1知识点解析：15、设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则曲线y=y(x)在x=0对应点的切线方程为________．标准答案：y=1-ex知识点解析：当x=0时，由y=1-xey，得y=1，所以x=0对应曲线y=y(x)上点的坐标为(0，1)．方程y=1-xey两边对x求导，得所以切线斜率为．故所求切线方程为y-1=-e(x-0)，即y=1-ex．16、曲线y=e-x2的凸区间是______，凹区间是________．标准答案：知识点解析：y’=e-x2.(-2x)，y’’=e-x2.(-2x)2+e-x2.(-2)=2e-x2(2x2-1)，令y’’=0，得x1=．列表8：故函数曲线的凸区间是17、函数f(x)=在点x0=1处带佩亚诺型余项的四阶泰勒公式为________．标准答案：1+(x-1)2+(x-1)4+o[(x-1)4]知识点解析：18、=_______.标准答案：知识点解析：19、心形线ρ=a(1+cosθ)(a＞0)的全长为________．标准答案：8a知识点解析：心形线关于极轴对称(如图40所示)，根据极坐标方程下的弧长公式，心形线的全长为20、如果=x2-y2，则f’x(x，y)=_______．标准答案：知识点解析：这是一个二元函数记号的灵活表示与偏导数计算的综合问题，先求出f(x，y)的表达式，再求f’x(x，y)．令x+y=u，，所以21、二次积分=_______.标准答案：3-2sin1-2cos1知识点解析：虽然理论上存在原函数，但由于其原函数不能用初等函数表示，故根据所给积分次序画出积分区域图，交换积分次序进行计算．由已知二次积分知，积分区域由直线y=0，y=1，x=y及曲线围成，如图45所示，交换积分次序，得22、设空间曲线г：x=acost，y=asint，z=kt(0≤t≤2π，k为任意非零常数)，则∫г(x2+y2+z2)ds=________．标准答案：知识点解析：本题考查空间曲线的第一类曲线积分的计算，方法是将其转化为定积分计算．23、设=______.标准答案：a-b-0知识点解析：因为(un-un-1)=b，由级数收敛的定义知，其部分和sn=(u1-u0)+2(u2-u1)+…+n(un-un-1)=-u0-u1-u2-…-un-1+nun=-u0-+(n+1)un的极限为由已知条件，知故级数的和为un-u2-b=a-b-u0．24、将f(x)=(0≤x≤π)展开成正弦级数为________．标准答案：知识点解析：先将f(x)延拓成[-π，π]上的奇函数，然后再延拓成周期为2π的周期函数，则由傅里叶系数公式，有an=0(n=0，1，2，…)，由于将f(x)延拓成周期为2π的奇函数，x=0是间断点，x=π是连续点，且f(x)的正弦级数在x=0及x=π处收敛于0，故在(0，π]上，收敛于f(x)．于是f(x)的正弦级数为25、微分方程y’’+y=x2的通解为_____．标准答案：y=C1cosx+C2sinx+x2-2知识点解析：这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．首先求y’’+y=0的通解．y’’+y=0的特征方程为r2+1=0，特征根为r=±i，所以其通解为Y=C1cosx+C2sinx．其次求y’’+y=x2的一个特解．设其一个特解为y*=Ax2+Bx+C，则y*’=2Ax+B，y*’’=2A，将其代入到y’’+y=x2并化简，得Ax2+Bx+2A+C=x2，比较等式两边x同次幂的系数，得A=1，B=0，2A+C=0，所以A=1，B=0，C=-2，故y*=x2-2．最后写出y’’+y=x2的通解，为y=Y+y’=C1cosx+C2sinx+x2-2．考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、下列命题中不正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为增加或去掉有限项不改变数列的敛散性，故A正确．由数列与子数列之间的关系，B正确．由收敛数列必是有界数列，C正确．故应选D．事实上，取，显然xn≤an≤yn，且2、函数f(x)=的间断点()A、不存在．B、正好1个．C、正好2个．D、正好3个．标准答案：C知识点解析：由f(x)的表达式或图形知，f(x)正好有两个间断点3、设x=y-εsiny(0＜ε＜为常数)，它的反函数是y=y(x)，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：(反函数求导法)再由复合函数求导法，得4、使函数f(x)=适合罗尔定理条件的区间是()A、[0，1]．B、[-1，1]．C、D、[1，2]．标准答案：A知识点解析：本题主要考查罗尔定理的条件．函数f(x)在(-∞，+∞)上连续．因为所以f(x)在点x=0处不可导，排除B、C．由于f(x)在[1，2]的端点处的函数值不相等，故应选A．5、下列等式成立的是()A、∫｜x｜dx=x2+C．B、C、∫f’(2x)dx=f(2x)+C．D、∫e｜x｜=e｜x｜+C．标准答案：B知识点解析：选项A，当x≥0时，∫｜x｜dx=∫xdx=x2+C；当x＜0时，∫｜x｜dx=-∫xdx=x2+C，排除A．选项B，，故B正确．选项C，，排除C．选项D，当x≥0时，∫e｜x｜dx=∫exdx=ex+C；当x＜0时，∫e｜x｜dx=∫e-xdx=-∫e-xd(-x)=-e-x+C，排除D．6、等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为被积函数是周期为兀的周期函数，由周期函数的积分特点，有7、半圆形闸门半径为R(m)，将其垂直放人水中，且直径与水面齐平．设水的密度为ρ，如果坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：建立如图18所示的坐标系，取x为积分变量，x∈[0，R]．对于[0，R]上的任一微元[x，x+dx]，其上所受压力微元为故闸门所受压力为8、已知z=f(xy，x2+y2)，其中f(u，v)具有二阶连续偏导数，则=()A、f’1+xyf’’11+4xyf’’22．B、f’1+xyf"11+2(x2+y2)f’’12+4xyf’’22．C、xyf’’11+2(x2+y2)f’’12+4xyf’’22．D、xyf’’11+4xyf’’22．标准答案：B知识点解析：本题考查二元复合函数的二阶偏导数的计算=yf’1+2xf’2，=(xf’’11+2yf’’12)y+f’1+(xf’’21+2yf’’22).2x，由于f(u，v)具有二阶连续偏导数，所以f’’12=f’’21，于是=f’1+xyf’’11+2(x2+y2)f’’12+4xyf’’22．9、直角坐标下的二次积分化为极坐标下的二次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由已知二次积分知，积分区域D由直线x=0，y=x及曲线y=1+围成，如图23所示．于是，在极坐标下，积分区域为再将被积表达式转化为极坐标下的表达式，有10、在力F=xi+yi的作用下，一质点从点A(a，0)沿椭圆按逆时针方向移动到点B(0，b)，力F所做的功为()A、(b2-a2)．B、(a2-b2)．C、(b2-a2)．D、(a2-b2)．标准答案：A知识点解析：本题主要考查第二类曲线积分的物理意义与计算方法．椭圆的参数方程为(0≤θ≤2π)．根据第二类曲线积分的物理意义，力F所做的功为11、设级数条件收敛，将其中的正项取出(负项处补为0)组成的级数记为，将其中的负项取出(正项处补为0)组成的级数记为，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由已知条件知bn=(an+｜an｜)，cn=(an-｜an｜)，因为级数条件收敛，所以都发散．12、如果y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，则该方程满足初始条件y(0)=2的特解为()A、y=cos2x+2．B、y=cos2x+1．C、y=2cosc．D、y=2cos2x．标准答案：D知识点解析：因为y=cos2x是微分方程y’+P(x)y=0的一个特解，将其代入微分方程，得-2sin2x+P(x)cos2x=0．所以P(x)=2tan2x．原微分方程为y’+2tan2x.y=0，这是一个一阶线性齐次微分方程或可分离变量的微分方程，分离变量得=-2tan2xdx．等式两边积分，得=-2∫tan2xdx，即ln｜y｜=ln｜cos2x｜+ln｜C｜，于是y=Ccos2x．由y(0)=2，得C=2．故所求特解为y=2cos2x．13、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y’’’+y’’-4y’-4y=0．B、y’’’+y’’+4y’+4y=0．C、y’’’-y’’-4y’+4y=0．D、y’’’-y+4y’-4y=0．标准答案：D知识点解析：这是一个由三阶线性常系数齐次微分方程的通解求微分方程的问题．根据通解的结构可知，r1=1，r2,3=±2i是其特征根，从而特征方程为(r-1)(r+2i)(r-2i)=0，即r3-r2+4r-4=0，故所求微分方程为y’’’-y’’+4y’-y=0．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、设0＜a＜b，则=_______.标准答案：b知识点解析：15、设f(x)在x=1点处连续，且，则f’(1)=_______．标准答案：2知识点解析：由及f(x)在x=1点处连续，得=f(1)=0，于是由导数的定义有16、设f(x)=则f’(0)=_______．标准答案：0知识点解析：利用导数的定义求分段函数在分段点的导数．17、=_____．标准答案：abc知识点解析：这是一个1∞型未定式的极限，用对数恒等式转化计算．18、=________.标准答案：知识点解析：这是一个积分上限函数求导问题，可直接利用公式计算．19、设由两曲线y=x2与y=ax3(0＜a＜1)所围成图形的面积为，则a=_______．标准答案：知识点解析：由解得两曲线的交点为(0，0)与，于是两曲线围成图形的面积可表示为由题设知20、xOy面上的椭圆绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为_______，绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为_______．标准答案：知识点解析：一般地，xOy面上的曲线f(x，y)=0绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为由上面公式，得xOy面上的椭圆绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为=1；绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为21、函数f(x，y)=x2+y2在条件下的极值为________．标准答案：知识点解析：(用条件极值的拉格朗日乘数法)作拉格朗日函数解得是f(x，y)=x2+y2在条件下唯一可能的极值点．把条件代入目标函数，得f(x，y)=x2+y2=x2+，将目标函数看作一元函数，利用一元函数极值的充分条件判断，可知是f(x，y)=x2+y2在条件下的极小值．故当时，f(x，y)的极值为22、设平面区域D由直线x=1，y=及曲线x2+y2=1围成，则二重积分f(x，y)dxdy在极坐标下的二次积分为______．标准答案：知识点解析：直线x=1的极坐标方程为r=secθ，直线y=1的极坐标方程为r=cscθ，曲线(圆)x2+y2=1的极坐标方程为r=1，平面区域D如图50所示，直线y=x将积分区域D分成两部分，在极坐标下积分区域D={(r，θ)｜0≤θ≤，1≤r≤secθ}∪{(r，θ)｜，1≤r≤cscθ}，于是，二重积分在极坐标下的二次积分为23、设Σ为平面z=2x+3y(x≥0，y≥0，x+y≤2)，则曲面积分(x+y+z)dS=_________．标准答案：知识点解析：本题考查第一类曲面积分的计算．利用“一代二换三投影”将其转化为二重积分进行计算．24、幂级数xn的收敛半径为_______．标准答案：知识点解析：记an=(n=1，2，…)，则故幂级数的收敛半径R=25、已知f(x)在(-∞，+∞)内有定义，且对任意x，y满足f(x+y)=eyf(x)+exf(y)，又f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=e，则f(x)=_______．标准答案：xex1知识点解析：这是一个已知函数方程求函数问题，其一般方法是将已知函数方程两边求导数，得到微分方程，解微分方程得到所求函数．但由于本题f(x)仅已知其在(-∞，+∞)内有定义，条件太弱，方程两边不能求导数，所以考虑用导数的定义建立微分方程．在已知等式中，取x=y=0，得f(0)=0．由导数的定义，得=f(x)+exf’(0)=f(x)+ex+1．于是，f(x)满足的微分方程为这是一阶线性微分方程，可以利用一阶线性微分方程的通解公式求解，也可以用下面简便方法求解．因为f’(x)-f’(x)=ex+1，将方程两边乘以e-x，得e-xf’(x)-e-xf’(x)=e，即[e-xf(x)]’=e，等式两边积分，得e-xf(x)=ex+C，所以f(x)=Cex+xex+1，由f(0)=0，得C=0，故f(x)=xex+1．考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的范围为()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2标准答案：C知识点解析：，令f’(x)=3x2－3=0，得x=±1，f’’(x)=6x，由f’’(一1)=一6＜0，得x=一1为函数的极大值点，极大值为f(一1)=2+k，由f’’(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=一2+k，因为f(x)=x3一3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或一2+k＞0，故｜k｜＞2，选(C)．2、在曲线y=(x－1)2上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x轴及该曲线所围成的域为D(y＞0)，则区域D绕x轴旋转一周所成的几何体的体积为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：过曲线y=(x一1)2上点(2，1)的法线方程为y=x+2，该法线与x轴的交点为(4，0)，则由该法线、x轴及该曲线所围成的区域D绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为V=π∫12(x一1)4dx+π∫24，选(D)．3、设收敛，则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：4、微分方程y’’一4y=x+2的通解为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：微分方程y’’一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为一2，2，则方程y’’一4y=0的通解为C1e－2x+C2e2x，显然方程y’’一4y=x+2有特解，选(D)．5、f(x)=则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续不可导C、可导但f’(x)在x=0处不连续D、可导且f’(x)在x=0处连续标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)6、________．标准答案：2知识点解析：7、当x→0时，x—sinxcos2x～cxk，则c=________，k=_______．标准答案：c=，k=3知识点解析：8、设f(x)的一个原函数为=__________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求．标准答案：知识点解析：暂无解析10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设f(x)连续，且对任意的x，y∈(一∞，+∞)有f(x＋y)=f(x)+f(y)+2xy，f’(0)=1，求f(x)．标准答案：当x=y=0时，f(0)=2f(0)，于是f(0)=0．对任意的x∈(一∞，+∞)，则f(x)=x2+x+C，因为f(0)=0，所以C=0，故f(x)=x+x2．知识点解析：暂无解析12、设f(x)=∫0xdt，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算．标准答案：x=1为被积函数的无穷间断点，则知识点解析：暂无解析15、设a，b为非零向量，且｜b｜=1，．标准答案：．知识点解析：暂无解析16、设f(x，y)=，试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性．标准答案：知识点解析：暂无解析17、把f(x，y)dxdy写成极坐标的累次积分，其中D=｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x｝．标准答案：D=知识点解析：暂无解析18、计算曲线积分，其中L为不经过原点的逆时针光滑闭曲线．标准答案：(1)当O(0，0)在L所围成区域的外部时，由格林公式(2)当O(0，0)在L所围成区域的内部时，作Cr：x2＋4y2=r2(其中r＞0，Cr在L内部，方向为逆时针方向)，再令由L和Cr－所围成的区域为Dr，由格林公式知识点解析：暂无解析19、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析20、f(x)=，求f(x)的间断点并分类．标准答案：x=k(k=0，一1，一2，…)及x=1为f(x)的间断点．知识点解析：暂无解析21、当x＞0时，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析设f(x)在(一a，a)(a＞0)内连续，且f'(0)=2．22、证明：对0＜x＜a，存在0＜θ＜1，使得∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=x[f(θx)一f(一θx)]；标准答案：令F(x)=∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)=0，由微分中值定理，存在0＜θ＜1，使得F(x)=F(x)一F(0)=F’(θx)x，即∫0xf(t)dt+∫0－xf(t)dt=xf[(θx)一f(－θx)]．知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：令=A，由∫0xf(t)dt＋∫0－xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)]，得知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x，y)=．(1)f(x，y)在点(0，0)处是否连续?(2)f(x，y)在点(0，0)处是否可微?标准答案：知识点解析：暂无解析26、设f(x)为连续函数，计算，其中D是由y=x3，y=1，x=一1围成的区域．标准答案：设f(x)的一个原函数为F(x)，则知识点解析：暂无解析27、设an=∫01x2(1一x)ndx，讨论级数an的敛散性，若收敛求其和．标准答案：知识点解析：暂无解析28、位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y’2之积成反比，比例系数为k=，求y=y(x)·标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设收敛，则下列正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(A)不对，如发散；(B)不对，如也收敛；(C)不对，如发散，选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)2、设f(x)=在x=0处连续，则a=________，b=________．标准答案：a=1，b=一1；知识点解析：f(0+0)==3+2b，f(0)=1，f(0一0)=，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0—0)，故a=1，b=一1．3、设f(x)连续可导，f(0)=0且f’(0)=b，若F(x)=在x=0处连续，则A=_______．标准答案：a＋b知识点解析：因为F(x)在x=0处连续，所以A=a+b．4、=_________．标准答案：知识点解析：5、点M(3，一4，4)到直线的距离为_________．标准答案：知识点解析：点M0(4，5，2)在直线上，s=｛2，一2，1｝为直线的方向向量，，则点M(3，一4，4)到直线的距离为d=．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)6、求．标准答案：知识点解析：暂无解析7、求．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(x)=且f’(0)存在，求a，b的值．标准答案：f(0一0)=b，f(0)=f(0+0)=0，由f(x)在x=0处连续得b=0；f－’(0)==a，f＋’(0)==2．因为f’(0)存在，所以f－’(0)=f＋’(0)，故a=2．知识点解析：暂无解析9、由方程sin(xy)+ln(y—x)=x确定函数y=y(x)，求｜x=0．标准答案：x=0代入sin(xy)+ln(y一x)=x得y=1，sin(xy)+ln(y一x)=x两边关于x求导得cos(xy)．=1．将x=0，y=1代入得=1．知识点解析：暂无解析10、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．标准答案：令φ(x)=f(x)sinx，φ(0)=φ(1)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f’(x)sinx+f(x)cosx，故f’(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ=0．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得．标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得ln2一lnl=，其中η∈(1，2)，f(2)一f(1)=f’(ζ)(2一1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：12、存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=2ξf(ξ)．标准答案：令φ(x)=e－x2f(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x2[f’(x)一2xf(x)]且e－x2≠0，故f’(ξ)=2ξf(ξ)．知识点解析：暂无解析13、存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)+f(η)=0．标准答案：令φ(x)=xf(x)，因为f(a)=f(b)=0，所以φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=xf’(x)+f(x)，故ηf’(η)+f(η)=0．知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：由A(x一4)(x一3)2+B(x一2)(x一3)2+C(x一2)(x一3)(x一4)＋D(x一2)(x一4)=1得，C=0，D=－1，知识点解析：暂无解析15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求曲线L：(a＞0)所围成的平面区域的面积．标准答案：令L：(0≤t≤2π)，第一卦限的面积为故所求的面积为A=4A1=．知识点解析：暂无解析17、计算下列定积分：标准答案：(1)(2)(3)知识点解析：暂无解析18、设曲线y=a+x－x3，其中a＜0，当x＞0时，该曲线在x轴下方与y轴、x轴所围成图形的面积和在x轴上方与x轴所围成图形的面积相等，求a．标准答案：设曲线y=a＋x—x3与x轴正半轴的交点横坐标为α，β(α＜β)，由条件得一∫0α(a+x—x3)dx=∫αβ(a+x—x3)dx，移项得∫0α(a+x—x3)dx+∫αβ(a+x—x3)dx=∫0β(a+x—x3)dx=0β(4a+2β—β3)=0．因为β＞0，所以4a+2β一β3=0．又因为(β，0)为曲线y=a+x—x3与x轴的交点，所以有a+β—β3=0，从而有．知识点解析：暂无解析19、求曲面∑：x2一y2+2z2=8上与平面π：x—y+2z一5=0平行的切平面．标准答案：设切点坐标为(x，y，z)，法向量为n=｛2x，一2y，4z｝=2｛x，一y，2z｝，由=t得x=t，y=t，z=t，代入曲面得t=±2，切点为M1(一2，一2，一2)及M2(2，2，2)，所求的切平面为π1：(x+2)一(y+2)+2(z+2)=0，即π1：x—y+2z+4=0，π2：(x一2)一(y一2)+2(z一2)=0，即π2：x—y+2z一4=0．知识点解析：暂无解析20、讨论f(x，y)=在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为=0，所以=0=f(0，0)，即函数f(x，y)在点(0，0)处连续．因为=0，所以fx’(0，0)=0，根据对称性得fy’(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．△z=fx’(0，0)x—fy’(0，0)y=f(x，y)一fx’(0，0)x—fy’(0，0)y=，因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．知识点解析：暂无解析21、计算dxdy，其中D=｛(x，y)｜x+y≥1，x2+y2≤1｝．标准答案：由对称性得I=dxdy，则知识点解析：暂无解析22、计算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．标准答案：由对称性得I=sinx2cosy2dxdy=siny2cosx2dxdy，知识点解析：暂无解析23、，其中L为由x轴，x2+y2=4及y=x所围成的第一封限内的区域的边界．标准答案：令L1：y=0(0≤x≤2)，L2：，L3：y=x(0≤x≤)，知识点解析：暂无解析24、计算y(x—z)dydz+x(z—y)dxdy，其中∑为z=位于平面z=1及z=2之间部分的外侧．标准答案：∑1：z=1(x2+y2≤1)取下侧，∑2：z=2(x2+y2≤4)取上侧，所以原式=0．知识点解析：暂无解析25、设an为发散的正项级数，令Sn=a1+a2+…+an(n=1，2，…)．证明：收敛．标准答案：显然｛Sn｝n=1∞。单调增加，因为级数=∞，对交错级数收敛．知识点解析：暂无解析26、设位于第一卦限的曲线y=f(x)上任一点P(x，y)的切线在x轴上的截距等于该点法线在y轴上截距的相反数，且曲线经过点(1，0)，求该曲线．标准答案：切线为Y—y=y’(X一x)，令Y=0得X=x一；法线为Y—y=一(X一x)，令X=0得Y=y＋，由题意得，令μ=，即积分得一μ+2ln(μ+1)=一lnx+C，初始条件代入得C=0，所求曲线为=一lnx．知识点解析：暂无解析27、求微分方程cosy—cosxsin2y=siny的通解．标准答案：由cosy—cosxsin2y=siny得—cosxsin2y=siny．令μ=siny，则一μ=cosx．μ2，令μ－1=z，则＋z=－cosx，解得z=[∫(－cosx)e∫dxdx＋C]e－∫dx=[一∫excosxdx+C]ex=[ex(sinx＋cosx)+C]e－x=Ce－x一(sinx+cosx)则(sinx+cosx)．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、曲线的渐近线有()．A、1条B、2条C、3条D、4条标准答案：B知识点解析：由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→－2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选(B)．2、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh标准答案：A知识点解析：取[x，x+dx][0，h]，dF=ρg×x×a×dx=ρgaxdx，则F=ρg∫0haxdx=ρg∫0hahdh，选(A)．3、在曲线x=t，y=一t2，z=t3的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线()．A、只有1条B、只有2条C、至少3条D、不存在标准答案：B知识点解析：在t=t0处曲线的切向量为T=｛1，一2t0，3t02｝，切线与平面x+2y+z=4平行的充分必要条件是n．T=0，即1—4t0+3t02=0，解得t0=或t0=1，选(B)．4、若级数μn收敛(μn＞0)，则下列结论正确的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令Sn=μ1+μ2+…+μn，因为=0．令Sn’=(μ1+μ2)+(μ2+μ3)+…+(μn+μn＋1)=2Sn一μ1+μn＋1，于是Sn一μ1，存在，选(C)，(A)、(B)、(D)都不对．5、微分方程y’’一4y=e2x+x的特解形式为()．A、ae2x+bx+cB、ax2e2x+bx＋cC、axe2x＋bx2＋cxD、axe2x+bx＋c标准答案：D知识点解析：y’’一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1=一2，λ2=2．y’’一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x，y’’一4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，应选(D)．6、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜<δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在｜x—x0｜＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=f’(x)D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设f(x)=显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0，因为不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)7、=________．标准答案：知识点解析：8、=________．标准答案：知识点解析：9、I(x)=∫0xdμ在区间[－1，1]上的最大值为________．标准答案：ln3知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求y=f(x)=的渐近线．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求∫－11(2+sinx)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析16、讨论f(x，y)=，在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：△z－fx’(0，0)x一fy’(0，0)y=f(x，y)一fx’(0，0)x—fy’(0，0)y=，因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．知识点解析：暂无解析17、把二重积分f(x，y)dxdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x+y=1，x=1，y=1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)+ex]ydx+[f’(x)-x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．标准答案：P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+ex]y，Q(x，y)=f’(x)一x，=f’’(x)－1，=f’(x)+2f(x)+ex，因为曲线积分与路径无关，所以，z整理得f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1，特征方程为λ2一λ一2=0，特征值为λ1=一1，λ2=2，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1e－x+C2e2x；令方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex的特解为f1(x)=aex，代入得；方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=1的特解为f2(x)=，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的特解为f0(x)=(ex+1)，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的通解为f(x)=C1－x+C2e2x一(ex+1)，知识点解析：暂无解析19、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)＜0，而f(x)存在且大于零，证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．标准答案：令=k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有，特别地，f(X0)＞0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析21、证明：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2．标准答案：令φ(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2，φ(1)=0．故x=1为φ(x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为φ(1)=0，所以x＞0时，φ(x)≥0，即(x2一1)lnx≥(x一1)2．知识点解析：暂无解析设S(x)=∫0x｜cosx｜dt·22、证明：当nπ≤x＜(n+1)π时，2n≤S(x)＜2(n+1)；标准答案：当nπ≤x＜(n+1)π时，∫0nπ｜cost｜dt≤∫0π｜cost｜dt＜∫0(n＋1)π｜cost｜dt，∫0nπ｜cost｜dt=n∫0π｜cost｜dt==2n，∫0(n＋1)π｜cost｜dt=2(n＋1)，则2n≤S(x)＜2(n+1)．知识点解析：暂无解析23、求．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=0．证明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．标准答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f2(x)=(∫axf’(t)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x－a)∫abf’2(x)dx积分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x一a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx．知识点解析：暂无解析25、设f(x，y)=，讨论f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性．标准答案：0≤｜f(x，y)｜≤｜xy｜，知识点解析：暂无解析26、设Ω：x2+y2+z2≤1，证明：．标准答案：令f(x，y，z)=x+2y一2z+5，因为fx’=1≠0，fy’=2≠0，fz’=-2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y一2z+5+λ(x2＋y2+z2—1)，知识点解析：暂无解析27、若正项级数收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设函数f(x，y)可微，=ecoty，求f(x，y)．标准答案：即f(x，y)=φ(y)e－x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e－xsiny．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有()A、an＜bn对任意n成立．B、bn＜cn对任意n成立．C、极限不存在．D、极限不存在．标准答案：D知识点解析：(特例排除法)取an=(n=1，2，…)，则选项A、B、C均可排除．2、要使f(x)=在(-∞，+∞)内为连续函数，则()A、a=π，b=0．B、a=π，b=1．C、a=，b=1．D、a=，b=0．标准答案：A知识点解析：由于初等函数在其有定义的区间上是连续函数，要使f(x)在(-∞，+∞)内连续，只需f(x)在x=0点连续，即成立，因为不存在，所以b=0，从而3、设f(0)=0，且(常数)，则f(x)在点x=0处()A、极限不存在．B、极限存在但不连续．C、连续但不可导．D、可导且f’(0)=A．标准答案：D知识点解析：因为(常数)，所以故f(x)在点x=0处连续．进一步，所以f(x)在点x=0处可导且f’(0)=A．故应选D．4、设函数y=2sinx+sin3x，则在点x=处()A、y取得最小值．B、y取得极小值．C、y取得极大值．D、y不取极值．标准答案：C知识点解析：由y’=2cosx+cos3x，y’’=-2sinx-3sin3x，得所以是驻点，由极值的第二充分条件知，在点处y取得极大值．5、设∮f(x)dx=arccosx+C，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：等式∫f(x)dx=arccosx+C两端对x求导，得f(x)=，所以6、设f(x)可导且f’(0)≠0，又存在有界函数θ(x)≠0(x≠0)满足，则等于()A、0．B、C、1．D、2．标准答案：B知识点解析：根据已知条件f’(0)≠0，将已知等式改写成[f(t)-f(0)]dt=x[f(θx)-f(0)]，将上式两端乘以，得7、设a，b，c均为非零向量，则与a不垂直的向量是()A、(a.c)b-(a.b)c．B、C、a×b．D、a+(a×b)×a．标准答案：D知识点解析：利用两个非零向量垂直(正交)这两个向量的内积等于零．由向量的运算法则有A项a.[(a.c)b-(a.b)c]=(a.c)(a.b)-(a.b)(a.c)=0，B项a.(a.a)=a.b-a.b=0，C项a.(a×b)=0，D项a.[a+(a×b)×a]=a.a=｜a｜2≠0．故与a不垂直的向量是a+(a×b)×a，应选D．8、设函数x=z(x，y)由方程z+x=yf(x2-z2)确定，其中f(u)可导，则=()A、y．B、x．C、yf(x2-y2)．D、z．标准答案：B知识点解析：这是一个三元方程所确定的二元隐函数求偏导问题，本题采用方程两边求全微分，再利用全微分形式不变性得到方程z+x=yf(x2-z2)两边求全微分，得dz+dz=fdy+yf’(2xdx-2zdz)，所以由全微分形式不变性，得9、设I=xy2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，则I等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由于4个选项中只有先对y后对x的二次积分与极坐标下的二次积分，因此只需要将积分区域D写成直角坐标下的X型区域与极坐标下的区域，并考虑被积表达式的变化即可．在直角坐标下，在极坐标下，D={(x，y)｜0≤θ≤，0≤r≤1}，于是故应选C．10、在从点O(0，0)到点A(π，0)的曲线族L：y=asinx(a＞0)中，使曲线积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小的a等于()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：A知识点解析：本题是第二类曲线积分的计算与一元函数最值计算的综合问题．在计算第二类曲线积分时，类似于上题，也有两种方法，这里用直接计算法．记I(a)=∫L(1+y2)dx+(2x+y)dy令I’(a)=-4+4a2=4(a2-1)=0，得a=1(a=-1舍去)，I’’(a)=8a，I’’(1)=8＞0，故I(a)在a=1处取得极小值，也是最小值．故应选A．11、设有无穷级数，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：(推理法)若中至少有一个不成立，由级数收敛的必要条件知，中至少有一个发散．故应选B．12、微分方程=(x-y)(x+y)，=cosy+x，③y2dx-(y2+2xy-y)dy=0中，一阶线性微分方程是()A、①．B、②．C、③．D、①、②、③均不是．标准答案：C知识点解析：可直接观察出方程①、②不是一阶线性微分方程．对于方程③，将其变形为将x看成未知函数，y为自变量，则该方程就是一阶线性微分方程．故应选C．13、差分方程yt+1-yt=3t2+1具有的特解形式为()A、yt*=At2+B．B、yt*=At3+Bt+Ct．C、yt*=At2+Bt2．D、yt*=At2+Bt+C．标准答案：B知识点解析：因为a=1，且一阶线性差分方程yt+1-yt=3t2+1的非齐次项f(t)=3t2+1是二次多项式，所以其具有的特解形式为yt*=t(At2+Bt+C)=At3+Bt2+Ct．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、=_____.标准答案：1知识点解析：由于，所以15、已知f(x)由方程cos(xy)+lny-x=1确定，则=______．标准答案：2知识点解析：这是一个关于导数定义与隐函数求导的综合问题．其方法是先将所求极限凑成f(x)在点x=0处的导数定义的推广形式，然后利用隐函数求导求出f’(x)．进一步求出f’(0)．在已知等式中，取x=0得y-1，即f(0)=1．因为，将方程cos(xy)+lny-x=1两边对x求导，得将x=0，y=1代入上式，得16、设f(t)=，则f’’(t)=______．标准答案：4(1+t)e2t知识点解析：因为f(t)==te2t，所以f’(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t，f’’(t)=2e2t+2(1+2t)e2t=4(1+t)e2t．17、曲线y=(x-5)的拐点坐标为________．标准答案：(-1，-6)知识点解析：令y’’=0，得x=-1；当x=0时y’’不存在，列表10：故曲线的拐点坐标为(-1，-6)．18、设f(x)在[0，+∞)内连续，且=_______．标准答案：1知识点解析：这是一个型未定式的极限，用洛必达法则时，只要考虑到积分上限的导数即可．19、位于曲线y=xe-x(0≤x＜+∞)下方，x轴上方的无界图形的面积为_______．标准答案：1知识点解析：这是一个无界区域的面积问题，可用无穷限的反常积分计算．所求面积为20、设f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，则=______.标准答案：2f’x(a，b)知识点解析：由于所求极限与偏导数的定义形式非常接近，故考虑利用偏导数的定义求极限．由f(x，y)在点(a，b)处的偏导数存在，可知=f’x(a，b)+f’x(a，b)=2f’x(a，b)．21、设n是曲面z=x2+y2在点M(1，1，2)处指向下侧的法向量，则函数u=x2+yz在点M处沿方向n的方向导数为_______．标准答案：知识点解析：令F(x，y，z)=x2+y2-z，则曲面z=x2+y2在点M处指向下侧的法向量n=(F’x，F’y，F’z)｜M=(2x，2y，-1)｜(1,1,2)=(2，2，-1)，将其单位化，得，n0=，则n的方向余弦为由方向导数计算公式，u在点M处沿方向n的方向导数为22、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分=______.标准答案：知识点解析：在直角坐标下，无论是用X型区域还是用Y型区域，计算都比较烦琐，可考虑用极坐标计算．在极坐标下，积分区域D={(r，θ)｜，0≤r≤2sinθ}，如图52所示，则23、向量A=xi+yj+zk通过闭区域Ω={(x，y，z)｜0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1}的边界曲面流向外侧的通量为________．标准答案：3知识点解析：本题考查第二类曲面积分的物理意义及计算．一般地，Pdydz+Qdzdx+Rdxdy表示向量场A(x，y，z)=P(x，y，z)i+Q(x，y，z)j+R(x，y，z)七通过曲面∑向着指定侧的通量(或流量)，其中函数P，Q，R均具有一阶连续偏导数．设Ω的边界为∑，则所求通量为24、设函数f(x)=anxn(-∞＜x＜∞)，f(0)=0，且满足[(n+1)an+1+an]xn=ex，则f(x)的表达式为_______．标准答案：(ex-e-x)知识点解析：因为f(x)=，则[(n+1)an+1+an]xn=ex，上式可化为f’(x)+f(x)=ex，等式两边乘以ex，得[f(x)ex]’=e2x，两边积分，得f(x)ex=e2x+C，由f(0)=0，得C=25、设函数f(x)在[2，+∞)上可导且f(2)=1，如果f(x)的反函数g(x)满足=x2f(x)+x，则f(4)=_____．标准答案：知识点解析：当x≥2时，将已知方程两边对x求导得g[f(x)]f’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，因为g(x)是f(x)的反函数，所以g[f(x)]=x，于是，上式可写成xf’(x)=2xf(x)+x2f’(x)+1，即(x2-x)f’(x)+2xf(x)=-1，这是一个一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的通解公式，有由f(2)=1，得C=3-ln2，所以于是考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处()A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续，但不可导D、可导标准答案：D知识点解析：显然=f(0)=0，f(x)在x=0点连续．由于所以f－’(0)=0．又故f+’(0)=0，从而f’(0)存在，且f’(0)=0，应选D．2、设f(x)有连续的导数，f(0)=0，f’(0)≠0，F(x)=∫0x(x2－t2)f(t)dt，且当x→0时，F’(x)与x’是同阶无穷小，则k等于()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：用洛必达法则，极限存在且不为0，所以k=3，选C．3、设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有()A、0个B、1个C、2个D、无穷多个标准答案：B知识点解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且F(b)=∫abf(t)dt＞0，故F(x)=0在(a，b)内至少有一个根．又所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个零点．故F(x)=0在(a，b)内仅有一个根．应选B．4、已知曲面z=x2+y2上点P处的切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，则点P的坐标是()A、(1，－1，2)B、(11，1，2)C、(1，1，2)D、(－1，－1，2)标准答案：D知识点解析：切平面平行于平面2x+2y+z－1=0，可知切平面的法向量为(2，2，1)．又由z=x2+y2可得曲线切平面的法向量(zx’，zy’，－1)=(2x，2y，－1)．令(2x，2y，－1)∥(2，2，1)，解得x=－1，y=－1，代入z=x2+y2，解得z=2．所以P点坐标为(－1，－1，2)．5、化为极坐标系中的累次积分为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由可得x2+(y－1)2=1(y≥1)，所以积分区域D是圆x2+(y－1)2≤1的右半圆在直线y=x上方的部分，其极坐标形式为D=6、设区域其中常数a＞b＞0．D1是D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续，等式成立的一个充分条件是()A、f(－x，－y)=f(x，y)B、f(－x，－y)=－f(x，y)C、f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D、f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)标准答案：D知识点解析：当C成立时，f(x，y)关于x和y都是奇函数，积分应为零，不选C，因为题中未说类似于C，可知也不选A，B．当D成立时，f(x，y)关于x和y分别都是偶函数，将D在各个象限中的部分分别记为D1，D2，D3与D4，于是故选D．7、微分方程y’’+4y=sin2x有特解形如()A、Asin2xB、Acos2xC、x(A+Bcos2x+Csin2x)D、A+x(Bcos2x+Csin2x)标准答案：D知识点解析：原方程可以写成由待定系数法可知该方程有形如(Ⅰ))的特解．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)8、极限=______．标准答案：2知识点解析：9、曲线v的全部渐近线为______．标准答案：x=0；和y=1知识点解析：因为x=0为铅直渐近线；y=1为水平渐近线．10、设曲线y=y(x)在点与直线4x－4y－3=0相切，且y=y(x)满足方程则该曲线在相应x∈[一1，1]上(x，y)点的曲率为______．标准答案：知识点解析：由时，p=1，得c1=0．从而在(x，y)点的曲率11、xx(1+lnx)的全体原函数为_______．标准答案：x2+C，其中C为任意常数知识点解析：因为(xx)’=(exlnx)’=xx(1+lnx)，所以∫xx(1+lnx)dx=xx+C．12、设f(x)连续，则[∫0xtf(x2－t2)dt]=_____．标准答案：xf(x2)知识点解析：13、向量场A(z，3x，2y)在点M(x，y，z)处的旋度rotA=______．标准答案：(2，1，3)知识点解析：设向量场A=Pi+Qj+Rk，则因P=z，Q=3x，R=2y，则14、设由平面图形a≤x≤b，0≤y≤f(x)绕x轴旋转所成旋转体力的密度为1，则该旋转体＄对x轴的转动惯量为______．标准答案：知识点解析：由题意有15、设则其以2π为周期的傅里叶级数在x=±π处收敛于______．标准答案：知识点解析：由狄利克雷收敛定理及f(x)的周期性可知，无论f(x)在x=±π处是连续还是间断，其傅里叶级数的和S(±π)都可用统一表示．因f(π－)=5，f(－π+)=x2｜x=－π=π2，故16、函数在[－π，π]上展开为傅里叶级数(ancosnx+bnsinnx)，则an=______，bn=______，和函数S(x)=______．标准答案：知识点解析：f(x)在[－π，π]上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈(－π，π)．由收敛定理可知：其中傅里叶级数的系数为：an=0，n=0，1，2，…(在[－π，π]上，f(x)除去间断点x=0外，是奇函数，所以其傅里叶级数必为正弦级数)，17、设是f(x)的以2π为周期的傅里叶级数．则=______．标准答案：知识点解析：傅里叶系数又由狄利克雷定理知，三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)18、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析19、已知y=x2sin2x，求y(50)．标准答案：y(50)=(sin2x.x2)(50)=(sin2x)(50).x2+50(sin2x)(49)(x2)’+(sin2x)(48).(x2)’’．由于知识点解析：暂无解析20、求函数f(x)=nx(1－x)n在[0，1]上的最大值M(n)及标准答案：容易求得f’(x)=n[1－(n+1)x](1－x)n－1，f’’(x)=n2[(n+1)x－2](1－x)n－2．令f’(x)=0，得驻点为f(x)的极大值点，且极大值将它与边界点函数值f(0)=0，f(1)=0，比较得f(x)在[0，1]上的最大值知识点解析：暂无解析21、设函数x=x(y)由方程x(y－x)2=y所确定，试求不定积分标准答案：令y－x=t，则(y－t)t2=y，故得t3－3t=A(t3+t2－t－1)+B(t2+2t+1)+C(t3－t2－t+1)+D(t2－2t+1)=(A+C)t3+(A+B－C+D)t2+(－A+2B－C－2D)t－A+B+C+D．比较t的同次幂的系数得知识点解析：暂无解析22、已知标准答案：令上式两边对a求导得令y=2ax，则dy=2adx，所以由于I(0)=0，所以C=0，令a=1，得到知识点解析：暂无解析23、求过两点A(0，1，0)，B(－1，2，1)且与直线x=－2+t，y=1－4t，z=2+3t平行的平面方程．标准答案：设所求平面的法向量为n=(a，b，c)，而直线的方向向量为s=(1，－4，3)，A，B两点连线=(－1，1，1)，所以有解方程得a：b：c=7：4：3，因此可取平面的法向量为n=(7，4，3)，由点法式得平面方程为7(x－0)+4(y－1)+3(z－0)=0，即7x+4y+3z－4=0．知识点解析：暂无解析24、求直线L：旋转一周所成的曲面方程．标准答案：设点M0(x0，y0，z0)为直线L上一点，当直线L绕L1旋转时，点M0旋转到点M(x，y，z)，此时有将式②代入式①，得到(x－2)2+(y－3)2=(2z+3)2+(3z+1)2，即x2+y2－13z2－4x－6y－18z+3=0．知识点解析：暂无解析25、设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，fx’(0，0)=a，fy’(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，tx)]，求φ’(0)．标准答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，v=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，v)，φ’(t)==f1’(u，v).1+f2’(u，v).[f1’(t，t2).1+f2’(t，t2).2t]=f1’[t，f(t，t2)]+f2’[t，f(t，t2)].[f1’(t，t2)+f2’(t，t2).2t]，所以φ’(0)=f1’(0，0)+f2’(0，0).[f1’(0，0)+f2’(0，0)×2×0]=a+b(a+0)=a(1+b)．知识点解析：暂无解析26、设A，B，C为常数，B2－AC＞0，A≠0．u(x，y)具有二阶连续偏导数．证明：必存在非奇异线性变换ξ=λ1x+y，η=λ2x+y(λ1，λ2为常数)，将方程标准答案：代入所给方程，将该方程化为由于B2－AC＞0，A≠0，所以代数方程Aλ2+2Bλ+C=0有两个不相等的实根λ1与λ2．此时λ1λ2A+(λ1+λ2)B+C=且变换的系数行列式λ1－λ2≠0．知识点解析：暂无解析27、计算I=∮L(y2－z2)dx+(2z2－x2)dy+(3x2－y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向往负向看L，L是逆时针方向．标准答案：(用参数式计算)由于L是由4个直线段构成的四边形，所以用参数式计算时，要分段计算．L：｜x｜+｜y｜=1，z=2－x－y．当x≥0，y≥0时，L1：y=1－x，z=2－x－y=1，x从1到0，有∫L1(y2－z2)dz+(2z2－x2)dy+(3x2－y2)dz=∫10[(1－x)2－1+(2－x2)(－1)]dx=当,x≤0，Y≥0时，L2：y=1+x，z=1－2x，x从0到－1，有．∫L2=∫0－1(2x+4)dx=－3．当x≤0，y≤0时，L3：y=－1－x，z=3，x从－1到0，有∫L3=∫－10(2x2+2x－26)dx=当x≥0，y≤0时，L4：y=x－1，z=3－2x，x从0到1，有∫L4=∫01(－18x+12)dx=3．所以I=∫L1+∫L2+∫L3+∫L4=－24．知识点解析：暂无解析28、设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且φ’(x)=φ(x)，φ(0)=0．(1)求方程y’+ysinx=φ(x)ecosx的通解；(2)在(1)中方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件，若没有，请说明理由．标准答案：本题考查微分方程的求解与解的讨论，尤其是(2)关于解的讨论，是考试中的重点，请复习备考的学生重视．(1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为y=e－∫sinxdx[∫φ(x)ecosxe∫sinxdxdx+C]=ecosx[∫φ(x)ecosx.e－cosxdx+C]=ecosx[∫φ(x)dx+C]=ecosx[Ф(x)+C](C为任意常数)．(2)因通解中cosx为2π为周期的函数，故只需Ф(x+2π)=Ф(x)即可．因为Ф’(x)=φ(x)，所以Ф(x)=∫0xφ(t)dt+C1，又Ф((0)=0，于是Ф(x)=∫0xφ(t)dt．而Ф(x+2π)=∫0x+2πφ(t)dt=∫0xφ(t)dt+∫xx+2πφ(t)dt=Ф(x)+∫02πφ(t)dt，所以，当∫02πφ(t)dt，时，Ф(x+2π)=Ф(x)，即Ф(x)以2π为周期．因此，当∫02πφ(t)dt=0时，方程有以2π为周期的解．知识点解析：暂无解析29、利用变换y=f(ex)求微分方程y’’－(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．标准答案：令t=ex，y=f(t)，则y’=f’(t).ex=tf’(t)，y’’=[tf’(t)]x’=exf’(t)+tf’’(t).ex=tf’(t)+t2f’’(t)，代入方程得t2f’’(t)+tf’(t)－(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f’’(t)－2f’(t)+f(t)=t，解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以原方程的通解为y=(C1+C2ex)eex+ex+2，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：2、设级数都发散，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为(｜μn＋νn｜)为正项级数，若(｜μn＋νn｜)收敛，因为0≤｜μn｜≤｜μn｜+｜νn｜，0≤｜μn｜≤｜μn｜+｜νn｜，根据正项级数的比较审敛法知，νn都收敛，矛盾．3、设f(x)二阶连续可导，且=一1，则()．A、f(0)是f(x)的极小值B、f(0)是f(x)的极大值C、(0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点D、x=0是f(x)的驻点但不是极值点标准答案：C知识点解析：4、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()．A、∫0xt[f(t)一f