数学模型省公共课一等奖全国赛课获奖课件

数学模型主讲|敬成林数学模型《数学模型》姜启源主编1文库专用第1页课程名称学时36数学模型与数学建模MathematicalModeling学分3课程类别专业选修课先修课程微积分、线性代数、概率论与数理统计课程简介本课程是计算机及管理专业一门专业选修课。也是本科生参加数学建模竞赛辅导课程。数学模型是架于数学理论和实际问题之间桥梁。数学建模是应用数学处理实际问题主要伎俩和路径。本书介绍数学建模中惯用一些基本概念、理论和经典数学模型，包含：数据拟合，网络模型，优化模型，离散模型、随机模型，时间序列预报模型，回归分析及其试验设计。经过数学模型和数学建模相关问题叙述和模型实例介绍，使学生应用数学处理实际问题能力有所提升。教材及参考书目《数学模型》，姜启源主编，高等教育出版社

课程简介数学模型《数学模型》姜启源主编2文库专用第2页数学模型《数学模型》姜启源主编第一章建立数学模型第二章初等模型第三章

简单优化模型第四章数学规划模型第五章微分方程模型第六章稳定性模型第七章差分方程模型第八章离散模型第九章概率模型第十章统计回归模型附录:数学建模试验3文库专用第3页周次节次教学内容课时作业执行情况1五5－61.1-1.5数学模型介绍1.6数学模型基本方法步骤、特点和分类22五5－62.1公平席位分配(讨论课)2.2录像机计数器用途2.3双层玻璃功效23五5－62.7实物交换3.2生猪出售时机24五5－63.3森林救火(讨论课)3.4最优价格25五5－63.6消费者选择4.3汽车生产与原油采购26五5－64.5饮料厂生产与检修5.1传染病模型(讨论课)27五5－65.2经济增加模型5.6人口预测和控制

28五5－66.1打鱼业连续收获6.2军备竞赛(讨论课)2

教学进度数学模型《数学模型》姜启源主编4文库专用第4页9五5－66.4种群相互依存7.1市场经济中蛛网模型2

10五5－67.2减肥计划-节食与运动8.3层次分析模型212五5－68.4效益合理分配9.2报童诀窍(讨论课)213五5－69.5随机人口模型9.6航空企业预定票策略214五5－610.1牙膏销售量2评定周15五5－6Mtlab,Mathematcia数学软件学习(上机)216五5－6数学建模试验(上机)217五5－6数学建模试验(上机)218考试数学模型《数学模型》姜启源主编5文库专用第5页数学模型《数学模型》姜启源主编第一章建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模主要意义1.3数学建模示例1.4数学建模方法和步骤1.5数学模型特点和分类1.6怎样学习数学建模6文库专用第6页玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中舰艇、风洞中飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目标，对客观事物一部分进行简缩、抽象、提炼出来原型替换物模型集中反应了原型中人们需要那一部分特征1.1从现实对象到数学模型我们常见模型第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编7文库专用第7页你碰到过数学模型——“航行问题”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船速度是多少?x=20y=5求解第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编8文库专用第8页航行问题建立数学模型基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示相关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米/小时）。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编9文库专用第9页数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目标，依据其内在规律，作出必要简化假设，利用适当数学工具，得到一个数学结构。建立数学模型全过程（包含表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编10文库专用第10页1.2数学建模主要意义电子计算机出现及飞速发展；数学以空前广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法处理实际问题第一步，越来越受到人们重视。

在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编11文库专用第11页数学建模详细应用

分析与设计

预报与决议

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编12文库专用第12页1.3数学建模示例1.3.1椅子能在不平地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续改变，可视为数学上连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置最少三只脚同时着地。第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编13文库专用第13页模型组成用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是

函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编14文库专用第14页用数学语言把椅子位置和四只脚着地关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意,f(

),g(

)最少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;对任意

，f(

)•g(

)=0;且g(0)=0，f(0)>0.证实：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型组成地面为连续曲面椅子在任意位置最少三只脚着地第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编15文库专用第15页模型求解给出一个简单、粗糙证实方法将椅子旋转900，对角线AC和BD交换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g连续性知

h为连续函数,据连续函数基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注和思索建模关键~假设条件本质与非本质考查四脚呈长方形椅子和f(),g()确定第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编16文库专用第16页背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增加概况中国人口增加概况年1908193319531964198219901995人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口改变规律控制人口过快增加1.3.3怎样预报人口增加第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编17文库专用第17页指数增加模型——马尔萨斯提出(1798)惯用计算公式x(t)~时刻t人口基本假设

:人口(相对)增加率r是常数今年人口x0,年增加率rk年后人口伴随时间增加，人口按指数规律无限增加第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编18文库专用第18页指数增加模型应用及不足与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合适合用于19世纪后迁往加拿大欧洲移民后代可用于短期人口增加预测不符合19世纪后多数地域人口增加规律不能预测较长久人口增加过程19世纪后人口数据人口增加率r不是常数(逐步下降)第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编19文库专用第19页阻滞增加模型(Logistic模型)人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增加率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳最大数量）r是x减函数第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编20文库专用第20页dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增加模型(Logistic模型)第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编21文库专用第21页参数预计用指数增加模型或阻滞增加模型作人口预报，必须先预计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4教授预计阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编22文库专用第22页模型检验用模型计算美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国人口加入人口数据后重新预计模型参数Logistic模型在经济领域中应用(如耐用消费品售量)阻滞增加模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x()=306.0第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编23文库专用第23页数学建模基本方法机理分析测试分析依据对客观事物特征认识，找出反应内部机理数量规律将对象看作“黑箱”,经过对量测数据统计分析，找出与数据拟合最好模型机理分析没有统一方法，主要经过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数1.4数学建模方法和步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编24文库专用第24页数学建模普通步骤模型准备模型假设模型组成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目搜集相关信息掌握对象特征形成一个比较清楚‘问题’第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编25文库专用第25页模型假设针对问题特点和建模目作出合理、简化假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽可能采取简单数学工具数学建模普通步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编26文库专用第26页模型求解各种数学方法、软件和计算机技术如结果误差分析、统计分析、模型对数据稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型合理性、适用性模型应用数学建模普通步骤第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编27文库专用第27页数学建模全过程现实对象信息数学模型现实对象解答数学模型解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当数学方法求得数学模型解答将数学语言表述解答“翻译”回实际对象用现实对象信息检验得到解答实践现实世界数学世界理论实践第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编28文库专用第28页1.5数学模型特点和分类模型逼真性和可行性模型渐进性模型健壮性模型可转移性模型非预制性模型条理性模型技艺性模型不足

数学模型特点第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编29文库专用第29页数学模型分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特征描述、优化、预报、决议……建模目了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编30文库专用第30页1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用准则想像力洞察力判断力学习、分析、评价、改进他人作过模型亲自动手，认真作几个实际题目第一章建立数学模型《数学模型》姜启源主编31文库专用第31页

第二章初等模型2.1公平席位分配2.2录像机计数器用途2.3双层玻璃窗功效2.7实物交换数学模型《数学模型》姜启源主编32文库专用第32页2.1公平席位分配系别学生百分比20席分配人数（%）百分比结果甲10351.5乙6331.5丙3417.0总和200100.020.02021席分配百分比结果10.8156.6153.57021.00021问题三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表会议共20席，按百分比分配，三个系分别为10，6，4席。现因学生转系，三系人数为103,63,34,问20席怎样分配。若增加为21席，又怎样分配。百分比加通例对丙系公平吗系别学生百分比20席分配人数（%）百分比结果甲10351.510.3乙6331.56.3丙3417.03.4总和200100.020.020系别学生百分比20席分配人数（%）百分比结果甲10351.510.310乙6331.56.36丙3417.03.44总和200100.020.02021席分配百分比结果10.815116.61573.570321.00021第二章初等模型《数学模型》姜启源主编33文库专用第33页“公平”分配方法衡量公平分配数量指标人数席位A方p1

n1B方p2n2当p1/n1=p2/n2

时，分配公平

p1/n1–p2/n2~对A绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1–p2/n2=5但后者对A不公平程度已大大降低!虽二者绝对不公平度相同若p1/n1>p2/n2，对不公平A

p1/n1–p2/n2=5第二章初等模型《数学模型》姜启源主编34文库专用第34页公平分配方案应使rA

,rB

尽可能小设A,B已分别有n1,n2席，若增加1席，问应分给A,还是B不妨设分配开始时p1/n1>p2/n2，即对A不公平~对A相对不公平度将绝对度量改为相对度量类似地定义rB(n1,n2)将一次性席位分配转化为动态席位分配,即“公平”分配方法若p1/n1>p2/n2，定义第二章初等模型《数学模型》姜启源主编35文库专用第35页1）若p1/(n1+1)>p2/n2，则这席应给A2）若p1/(n1+1)<p2/n2，3）若p1/n1>p2/(n2+1)，应计算rB(n1+1,n2)应计算rA(n1,n2+1)若rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),则这席应给应讨论以下几个情况初始p1/n1>p2/n2

问：p1/n1<p2/(n2+1)

是否会出现？A否!若rB(n1+1,n2)>rA(n1,n2+1),则这席应给B第二章初等模型《数学模型》姜启源主编36文库专用第36页当rB(n1+1,n2)<rA(n1,n2+1),该席给ArA,rB定义该席给A不然,该席给B定义该席给Q值较大一方推广到m方分配席位该席给Q值最大一方Q

值方法计算，第二章初等模型《数学模型》姜启源主编37文库专用第37页三系用Q值方法重新分配21个席位按人数百分比整数部分已将19席分配完成甲系：p1=103,n1=10乙系：p2=63,n2=6丙系：p3=34,n3=3用Q值方法分配第20席和第21席第20席第21席同上Q3最大，第21席给丙系甲系11席，乙系6席，丙系4席Q值方法分配结果公平吗？Q1最大，第20席给甲系第二章初等模型《数学模型》姜启源主编38文库专用第38页深入讨论Q值方法比“百分比加通例”方法更公平吗？席位分配理想化准则已知:m方人数分别为p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配总席位为N。设理想情况下m方分配席位分别为n1,n2,…,nm(自然应有n1+n2+…+nm=N)，记qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni应是N和p1,…,pm

函数，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均为整数，显然应ni=qi第二章初等模型《数学模型》姜启源主编39文库专用第39页

qi=Npi/P不全为整数时，ni

应满足准则：记[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即当总席位增加时，ni不应降低“百分比加通例”方法满足1），但不满足2）Q值方法满足2）,但不满足1）。令人遗憾！第二章初等模型《数学模型》姜启源主编40文库专用第40页问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下一段还能否录下1小时节目？要求不但回答下列问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间关系。思索计数器读数是均匀增加吗？2.2

录像机计数器用途经试验，一盘标明180分钟录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。第二章初等模型《数学模型》姜启源主编41文库专用第41页录像机计数器工作原理主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增加变慢问题分析观察计数器读数增加越来越慢！第二章初等模型《数学模型》姜启源主编42文库专用第42页模型假设

录像带运动速度是常数

v；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目建立时间t与读数n之间关系（设v,k,w,r为已知参数）第二章初等模型《数学模型》姜启源主编43文库专用第43页模型建立建立t与n函数关系有各种方法1.右轮盘转第

i圈半径为r+wi,

m圈总长度等于录像带在时间t内移动长度vt,所以第二章初等模型《数学模型》姜启源主编44文库专用第44页2.考查右轮盘面积改变，等于录像带厚度乘以转过长度，即3.考查t到t+dt录像带在右轮盘缠绕长度，有模型建立第二章初等模型《数学模型》姜启源主编45文库专用第45页思考3种建模方法得到同一结果但仔细推算会发觉稍有差异，请解释。模型中有待定参数一个确定参数方法是测量或调查，请设计测量方法。思考第二章初等模型《数学模型》姜启源主编46文库专用第46页参数预计另一个确定参数方法——测试分析将模型改记作只需预计a,b理论上，已知t=184,n=6061,再有一组(t,n)数据即可实际上，因为测试有误差，最好用足够多数据作拟合现有一批测试数据：

t020406080n0000114127603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得第二章初等模型《数学模型》姜启源主编47文库专用第47页模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下录像带能录184-116.4=67.6分钟节目。揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带状态改变时，只需重新预计a,b即可。第二章初等模型《数学模型》姜启源主编48文库专用第48页2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与一样多材料单层玻璃窗相比，降低多少热量损失假设热量传输只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导热量

T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3双层玻璃窗功效第二章初等模型《数学模型》姜启源主编49文库专用第49页dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导热量Q1Ta~内层玻璃外侧温度Tb~外层玻璃内侧温度k1~玻璃热传导系数k2~空气热传导系数建模第二章初等模型《数学模型》姜启源主编50文库专用第50页记单层玻璃窗传导热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2降低许作最保守预计，取k1/k2=16建模第二章初等模型《数学模型》姜启源主编51文库专用第51页hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与一样多材料单层玻璃窗相比，可降低97%热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是因为层间空气极低热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间经过天花板、墙壁……损失热量更多。双层窗功效不会如此之大第二章初等模型《数学模型》姜启源主编52文库专用第52页问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高需要，约定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y数量。设交换前甲占有X数量为x0,乙占有Y数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一个交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo••2.7实物交换第二章初等模型《数学模型》姜启源主编53文库专用第53页xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲无差异曲线分析与建模假如甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)含有一样满意程度，即p1,p2对甲是无差异，MN将全部与p1,p2无差异点连接起来，得到一条无差异曲线MN,

线上各点满意度相同,线形状反应对X,Y偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高点如p3，在另一条无差异曲线M1N1上。于是形成一族无差异曲线（无数条）。第二章初等模型《数学模型》姜启源主编54文库专用第54页p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1无差异曲线族性质：单调减(x增加,y减小)下凸(凸向原点)互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多

y换取较少x;在p2点占有y少、x多，就要以较多

x换取较少y。甲无差异曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）第二章初等模型《数学模型》姜启源主编55文库专用第55页xyOg(x,y)=c2c2

乙无差异曲线族g(x,y)=c2含有相同性质（形状能够不一样）双方交换路径xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙无差异曲线族g=c2

(坐标系x’O’y’,且反向）甲无差异曲线族f=c1ABp

P’

双方满意交换方案必在AB（交换路径）上因为在AB外任一点p’,(双方)满意度低于AB上点p两族曲线切点连线记作AB第二章初等模型《数学模型》姜启源主编56文库专用第56页ABp交换方案深入确定交换方案~交换后甲占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形内任一点交换路径AB双方无差异曲线族等价交换标准X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换标准下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点连线CDAB与CD交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x第二章初等模型《数学模型》姜启源主编57文库专用第57页第三章简单优化模型3.2生猪出售时机3.3森林救火3.4最优价格3.6消费者均衡数学模型《数学模型》姜启源主编58文库专用第58页现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数(不是函数)建立静态优化模型关键之一是根据建模目标确定恰当目标函数

求解静态优化模型普通用微分法静态优化模型第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编59文库专用第59页3.2生猪出售时机喂养场天天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，预计可使80千克重生猪体重增加2千克。问题市场价格当前为每千克8元，不过预测天天会降低0.1元，问生猪应何时出售。假如预计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间降低，故存在最正确出售时机，使利润最大第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编60文库专用第60页求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C预计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编61文库专用第61页敏感性分析研究r,g改变时对模型结果影响预计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r（相对）敏感度生猪天天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编62文库专用第62页敏感性分析预计r=2，g=0.1研究r,g改变时对模型结果影响设r=2不变t对g（相对）敏感度生猪价格天天降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编63文库专用第63页健壮性分析保留生猪直到利润增值等于天天费用时出售由S(t,r)=3提议过一周后(t=7)重新预计,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果影响w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),则（30%）天天利润增值天天投入资金第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编64文库专用第64页3.3森林救火森林失火后，要确定派出消防队员数量。队员多，森林损失小，救援费用大；队员少，森林损失大，救援费用小。综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。问题分析问题记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).损失费f1(x)是x减函数,由烧毁面积B(t2)决定.救援费f2(x)是x增函数,由队员人数和救火时间决定.存在恰当x，使f1(x),f2(x)之和最小第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编65文库专用第65页关键是对B(t)作出合理简化假设.问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编66文库专用第66页模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0

t

t1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1

t

t2,

降为-x

(

为队员平均灭火速度）4）每个队员单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）解释

rB火势以失火点为中心，均匀向四面呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编67文库专用第67页模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编68文库专用第68页模型建立目标函数——总费用模型求解求x使C(x)最小结果解释

/

是火势不继续蔓延最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

为已知参数第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编69文库专用第69页模型应用c1,c2,c3已知,t1可预计,

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

结果解释c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.为何?

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编70文库专用第70页3.4最优价格问题依据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数建模与求解收入支出利润深入设求p使U(p)最大第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编71文库专用第71页使利润U(p)最大最优价格p*满足最大利润在边际收入等于边际支出时到达建模与求解边际收入边际支出第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编72文库专用第72页结果解释

q/2~成本二分之一

b~价格上升1单位时销量下降幅度（需求对价格敏感度）

a~绝对需求(

p很小时需求)b

p*

a

p*

思索：怎样得到参数a,b?第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编73文库专用第73页q2U(q1,q2)=cq103.6消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品偏爱程度用无差异曲线族表示，问他怎样分配一定数量钱，购置这两种商品，以到达最大满意度。设甲乙数量为q1,q2,消费者无差异曲线族(单调减、下凸、不相交），记作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函数已知甲乙价格p1,p2,有钱s，试分配s,购置甲乙数量q1,q2,使U(q1,q2)最大.第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编74文库专用第74页s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知价格p1,p2,钱s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大几何解释直线MN:最优解Q:MN与l2切点斜率·MQN··第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编75文库专用第75页结果解释——边际效用消费者均衡状态在两种商品边际效用之比恰等于它们价格之比时到达。效用函数U(q1,q2)应满足条件A.U(q1,q2)=c

所确定函数q2=q2(q1)单调减、下凸解释B实际意义第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编76文库专用第76页效用函数U(q1,q2)几个惯用形式消费者均衡状态下购置两种商品费用之比与二者价格之比平方根成正比。

U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品偏爱程度。第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编77文库专用第77页购置两种商品费用之比与二者价格无关。

U(q1,q2)中参数,分别表示对甲乙偏爱程度。思索：怎样推广到m(>2)种商品情况效用函数U(q1,q2)几个惯用形式第三章简单优化模型《数学模型》姜启源主编78文库专用第78页第四章数学规划模型

4.3

汽车生产与原油采购4.5饮料厂生产与检修数学模型《数学模型》姜启源主编79文库专用第79页数学规划模型

实际问题中优化模型x~决议变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件多元函数条件极值决议变量个数n和约束条件个数m较大最优解在可行域边界上取得数学规划线性规划非线性规划整数规划重点在模型建立和结果分析第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编80文库专用第80页假如生产某一类型汽车，则最少要生产80辆，那么最优生产计划应作何改变？例1汽车厂生产计划汽车厂生产三种类型汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间需求，利润及工厂每个月现有量。小型中型大型现有量钢材（吨）1.535600劳动时间（小时）28025040060000利润（万元）234制订月生产计划，使工厂利润最大。4.3

汽车生产与原油采购第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编81文库专用第81页设每个月生产小、中、大型汽车数量分别为x1,x2,x3汽车厂生产计划模型建立

小型中型大型现有量钢材1.535600时间28025040060000利润234线性规划模型(LP)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编82文库专用第82页模型求解

3）

模型中增加条件：x1,x2,x3

均为整数，重新求解。

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.2581VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X164.5161290.000000

X2167.7419280.000000X30.0000000.946237ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.7311833)0.0000000.003226结果为小数，怎么办？1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，经过比较可能得到更优解。但必须检验它们是否满足约束条件。为何？第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编83文库专用第83页IP可用LINDO直接求解整数规划(IntegerProgramming,简记IP)“gin3”表示“前3个变量为整数”，等价于：ginx1ginx2ginx3IP最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632max2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3<600280x1+250x2+400x3<60000endgin3OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)632.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX164.000000-2.000000X2168.000000-3.000000X30.000000-4.000000模型求解

IP结果输出第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编84文库专用第84页其中3个子模型应去掉，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：方法1：分解为8个LP子模型汽车厂生产计划若生产某类汽车，则最少生产80辆，求生产计划。x1,x2,,x3=0或80

x1=80，x2=150，x3=0，最优值z=610第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编85文库专用第85页LINDO中对0-1变量限定：inty1inty2inty3方法2：引入0-1变量，化为整数规划

M为大正数，可取1000OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)610.0000VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X180.000000-2.000000

X2150.000000-3.000000

X30.000000-4.000000Y11.0000000.000000Y21.0000000.000000Y30.0000000.000000若生产某类汽车，则最少生产80辆，求生产计划。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80最优解同前

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编86文库专用第86页NLP即使可用现成数学软件求解(如LINGO,MATLAB)，不过其结果常依赖于初值选择。方法3：化为非线性规划

非线性规划（Non-LinearProgramming，简记NLP）

实践表明，本例仅当初值非常靠近上面方法算出最优解时，才能得到正确结果。

若生产某类汽车，则最少生产80辆，求生产计划。x1=0或

80x2=0或

80x3=0或

80第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编87文库专用第87页应怎样安排原油采购和加工

？

例2原油采购与加工市场上可买到不超出1500吨原油A：购置量不超出500吨时单价为10000元/吨；购置量超出500吨但不超出1000吨时，超出500吨部分8000元/吨；购置量超出1000吨时，超出1000吨部分6000元/吨。售价4800元/吨售价5600元/吨库存500吨库存1000吨汽油甲(A

50%)原油A原油B汽油乙(A

60%)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编88文库专用第88页决议变量

目标函数问题分析利润：销售汽油收入-购置原油A支出难点：原油A购价与购置量关系较复杂甲(A

50%)AB乙(A

60%)购置x

x11x12x21x224.8千元/吨5.6千元/吨原油A购置量,原油A,B生产汽油甲,乙数量c(x)~购置原油A支出利润(千元)c(x)怎样表述？第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编89文库专用第89页原油供给

约束条件x

500吨单价为10千元/吨；500吨

x

1000吨，超出500吨8千元/吨；1000吨

x

1500吨，超出1000吨6千元/吨。目标函数购置x

ABx11x12x21x22库存500吨库存1000吨第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编90文库专用第90页目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划；对于用分段函数定义c(x)，普通非线性规划软件也难以输入和求解；想方法将模型化简，用现成软件求解。

汽油含原油A百分比限制约束条件甲(A

50%)AB乙(A

60%)x11x12x21x22第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编91文库专用第91页x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A吨数目标函数

只有当以10千元/吨价格购置x1=500(吨)时，才能以8千元/吨价格购置x2方法1

非线性规划模型，能够用LINGO求解模型求解x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

500吨

x

1000吨，超出500吨8千元/吨增加约束x=x1+x2+x3,c(x)=10x1+8x2+6x3

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编92文库专用第92页方法1：LINGO求解Model:Max=4.8*x11+4.8*x21+5.6*x12+5.6*x22-10*x1-8*x2-6*x3;x11+x12<x+500;x21+x22<1000;x11-x21>0;2*x12-3*x22>0;x=x1+x2+x3;(x1-500)*x2=0;(x2-500)*x3=0;x1<500;x2<500;x3<500;x>0;x11>0;x12>0;x21>0;x22>0;x1>0;x2>0;x3>0;endObjectivevalue:4800.000VariableValueReducedCostX11500.00000.0000000E+00X21500.00000.0000000E+00X120.0000000E+000.0000000E+00X220.0000000E+000.0000000E+00X10.1021405E-1310.00000X20.0000000E+008.000000X30.0000000E+006.000000X0.0000000E+000.0000000E+00LINGO得到是局部最优解，还能得到更加好解吗？

用库存500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购置新原油A，利润为4,800千元。

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编93文库专用第93页y1,y2,y3=1~以价格10,8,6(千元/吨)采购A增加约束方法2

0-1线性规划模型，可用LINDO求解y1,y2,y3=0或1OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)5000.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTY11.0000000.000000Y21.0000002200.000000Y31.0000001200.000000X110.0000000.800000X210.0000000.800000X121500.0000000.000000X221000.0000000.000000X1500.0000000.000000X2500.0000000.000000X30.0000000.400000X1000.0000000.000000购置1000吨原油A，与库存500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元。x1,x2,x3~以价格10,8,6(千元/吨)采购A吨数y=0x=0x>0

y=1优于方法1结果第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编94文库专用第94页b1b2

b3

b4方法3

b1

x

b2，x=z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1,z2

0,c(x)=z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x190005000050010001500b2

x

b3，x=z2b2+z3b3，z2+z3=1，z2,z3

0,c(x)=z2c(b2)+z3c(b3).b3

x

b4，x=z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3,z4

0,c(x)=z3c(b3)+z4c(b4).直接处理处理分段线性函数c(x)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编95文库专用第95页IP模型，LINDO求解，得到结果与方法2相同.处理分段线性函数，方法3更具普通性bk

x

bk+1

yk=1,不然,yk=0方法3

bk

x

bk+1,x=zkbk+zk+1bk+1zk+zk+1=1，zk,zk+1

0,c(x)=zkc(bk)+zk+1c(bk+1).c(x)x190005000050010001500b1b2

b3

b4对于k=1,2,3第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编96文库专用第96页4.5饮料厂生产与检修单阶段生产计划多阶段生产计划生产批量问题企业生产计划考虑与产量无关固定费用给优化模型求解带来新困难外部需求和内部资源随时间改变第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编97文库专用第97页安排生产计划,满足每七天需求,使4周总费用最小。存贮费:每七天每千箱饮料0.2千元。例1饮料厂生产与检修计划在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每七天增产5千箱，检修应排在哪一周?

周次需求量(千箱)生产能力(千箱)成本(千元/千箱)115305.0225405.1335455.4425205.5累计100135

某种饮料4周需求量、生产能力和成本第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编98文库专用第98页问题分析除第4周外每七天生产能力超出每七天需求；生产成本逐周上升；前几周应多生产一些。周次需求能力11530225403354542520累计100135成本5.05.15.45.5

饮料厂在第1周开始时没有库存；从费用最小考虑,第4周末不能有库存；周末有库存时需支出一周存贮费；每七天末库存量等于下周初库存量。模型假设

第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编99文库专用第99页目标函数约束条件产量、库存与需求平衡决议变量

能力限制非负限制模型建立x1~x4：第1~4周生产量y1~y3：第1~3周末库存量周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5存贮费:0.2(千元/周•千箱)第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编100文库专用第100页模型求解

4周生产计划总费用为528(千元)最优解：x1~x4：15，40，25，20；

y1~y3：

0，15，5.周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5产量15402520库存01550LINDO求解第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编101文库专用第101页检修计划0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）在4周内安排一次设备检修，占用当周15千箱生产能力，能使检修后每七天增产5千箱，检修应排在哪一周?

检修安排在任一周均可周次需求能力11530225403354542520成本5.05.15.45.5约束条件能力限制产量、库存与需求平衡条件不变第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编102文库专用第102页增加约束条件：检修1次检修计划目标函数不变0-1变量wt：wt=1~检修安排在第t周(t=1,2,3,4）LINDO求解总费用由528千元降为527千元检修所造成生产能力提升作用,需要更长时间才能得到充分表达。最优解：w1=1,w2,w3,

w4=0;x1~x4：15,45,15,25；

y1~y3：0,20,0.第四章数学规划模型《数学模型》姜启源主编103文库专用第103页例2饮料生产