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二次函数及其性质二次函数的含义：一般地，把形如的函数叫做二次函数，其中是自变量，是因变量，自变量的最高次数为，是常数.二次函数的性质：对二次函数表达式配方，得到二次函数的顶点式：二次函数的顶点坐标为；二次函数的图象是一条抛物线；EQ\o\ac(○,1)当时，二次函数图象开口朝上；当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，二次函数图象在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增；该二次函数在对称轴处取得最小值，无最大值；EQ\o\ac(○,2)当时，二次函数图象开口朝下；当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，二次函数图象在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减；该二次函数在对称轴处取得最大值，无最小值；在二次函数中，若令函数值，则得到一个一元二次方程.在此，我们研究二次函数与一元二次方程的关系.为讨论方便，在此，我们只讨论的情况.方程的判别式方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实数根方程的根无解函数的图象（示意图）函数与轴交点个数及横坐标两个一个无交点由上述一元二次方程与二次函数的对应关系，可知，当函数图象与轴有交点时，原函数可以表示为，其中是二次函数图象与轴交点的横坐标.二次函数的三种表达方式总结：一般式：；顶点式：，其中顶点坐标为交点式（两根式）：，其中是二次函数图象与轴交点的横坐标.例题讲解例1：已知二次函数满足，且的最大值是，求的表达式.解：又因为的最大值是所以可设为顶点式，将点代入，得，即：的表达式为.例2：已知二次函数满足条件和.求；（2）在区间上的最大值和最小值.解：（1）设，因为满足条件和，代入，得，化简，得，即，解得：，即：.由二次函数解析式可知：该二次函数开口朝上，对称轴为直线，在给定区间上的单调性为从单调递减，单调递增，比较两端点值大小，得，综上所述，在区间上的最大值为，最小值为.自我检测若二次函数的图象过点，求的表达式.若二次函数的图象过点，并且，求的表达式.已知函数，并且函数的最小值为，则实数的取值范围.已知二次函数，求的最小值.参考答案由题干可知，该二次函数过给定的三个点，既可以设一般式，也可以设两根式，而两根式较为容易.因为二次函数的图象过点，故设，把点代入，得：，即：的表达式为.由题干可知，二次函数在处取到最小值，因此该二次函数开口朝上，顶点为，故可以设的表达式为.因为的图象过点，把点代入，得，即：的表达式为.二次函数开口朝上，对称轴为直线，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增， 题干所给函数在区间右端点处取到最小值，故所给区间完全在对称轴左侧，则. 即：实数的取值范围为.4.二次函数开口朝上，对称轴为直线，对称轴左侧单调递减，对称轴右侧单调递增，因此，只需讨论所给区间与对称轴的位置关系即可.EQ\o\ac(○,1)当时，所给区间完全在对称轴的右侧，在上单调递增，最小值；EQ\o\ac(○,2)当时，所给区间完全在对称轴

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