新人教A版必修一 集合 复习 学案

集合与函数概念

学习目标1.构建知识网络，理解其内在联系；2。盘点重要技能，提炼操作要点；3.体会数学

思想，培养严谨灵活的思维能力.

要点归纳主干梳理点点落实

［知识网络］

~।确定性।

_।概念।~।元素特性।--------1互并性।

―।无序性।

----------T列举法

——表示方法T=I

----------T描述法|

集合

集

合

与

函

数

概

念

函数

.__________.——|单调性与最大（小）值|

_基本性质卜一.-------------

二---------I奇偶性I

q映射-I概念

［知识梳理］

1.本章基本技能梳理

本章用到以下技能：

（1）运算技能主要表现在求并交补集，求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶

性的证明和应用中大量的方程、不等式运算,以及式子的变形等.

（2）图形处理技能包括识图能力和作图能力.识图主要体现在给出Venn图，数轴，函数图象，

要能从中读出相关信息；作图能力体现在给出集合间的关系或运算，能用Venn图或数轴表

示，给出函数解析式或性质，能画出相应图象.

(3)推理技能主要体现在给出子集、并集、交集、补集、函数、定义域、值域、最值、单调

性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的集合和函数问题.

课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理;还有一些类比：

如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等.

(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于

发现数据的内在规律.

(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数

表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而

又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作.

(6)运用信息技术的技能主要表现在应用网络资源拓展知识，了解数学史及发展前沿，以及

应用计算机强大的计算能力描点作图探究新知等方面.

2.数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思

想方法：

(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过

研究函数性质解决诸如最大、最优等问题.

(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定

义域大多转化成解不等式,求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域.

(3)分类讨论主要体现在集合中对空集和区间端点的讨论，函数中主要是欲去绝对值而正

负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨.

(4)数形结合主要体现在用数轴求并交补集，借助函数图象研究函数性质.

题型探究重点难点个个击破

类型一集合的综合运算

例1已知集合4={xI0<xW2},B={xI

(1)若((RA)UB=R,求〃的取值范围；

(2)是否存在a使([RA)03=11且4门8=0?

解(1)：A={x|0WxW2},

，[R4={xIx<0或x>2].

V(CRA)U8=R.

B

a02a+3

，错误！.•.一iWaWO。

(2)由(1)知([RA)U8=R时，

-iWaWO,而a+3£[2,3],

.♦.AUB,这与4nB=。矛盾.

即这样的〃不存在.

反思与感悟借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、

虚实不能标反.

跟踪训练1已知全集1/={x|xW4},集合A={x[—2<xV3},集合B={x\—3<xW3},

求[4，ACiB,[u(AC8),([yA)08.

解把集合U及集合A,B分别在数轴上表示出来.

奇，"[_____.

-3-2-101234X

如图，

[以={xIxW-2或3WxW4},AC8={x|-2<x<3},

[u(ACB)={xIxW—2或3<x<4},

(C(/A)l~lB—{xI—3<xW—2或x=3}.

类型二函数三要素在实际问题中的应用

例2某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力,特修一条专用铁路，用一

列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7

节车厢，则每天能来回10次.

(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域;

(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最

多？并求出每天最多运营人数.

解(1)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y=H+6(k¥0),当x=4时,y=16,当

x=7时，y=10,得到16=4化+瓦10=7上+6,解得后=-2力=24,，y=-2x+24.

依题意有错误！

解得定义域为{xCN|0WxW12}.

(2)设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，

设每天拖挂S节车厢，则S=xy=M—2x+24)=-2f+24x=—2(x—6)2+72,xG[0,12]

且XCN.所以当x=6时,Smax=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110X72=7920(人).

故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.

反思与感悟建立函数模型如本例(1)中的y=-2x+24,(2)中S=-2f+24x是借助函数研

究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表

示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束，如本例中x不能

为负值，不能为错误!等.

跟踪训练2某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50kg时，单价为加元;若一次购买大米

超过50kg时，其超出部分按原价的90%计算，某人一次购买了xkg大米，其费用为y元，则y

与x的函数关系式y=o

答案错误！

解析当0WxW50时，当x>50时，y=50/n+(%—50)X90%-w=0.9>7ir+5/n.

类型三函数性质的综合运用

例3函数f(x)的定义域为。={xIx#0},且满足对于任意两，X2^D,有段"2)=f5)

+fix2).

(1)求f(1)的值；

(2)判断於)的奇偶性并证明你的结论；

(3)如果式4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+8)上是增函数，求x的取值范围.

解(1)；对于任意片,X2&D,

有f(X「X2)=/3)+f(X2)，

♦•♦令X]=X2=i,得/(i)=母'(1),«*.y(1)=0o

(2»(x)为偶函数.

证明：令xi=x2=—1,有/(1)=x—i)+y(—1),

错误!犬1)=0.

令两=一1,由=工有共一*)=/(—i)+yu),

•V(-%)=/(x),."(x)为偶函数.

(3)依题设有式4X4)=犬4)+/(4)=2,

由(2)知，«r)是偶函数，

：.f(x-l)<2«-/(Ix-l|)J(16).

又4x)在(0,+8)上是增函数.

.\0<|%-1|<16,解之得一15&V17且xWl.

；.尤的取值范围是国一15a<17且xri}.

反思与感悟题目给出的条件是任意的，M,那么我们就可以根据自己的需要对XI,必任意赋值,

但关键是你得知道自己想要什么，即清楚自己的变形方向.

跟踪训练3对于函数大幻=/一2Ix\.

(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；

(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.

解(1)函数的定义域为R,关于原点对称，

J(—x)=(—x)2—2I—xI=x2—2IxI.

则_A-x)=〃)，，f(x)是偶函数.

图象关于y轴对称.

(2)f(x)=x2-2|xI=错误!

画出图象如图所示，

根据图象知，函数人x)的最小值是一1,无最大值.

单调增区间是[-1,0],[1,+8)；单调减区间是(-8,一门，[0,门.

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1.已知集合加={xI-3<X<1},N={-3,—2,—1,0,1},则MGN等于0

A.{—2,-1,0,1}

B.{—3,—2,—190}

C.{—2,—1,0}

D.{-3,—2,—1)

答案C

解析运用集合的运算求解.MCN={-2,-1,0},故选C.

2.已知集合「={布=错误！}，集合。={如，=错误！},则尸与Q的关系是()

A.P=QB.PQ

C.PQD.PAQ=0

答案B

解析P={xI>=错误！}=[—1,+°°),Q={>仅=错误！}=[0,+°°),所以。P.

3.设函数/(x)=错误!则/(-4)=,若/(松)=8,则对=.

答案18一错误!或4

解析|-4)=(-4)2+2=18,

由f(沏)=8,得错误!或错误！

得心=一错误！，或刖=4。

4.已知集合A={x[2—aWxW2+a},B={xIxWl,或x》4}.

(1)当a=3时，求AC1B；

(2)若AC8=0,求实数a的取值范围.

解(1)当a=3时，A—{x|—1WXW5},B={xIxWl,或x24},

.,.ACIB={X|-1WXW1,或4WxW5}.

(2)①若4=0,此时2—a>2+a,

.,.a<0,满足4门8=0。

②当a20时，A={x\2-a^x^2+a}W。,

VADB=0,，错误！...OWaVl.

综上可知，实数”的取值范围是(一8,1).

f---------■■规律与方法■■---------1

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检

验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点:一是定义域是否相同；二是对应关系是

否相同.

3.定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义

域上进行.

4.函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法.

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一、选择题

1。设全集U=R,W={xIx(-2,或x>2},N={x[l<x<3},则图中阴影部分117

所表示的集合是()

A.{x|-2&<1}B.{xI—2WxW2}

C.{xI1CW2}D.{x\x{2}

答案C

解析阴影部分所表示集合是Nn([uM),

又•.,[〃/={X|-2WA<2},

：.NQ([uM)={x|l〈xW2}.

2.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+8)上单调递减的函数是()

A.y—x2B.y—x*12

I

23

C.y=xD.y=x

答案A

3.定义在R上的偶函数f(x),对任意x”检6[0,+8)(西士忿)，有错误!<0，则()

A./(3)</(-2)勺⑴B../(l)<X-2)<f(3)

C./(-2)</,(1)</(3)D./(3)</(1)<7(-2)

答案A

解析由已知错误!<0,

得f(x)在xC［0,+8)上单调递减，

由偶函数性质得了(3)<7(-2)</(1)，故选A。

4.函数/0)=以2+2(«-1)x+2在区间(一8,4］上为减函数，则a的取值范围为()

A.0<aW错误!B.OWaW错误！

C.0<a<错误!D.a>错误！

答案B

解析当a#0时，函数f(x)的对称轴为x=一错误!，

"-"fix')在(-8,4］上为减函数，

.•.图象开口朝上，。>0且一错误！24,得0<aW错误！。

当a=0时/(x)=-2r+2,显然在(一8,4］上为减函数.

5.给定映射声(x,y)f(x+2y2x—y),在映射了下，(3,1)的原像为()

A.(1,3)B.(1,1)

C.(3,1)D.(错误!，错误！)

答案B

解析由错误！得错误！

6.已知函数f(x)是(-8,0)U(0,+8)上的奇函数，且当x<0时，函数的图象如图所

示，则不等式对Yx)<0的解集是()

A.(-2,-1)U(1,2)

B.(-2,-1)U(O,1)U(2,+8)

C.(-8,-2)U(-1,O)U(1,2)

D.(-00,-2)U(-l,0)U(0,1)U(2,+8)

答案D

7.函数y=/(x)对于任意x,yeR,有./(x+y)=/(x)+J(y)—11当x〉0时,/(x)>1,且/

(3)=4,则()

A.f(x)在R上是减函数，且./U)=3

B.f(x)在R上是增函数，且式1)=3

C.fix')在R上是减函数，且/(I)=2

D.f(x)在R上是增函数，且_/U)=2

答案D

解析设片气，/(乃)-f(Xi)

=H(%2—Xl)+M]—f(X|)

=凡必一xi)+y(xi)—i—X-«i)—fix2—xi)—i.

V%2—X])0,又已知X〉0时/(x)〉1,

••f(X2—X|))1O

，/(X2)-,A-V|))0,即7(X|)(f(x2).

.V(x)在R上是增函数.

：/3)=式1+2)=/(l)+X2)-l

=yu)+ww(i)-i]-i

=3/(l)-2=4,

：.f(1)=2.

二、填空题

8.设集合A={x|l〈x<2},B={xIx<«},满足AUB,则实数a的取值范围是

答案{aI心2}

解析如图，可知a22。

12ax

9.如果函数g(x)=错误!是奇函数，则f(x)=.

答案2r+3

解析设x<0,则一x>0,g(—x)——2x—3»

•；g(x)为奇函数,

.,./(.X)—g(x)=—g(—x)=2x+3.

10.己知定义在R上的奇函数满足f(x)=X2+2X(X>0),若f(3一m2)牙(2机)，则实数机

的取值范围是.

答案(一3,1)

解析因为函数/(X)=f+2x在［0,+8)上是增函数，又/(x)是R上的奇函数,所以了

G)是R上的增函数.要使/(3—病)»2m),只需3—毋〉2m,

解得一3<,"<1。

三、解答题

11.已知函数/(x)=错误!是定义在(一1,1)上的奇函数，且大错误！)=错误!•

(1)确定函数/U)的解析式；

⑵用定义证明:火X)在(一1,1)上是增函数；

(3)解不等式：f(r-1)+./(?)<0o

(1)解由题意，得错误！

即错误!=错误！

所以函数40=错误!.

(2)证明任取的用6(—1,1)且X|〈X2,则

(X］)=错误！一错误！

=错误!。

—1〈尤］<%2<1，

'.X2-X\)0,1+x错误！〉0,l+;v^误!>0.

又1〈X］X2〈1,二1一西电〉0。

-V(x2)-f(Xi))0,故八必)〉於1).

.../(X)在(-1,1)上是增函数.

(3)解原不等式可化为

/(r-D