山东高考大题答

三角函数

2012(17)(本小题满分12分)

已知向量m-(sinx,1),〃=(6Acosx,-cos2x)(A>0),函数f(x)-mn的最

大值

为6.

(I)求4；

(n)将函数y=/(x)的图像向左平移多个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩

短为原来的十倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图像，求g(x)在[0,费

上的值域.

(17)解：(I)n

-6Asinxcosx+gcos2x

=A吟■sin2x+acos2x)

=4sin(2x+乌)

o

因为A>0,

由题意知A=6.

(n)由(I)/(x)=6sin(2x+f)

o

将卜=/(X)的图象向左平移多个单位后得到

y=6sin[2(x+多)+制=6sin(2x+1)的图象；

再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的孑倍，纵坐标不变，得到

y=6sin(4x+专)的图象.

因此

g(x)=6sin(4x+多,

因为

所以

4x+[e号,普],

所以

sin(4x+^)e[-1,1],

所以g(x)在[0,察]上的值域为L-3,6].

201117.(本小题满分12分)

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

cosA-2cosC2c-a

----------------=------.

cosBb

(I)求皿的值；

sinA

(II)若cosB,，b=2,2M8C的面积S。

4

17.解：

(I)由正弦定理，设，二=—也=」=左，

sinAsin3sinC

Ijllj2c-a_2ksinC-ksinA_2sinC-sin/

、hksinBsinB

所以cos/-2cosc_2sinC-sinJ

cos5sin5

B|J(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB,

化简可得sin(4+3)=2sin(H+C).

34.A-\rB-VC—71,

所以sinC=2sinJ

因此包£=2.

sin4

(II)由s'"C=2得c=2a.

sinA

由余弦定理

h1=a2+c2-2accos5及cosB=—,h=2,

4

得4=M4-4/-4/xL

4

解得a=l。

因此c=2

又因为cos5=—,0<B<7V.

所以sin3=@5.

4

因此S=#sin*xlx2x哈乎.

2010

三、解答题：本大题共6小题，共74分.

（1T（本小题满分12分）

已知函数/(x)=£sin2xsin0+cos2xcos1.（1+3（0</开），其醒过点（

cp--sin).

2

（I）求0的值；

（U）将函数y=/（x）的嬲上各点的横坐标缩短到原来的g,纵坐标不变，得到函数y=g（x）的嬲,

求函数g（x）在乩：：上的最大值和最小值.

JT1

【解析】（I）因为已知函数图鎏过点（Ft），所以有

62

11„.27T\.（n\所看

—=—sin2x—sm<p+cos—cossin—+<p开），日N有

22662\2J

1=—sin<p+—cos<p-cos^(0<<z<7r)=sin(<p+—所以协•至=三，解得0=之.

226623

■Jr17r2汗1.

(II)由(I)知<P=—>所以/(x)=$sin2xsin—+cosxcos---sm(0<汨⑴

32

^sin2x+-213.cJ1+cos2x11.

cosx—=—sin2x+-x-=---—--s-i-n--Q---x-+5,

42442242

所以g（x）」sin（4x+为，因为xe电所以4x+3e[T留],

264666

所以当4x+j=至时，g（x）取最大值1；当4x+^=至或至时，g（x）取最小值1.

6226664

【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及三角函数的最

值问题、分析问题与解决问题的能力.

2009（17）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

设函数/(x)=cos(2x+y)4-sin2x。

(I)求函数/(x)的最大值和最小正周期;

(II)设A,B,C为A48C的三个内角，若cos8=；,/(1)=-；,且C为锐角，求

sin4。

17.(1)f(x)=cos(2x+—)+sinx.=coszxcos---sin2xsin——I---------=------sin2x

333222

所以函数f(x)的最大值为匕正，最小正周期》.

2

(2)/(-)=--—sinC=--,所以sinC=立，因为C为锐角，所以C=工,

222423

又因为在AABC中，cosB=-,所以sin5=-V2,所以

33

2]]

sinA=sin(B4-C)=sinBcosC+cosSsinC=—V2x—+—x——=

32322

2008(17)(本小题满分12分)

已知函数於)=6sin(m+夕)-cos(3+8)(0<(p<n,co>0)为偶函数，且函数y=f(x)

7T

图象的两相邻对称轴间的距离为一.

2

(I)求/(巴)的值；

8

(II)将函数y=/(x)的图象向右平移三个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到

6

原来的4倍，纵坐标不变，得到函数歹=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.

解：(I)/(x)=gsin(3+9)-cos(©+9)

=2——sin(3+o)——cos(6Z2t+(p)

=2sin(S+8——)

6

因为人口为偶函数，

所以对x£R,/(-x)4x)恒成立，

因此sin(-©+夕-%)=sin(3+。--).

66

nn7T7V7T7T

即-sinCf)xcos((p-—)+cosCf)xsin((p--)=sinCOXcos((p-—)+cosOJxsin((p-—),

6666

整理得sinmcos（夕-土）=0.因为0）>0,且xCR,所以cos((p)=0.

66

“冗

又因为OVQCw,故9-友=%.所以fix)—2sin(COX+—)=2cosCOX.

62

2〃"—兀rlLI、I

一=2——,所以CD=2.

山题意得co2

故y（x）=2cos2x.

因为/（^）=2cos^=V2.

（H）将外）的图象向右平移个27F个单位后，得到/（x-7生T）的图象，再将所得图象横坐标

66

伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到/•（土X-生7T）的图象.

,46

X7T

当2k冗&-----<2左刀+冗（左BZ）,

23

即4%"+子（%GZ）时，g（x）单调递减.

因此g（x）的单调递减区间为te+y,4^+y（A：ez）

2007（20）（本小题满分12分）如图,甲船以每小时300海里的速度向正北方向航行，乙

船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于4处时，乙船位于甲船的北偏西105°的方向用处，此

时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达4处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的

B2处,此时两船相距10&海里，问乙船每小时航行多少海里？

解：如图，连结4名，A2B2=\Q41,x30V2=10V2,

~60

鸟是等边三角形，/44为=105。-60。=45。，

在入41与4中，由余弦定理得

B[B；=A[B；+A]B；-2A[B1-432cos45。

/y

=202+(10V2)2-2x20xl0V2x^-=200

B[Bz=106.

因此乙船的速度的大小为U^2X60=30叵.

20

答：乙船每小时航行30旅海里.

二、数列

2012(20)(本小题满分12分)

在等差数列｛4｝中，%+%+%=84,“9=73.

(I)求数列｛《,｝的通项公式；

(n)对任意meN*,将数列①｝中落入区间(9加,92)内的项的个

数记为｛〃｝,求数列也,｝

的前〃，项和S,”.

(20)解：(I)因为｛4｝是一个等差数列，

所以%+为+%=3%=84，艮P«4-28.

所以，数列｛%｝的公差d==%2s=9-

所以,a„=%+(〃—4)d=28+9(/7-4)=9〃—8N*)

(n)对/weN*,若9'"<a„<92m,

则9"'+8<9〃<92'"+8,因此9"，T+IW〃W92"I,

2mm

故得bm=9-'-9

于是S,„—bt+b2+b3+...+b,„

=(9+93+95+...+92m-')-(l+9+92+...+9m-')

=9x(1-81"')i-9-

=-1^81P9-

一92——ox*1

~80

201120.(本小题满分12分)

等比数列｛《,｝中，外生吗分别是下表第一、二、三行中的某

一个数，且生吗中的任何两个数不在下表的同一列•

第一列第二列第三列

第一行3210

第二行6414

第三行9818

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(II)若数列也｝满足:6,=a“+(—l)lna,,求数列｛4｝的前n项和S”.

20.解：(I)当q=3时，不合题意；

当q=2时,当且仅当叼=6M3=18时,符合题意；

当q=10时、不合题意。

因此.=2,出=6,q=18,

所以公式q=3,

故%=2-3”1

(II)因为6”=a”+(-1)"Inan

=2-3n-1+(-l)nln(2-3fl-|)

=2-3"T+(-l)"[ln2+(n-l)ln3]

=2-3"T+(-1)”(In2-ln3)+(-1)"nIn3,

所以

2n_12Bn

52„=2(l+3+---+3)+[-l+l-l+---+(-l)](ln2-ln3)+[-l+2-5+---+(-l)/7]ln3,

所以

当n为偶数时，S,,=2xT+21n3

1-32

n

=3"+-ln3-l;

2

当n为奇数时，S“=2x匕之一(ln2-ln3)+(七4一〃)ln3

1-32

=3"--In3-ln2-l.

2

综上所述,

3"H—In3—1,〃为偶数

2

s,尸

3"-34n3Tn2-l,n为奇数

2

2010（18）（本小题满分12分）

己知等差数列｛/｝满足：«3=7,a5+a7=26,｛4｝的前〃项和为S”.

（I）求凡及；

（II）令6,产」一（neN*）,求数列也,｝的前〃项和Tn.

a：

【解析】（I）设等差数列｛凡｝的公差为d,因为%=7，%+%=26,所以有

a.+2d=l

<，解得a,=3,d=2,

+104=261

所以q=3+2(〃一l)=2n+l；5„=3n+^|^x2=n2+2n。

(II)由(I)知a“=2n+l,所以仇产」一=——二一

"a„2-l(2n+l)2-l

所以T='-(i-L+_L-_L+...+1_L-1_L)=_1L.a__1L)=n

"4223nn+14n+14(n+l)

n

即数列｛"｝的前〃项和7；

4(n+l)

200920.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

等比数列｛q｝的前n项和为S",已知对任意的〃eN,,点均在函数卜=bx+r（/>>0

且6W1,b,r均为常数）的图象上。

（I）求r的值。

（II）当b=2时，记a

证明：对任意的，不等式成立史［•小］•…砧］>必?工1

Ab2b„

20.解:因为对任意的〃eN+,点（〃,S,,）,均在函数丁=6'+"6>0月出。1,6/均为常数的

图像上.所以得S“=6"+r，当〃=1时，a^St=b+r,当〃22

时,an=Sn-S,i=b"+r-(b"T+r)=b"-6"T=S-1)〃T,又因为｛q｝为等比数列，所以

r=一1,公比为6M=(b—l)6"T

n

(2)当b=2时，q,=S-l)b"T=2"T,b„=2(log2an+1)=2(log22-'+1)=2»

n,6+12〃+l“­"+14+1bn+13572〃+l

bn2nb、b2bn2462n

下面用数学归纳法证明不等式上也­叱1……4土1=2.^,1...也1＞而T成立.

b[b2bn2462n

①当〃=i时，左边=3，右边=挺，因为』＞V2，所以不等式成立.

22

②假设当—时不等式成立,即胃胃…牛小胃…筌〉•成立・

则当〃=4+1时，左边=叱、乡土!•bk+lbk+l+i_3572左+12k+3

=-

bkbk+l24-6

b\b22k2k+2

＞标2=、叵—+4(A”+L/)+】+」＞再而

2k+2N4()1+1)V4(%+l)V4(4+1)、

所以当〃=左+1时，不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

2008(19)(本小题满分12分)

将数列｛%｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

ai

^2^3

a4a5a6

a728a9aio

记表中的第一列数ai，a2.a4.a7,…构成的数列为｛小｝力尸。1=1.S〃为数列｛儿｝的前n项

2b

和，且满足-----厂=1(〃》2).

b〃S"-S-"

(I)证明数列｛—｝成等差数列，并求数列｛儿｝的通项公式；

S”

(II)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公

4

比为同一个正数.当%।=一.时，求上表中第无伏》3)行所有项和的和.

(I)证明：由已知，

2b〃一

b凡-S；'

又=4+%+…+b,[,

23』)

所以=1,

(s”-s,i电-s)

20—S,Q

即=1,

-s*n

ii]_

所以

SnSi5'

又S]=/>I=«1=1.

1

所以数列是首项为1，公差为项等差数列.

由上可知—=l+-(/7-l)=—

S.22

2

即S〃

w+1

222

所以当心2怀bn=S「S,

n-l«+1nn{n+1).

n=\

b.n

2

〃22.

(II)解:设上表中从第三行起，每行的公比都为g,且g>0.

,c…12x13re

因为1+2+…+12=---------=78,

2

所以表中第1行至第12行共含有数列｛小｝的前78项,

故弥在表中第13行第三列,

,4

因止匕%=%q-=-§]■.

2

又43

13x14,

所以q=2.

记表中第以人》3)行所有项的和为S,

2

(1—2")(栏3).

左(〃+1)

2007(17)(本小题满分12分)设数列｛%｝满足q+3%+32%+…3"T/N*.

⑴求数列｛为｝的通项；(H)设〃,=一,求数列也｝的前〃项和S”.

11Ho1H—L

解:

:(I)(7(+3/+3~/+..・3"一,a1+3%+3~/+・・・3"〜。〃一=—^―(/?>2),

3K"早4…%="(〃？2).

验证〃=1时也满足上式，%=!(〃£N、

(II)bn-n-3",

5„=l-3+2-32+3-33+...n-3n

35„=l-32+2-33+3-34+...»-3n+l

一2s“=3+32+33+3”-〃0向

O_ow+1

-2S=——-n-3"+i,

'1-3

S=-.3n+'---3n+'+--

n244

三、立体几何

2012(18)(本小题满分12分)

在如图所示的几何体中，四边形N3C。是等腰梯形，

ABCD,ZDAB=60°,FC±平面ABCD,AE工BD,

CB=CD=CF.

(I)求证平面〃;

(n)求二面角F-BD-C的余弦值.

(18)(I)证明：因为四边形/BCD为等腰梯形,4BCD,ZD/6=6(r,

所以NZOC=N6CO=120。.

又CB=CD,

所以ZCDB=30°

因此ZADB=90。，ADLBD,

又AELBD,且=N,NE,NOu平面/E。,

所以8。，平面NE。.

(n)解法一：

由(1)知/。，8。,所以/CJ.8C,又EC_L平面4SC。,

因此CA,CB,CF两两垂直.以C为坐标原点，分别以CA,CB,CF所在

的直

线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设C8=l,则，

C(0,0,0),5(0,1,0),0(孚,弓，0),尸(0,0,1),

因此丽=(冬今。),前=(0,-1，1).

设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),

贝！］m-BD=0,m-BF=0,

所以x=Ky=y/3z，取z=1,

则/〃=(6,1,1).

又平面BDC的法向量可以取为〃=(0,0,1),

所以cos<m,n>=m'n'=-L=,

\m\\n\y/55

所以二面角尸-8。-。的余弦值为号.

解法二：

取8。的中点G，连结CG,EG,由于C3=C。，

所以CG_L8。.

又平面/8CO,8。u平面/BCD,

所以EC，8。.

由于ECC|CG=C,尸C,CGu平面ECG,

所以8。_L平面ECG，故8。LEG.

所以ZFGC为二面角F-BD-C的平面角.

在等腰三角形88中，由于N8C0=12O。，

因止匕CG==C8,又CB=CF,

所以CF=JOG?+C产=辰:G,

故cosNFGC=等

因此二面角尸--C的余弦值为第.

2011

19.（本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为

平行四边形，ZACB=90°,EA,平面ABC

D,EF//AB,FG〃BC,EG〃AC.AB

=2EF.

（I）若M是线段AD的中点，求证：GM

〃平面ABFE;

(II)若AC=BC=2AE,求二面角A-BF-C的大小.

19.(I)证法一:

因为EF〃AB,FG//BC,EG//AC,NACB=9

所以NEGF=90°,\ABCs庄FG.

由于AB=2EF,

因此，BC=2FC,

连接AF,由于FG〃BC,FG=-BC,

2

在/BCD中，M是线段AD的中点,

贝（JAM//BC,^.AM=-BC,

2

因此FG//AM且FG=AM,

所以四边形AFGM为平行四边形，

因此GM//FAo

又R1U平面ABFE,GM(z平面ABFE,

因此，BC=2FC,

取BC的中点N,连接GN,

因此四边形BNGF为平行四边形，

所以GN//FB,

在中，M是线段AD的中点，连接MN,

则MN//AB,

因为MNCGN=N,

所以平面GMN〃平面ABFEo

又G"u平面GMN,

所以GM〃平面ABFEo

(II)解法一：

因为ZJC8=90。,所以NCAD=90。，

又比1平面ABCD,

所以AC,AD,AE两两垂直，

分别以AC,AD,AE所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所法

的空间直角坐标系,

不妨设AC=BC=2AE=2,

则由题意得A(0,0,0,),B(2,-2

C(2,0,0,),E(0,0,1),

所以方=(2,—2,0),元=(0,2,0),

又EF=MB,

2

所以尸(1,-1,1),旃

设平面BFC的法向量为加=(X]，M，Z|),

则m-BC=0,m-BF=0,

所以＜"取Z]=1得％=1,

g=4，

所以机=(1,0,1),

设平面ABF的法向量为”=(w，必,?2),

则〃了=0,〃^O,

所以仁〉取—

则〃=(1,1,0),

所以cos(m,n\--

因此二面角A—BF—C的大小为60。.

解法二：

由题意知，平面，8汽£_1平面ABCD,

取AB的中点H,连接CH,

因为AC=BC,

所以,

则CH_L平面ABFE,

过H向BF引垂线交BF于R,连接CR,

贝ljCR1BF.

所以为二面角A—BF—C的平面角。

由题意，不妨设AC=BC=2AE=2。

在直角梯形ABFE中，连接FH,

则又AB=26,

所以“尸=NE=1,8H=仓

因此在Rt\BHF中，HR=—.

3

由于="

2

/y

所以在RtACHR中，tanZHRC="=瓜

V6

~T

因此二面角A—BF—C的大小为60。.

2010

(19)(本小题满分12分)

如图，在五棱锥PTBCOfi'中，R1_L平面A8CCE,AB//CD,AC//ED,

AE//BC,N/8C=45°,/3=2亚，BC=2AE=4,三角形以8是等腰三

角形.

(I)求证：平面PC。_L平面以C：

(II)求直线PB与平面PCD所成角的大小；

(III)求四棱锥尸一/8E的体积.

【解析】(1)证明：因为NN2C=45°,AB=2y[2,BC=4,所以在AABC中，由余弦定理

得：AC2=(2V2)2+42-2x272x4cos45u=8,解得AC=2&,

所以AB?+AC2=8+8=16=BC2,即ABJ.AC,又总L平面Z8CDE,所以以，AB,

又PACAC=A,所以AB_L平面PAC,又AB〃CD,所以COJ•平面PAC,又因为

CDu平面PCD,所以平面PCDJ_平面以C；

(II)由(I)知平面PC0J_平面/MC,所以在平面RIC内，过点A作AHJ.PC于H,

则

AH,平面PCD,又AB〃CD,Z8•平面PCD内，所以4?平行于平面PCD,所以点A

到平面PCD的距离等于点B到平面PCD的距离，过点B作BOL平面PCD于点O,则

NBPO为所求角，且AH=BO,又容易求得AH=2,所以sin/BPO=—,即NBPO=30°,

2

所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30°；

(III)由(I)知8J_平面PAC,所以CZ)J_AC,又AC"ED,所以四边形ACDE是

直角梯形，又容易求得DE=挺，AC=2V2,所以四边形ACDE的面积为

-(72+272)x72=3,所以四棱锥P—/8E的体积为』x2®x3=20。

23

2009

(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)

如图，在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，AB//

CD,AB=4,BC=CD=2,Z4,AB的中点。

(1)证明：直线Eg〃平面/CG；

(II)求二面角8-尸G—C的弦值。

18.解法,：(1)在直四棱柱ABCD-A|B|C|D|

连接AQ,GF”CF”因为AB=4,CD=2,且AB//CD,

所以CD2AB，ABCD为平行四边形，所以CFJ/AQ,

又因为E、E1分别是棱AD、AA1的中点，所以EEJ/AQ,

所以CFJ/EEi,又因为Eg(Z平面FCC],U平面FCC

所以直线EE/H湎FCC].

(2)因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF,4BCF为正三角形，取CF

的中点0,则0BLCF,又因为直四棱柱ABCD-A|B|C|D|中,CC|J_平面ABCD,所以CC」

B0,所以0BL平面CCF,过O在平面CC(F内作0P_LGF,垂足为P,连接BP,则/0PB为二面

角B-FC「C的一个平面角，在4BCF为正三角形中,08=6,在RtZiCGF中，AOPF^A

OPOF1X2q

CC,F,V——=——OP=

CC,GF722+222

V2

在RtAOPFgBP=Sp2+OB2=J'+3=且,cosNOP8="=-^=E，所以

V225PV147

F

二面角B-FC,-C的余弦值为—.

解法二：(1)因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点，

所以BF=BC=CF,Z\BCF为正三角形，因为ABCD为

等腰梯形，所以/BAC=NABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DMJ_AB,所以DM1.CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD为z轴建立空间直角坐标系,

，则D(0,0,0),A(V3,-l,0),F(6,1,0),C(0,2,0),

Ci(0,2,2),E(----,----,0),E]

22

函=(苧-；,1),而=(6,一1,0),西=(0,0,2)西=(-旧,2)设平面€：5的法

向量为n=(x,y,z)则所以fAv-v=0取"=(1^50),则

'n-CC,=0[z=0

—一n「FB=0

(2)ES=(0,2,0),设平面BFG的法向量为％=a，%马)，则—所以

[〃卡=0

，取成=(2,0,G)M/^=2xl-6x0+0xG=2,

+yt+24=0

不l=Jl+(百)2=2,l.l=j22+0+(G)2=币,

所以cos&［〉=&L=—^=包，由图可知二面角B-FC,-C为锐角，所以二面角

\n\\n,\2x<77

B-FC,-C的余弦值为

2008

(20)(本小题满分12分)

如图，已知四棱锥P-ABCD,底面

ABCD为菱形，平面ABCD,

ZABC=60°尸分别是BC,PC的

中点.

(I)证明：AEA.PD;

(II)若，为PO上的动点，EH与平

面PAD所成最大角的正切值为—,

2

求二面角E—AF—C的余弦值.

(I)证明：由四边形428为菱形,

ZABC=60°，可得△ZBC为正三角形.

因为E为8c的中点，所以8c.

又BC//AD,因此

因为R4L平面AEU平面所以以L4E.

而以U平面口Z),4JU平面以。且以0/0=4

所以NE_L平面为。，又PDU平面/MD

所以AE±PD.

(H)解：设/8=2,H为尸。上任意一点，连接加/,

EH.

由(I)知4E_L平面PAD,

则NE/"为E/7与平面以。所成的角.

在RtZiE4〃中，AE=43,

所以当工，最短时，NEHA最大,

即当AHA.PD时，NEHA最大.

„,AE6瓜

此时tanNEHA=----=----=---,

AHAH2

因此又AD=2,所以上45°,

所以PA=2.

解法一：因为以_1_平面/8CD,R1U平面P4C,

所以平面以C_L平面ABCD.

过E作EO_L/C于。，则EO_L平面/MC,

过。作OSL4尸于S,连接ES,则NES。为二面角E-/RC的平面角,

也3

在RtZXZOE中，EO=AE•sin30°=—,AO=AE•cos30°=-,

22

3B

又F是PC的中点，在RlA/SO中，SO=AO•sin45°=-―-

4

3A/2

SO~T~V15

在RtZkESO中,cosZESO=----=Z—=------,

SE55

4

即所求二面角的余弦值为」叵

5

解法二：由（I）知ZE,AD,4P两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间

直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以

E、F分别为BC、PC的中点，所以

(

岛=0,

因此V61_n

~x\+］必+Z|=0.

取Z]=-1,则机=(0,2,-1),

因为BDLAC,BDLPA,PAQAC=A,

所以BDL平面月FC,

故而为平面4FC的一法向量.

又BD=(-73,3,0),

s,777；mBD2x3Vr5

所以cos</n,BD>==—j=—T==.

\m\\BD\J5XJ125

因为二面角E-4F-C为锐角，

所以所求二面角的余弦值为巫.

5

2007

19(本小题满分12分)如图，在直四棱柱/88-44GA中，已知

DC=DDi=2AD=2AB,ADLDC,ABDC.

⑴设E是。C的中点，求证：D.E平面NR。；

(H)求二面角A.-BD-C,的余弦值.

解：：⑴连结8E,则四边形D48E为正方形,

BE=AD=4〃，且BEADAR,

・・・四边形为平行四边形，

DXE.

,/2E平面&BD,48u平面48£),

/.D[E平面43D

(II)以D为原点，。4。。,。〃所在直线分别为》轴、J，轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设D4=1,则D(0,0,0),J(1,O,O),5(1,1,O),C,(0,2,2),A,(1,0,2).

.♦.西=(1,0,2),丽=(1,1,0).

设〃=(x,y,z)为平面AyBD的一个法向量，

,--------——，fx+2y=0

由得4，

x+y=0

取z=l,则3=(-2,—2,1).

设而=(4弘,马)为平面G8。的一个法向量，

——.——f2y,+2z,=0

由机JLOC,机J.D8得4/1,

玉+必=0

取Z1=l,Mw=(l,-l,1).

--m-n-3V3

cos<m,n>—lie=—7=—T==——•

同“3

由于该二面角A}-BD-C,为锐角，

所以所求的二面角4-8。-。的余弦值为].

四、概率

2012

(19)(本小题满分12分)

现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为1,命中得1分，没有命

中得

0分，•向乙靶射击两次，每次命中的概率为力，每命中一次得2分，没有命中得0分.该

射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.

(I)求该射手恰好命中一次的概率；

(n)求该射手的总得分x的分布列及数学期望EX.

(19)解：(1)记"该射手恰好命中一次"为事件Z「该射手设计甲靶命中"为事件8;

"该射

手第一次射击乙靶命中"为事件C；"该射手第二次射击乙靶命中"为事件。.

由题意知，P(8)=V,P(C)=P(Z))=j,

由于/=BCD+BCD+BCD,根据事件的独立性与互斥性得

P(A)=P(BCD+BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)

=J_

-36

(n)根据题意，X的所以可能取值为0,1,2,3,4,5.

根据事件的独立性和互斥性得