2021-2022学年数学苏教版必修第二册学案：14.4.2用样本估计总体的离散程度参数

14.4.2用样本估计总体的离散程度参数

课程1.结合实例•能用样本估it总体的离散程度参数(标准差、方不、极差).

标准2.理解离散程度参数的统计含义.

区基础认知•自主学习砥

概念认知

1,一组数据的极差、样本方差、样本标准差

⑴一组数据的极差

我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差.

(2)样本方差和样本标准差

2

设一组样本数据X],X2，…，xn,其平均数为7，则称S=

¥击一方为这个样本的方差•其算术平方根S=

为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差.

(3)一个方差的计算公式

一般地，若取值为X],X2,,Xn的频率分别为Pl,P2,…，Pn,则

222

其方差为P1(X1—X)+p2(X2-X)+...+pn(Xn-X).

2.分层抽样数据的方差

一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为Xji,Xj2,,xjn.

第j层的样本量为n.j,样本平均数为x」,样本方差为s；J=1,2，…，

k.记=n那么所有数据的样本方差为葭=ItZ(X,-x)*12=

j=inj=ii=i

-Xnj[s；+(Xj—x)2].

nj=i

自我小测

1.某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个

获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同.若知

道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学

生决赛得分的()

A.中位数B.平均数

C.众数D.方差

选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11

人成绩的中位数是第6名的得分.根据题意可得：参赛选手要想知道

自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位

数，比较即可.

2.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：9089

9095939493

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为

()

A.92,2B.92,2.8

C.93,2D.93,2.8

选B.去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为

90,90,93,94,93,

__90+90+93+94+93

所以x==92,

2x(90-92)2+2x(93-92)2+(94-92)2骐

S-5-5-28

3.(教材练习改编)已知数据Xi,X2,X3，…，Xn是上海普通职工n(nN3,

n£N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方

差为z,如果再加上世界首富的年收入小+1,则这n+1个数据中，

下列说法正确的是()

A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D.年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

选B插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为

数据更加分散而变大.

4.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100

人成绩的标准差为.

分数54321

人数2010303010

因为这100人成绩的平均数

—20x5+10x4+30x3+30x2+10x1100+40+90+60+10

x=W0=100=

3,

所以这100人成绩的方差s2x[20x22+10x12+30x02+30x12+

所以标准差$=乎.

今案•如匝

口木•5

5.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从

中抽取6件测量，数据为

甲：9910098100100103

乙：9910010299100100

⑴分别计算两组数据的平均数及方差；

⑵根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.

—1

⑴甲的平均数X甲=4(99+100+98+100+100+103)=100z

—I

乙的平均数X乙=不(99+100+102+99+100+100)=100.

s言［(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+(100-

7

100)2+(103-100)2]=1,

=1[(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+(100-

100)2+(100-100)2]=1.

⑵两台机床所加工零件的直径的平均值相同，

又暗＞s%，所以乙机床加工零件的质量更稳定.

》学情诊断•课时测评④

基础全面练

一、单选题

1.下列说法正确的是()

A.在两组数据中，平均数较大的一组极差较大

B.平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小

C.方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和

D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定

选B.平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该

111_

组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2=-X(x-i)2，所

以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误.

2.已知数据X1，X2，…，Xn的平均数为7,方差为S2,则2X1+3,

2X2+3,…，2xn+3的平均数和方差分别为()

A.X和S?B.2x+3和4s2

C.2x+3和s2D.2x+3和4s2+12s+9

2

选B.因为数据x—X2，…，xn的平均数为x,方差为s,所以2X1

+3,2X2+3,…，2xn+3的平均数和方差分别为27+3和4s2.

3.现有10个数，其平均数为3,且这10个数的平方和是100,那么

这组数据的标准差是()

A.1B.2C.3D.4

选A.由s2=；(X；+x：+…+x：)-x2,得=*xlOO-32=1,

即标准差s=l.

4.下列各组数中方差最小的是()

A.1,2,3,4,5B.2,2,2,4,5

C.3,3,3,3,3D.2,3,2,3,2

选C.对于选项A：平均数为，(1+2+3+4+5)=3,方差为s2=1[(1

-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2；对于选项B：平均数

为:(2+2+2+4+5)=3,方差为s2=g[(2-3)2+(2-3)2+(2-3)2

+(4-3)2+(5-3沟=1.6；

对于选项C：平均数为!(3+3+3+3+3)=3,方差为s2=|[(3-3)2

+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(3-3)2]=0；

对于选项D：平均数为g(2+3+2+3+2)=2.4；

2222

方差为s=|[(2-2.4)2+(3-2.4)2+(2,2.4)+(3-2.4)+(2-2.4)]

=0.24.

因为0＜0.24＜1,6＜2,所以选项C中的数据方差最小.

5.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据

的平均数分别为丁甲，7乙，标准差分别为s甲，s乙，则（）

30.............................................

0123456考试次序

A.x甲＜x乙，s甲＜s乙B.x甲＜x乙，s甲＞5乙

C.X甲〉X乙，S甲＜S乙D.X甲〉X乙，S甲＞5乙

选C.由题图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考

试成绩都远高于乙同学，可知7甲＞7乙.题图中数据显示甲同学的

成绩比乙同学稳定，所以S甲＜s乙.

二、多选题

6.一组数据的平均数是7,标准差是s,将这组数据中的每个数据

都乘以2,所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是（）

A.xB.2xC.sD.2s

选BD.设该组数据为XI,X2,Xn,都乘以2后的新数据为2X1,

2x2，・・•/2Xr).

一Xi+X2+...+Xn2X|+2X2+…+2Xn—

由题意知X=—————，贝!k---------------=2x.

222

(Xi-X)+(X2-X)+...+(Xn-X)

n，

I(2xi-2x)2+(2x?-2x)2+...+(2x-2x)2

所以V-----------------------K----------------n--------

7.如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线

图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位:套）与成交量（单位：

套）作出如下判断，则判断错误的为（）

A.日成交量的中位数是16

B.日成交量超过日平均成交量的有2天

C.10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅

D.日认购量的方差大于日成交量的方差

选ABC.7天假期的楼房认购量为:91,100,105,107,112,223,

276；

成交量为：8,13,16,26,32,38,166.

对于A,日成交量的中位数是26,故A错误；

8+13+16+26+32+38+166299

对于，因为日平均成交量为

B77

日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B错误;

_276-112_

对于C,10月7日认购量的增幅为一"146%,10月7日成交

166-38_

量的增幅为38”337%，即10月7日认购量的增幅小于10月7

日成交量的增幅，故C错误；

对于D,因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D正确.

三、填空题

8.一组数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,x,5,10,其中存5,

3

已知该组数据的中位数是众数的之倍，则该组数据的标准差为

2+x3

由题意，可得该组数据的众数为2，所以亍x2=3,解得x=4,

1+2+2+4+5+10

故该组数据的平均数为----------------=今

所以该组数据的方差为上x[(l-4)2*9+(2-4)2+(2-守+(4-守+(5

-4)2+(10-4)2]=9,即标准差为3.

答案：3

9.对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示

的数据.

观测序号i12345678

观测数据44041434344464748

上述统计数据的平均数是_______方差是______.

上述统计数据的平均数=1x(40+41+43+43+44+46+47+48)=

O

44,

方差=|x[(40-44)2+(41-44)2+(43-44)2+(43-44)2+(44-44)2

O

+(46-44)2+(47-44)2+(48-44)2]=7.

答案：447

四、解答题

10.某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人

为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层抽样的方法抽取样

本，并观测样本的指标值(单位：cm),计算得男生样本的平均数为

173.5cm,方差为17cm2,女生样本的平均数为163.83cm,方差为

30.03cm2.

⑴根据以上信息，能够计算出总样本的平均数和方差吗？为什么？

⑵如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的平均数

和方差各为多少吗？

⑶如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的平均数和

方差各为多少吗？它们分别作为总体平均数和方差的估计合适吗？

为什么？

(1)不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本

量的比例，故无法计算出总样本的平均数和方差.

3201QQ

(2)总样本的平均数为丽X173.5+丽xl63.83~170.02(cm).

320ig0

总样本的方差为而x[17+(173.5-170.02)2]+而x[30.03+(163.83

-170.02)2卜43.24(cm2).

2525

⑶总样本的平均数为百X173.5+在xl63.83~168.67(cm).

2525

总样本的方差为京x[17+(173.5-168.67)2]+京x

[30.03+(163.83-168.67)2]~46.89(cm2).

不能作为总体平均数和方差的估计，因为此分层抽样中，每个个体被

抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差.

11.某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩

相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人

选，这六次测试的成绩数据如下：

甲127138130137135131

乙133129138134128136

求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选

出一位参加数学竞赛.

--1

贝+

甲

X乙X=-

设甲、乙两人成绩的平均数分别为丁甲306

—1

3+8+0+7+5+1)=133,x乙=130+%(3-1+8+4-2+6)=

1471

133,s言[(-6)2+52+(-3)2+42+22+(-2)2]=y,s%[02

+(-守+52+12+(-5)2+34=苧.因此，甲与乙的平均数相同，由

于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛

比较合适.

综合突破练

一、选择题

1,已知一组数据X],X2,X3的平均数是5,方差是4,则由2x,+1,

2X2+1,2X3+1,11这4个数据组成的新的一组数据的方差是()

A.16B.14C.12D.8

222

选C.由已知得Xi+x2+x3=15,(xi-5)+(x2-5)+(x3-5)=12,

则新数据的平均数为((2xi+1+2X2+1+2X3+1+

2(X1+X2+X3)+3+11

11)--------4--------=11,

22

所以方差为:[(2xi+1-ll)+(2x2+l-ll)+(2x3+l-11)2+(11-

2222

H)]=7[4(xi-5)+4(X2-5)2+4(X3-5>]=(xi-5)+(x2-5)+(x3

-5）2=12.

2.已知样本数据为XI,X2,X3,X4,X5,该样本平均数为5,方差为

2,现加入一个数5,得到新样本的平均数为7,方差为s2，则（）

A.x>5,s2>2B.x=5,s2<2

C.x<5,s2<2D.x=5,s2>2

选B.因为X],X2,X3,X4,X5的平均数为5,方差为2,

_——1

则加入5后平均数为：X=4x（5x5+5）=5,

方差为：s2=115x2+（5-5）2]=|<2.

3.若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情

况）不超过3,则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位

同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）

A.甲同学：平均数为2,众数为1

B.乙同学：平均数为2,方差小于1

C.丙同学：中位数为2,众数为2

D.丁同学：众数为2,方差大于1

选B.甲同学：若平均数为2,众数为1,则有一次名次应为4,故排

除A；乙同学：平均数为2,设乙同学3次考试的名次分别为Xi,X2,

X3,则方差s2=|[（X1-2）2+（X2-2）2+（X3-2）2]<1,则（X1-2）2+（X2

2

-2）2+（x3-2）<3,所以X1,X2,X3均不大于3,符合题意；丙同学：

中位数为2,众数为2,有可能是2,2,4,不符合题意；丁同学：

有可能是2,2,6,不符合题意.

4.（多选）如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本

平均数分别为TA和7B,样本标准差分别为SA和SB,则（）

A.XA>XBB.XA<XB

C.SA>SBD.SA<SB

——1

选BC.xA1(2.5+10+5+7.5+2.5+10)=6.25,

—135

XB=d(15+10+12.5+10+12.5+10)=y-11.67.

22

si=1[(2.5-6.25)+(10-6.25)2+(5_625)2+(7.5-6.25)+(2.5-

6.25)2+(10-6.25)2卜9.90,

=1[(15-11.67)2+(10-11.67)2+(12.5-11.67)2+(10-11.67)2+

(12.5-11.67)2+(10-11.67)2卜3.47.

故xA<xB,sA>sB.

二、填空题

5.有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,

4,5,5,6,7,8,9,11,3,已知这组数据的平均数为6,则这组

数据的方差为.

因为这组数据的平均数为=(2+4+4+5+5+6+7+84-9+11+a)

(61+a)=6,

42+22+22+I2+I2+02+I2+22+32+52+I2

所以a=5.方差s2=---------------------------------=6.

答案：6

-—1

2

6.已知一组数据X|,X2,x3,x4,X5的平均数X=2,方差S=,

那么另一组数据3x,-2,3x2-2,3X3-2,3X4-2,3x5-2的平均数

为,方差为.

——1

平均数为x'=3x-2=3x2-2=4,方差为S〃=9S2=9XQ=3.

答案：43

7.已知ki,k2,...,k的方差为5,贝(]3(k-4),3(k2-4),...,3(kn

-4)的方差为.

设ki,k2...h的平均数为N,贝(]3(ki-4),3(k2-4)....3(kn

-4)的平均数为3(工-4),

所以s2=-^[3(k-4)-3(k-4)]2=-^[3(^-k)]2=

nM«

1n-

9x-Y(k「k)2=9x5=45.

答案:45

8.某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：

等待时间/分钟[0,5)[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]

频数48521

用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x=

病人等待时间方差的估计值s2=.

—1

X=布x(2.5x4+7.5x8+12・5x5+17・5x2+22.5X1)=9.5(分钟)，s2

4x[(2.5-95)2x4+(7.5-9.5)2x8+(12.5-9.5)2x5+(17.5-9.5)2x2

+(22.5-9.5)2xl]=28.5(分钟2).

答案：9.5分钟28.5分钟2

三、解答题

9.某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生

一次数学考试的成绩(单位：分)情况如表：

组别平均分标准差

第1组846

第2组804

求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差.

由题意，知第1组这次数学考试的平均分x产84(分)，方差J=62

=36（分2）,

第2组这次数学考试的平均分72=80（分），方差s；=42=16（分与,

故全班学生这次数学考试的平均成绩—x=第15X84+备25义80=

81.5（分）,

1525

方差$2=击x[36+（84-81.5）2]+而x[16+（80-81.5）2]=27.25（分2）.

10.甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如

图所示：

（1）填写下表：

平均数方差中位数命中9环及以上

甲71.21

乙5.43

⑵请从四个不同的角度对