新高考数学一轮复习讲义第6章　§6.1　数列的概念（原卷版）

§6.1数列的概念考试要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的有关概念概念含义数列按照确定的顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数通项公式如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式数列{an}的前n项和把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1>an其中n∈N*递减数列an＋1<an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．常用结论1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)数列的项与项数是同一个概念．()(2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．()教材改编题1．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝9＋12n，则在下列各数中，是{an}的项的是()A．21B．33C．152D．1532．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n，则a2的值是()A．2B．4C．5D．63．在数列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.题型一由an与Sn的关系求通项公式例1(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，则a10等于()A．128B．256C．512D．1024(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2n＋2－3，则an＝________.思维升华Sn与an的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．跟踪训练1(1)已知正项数列{an}中，eq\r(a1)＋eq\r(a2)＋…＋eq\r(an)＝eq\f(nn＋1,2)，则数列{an}的通项公式为()A．an＝n B．an＝n2C．an＝eq\f(n,2) D．an＝eq\f(n2,2)(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.题型二由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)＋\f(1,a2)＋\f(1,a3)＋…＋\f(1,a2023)))等于()A．1B．2C．3D．4命题点2累乘法例3在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(n－1,n)an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．思维升华(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的数列，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．跟踪训练2(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))，则an等于()A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnn D．1＋n＋lnn(2)已知数列a1，eq\f(a2,a1)，…，eq\f(an,an－1)，…是首项为1，公比为2的等比数列，则log2an＝________.题型三数列的性质命题点1数列的单调性例4设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.命题点2数列的周期性例5若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)，则a2024的值为()A．2B．－3C．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)命题点3数列的最值例6已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2n－15)，其最大项和最小项的值分别为()A．1，－eq\f(1,7)B．0，－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7)，－eq\f(1,7)D．1，－eq\f(1,11)思维升华(1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．跟踪训练3(1)观察数列1，ln2，sin3,4，ln5，sin6,7，ln8，sin9，…，则该数列的第11项是()A．1111B．11C．ln11D．sin11(2)已知数列{an}的通项an＝eq\f(2n－19,2n－21)，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为________．课时精练1．已知an＝eq\f(n－1,n＋1)，那么数列{an}是()A．递减数列 B．递增数列C．常数列 D．摆动数列2．已知数列{an}的前n项和Sn满足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于()A．128B．16C．32D．643．已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，则an等于()A.eq\f(n2－n,2)B.eq\f(n2－n＋2,2)C.eq\f(2,n2－n)D.eq\f(2,n2－n＋2)4．设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－eq\f(1,an)，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2024等于()A．－2B．－1C．1D．25．大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为()A．760B．800C．840D．9246．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,7)))n，则下列说法正确的是()A．数列{an}的最小项是a1B．数列{an}的最大项是a4C．数列{an}的最大项是a5D．当n≥5时，数列{an}递减7．Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为________.8．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．9．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1这两个条件中任选一个补充在下面的横线上，并解答．若数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{an}满足________．(1)求a2，a3；(2)求数列{an}的通项公式．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．10．已知数列{cn}满足c1＝eq\f(1,2)，eq\f(cn＋1,cn＋1－1)＝eq\f(c\o\al(2,n),cn－1)，n∈N*，Sn为该数列的前n项和．(1)求证：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,cn)))为递增数列；(2)求证：Sn<1.11．在数列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，则a100等于()A.eq\f(100,99)B．－eq\f(100,99)C．100D．－10012．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋eq\f(1,α1)，b2＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2))，b3＝1＋eq\f(1,α1＋\f(1,α2＋\f(1,α3)))，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则()A．b1<b5 B．b3<b8C．b6<b2 D．b4<b713．已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn＝eq\f(n＋2,3)an，则eq\f(an,an－1)的最大值为________．14．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{an}中，an＝[lgn]