2024-2025学年新教材高中数学第六章统计学初步章末检测含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE10章末检测(六)统计学初步(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数据12，14，15，17，19，23，27，30，则P70＝()A．14 B．17C．19 D．23解析：选D因为8×70%＝5.6，故P70＝23.2．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝()A．9 B．10C．12 D．13解析：选D由分层抽样可得eq\f(3,60)＝eq\f(n,120＋80＋60)，解得n＝13.3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别为()A．14，14 B．12，14C．14，15.5 D．12，15.5解析：选A把这组数据按从小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，则可知其众数为14，中位数为14.4．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为()A．1% B．2%C．3% D．5%解析：选C由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.5．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是eq\f(1,3)，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为()A．2，eq\f(1,3) B．2，1C．4，eq\f(1,3) D．4，3解析：选D由题意得数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝2，方差s2＝eq\f(1,3)，所以数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为eq\o(x′,\s\up6(－))＝3eq\o(x,\s\up6(－))－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×eq\f(1,3)＝3.6．为了了解某校高三学生的视力状况，随机地抽样调查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，设视力在4.6到4.8之间的学生数为a，最大频率为0.32，则a的值为()A．64 B．54C．48 D．27解析：选B前两组中的频数为100×(0.05＋0.11)＝16.因为后五组频数和为62，所以前三组频数和为38.所以第三组频数为38－16＝22.又最大频率为0.32，故第四组频数为0.32×100＝32.所以a＝22＋32＝54.故选B.7．设n个数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，则其方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．若数据a1，a2，a3，a4的方差为3，则数据2a1＋1，2a2＋1，2a3＋1，2a4＋1的方差是()A．6 B．8C．10 D．12解析：选D由题意结合方差的性质可得数据2a1＋1，2a2＋1，2a3＋1，2a4＋1的方差为22×3＝12.8．若正数2，3，4，a，b的平均数为5，则其标准差的最小值为()A．2 B．eq\f(4\r(10),5)C．3 D．eq\f(21,5)解析：选B由已知得2＋3＋4＋a＋b＝5×5，整理得a＋b＝16.其方差s2＝eq\f(1,5)[(5－2)2＋(5－3)2＋(5－4)2＋(5－a)2＋(5－b)2]＝eq\f(1,5)[64＋a2＋b2－10(a＋b)]＝eq\f(1,5)(a2＋b2－96)＝eq\f(1,5)[a2＋(16－a)2－96]＝eq\f(1,5)(2a2－32a＋160)＝eq\f(2,5)(a2－16a)＋32＝eq\f(2,5)(a－8)2＋eq\f(32,5)，所以当a＝8时，s2取得最小值，最小值为eq\f(32,5)，此时标准差为eq\f(4\r(10),5).故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．下列说法正确的是()A．在统计里，最常用的简洁随机抽样方法有抽签法和随机数法B．一组数据的平均数肯定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大解析：选ACD平均数不大于最大值，不小于最小值，B项错误，其余全对．10．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会要了解本校高一年级1000名学生课余时间参与传统文化活动的状况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参与场数01234567参与人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%12%4%2%估计该校高一学生参与传统文化活动状况不正确的是()A．参与活动次数是3场的学生约为360人B．参与活动次数是2场或4场的学生约为480人C．参与活动次数不高于2场的学生约为280人D．参与活动次数不低于4场的学生约为360人解析：选ABC参与活动场数为3场的学生约有1000×26%＝260(人)，A错误；参与活动场数为2场或4场的学生约有1000×(20%＋18%)＝380(人)，B错误；参与活动场数不高于2场的学生约有1000×(8%＋10%＋20%)＝380(人)，C错误；参与活动场数不低于4场的学生约有1000×(18%＋12%＋4%＋2%)＝360(人)，D正确．故选A、B、C.11．如图是2024年第一季度五省GDP的状况图，则下列描述中正确的是()A．与去年同期相比2024年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B．2024年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C．2024年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D．去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元解析：选ABD由2024年第一季度五省GDP的状况图，知：在A中，与去年同期相比，2024年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，故A正确；在B中，2024年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省，故B正确；在C中，2024年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个，故C错误；在D中，去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元，故D正确．12．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受限制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，依据连续7天的新增病例数计算，下列各项中，肯定符合上述指标的是()A．平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3B．标准差s≤2C．平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3且极差小于或等于2D．众数等于1且极差小于或等于4解析：选CDA中平均数eq\o(x,\s\up6(－))≤3，可能是第一天0人，其次天6人，不符合题意；B中每天感染的人数均为10，标准差也是0，明显不符合题意；C符合，若极差等于0或1，在eq\o(x,\s\up6(－))≤3的条件下，明显符合指标；若极差等于2且eq\o(x,\s\up6(－))≤3，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：(1)0，2，(2)1，3，(3)2，4，符合指标；D符合，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．某学校三个爱好小组的学生人数分布如下表(每名同学只参与一个小组)(单位：人)：篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参与这三个爱好小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．解析：由题意知，eq\f(12,45＋15)＝eq\f(30,120＋a)，解得a＝30.答案：3014．某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位：次)：63382542564853392847则上述数据的P50＝________．解析：把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则10×50%＝5.所以P50＝eq\f(42＋47,2)＝eq\f(89,2)＝44.5.答案：44.515．某校一名篮球运动员在五场竞赛中所得分数分别为8，9，10，13，15，则该运动员在这五场竞赛中得分的平均值为________，方差为________．解析：依题意知，运动员在5次竞赛中的分数依次为8，9，10，13，15，其平均数为eq\f(8＋9＋10＋13＋15,5)＝11.由方差公式得s2＝eq\f(1,5)×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝eq\f(1,5)×(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.答案：116.816．为了普及环保学问，增加环保意识，某中学随机抽取30名学生参与环保学问测试，得分(非常制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为mo，平均数为x，则me，mo，x的大小关系是________．解析：由条形统计图可知，30名学生的得分依次为2个3分，3个4分，10个5分，6个6分，3个7分，2个8分，2个9分，2个10分．中位数为第15，16个数(分别为5，6)的平均数，即me＝5.5，5出现次数最多，故mo＝5.eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)≈5.97.于是得mo＜me＜eq\o(x,\s\up6(－)).答案：mo＜me＜eq\o(x,\s\up6(－))四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某学校统计老师职称及年龄，中级职称老师的人数为50，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的老师中有3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称老师年龄的平均数和方差．解：由已知条件可知高级职称老师的平均年龄为eq\o(x,\s\up6(－))高＝eq\f(3×58＋5×40＋2×38,3＋5＋2)＝45(岁)，年龄的方差为seq\o\al(2,高)＝eq\f(1,10)[3×(58－45)2＋5×(40－45)2＋2×(38－45)2]＝73，所以该校中级职称和高级职称老师的平均年龄为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(50,50＋10)×38＋eq\f(10,50＋10)×45≈39.2(岁)，该校中级职称和高级职称老师的年龄的方差是s2＝eq\f(50,50＋10)[2＋(38－39.2)2]＋eq\f(10,50＋10)[73＋(45－39.2)2]＝20.64.18．(本小题满分12分)20名学生某次数学考试成果(单位：分)的频率分布直方图如图：(1)求频率分布直方图中a的值；(2)分别求出成果落在[50，60)与[60，70)中的学生人数．解：(1)由直方图可知组距为10，由(2a＋3a＋7a＋6a＋2a)×10＝1，解得a＝eq\f(1,200)＝0.005.(2)成果落在[50，60)中的学生人数为2×0.005×10×20＝2.成果落在[60，70)中的学生人数为3×0.005×10×20＝3.19．(本小题满分12分)我国是世界上严峻缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水状况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量(单位：t)，将数据依据[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a的值；(2)设该市有10万个家庭，估计全市月均用水量不低于3t的家庭数；(3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计全市家庭月均用水量的平均数．解：(1)因为频率分布直方图全部矩形的面积之和为1，所以(0.12＋0.22＋0.36＋a＋0.12)×1＝1，解得a＝0.18.(2)抽取的样本中，月均用水量不低于3t的家庭所占比例为(a＋0.12)×1＝0.3＝30%，因此估计全市月均用水量不低于3t的家庭所占比例也为30%，所求家庭数为100000×30%＝30000.(3)因为0.12×0.5＋0.22×1.5＋0.36×2.5＋0.18×3.5＋0.12×4.5＝2.46，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46.20．(本小题满分12分)已知一组数据：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填写下面的频率分布表：(2)作出频率分布直方图；(3)依据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数.分组频数频率[121，123)[123，125)[125，127)[127，129)[129，131]合计解：(1)频率分布表如下：分组频数频率[121，123)20.10[123，125)30.15[125，127)80.40[127，129)40.20[129，131]30.15合计201.00(2)频率分布直方图如下：(3)在[125，127)中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数126，事实上，众数的精确值为125.图中虚线对应的数据是125＋eq\f(0.5－0.25,0.2)＝126.25，事实上，中位数为125.5.运用“组中值”求平均数：eq\o(x,\s\up6(－))＝122×0.1＋124×0.15＋126×0.4＋128×0.2＋130×0.15＝126.3，事实上，平均数的精确值为x＝125.75.21．(本小题满分12分)某学校对男、女学生进行有关“习惯与礼貌”的评分，记录如下：男：54，70，57，46，90，58，63，46，85，73，55，66，38，44，56，75，35，58，94，52；女：77，55，69，58，76，70，77，89，51，52，63，63，69，83，83，65，100，74.(1)分别计算和比较男女生得分的平均数和方差；(2)分别计算男、女生得分的P25，P50和P75.解：(1)男生的平均得分为eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,20)(35＋38＋44＋…＋94)≈61；男生的方差是seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,20)[(35－61)2＋(38－61)2＋…＋(94－61)2]＝256.25；女生的平均得分是eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,18)(51＋52＋55＋…＋89＋100)≈71；女生的方差是seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,18)[(51－71)2＋(52－71)2＋