【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题08】排列组合与概率统计

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题08】排列组合与概率统计专题目录【问题一】复杂的排列组合问题【问题二】与二项式定理有关的交汇问题【问题三】与几何概型相结合的问题【问题四】与离散型随机变量的交汇题（理）高考对这部分的要求还是比较高的．考查两个计数原理、排列、组合在解决实际问题上的应用．值得提醒地是：计数模型不一定是排列或组合，“画一画、数一数、算一算”是基本的计数方法，不可废弃．解决排列组合综合性问题的一般过程如下：①认真审题弄清要做什么事；②怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类；③确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素．解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略．解排列（或）组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标准明确，不重不漏；按事情的发生的连续过程分步，做到分步层次清楚．【例1】已知甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数：（1）甲不在排头、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端（可以不相邻）．对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”；对于不相邻的元素，可先排其他元素，然后将这些要求不相邻的元素插入空当，这种方法称为“插空法”；对于“在”或者“不在”的排列问题的计算方法主要有：位置优先法、元素优先法、间接计算法．【练习1】某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为（）A．1860B．1320C．1140D．1020【例2】现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A．232B．256C．472D．484【练习2】如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有________．【例3】有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成每组都是2本的三组；（2）分给甲、乙、丙三人，每人2本．【练习3】某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A．24种B．36种C．38种D．108种【例4】在某种信息传输过程中，用四个数字的一个排列（数字允许重复）表示以一个信息，不提排列表示不同信息．若所有数字只有0、1，则与信息0110之多由四个相对应位置上数字相同的信息个数为（）A．9B．10C．11D．12【练习4】用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）A．144个B．120个C．96个D．72个【例5】将四个相同的红球和四个相同的黑球排成一排，然后从左至右依次给它们赋以编号1、2、、8，则红球的编号之和小于黑球编号之和的排法有_____________种．【练习5】四个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有_____________种（用数字作答）．【例6】某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中：（1）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（2）队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【练习6】某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试，每人限报一所高校．若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（）A．144种B．150种C．196种D．256种【例7】回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22、121、3443、94249等．显然2位回文数有9个：11、22、33、、99，3位回文数有90个：101、111、121、、191、202、、999．则：（1）4位回文数有_____________个；（2）（）位回文数有_____________个．【练习7】将正整数表示成个正整数的和（不计较各数的次序），称为将正整数分成个部分的一个划分，一个划分中的各加数与另一个划分的各加数不全相同，则称为不同的划分，将正整数划分成个部分的不同划分的个数记为，则的值为（）A．12B．10C．8D．61、用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（）A．12B．24C．30D．362、八人分乘三辆小车，每辆小车至少载1人最多载4人，不同坐法共有（）A．770种B．1260种C．4620种D．2940种3、将甲、乙等5名学生分配到三个不同学校实习，每个学校至少一人，且甲、乙在同一学校的分配方案共有（）A．18种B．24种C．36种D．72种4、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有（）A．24种B．18种C．48种D．36种5、张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种6、已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．33B．34C．35D．367、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A．240种B．300种C．360种D．420种8、若数列满足规律：，则称数列为余弦数列，现将1、2、3、4、5排列成一个余弦数列的排法种数为（）A．12B．14C．16D．189、如图所示是某个区域的街道示意图（每个小矩形的边表示街道），那么从到的最短线路有（）条．A．100B．400C．200D．25010、某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有___________种．11、如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有___________种．12、某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有___________．二项式定理是高考高频考点，基本上每年必考，难度中等或中等以下，二项式定理作为一个工具，也常与其他知识交汇命题，如与数列交汇、与不等式交汇、与定积分交汇等．因此在一些题目中不仅仅考查二项式定理，还要考查其他知识，其解题的关键点是它们的交汇点，注意它们的联系．【例1】设函数，则当时，表达式的展开式中常数项为（）A．B．20C．D．15【练习1】若将函数表示为，其中、、、、为实数，则______________．【例2】将（）的展开式中的系数记为，则______________．【练习2】设二项式（）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为、，则（）A．B．C．D．1【例3】若按的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【练习3】求证：（，）．【例4】设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为___________．【练习4】已知，则二项式的展开式中的系数为___________．【例5】若，则___________．【练习5】求证：．【例6】已知是一个给定的正整数，如果两个整数、除以所得的余数相同，则称与对模同余，记作，例如：．若，则可能等于（）A．2013B．2014C．2015D．2016【练习6】用代表红球，代表蓝球，代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球、而“”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．B．C．D．1、已知的最小值为，则二项式展开式中项的系数为（）A．15B．C．30D．2、二项式的展开式的第二项的系数为，则的值为（）A．B．3C．3或D．3或3、设复数（是虚数单位），则（）A．B．C．D．4、若二项式的展开式中的常数项为，则=（）A．B．C．D．5、已知，则从集合（0、1、2、、8；0、1、2、、8）到集合的映射个数是（）A．6561B．316C．2187D．2106、已知，则展开式中项的系数为（）A．B．C．D．7、在的展开式中，的系数可以表示从个不同物体中选出个的方法总数．下列各式的展开式中的系数恰能表示从重量分别为1、2、3、4、、10克的砝码（每种砝码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是（）A．B．C．D．8、设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．9、设，是大于1的自然数，的展开式为．若点（0、1、2）的位置如图所示，则______________．10、已知，那么展开式中含项的系数为______________．11、已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是______________．12、设，则的展开式中常数项是______________．数学学科内知识交汇问题，试题比较新颖，具有一定的综合性，因此在近几年的高考中，是出题的热点，而几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性，而渐成为命题的一个重要的着眼点，体现高考中考查学生探究能力和创新能力的立意，及在知识交汇处命题的原则，所以这类题应引起学生的注意．【例1】已知、都是区间内任取的一个数，那么函数在上是增函数的概率是______________．【练习1】不等式组表示的点集记为，不等式组表示的点集记为，在中任取一点，则的概率为（）A．B．C．D．【例2】已知直线与曲线恰有两个不同的交点，记的所有可能取值构成集合，点是椭圆上一动点，与点关于直线对称，记的所有可能取值构成集合，若随机的从集合、中分别抽出一个元素、，则的概率是______________．【练习2】已知圆，直线，圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为（）A．B．C．D．【例3】已知三点、、，动点满足，且，则动点到点的距离小于的概率为（）A．B．C．D．【练习3】已知是所在平面内一点且，现将一粒黄豆随机撒在内，则黄豆落在内的概率是（）A．B．C．D．解几何概型题注意：1、区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限多个．2、转化思想的应用：对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型．3、失误与防范：准确把握几何概型的“测度”是解题关键；在几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．1、在区间内任取两个数、，则满足概率是（）A．B．C．D．2、记集合和集合表示的平面区域分别为、．若在区域内任取一点，则点落在区域中的概率为（）A．B．C．D．3、已知函数，在区间上随机取一个实数，若事件“”发生的概率为，则的值为（）A．2B．C．3D．4、在区间内随机取两个实数、，则满足的概率是（）A．B．C．D．5、如图，设区域，向区域内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域内的概率是（）A．B．C．D．6、定义，在区域任意取一点，则、满足的概率为（）A．B．C．D．7、设点是区域内的随机点，函数在区间上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8、在区间上任取一个数，则函数有零点的概率为（）A．B．C．D．9、已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的值不小于55的概率为（）A．B．C．D．10、已知、都是定义在上的函数，，，，，则关于的方程（）有两个不同实根的概率为______________．11、设不等式组表示的平面区域为，不等式组表示的平面区域为，在内随机取一个点，这个点在内的概率的最大值是______________．高考对随机变量的考查以分布列和期望为主，涉及到填空题、选择题、解答题三种形式，且常在解答题中考查，涉及到的数学思想方法主要有分类讨论思想、转化与化归思想，其应用的综合性较强．在高考解答题中，常常是与等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查，另外在近几年的高考试题中也出现了与函数、不等式等知识的交汇创新题．此类问题把多个知识点相互交织在一起，难度较大，因此在解答此类题时，在透彻理解各类事件的基础上，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所包含的所属的事件类型．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理信息的能力．【例1】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望．【练习1】经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其它鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出15条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过．（1）检查人员从这15条鱼中，随机抽出3条，求3条中恰有1条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选3条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此15条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．【例2】在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：（1）设表示在这块地上种植1季此作物的利润，求的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．【练习2】某校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响．（1）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．【例3】某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；（3）在（2）的条件下，若表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求的分布列和数学期望．【练习3】某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如下所示：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于、和分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于分数段的人数的分布列和数学期望．【例4】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1该产品获利润500元，未售出的产品，每1亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130该农产品．以（单位：，）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率）．求的数学期望．【练习4】据（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险．根据测算，风能风区分类标准如下：假设投资项目的资金为（）万元，投资项目的资金为（）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的项目获利30%的可能性为，亏损20%的可能性为；位于二类风区的项目获利35%的可能性为，亏损10%的可能性是，不赔不赚的可能性是．（1）记投资、项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望、；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于、项目，且公司要求对项目的投资不得低于项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值．【例5】小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以为起点，再从、、、、、、、（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为．若就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求的分布列和数学期望．【练习5】每年的三月十二日，是中国的植树节．林管部门为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下（单位：厘米）：甲：137121131120129119132123125133乙：110130147127146114126110144146（1）根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你画出的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；（2）设抽测的10株甲种树苗高度平均值为，将这10株树苗的高度依次输入，按程序框图进行运算（如图），问输出的大小为多少？并说明的统计学意义；（3）若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”的株数的分布列．【例6】设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望．【练习6】如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值（）A．B．C．D．1、体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止，设学生一次发球成功的概率为（），发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是（）A．B．C．D．2、随机变量的分布列为：若，则当取最小值时，方差___________．3、一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为、、、，由此得到样本的重量频率分布直方图（如下图）：（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望（以直方图中的频率作为概率）．4、某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了位校友（且），其中女校友6位，组委会对这位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．（1）若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求的最大值；（2）当时，设选出的2位校友代表中女校友人数为，求的分布列．5、现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（），且三个人是否应聘成功是相互独立的．（1）若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值；（2）记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围．6、某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图：（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在150名和9511000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在150的学生人数为，求的分布列和数学期望．附：7、株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有人参加，现将所有参