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文档简介
2024-2025学年江西省宜春市四校联考高三下学期期中(文理)数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A.1 B. C. D.2.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或3.已知数列为等差数列,为其前项和,,则()A. B. C. D.4.函数(且)的图象可能为()A. B. C. D.5.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.56.已知复数满足,且,则()A.3 B. C. D.7.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.8.如图,正方体的棱长为1,动点在线段上,、分别是、的中点,则下列结论中错误的是()A., B.存在点,使得平面平面C.平面 D.三棱锥的体积为定值9.若数列满足且,则使的的值为()A. B. C. D.10.已知满足,,,则在上的投影为()A. B. C. D.211.函数图像可能是()A. B. C. D.12.已知函数,则下列结论中正确的是①函数的最小正周期为;②函数的图象是轴对称图形;③函数的极大值为;④函数的最小值为.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.双曲线的焦距为__________,渐近线方程为________.14.已知下列命题:①命题“∃x0∈R,”的否定是“∀x∈R,x2+1<3x”;②已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“”为真命题;③“a>2”是“a>5”的充分不必要条件;④“若xy=0,则x=0且y=0”的逆否命题为真命题.其中所有真命题的序号是________.15.(5分)国家禁毒办于2019年11月5日至12月15日在全国青少年毒品预防教育数字化网络平台上开展2019年全国青少年禁毒知识答题活动,活动期间进入答题专区,点击“开始答题”按钮后,系统自动生成20道题.已知某校高二年级有甲、乙、丙、丁、戊五位同学在这次活动中答对的题数分别是,则这五位同学答对题数的方差是____________.16.在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上,则实数的值为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.18.(12分)曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点(异于原点),求的取值范围.19.(12分)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,∠ABD=30°,AB=2CD=2AD=2,DE⊥平面ABCD,EF//BD,且BD=2EF.(Ⅰ)求证:平面ADE⊥平面BDEF;(Ⅱ)若二面角CBFD的大小为60°,求CF与平面ABCD所成角的正弦值.20.(12分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)当时,如果方程有两个不等实根,求实数t的取值范围,并证明.21.(12分)如图,已知,分别是正方形边,的中点,与交于点,,都垂直于平面,且,,是线段上一动点.(1)当平面,求的值;(2)当是中点时,求四面体的体积.22.(10分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
设,因为,得到,利用直线的斜率公式,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为,设,因为,即线段的中点,所以,所以直线的斜率,当且仅当,即时等号成立,所以直线的斜率的最大值为1.故选:A.本题主要考查了抛物线的方程及其应用,直线的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.2.D【解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.3.B【解析】
利用等差数列的性质求出的值,然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出的值.【详解】由等差数列的性质可得,.故选:B.本题考查等差数列基本性质的应用,同时也考查了等差数列求和,考查计算能力,属于基础题.4.D【解析】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.5.B【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.6.C【解析】
设,则,利用和求得,即可.【详解】设,则,因为,则,所以,又,即,所以,所以,故选:C本题考查复数的乘法法则的应用,考查共轭复数的应用.7.C【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.8.B【解析】
根据平行的传递性判断A;根据面面平行的定义判断B;根据线面垂直的判定定理判断C;由三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,判断D.【详解】在A中,因为分别是中点,所以,故A正确;在B中,由于直线与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故B错误;在C中,由平面几何得,根据线面垂直的性质得出,结合线面垂直的判定定理得出平面,故C正确;在D中,三棱锥以三角形为底,则高和底面积都为定值,即三棱锥的体积为定值,故D正确;故选:B本题主要考查了判断面面平行,线面垂直等,属于中档题.9.C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.10.A【解析】
根据向量投影的定义,即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A本题考查向量的投影,属于基础题.11.D【解析】
先判断函数的奇偶性可排除选项A,C,当时,可分析函数值为正,即可判断选项.【详解】,,即函数为偶函数,故排除选项A,C,当正数越来越小,趋近于0时,,所以函数,故排除选项B,故选:D本题主要考查了函数的奇偶性,识别函数的图象,属于中档题.12.D【解析】
因为,所以①不正确;因为,所以,,所以,所以函数的图象是轴对称图形,②正确;易知函数的最小正周期为,因为函数的图象关于直线对称,所以只需研究函数在上的极大值与最小值即可.当时,,且,令,得,可知函数在处取得极大值为,③正确;因为,所以,所以函数的最小值为,④正确.故选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.6【解析】由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.14.②【解析】命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1≤3x”,故①错误;“p∨q”为假命题说明p假q假,则(p)∧(q)为真命题,故②正确;a>5⇒a>2,但a>2⇒/a>5,故“a>2”是“a>5”的必要不充分条件,故③错误;因为“若xy=0,则x=0或y=0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故④错误.15.2【解析】
由这五位同学答对的题数分别是,得该组数据的平均数,则方差.16.【解析】
求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标,并将该交点代入抛物线的方程,即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为,则双曲线的右准线方程为,渐近线方程为,所以,该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得,解得.故答案为:.本题考查利用抛物线上的点求参数,涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用,考查计算能力,属于中等题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(为参数)直接消去参数,可得直线的普通方程,把两边同时乘以,结合,可得曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)把代入,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】解:(Ⅰ)由(为参数),消去参数,可得.∵,∴,即.∴曲线的直角坐标方程为;(Ⅱ)把代入,得.设,两点对应的参数分别为,则,.不妨设,,∴.本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键,是中档题.18.(1),;(2).【解析】
(1)先将曲线化为普通方程,再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系:,可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程;(2)由已知可得出射线的极坐标方程为,联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标,从而得出,由的范围可求得的取值范围.【详解】(1)曲线的普通方程为,即,其极坐标方程为;曲线的极坐标方程为,即,其直角坐标方程为;(2)射线的极坐标方程为,联立,联立,的取值范围是本题考查圆的参数方程与普通方程互化,圆,抛物线的极坐标方程与普通方程的互化,以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系,属于中档题.19.(1)见解析(2)【解析】分析:(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值;也可以应用常规法,作出线面角,放在三角形当中来求解.详解:(Ⅰ)在△ABD中,∠ABD=30°,由AO2=AB2+BD2-2AB·BDcos30°,解得BD=,所以AB2+BD2=AB2,根据勾股定理得∠ADB=90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD,AD平面ABCD,∴AD⊥DE.又因为BDDE=D,所以AD⊥平面BDEF,又AD平面ABCD,∴平面ADE⊥平面BDEF,(Ⅱ)方法一:如图,由已知可得,,则,则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做,交DB、AB于点G,H,则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG,则,DE⊥平面ABCD,则平面.过G做于点I,则BF平面,即角为二面角CBFD的平面角,则60°.则,,则.在直角梯形BDEF中,G为BD中点,,,,设,则,,则.,则,即CF与平面ABCD所成角的正弦值为.(Ⅱ)方法二:可知DA、DB、DE两两垂直,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DE=h,则D(0,0,0),B(0,,0),C(-,-,h).,.设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),则所以取x=,所以m=(,-1,-),取平面BDEF的法向量为n=(1,0,0),由,解得,则,又,则,设CF与平面ABCD所成角为,则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛:该题考查的是立体几何的有关问题,涉及到的知识点有面面垂直的判定,线面角的正弦值,在求解的过程中,需要把握面面垂直的判定定理的内容,要明白垂直关系直角的转化,在求线面角的有关量的时候,有两种方法,可以应用常规法,也可以应用向量法.20.(1)当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,的单调递增区间是,单调递减区间是;(2),证明见解析.【解析】
(1)求出,对分类讨论,分别求出的解,即可得出结论;(2)由(1)得出有两解时的范围,以及关系,将,等价转化为证明,不妨设,令,则,即证,构造函数,只要证明对于任意恒成立即可.【详解】(1)的定义域为R,且.由,得;由,得.故当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是;当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.(2)由(1)知当时,,且.当时,;当时,.当时,直线与的图像有两个交点,实数t的取值范围是.方程有两个不等实根,,,,,,即.要证,只需证,即证,不妨设.令,则,则要证,即证.令,则.令,则,在上单调递增,.,在上单调递增,,即成立,即成立..本题考查函数与导数的综合应用,涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明,构造函数函数是解题的关键,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于较难题.21.(1).(2)【解析】
(1)利用线面垂直的性质得出,进而得出,利用相似三角形的性质,得出,从而得出的值;(2)利用线面垂直的判定定理得出平面,进而得出四面体的体积,计算出,,即可得出四面体的体积.【详解】(1)因为平面,平面,所以又因为,都垂直于平面,所以又,分别是正方形边,的中点,且,所以.(2)因为,分别是正方形边,的中点,所以又因为,都垂直于平面,平面,所以因为平面,所以平面所以,四面体的体积,所以.本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用,以及求棱锥的体积,属于中档题.22.(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】
(Ⅰ)求导得,由是减函数得,对任意的,都有恒成立,构造函数,通过求导判断它的单调性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,则,即,两边同除以得,,即,从而,两边取对数,然后再
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