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文档简介
2024-2025学年江西省师范大学附属中学高考适应性月考卷(二)数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A. B.4C. D.52.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为,例如.现将该问题以程序框图的算法给出,执行该程序框图,则输出的等于().A. B. C. D.3.设x、y、z是空间中不同的直线或平面,对下列四种情形:①x、y、z均为直线;②x、y是直线,z是平面;③z是直线,x、y是平面;④x、y、z均为平面.其中使“且”为真命题的是()A.③④ B.①③ C.②③ D.①②4.第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是()A. B. C. D.5.如图,长方体中,,,点T在棱上,若平面.则()A.1 B. C.2 D.6.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.47.已知为抛物线的焦点,点在抛物线上,且,过点的动直线与抛物线交于两点,为坐标原点,抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题:①在抛物线上满足条件的点仅有一个;②若是抛物线准线上一动点,则的最小值为;③无论过点的直线在什么位置,总有;④若点在抛物线准线上的射影为,则三点在同一条直线上.其中所有正确命题的个数为()A.1 B.2 C.3 D.48.已知,,,则()A. B.C. D.9.下列四个结论中正确的个数是(1)对于命题使得,则都有;(2)已知,则(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为;(4)“”是“”的充分不必要条件.A.1 B.2 C.3 D.410.已知函数在上单调递增,则的取值范围()A. B. C. D.11.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍,为了更好地对比该校考生的升学情况,统计了该校2016年和2019年的高考情况,得到如图柱状图:则下列结论正确的是().A.与2016年相比,2019年不上线的人数有所增加B.与2016年相比,2019年一本达线人数减少C.与2016年相比,2019年二本达线人数增加了0.3倍D.2016年与2019年艺体达线人数相同12.已知菱形的边长为2,,则()A.4 B.6 C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知二项式的展开式中各项的二项式系数和为512,其展开式中第四项的系数__________.14.已知三棱锥中,,,则该三棱锥的外接球的表面积是________.15.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.16.已知点为双曲线的右焦点,两点在双曲线上,且关于原点对称,若,设,且,则该双曲线的焦距的取值范围是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.18.(12分)已知的内角,,的对边分别为,,,.(1)若,证明:.(2)若,,求的面积.19.(12分)在平面直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的普通方程;(2)若P,Q分别为曲线,上的动点,求的最大值.20.(12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.21.(12分)已知,均为正数,且.证明:(1);(2).22.(10分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
还原几何体的直观图,可将此三棱锥放入长方体中,利用体积分割求解即可.【详解】如图,三棱锥的直观图为,体积.故选:B.本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题.2.C【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.3.C【解析】
①举反例,如直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例,如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时.【详解】①当直线x、y、z位于正方体的三条共点棱时,不正确;②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确;③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确;④如x、y、z位于正方体的三个共点侧面时,不正确.故选:C.此题考查立体几何中线面关系,选择题一般可通过特殊值法进行排除,属于简单题目.4.A【解析】
根据题意,五人分成四组,先求出两人组成一组的所有可能的分组种数,再将甲乙组成一组的情况,即可求出概率.【详解】五人分成四组,先选出两人组成一组,剩下的人各自成一组,所有可能的分组共有种,甲和乙分在同一组,则其余三人各自成一组,只有一种分法,与场地无关,故甲和乙恰好在同一组的概率是.故选:A.本题考查组合的应用和概率的计算,属于基础题.5.D【解析】
根据线面垂直的性质,可知;结合即可证明,进而求得.由线段关系及平面向量数量积定义即可求得.【详解】长方体中,,点T在棱上,若平面.则,则,所以,则,所以,故选:D.本题考查了直线与平面垂直的性质应用,平面向量数量积的运算,属于基础题.6.C【解析】
方法一:设,利用抛物线的定义判断出是的中点,结合等腰三角形的性质求得点的横坐标,根据抛物线的定义求得,进而求得.方法二:设出两点的横坐标,由抛物线的定义,结合求得的关系式,联立直线的方程和抛物线方程,写出韦达定理,由此求得,进而求得.【详解】方法一:由题意得抛物线的准线方程为,直线恒过定点,过分别作于,于,连接,由,则,所以点为的中点,又点是的中点,则,所以,又所以由等腰三角形三线合一得点的横坐标为,所以,所以.方法二:抛物线的准线方程为,直线由题意设两点横坐标分别为,则由抛物线定义得又①②由①②得.故选:C本小题主要考查抛物线的定义,考查直线和抛物线的位置关系,属于中档题.7.C【解析】
①:由抛物线的定义可知,从而可求的坐标;②:做关于准线的对称点为,通过分析可知当三点共线时取最小值,由两点间的距离公式,可求此时最小值;③:设出直线方程,联立直线与抛物线方程,结合韦达定理,可知焦点坐标的关系,进而可求,从而可判断出的关系;④:计算直线的斜率之差,可得两直线斜率相等,进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解:对于①,设,由抛物线的方程得,则,故,所以或,所以满足条件的点有二个,故①不正确;对于②,不妨设,则关于准线的对称点为,故,当且仅当三点共线时等号成立,故②正确;对于③,由题意知,,且的斜率不为0,则设方程为:,设与抛物线的交点坐标为,联立直线与抛物线的方程为,,整理得,则,所以,则.故的倾斜角互补,所以,故③正确.对于④,由题意知,由③知,则,由,知,即三点在同一条直线上,故④正确.故选:C.本题考查了抛物线的定义,考查了直线与抛物线的位置关系,考查了抛物线的性质,考查了直线方程,考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题,结合初中的“饮马问题”分析出何时取最小值.8.C【解析】
利用二倍角公式,和同角三角函数的商数关系式,化简可得,即可求得结果.【详解】,所以,即.故选:C.本题考查三角恒等变换中二倍角公式的应用和弦化切化简三角函数,难度较易.9.C【解析】
由题意,(1)中,根据全称命题与存在性命题的关系,即可判定是正确的;(2)中,根据正态分布曲线的性质,即可判定是正确的;(3)中,由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,即可判定是正确;(4)中,基本不等式和充要条件的判定方法,即可判定.【详解】由题意,(1)中,根据全称命题与存在性命题的关系,可知命题使得,则都有,是错误的;(2)中,已知,正态分布曲线的性质,可知其对称轴的方程为,所以是正确的;(3)中,回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程,可得回归直线方程为是正确;(4)中,当时,可得成立,当时,只需满足,所以“”是“”成立的充分不必要条件.本题主要考查了命题的真假判定及应用,其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性质,以及基本不等式的应用等知识点的应用,逐项判定是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.10.B【解析】
由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围.【详解】由,可得,时,,而,又在上单调递增,且,所以,则,即,故.故选:B.本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.11.A【解析】
设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.【详解】设2016年高考总人数为x,则2019年高考人数为,2016年高考不上线人数为,2019年不上线人数为,故A正确;2016年高考一本人数,2019年高考一本人数,故B错误;2019年二本达线人数,2016年二本达线人数,增加了倍,故C错误;2016年艺体达线人数,2019年艺体达线人数,故D错误.故选:A.本题考查柱状图的应用,考查学生识图的能力,是一道较为简单的统计类的题目.12.B【解析】
根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【详解】如图所示,菱形形的边长为2,,∴,∴,∴,且,∴,故选B.本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先令可得其展开式各项系数的和,又由题意得,解得,进而可得其展开式的通项,即可得答案.【详解】令,则有,解得,则二项式的展开式的通项为,令,则其展开式中的第4项的系数为,故答案为:此题考查二项式定理的应用,解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和,属于基础题.14.【解析】
将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,求得的值,然后利用球体表面积公式可求得结果.【详解】将三棱锥补成长方体,设,,,设三棱锥的外接球半径为,则,由勾股定理可得,上述三个等式全部相加得,,因此,三棱锥的外接球面积为.故答案为:.本题考查三棱锥外接球表面积的计算,根据三棱锥对棱长相等将三棱锥补成长方体是解答的关键,考查推理能力,属于中等题.15.【解析】
分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.16.【解析】
设双曲线的左焦点为,连接,由于.所以四边形为矩形,故,由双曲线定义可得,再求的值域即可.【详解】如图,设双曲线的左焦点为,连接,由于.所以四边形为矩形,故.在中,由双曲线的定义可得,.故答案为:本题考查双曲线定义及其性质,涉及到求余弦型函数的值域,考查学生的运算能力,是一道中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由正方形的性质得出,由平面得出,进而可推导出平面,再利用面面垂直的判定定理可证得结论;(Ⅱ)取的中点,连接、,以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法能求出二面角的余弦值.【详解】(Ⅰ)是正方形,,平面,平面,、平面,且,平面,又平面,平面平面;(Ⅱ)取的中点,连接、,是正方形,易知、、两两垂直,以点为坐标原点,以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系,在中,,,,、、、,设平面的一个法向量,,,由,得,令,则,,.设平面的一个法向量,,,由,得,取,得,,得.,二面角为钝二面角,二面角的余弦值为.本题考查面面垂直的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力,属于中等题.18.(1)见解析(2)【解析】
(1)由余弦定理及已知等式得出关系,再由正弦定理可得结论;(2)由余弦定理和已知条件解得,然后由面积公式计算.【详解】解:(1)由余弦定理得,由得到,由正弦定理得.因为,,所以.(2)由题意及余弦定理可知,①由得,即,②联立①②解得,.所以.本题考查利用正余弦定理解三角形.考查三角形面积公式,由已知条件本题主要是应用余弦定理求出边.解题时要注意对条件的分析,确定选用的公式.19.(1),;(2)【解析】试题分析:(1)由消去参数,可得的普通方程,由可得的普通方程;(2)设为曲线上一点,点到曲线的圆心的距离,结合可得最值,的最大值为,从而得解.试题解析:(1)的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为,∴曲线的普通方程为,即.(2)设为曲线上一点,则点到曲线的圆心的距离.∵,∴当时,d有最大值.又∵P,Q分别为曲线,曲线上动点,∴的最大值为.20.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)能,或.【解析】试题分析:(1)设直线,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为,直线与椭圆方程联立求点的坐标,第二步再整理点的坐标,如果能构成平行四边形,只需,如果有值,并且满足,的条件就说明存在,否则不存在.试题解析:解:(1)设直线,,,.∴由得,∴,.∴直线的斜率,即.即直线的斜率与的斜率的乘积为定值.(2)四边形能为平行四边形.∵直线过点,∴不过原点且与有两个交点的充要条件是,由(Ⅰ)得的方程为.设点的横坐标为.∴由得,即将点的坐标代入直线的方程得,因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴当的斜率
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