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文档简介
2024-2025学年湖北省百校大联盟高考适应性测试试卷(数学试题文)试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知角的终边经过点,则A. B.C. D.2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元3.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.64.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.5.设集合(为实数集),,,则()A. B. C. D.6.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)7.设,,分别是中,,所对边的边长,则直线与的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直8.已知集合,,则()A. B. C. D.9.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()A. B. C. D.10.若复数满足,其中为虚数单位,是的共轭复数,则复数()A. B. C.4 D.511.已知,,,,则()A. B. C. D.12.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则_____.14.复数为虚数单位)的虚部为__________.15.若,则的最小值为________.16.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名代表,甲被选中的概率为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,直线是曲线在处的切线.(1)求证:无论实数取何值,直线恒过定点,并求出该定点的坐标;(2)若直线经过点,试判断函数的零点个数并证明.18.(12分)运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时,每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(),运输的路程为S(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为(元)、(元)、(元).(1)请分别写出、、的表达式;(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.19.(12分)已知函数,.(1)当时,讨论函数的零点个数;(2)若在上单调递增,且求c的最大值.20.(12分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.21.(12分)在中,角所对的边分别为,若,,,且.(1)求角的值;(2)求的最大值.22.(10分)设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点.(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积;(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D.2.D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.3.B【解析】
设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.4.D【解析】
设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.5.A【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得.【详解】集合,,所以所以故选:A本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题.6.C【解析】
根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵,∴,故选C.考查并集的求法,属于基础题.7.C【解析】试题分析:由已知直线的斜率为,直线的斜率为,又由正弦定理得,故,两直线垂直考点:直线与直线的位置关系8.D【解析】
先求出集合B,再与集合A求交集即可.【详解】由已知,,故,所以.故选:D.本题考查集合的交集运算,考查学生的基本运算能力,是一道容易题.9.A【解析】
设,则MF的中点坐标为,代入双曲线的方程可得的关系,再转化成关于的齐次方程,求出的值,即可得答案.【详解】双曲线的右顶点为,右焦点为,M所在直线为,不妨设,∴MF的中点坐标为.代入方程可得,∴,∴,∴(负值舍去).故选:A.本题考查双曲线的离心率,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意构造的齐次方程.10.D【解析】
根据复数的四则运算法则先求出复数z,再计算它的模长.【详解】解:复数z=a+bi,a、b∈R;∵2z,∴2(a+bi)﹣(a﹣bi)=,即,解得a=3,b=4,∴z=3+4i,∴|z|.故选D.本题主要考查了复数的计算问题,要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式,是基础题.11.D【解析】
令,求,利用导数判断函数为单调递增,从而可得,设,利用导数证出为单调递减函数,从而证出,即可得到答案.【详解】时,令,求导,,故单调递增:∴,当,设,,又,,即,故.故选:D本题考查了作差法比较大小,考查了构造函数法,利用导数判断式子的大小,属于中档题.12.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
对原方程两边求导,然后令求得表达式的值.【详解】对等式两边求导,得,令,则.本小题主要考查二项式展开式,考查利用导数转化已知条件,考查赋值法,属于中档题.14.1【解析】试题分析:,即虚部为1,故填:1.考点:复数的代数运算15.【解析】
由基本不等式,可得到,然后利用,可得到最小值,要注意等号取得的条件。【详解】由题意,,当且仅当时等号成立,所以,当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.利用基本不等式求最值必须具备三个条件:①各项都是正数;②和(或积)为定值;③等号取得的条件。16.【解析】
甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,根据公式即可求得概率.【详解】甲被选中,只需从乙、丙、丁、戊中,再选一人即有种方法,从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选两名共有种方法,.故答案为:.本题考查古典概型的概率的计算,考查学生分析问题的能力,难度容易.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析,(2)函数存在唯一零点.【解析】
(1)首先求出导函数,利用导数的几何意义求出处的切线斜率,利用点斜式即可求出切线方程,根据方程即可求出定点.(2)由(1)求出函数,令方程可转化为记,利用导数判断函数在上单调递增,根据,由零点存在性定理即可求出零点个数.【详解】所以直线方程为即,恒过点将代入直线方程,得考虑方程即,等价于记,则于是函数在上单调递增,又所以函数在区间上存在唯一零点,即函数存在唯一零点.本题考查了导数的几何意义、直线过定点、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理,属于难题.18.(1),,.(2)当时,此时选择火车运输费最省;当时,此时选择飞机运输费用最省;当时,此时选择火车或飞机运输费用最省.【解析】
(1)将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.(2)作差比较、的大小关系得出结论.【详解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比较与的大小关系即可,令,故当,即时,,即,此时选择火车运输费最省,当,即时,,即,此时选择飞机运输费用最省.当,即时,,,此时选择火车或飞机运输费用最省.本题考查了常见函数的模型,考查了分类讨论的思想,属于基础题.19.(1)见解析(2)2【解析】
(1)将代入可得,令,则,设,则转化问题为与的交点问题,利用导函数判断的图象,即可求解;(2)由题可得在上恒成立,设,利用导函数可得,则,即,再设,利用导函数求得的最小值,则,进而求解.【详解】(1)当时,,定义域为,由可得,令,则,由,得;由,得,所以在上单调递增,在上单调递减,则的最大值为,且当时,;当时,,由此作出函数的大致图象,如图所示.由图可知,当时,直线和函数的图象有两个交点,即函数有两个零点;当或,即或时,直线和函数的图象有一个交点,即函数有一个零点;当即时,直线与函数的象没有交点,即函数无零点.(2)因为在上单调递增,即在上恒成立,设,则,①若,则,则在上单调递减,显然,在上不恒成立;②若,则,在上单调递减,当时,,故,单调递减,不符合题意;③若,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以,由,得,设,则,当时,,单调递减;当时,,单调递增,所以,所以,又,所以,即c的最大值为2.本题考查利用导函数研究函数的零点问题,考查利用导函数求最值,考查运算能力与分类讨论思想.20.(1),;(2);(3)不能,证明见解析【解析】
(1)求出,结合导数的几何意义即可求解;(2)构造,则原题等价于对任意恒成立,即时,,利用导数求最值即可,值得注意的是,可以通过代特殊值,由求出的范围,再研究该范围下单调性;(3)构造并进行求导,研究单调性,结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1),,曲线在点处的切线方程为,,解得.(2)记,整理得,由题知,对任意恒成立,对任意恒成立,即时,,,解得,当时,对任意,,,,,即在单调递增,此时,实数的取值范围为.(3)关于的方程不可能有三个不同的实根,以下给出证明:记,,则关于的方程有三个不同的实根,等价于函数有三个零点,,当时,,记,则,在单调递增,,即,,在单调递增,至多有一个零点;当时,记,则,在单调递增,即在单调递增,至多有一个零点,则至多有两个单调区间,至多有两个零点.因此,不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理,考查了转化与化归的数学思想,属于难题.21.(1);(2).【解析】
(1)由正弦定理可得,再用余弦定理即可得到角C;(2),再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】(1)因为,所以.在中,由正弦定理得,所以,即.在中,由余弦定理得,又因为,所以.(2)由(1)得,在中,,所以.因为,所以,所以当,即时,有最大值1,所以的最大值为.本题考查正余弦定理解三角形,涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算,是一道容
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