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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()A.1 B. C.2 D.2.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.3.已知函数,,其中为自然对数的底数,若存在实数,使成立,则实数的值为()A. B. C. D.4.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.5.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是()A. B. C. D.6.函数的图象可能是()A. B. C. D.7.已知为虚数单位,若复数,则A. B.C. D.8.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示,其中正视图是直角三角形,侧视图是半圆,俯视图是等腰三角形,该几何体的表面积是()A.B.C.D.9.明代数学家程大位(1533~1606年),有感于当时筹算方法的不便,用其毕生心血写出《算法统宗》,可谓集成计算的鼻祖.如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图,若输出的的值为,则输入的的值为()A. B. C. D.10.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是11.设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则不等式的解集为()A. B. C. D.12.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,当周长最小时,所在直线的斜率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数、满足,且可行域表示的区域为三角形,则实数的取值范围为______,若目标函数的最小值为-1,则实数等于______.14.已知两个单位向量满足,则向量与的夹角为_____________.15.成都市某次高三统考,成绩X经统计分析,近似服从正态分布,且,若该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为_____.16.三个小朋友之间送礼物,约定每人送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),则三人都收到礼物的概率为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)求的最大值.18.(12分)设函数.(1)若函数在是单调递减的函数,求实数的取值范围;(2)若,证明:.19.(12分)如图所示,直角梯形ABCD中,,,,四边形EDCF为矩形,,平面平面ABCD.(1)求证:平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.20.(12分)在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中.若问题中的正整数存在,求的值;若不存在,说明理由.设正数等比数列的前项和为,是等差数列,__________,,,,是否存在正整数,使得成立?21.(12分)已知函数()(1)函数在点处的切线方程为,求函数的极值;(2)当时,对于任意,当时,不等式恒成立,求出实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)当时,求的单调区间;(2)若函数有两个极值点,,且,为的导函数,设,求的取值范围,并求取到最小值时所对应的的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.【详解】可行域如图中阴影部分所示,,,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).故选:B.【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.2.D【解析】
利用直线与圆相交求出实数的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交,则,解得.因此,所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题.3.A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是减函数,(﹣1,+∞)上是增函数,故当x=﹣1时,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(当且仅当ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1时,等号成立);故f(x)﹣g(x)≥3(当且仅当等号同时成立时,等号成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故选:A.4.D【解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.5.C【解析】
在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.,又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..,注意到故的最小值为.故选:C.【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.6.A【解析】
先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.7.B【解析】
因为,所以,故选B.8.D【解析】
由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥,表面积为,故选D.9.C【解析】
根据程序框图依次计算得到答案.【详解】,;,;,;,;,此时不满足,跳出循环,输出结果为,由题意,得.故选:【点睛】本题考查了程序框图的计算,意在考查学生的理解能力和计算能力.10.D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.11.D【解析】
由可得,所以,由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数,可知在上单调递增,注意到,再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以,解得,所以当时,,且时,单调递增,所以在上单调递增,因为,故有,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查学生对函数性质的灵活运用能力,是一道中档题.12.A【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上,计算点P的坐标,计算斜率,即可.【详解】结合题意,绘制图像要计算三角形PAF周长最小值,即计算PA+PF最小值,结合抛物线性质可知,PF=PN,所以,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为,所以斜率为,故选A.【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质,难度中等.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合目标函数的最小值,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出可行域如图,则要为三角形需满足在直线下方,即,;目标函数可视为,则为斜率为1的直线纵截距的相反数,该直线截距最大在过点时,此时,直线:,与:的交点为,该点也在直线:上,故,故答案为:;.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,属于基础题.14.【解析】
由得,即得解.【详解】由题意可知,则.解得,所以,向量与的夹角为.故答案为:【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15..【解析】
根据正态分布密度曲线性质,结合求得,即可得解.【详解】根据正态分布,且,所以故该市有人参考,则估计成都市该次统考中成绩大于分的人数为.故答案为:.【点睛】此题考查正态分布密度曲线性质的理解辨析,根据曲线的对称性求解概率,根据总人数求解成绩大于114的人数.16.【解析】
基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.由此能求出三人都收到礼物的概率.【详解】三个小朋友之间准备送礼物,约定每人只能送出一份礼物给另外两人中的一人(送给两个人的可能性相同),基本事件总数,三人都收到礼物包含的基本事件个数.则三人都收到礼物的概率.故答案为:.【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2)1.【解析】
(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,可得p值,即可求抛物线C的方程从而可得解;(2)设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【详解】(1)∵点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P(2,y0)是抛物线上一点,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵点P(2,n)(n>0)在抛物线C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是y2+4my﹣4=0的两个不同实根,∴y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=(1﹣my1)+(1﹣my2)=2﹣m(y1+y2)=2+4m2,x1x2=(1﹣my1)(1﹣my2)=1﹣m(y1+y2)+m2y1y2=1+4m2﹣4m2=1,(),(x2﹣2,),(x1﹣2)(x2﹣2)+()()=x1x2﹣2(x1+x2)+4=1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8=﹣8m2+8m+5=﹣8(m)2+1.∴当m时,取最大值1.【点睛】本题考查抛物线方程的求法,考查向量的数量积的最大值的求法,考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题.18.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)求出导函数,由在上恒成立,采用分离参数法求解;(2)观察函数,不等式凑配后知,利用时可证结论.【详解】(1)因为在上单调递减,所以,即在上恒成立因为在上是单调递减的,所以,所以(2)因为,所以由(1)知,当时,在上单调递减所以即所以.【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查用导数证明不等式.解题关键是把不等式与函数的结论联系起来,利用函数的特例得出不等式的证明.19.(I)见解析(II)(III)【解析】试题分析:(Ⅰ)取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面的法向量,且,据此有,则平面.(Ⅱ)由题意可得平面的法向量,结合(Ⅰ)的结论可得,即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(Ⅲ)设,,则,而平面的法向量,据此可得,解方程有或.据此计算可得.试题解析:(Ⅰ)取为原点,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,∴,,设平面的法向量,∴不妨设,又,∴,∴,又∵平面,∴平面.(Ⅱ)∵,,设平面的法向量,∴不妨设,∴,∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.(Ⅲ)设,,∴,∴,又∵平面的法向量,∴,∴,∴或.当时,,∴;当时,,∴.综上,.20.见解析【解析】
根据等差数列性质及、,可求得等差数列的通项公式,由即可求得的值;根据等式,变形可得,分别讨论取①②③中的一个,结合等比数列通项公式代入化简,检验是否存在正整数的值即可.【详解】∵在等差数列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整数,使得成立,即成立,设正数等比数列的公比为的公比为,若选①,∵,∴,∴,∴,∴当时,满足成立.若选②,∵,∴,∴,∴,∴方程无正整数解,∴不存在正整数使得成立.若选③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴,∴当时,满足成立.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法,等比数列通项公式及前n项和公式的应用,递推公式的简单应用,补充条件后求参数的值,属于中档题.21.(1)极小值为,极大值为.(2)【解析】
(1)根据斜线的斜率即可求得参数,再对函数求导,即可求得函数的
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