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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.2.若的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为()A.85 B.84 C.57 D.563.已知函数,不等式对恒成立,则的取值范围为()A. B. C. D.4.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.5.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.设,则()A. B. C. D.7.已知复数满足,则的值为()A. B. C. D.28.函数的部分图象如图所示,则()A.6 B.5 C.4 D.39.根据如图所示的程序框图,当输入的值为3时,输出的值等于()A.1 B. C. D.10.在正方体中,E是棱的中点,F是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是()A.点F的轨迹是一条线段 B.与BE是异面直线C.与不可能平行 D.三棱锥的体积为定值11.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x12.已知,是两条不重合的直线,,是两个不重合的平面,则下列命题中错误的是()A.若,,则或B.若,,,则C.若,,,则D.若,,则二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.14.三对父子去参加亲子活动,坐在如图所示的6个位置上,有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法有________种(比如:B与D、B与C是相邻的,A与D、C与D是不相邻的).15.已知向量,,,则_________.16.已知是函数的极大值点,则的取值范围是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(,0),(,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.(1)求曲线G的方程;(2)设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,是坐标原点,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.18.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的值;(2)定义:若直线与曲线都相切,我们称直线为曲线、的公切线,证明:曲线与总存在公切线.19.(12分)在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且向量与向量共线.(1)求B;(2)若,,且,求BD的长度.20.(12分)已知函数.(1)若函数的图象与轴有且只有一个公共点,求实数的取值范围;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)在中,角、、所对的边分别为、、,角、、的度数成等差数列,.(1)若,求的值;(2)求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.2.A【解析】
先求,再确定展开式中的有理项,最后求系数之和.【详解】解:的展开式中二项式系数和为256故,要求展开式中的有理项,则则二项式展开式中有理项系数之和为:故选:A【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定,基础题.3.C【解析】
确定函数为奇函数,且单调递减,不等式转化为,利用双勾函数单调性求最值得到答案.【详解】是奇函数,,易知均为减函数,故且在上单调递减,不等式,即,结合函数的单调性可得,即,设,,故单调递减,故,当,即时取最大值,所以.故选:.【点睛】本题考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,参数分离求最值是解题的关键.4.B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.5.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.6.D【解析】
结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出,,,即可选出答案.【详解】由,即,又,即,,即,所以.故选:D.【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题.7.C【解析】
由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.【详解】因为,所以故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模,属于基础题.8.A【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.【详解】由图象得,令=0,即=kπ,k=0时解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正切函数的图象,平面向量数量积的运算,属于综合题,但是难度不大,解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标,再根据向量数量积的坐标运算可得结果,属于简单题.9.C【解析】
根据程序图,当x<0时结束对x的计算,可得y值.【详解】由题x=3,x=x-2=3-1,此时x>0继续运行,x=1-2=-1<0,程序运行结束,得,故选C.【点睛】本题考查程序框图,是基础题.10.C【解析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义,体积公式分别进行判断.【详解】对于,设平面与直线交于点,连接、,则为的中点分别取、的中点、,连接、、,,平面,平面,平面.同理可得平面,、是平面内的相交直线平面平面,由此结合平面,可得直线平面,即点是线段上上的动点.正确.对于,平面平面,和平面相交,与是异面直线,正确.对于,由知,平面平面,与不可能平行,错误.对于,因为,则到平面的距离是定值,三棱锥的体积为定值,所以正确;故选:.【点睛】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a212.D【解析】
根据线面平行和面面平行的性质,可判定A;由线面平行的判定定理,可判断B;C中可判断,所成的二面角为;D中有可能,即得解.【详解】选项A:若,,根据线面平行和面面平行的性质,有或,故A正确;选项B:若,,,由线面平行的判定定理,有,故B正确;选项C:若,,,故,所成的二面角为,则,故C正确;选项D,若,,有可能,故D不正确.故选:D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断,考查了学生逻辑推理,空间想象能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设切点坐标为,利用导数求出曲线在切点的切线方程,将原点代入切线方程,求出的值,于此可得出所求的切线方程.【详解】设切点坐标为,,,,则曲线在点处的切线方程为,由于该直线过原点,则,得,因此,则过原点且与曲线相切的直线方程为,故答案为.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查过点作函数图象的切线方程,求解思路是:(1)先设切点坐标,并利用导数求出切线方程;(2)将所过点的坐标代入切线方程,求出参数的值,可得出切点的坐标;(3)将参数的值代入切线方程,可得出切线的方程.14.192【解析】
根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,安排在相邻的位置上,②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意,分步进行分析:①,在三对父子中任选1对,有3种选法,由图可得相邻的位置有4种情况,将选出的1对父子安排在相邻的位置,有种安排方法;②,将剩下的4人安排在剩下的4个位置,要求父子不能坐在相邻的位置,有种安排方法,则有且仅有一对父子是相邻而坐的坐法种;故答案为:【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.15.2【解析】
由得,算出,再代入算出即可.【详解】,,,,解得:,,则.故答案为:2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量垂直的性质,向量的模的计算.16.【解析】
方法一:令,则,,当,时,,单调递减,∴时,,,且,∴在上单调递增,时,,,且,∴在上单调递减,∴是函数的极大值点,∴满足题意;当时,存在使得,即,又在上单调递减,∴时,,,所以,这与是函数的极大值点矛盾.综上,.方法二:依据极值的定义,要使是函数的极大值点,由知须在的左侧附近,,即;在的右侧附近,,即.易知,时,与相切于原点,所以根据与的图象关系,可得.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1).(2)四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【解析】
(1)根据三角形内切圆的性质证得,由此判断出点的轨迹为椭圆,并由此求得曲线的方程.(2)将直线的斜率分成不存在或存在两种情况,求出平行四边形的面积,两种情况下四边形的面积都为,由此证得四边形的面积为定值.【详解】(1)因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆(点不在轴上),所以c,a=2,b,所以曲线G的方程为,(2)因为,故四边形为平行四边形.当直线l的斜率不存在时,则四边形为为菱形,故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,此时可求得四边形OMDN的面积为.当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|点O到直线MN的距离d,由,得xD,yD,∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,由题意四边形OMDN为平行四边形,∴OMDN的面积为S,由1+2k2=2m2得S,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.【点睛】本小题主要考查用定义法求轨迹方程,考查椭圆中四边形面积的计算,考查椭圆中的定值问题,考查运算求解能力,属于中档题.18.(1);(2)见解析.【解析】
(1)求出导数,问题转化为在上恒成立,利用导数求出的最小值即可求解;(2)分别设切点横坐标为,利用导数的几何意义写出切线方程,问题转化为证明两直线重合,只需满足有解即可,利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【详解】(1),函数在上单调递增等价于在上恒成立.令,得,所以在单调递减,在单调递增,则.因为,则在上恒成立等价于在上恒成立;又,所以,即.(2)设的切点横坐标为,则切线方程为……①设的切点横坐标为,则,切线方程为……②若存在,使①②成为同一条直线,则曲线与存在公切线,由①②得消去得即令,则所以,函数在区间上单调递增,,使得时总有又时,在上总有解综上,函数与总存在公切线.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题,导数的几何意义,利用导数证明方程有解,属于难题.19.(1)(2)【解析】
(1)根据共线得到,利用正弦定理化简得到答案.(2)根据余弦定理得到,,再利用余弦定理计算得到答案.【详解】(1)∵与共线,∴.即,∴即,∵,∴,∵,∴.(2),,,在中,由余弦定理得:,∴.则或(舍去).∴,∵∴.在中,由余弦定理得:,∴.【点睛】本题考查了向量共线,正弦定理,余弦定理,意在考查学生的综合应用能力.20.(1)(2)【解析】
(1)求出及其导函数,利用研究的单调性和最值,根据零点存在定理和零点定义可得的范围.(2)令,题意说明时,恒成立.同样求出导函数,由研究的单调性,通过分类讨论可得的单调性得出结论.【详解】解(1)函数所以讨论:①当时,无零点;②当时,,所以在上单调递增.取,则又,所以,此时函数有且只有一个零点;③当时,令,解得(舍)或当时,,所以在上单调递减;当时,所以在上单调递增.据题意,得,所以(舍)或综上,所求实数的取值范围为.(2)令,根据题意知,当时,恒成立.又讨论:①若,则当时,恒成立,所以在上是增函数.又函数在上单调递增,在上单调递增,所以存在使,不符合题意.②若,则当时,恒成立,所以在上是增函数,据①求解知,不符合题意.③若,则当时,恒有,故在上是减函数,于是“对任意成立”的充分条件是“”,即,解得,故综上,所求实数的取值范围是.【点睛】本题考查函数零点问题,考查不等式恒成立问题,
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