考研数学三（填空题）专项练习试卷2（共180题）

考研数学三（填空题）专项练习试卷2（共9套）（共180题）考研数学三（填空题）专项练习试卷第1套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设总体X的分布规律为P(X＝i)＝(i＝1，2，…，θ)，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，则0的矩估计量为______(其中0为正整数)．标准答案：－1知识点解析：E(X)＝，令E(X)＝，则θ的矩估计量为－1．2、设f(x)=esinπx，则=___________．标准答案：π知识点解析：根据导数定义所以，所求极限为一(esinπx)’｜x=1=一(πcosπx)esinπx｜x=1=π．或把函数代入用洛必达法则求极限．3、曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.标准答案：2知识点解析：暂无解析4、设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是_________．标准答案：0(n－1重根)，n(单根)知识点解析：故λ=0(n－1重特征值)，λ=n(单根)．5、函数y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数y（n）（0）=________。标准答案：—2n（n—1）!知识点解析：将ln（l+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式令t=—2x代入第n项可得比较系数可得y=ln（1—2x）在x=0处的n阶导数为y（n）（0）=—2n（n—1）！。6、设．y=x5+5x一tan(x2+1)，则y′=_________．标准答案：y′=5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．知识点解析：暂无解析7、若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式｜B-1-E｜=_________.标准答案：24知识点解析：暂无解析8、曲线y=的渐近线是________．标准答案：y=1知识点解析：9、设f(x)＝在x＝1处可微，则a＝______，b＝______．标准答案：a＝2，b＝－1知识点解析：因为f(x)在x＝1处可微，所以f(x)在x＝1处连续，于是f(1－0)＝f(1)＝1＝(1＋0)＝a＋b，即a＋b＝1．由f(x)在x＝1处可微得a＝2，所以a＝2，b＝－1．10、设(x，y)的概率密度为则Cov(X，Y)=_________．标准答案：0知识点解析：由于D：0≤｜y｜≤x≤1是由y=－x，y=x，x=1三条线围成的，关于x轴对称，所以E(XY)=xydxdy=0，EY=ydxdy=0，故Cov(X，Y)=E(XY)－EXEY=0．11、幂级数的收敛半径R=___________。标准答案：知识点解析：设an=，则当满足条件=2x2＜1时，即|x|＜该幂级数是收敛的。因此，幂级数的收敛半径是12、微分方程y"+2y’+5y=0的通解为________。标准答案：y=e—x（C1cos2x+C2sin2x），C1，C2为任意常数知识点解析：由题干可知，方程y"+2y’+5y=0的特征方程为r2+2r+5=0．解得则原方程的通解为y=e—x（C1cos2x+C2sin2x），C1，C2为任意常数。13、已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=________。标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x，C1，C2为任意常数知识点解析：显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x，其中C1，C2为任意常数。14、微分方程的通解是________．标准答案：y=Cxe-x(x≠0)知识点解析：原方程等价为两边积分得ln|y|=In|x|一x+C1．取，整理得y=Cxe-x(x≠0)．15、设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，则a=___________.标准答案：1/2知识点解析：暂无解析16、微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=_______．标准答案：(x+C)cosx，其中C为任意常数知识点解析：属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案．17、设A为三阶正交阵，且｜A｜＜0，｜B－A｜＝－4，则｜E－ABT｜＝______．标准答案：－4知识点解析：｜A｜＜0｜A｜＝－1．｜E－ABT｜＝｜AAT－ABT｜＝｜A｜｜(A－B)T｜＝－｜A－B｜＝｜B－A｜＝－4．18、一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为60％，30％，10％，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为________．标准答案：知识点解析：令Ai={所取产品为i等品}(i=1，2，3)，P(A1)=0．6，P(A2)=0．3，P(A3)=0．1，所求概率为P(A1|A1+A2)=19、设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，则ρUV=___________。标准答案：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以知识点解析：暂无解析20、设f(x)连续，且=______．标准答案：6知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第2套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设可导函数y=y(x)由方程xsint2dt确定．则=________.标准答案：-1知识点解析：暂无解析2、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析3、已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(x，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=________。标准答案：知识点解析：首先分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，后应用概率性质计算概率。由于A={max(X，Y)≥0}={X，y至少有一个大于等于0}={X≥0}∪{Y≥0}，所以P(A)=P{X≥0}+P{Y≥0}一P{X≥0，Y≥0}=又{max(X，Y)＜0}{min(X，Y)＜0}，则B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}={max(X，Y)＜0}=。从而P(B)==1一P(A)=1一根据全集分解式知：A={max(X，Y)≥0}={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}+{max(X，Y)≥0，rain(X，Y)≥0}=C+{X≥0，Y≥0}，故P(C)=P(A)一P{X≥0，Y≥0}=4、已知=_____．标准答案：知识点解析：因5、假设盒内有10件产品，其正品数为0，1，…，10个是等可能的，今向盒内放入一件正品，然后从盒内随机取出一个产品发现它是正品，则原来盒内有7个正品的概率α=_______．标准答案：知识点解析：设事件Ai=“盒内原有i件正品”，i=0，1，…，10；事件B=“取出的产品是正品”，所以A0，A1，…A10构成一个完备事件组，依题意有所求概率P(A7|B)可直接应用贝叶斯公式：或先应用全概率公式求出P(B)=再根据条件概率定义计算出P(A7|B)．6、设4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为则行列式|B-1一E|=________。标准答案：24知识点解析：由于相似矩阵有相同的特征值，故B的特征值为：因此，B-1的特征值为：2，3，4，5．从而知B-1-E的特征值为：1，2，3，4．由特征值的性质，得|B-1一E|=1×2×3×4=247、若曲线y=x3+ax2+bx+1有拐点(一1，0)，则b=__________．标准答案：3知识点解析：曲线y=x3+ax2+bx+1过点(一1，0)，则0=1+a—b+1，a=—by=x3一bx2+bx+1y’=3x2一2bx+by’’=6x一2by’’(一1)=一6—2b=0，则b=38、设X1，X2，…，Xn为取自总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记样本方差为S2，则D(S2)________。标准答案：知识点解析：根据性质～χ2(n一1)及D[χ2(n—1)]=2(n—1)，得知D(S2)=D[χ2(n一1)]=2(n一1)，所以D(S2)=9、反常积分标准答案：知识点解析：10、当x→0+，与等价的尤穷小量是________.标准答案：知识点解析：暂无解析11、设z=esinxy，则dz=_______．标准答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知识点解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．12、微分方程y＇=1+x+y2+xy2的通解为_________。标准答案：y=tan[(1+x)2+C]，C为任意常数知识点解析：将已知微分方程变形整理得，=(1+x)(1+y2)，则=(1+x)ax，两边积分可得arctany=(1+x)2+C，因此y=tan[(1+x)2+C]，C为任意常数。13、设f(u)为连续函数，D是由y=1，x2－y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则I==________．标准答案：0知识点解析：因积分域D关于y轴对称，被积函数xy(y2)关于变量x是奇函数，故xf(y2)dσ=0．14、设u=x4+y4一4x2y2，则=________。标准答案：12x2一8y2知识点解析：=12x2一8y2．15、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)—y(x)，且，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=__________．标准答案：知识点解析：16、设随机变量X，Y相互独立，且．X～N(0，4)，Y的分布律为则P(X+2Y≤4)=______．标准答案：0.46587知识点解析：P(X+2Y≤4)=P(Y=1)P(X≤4－2Y｜Y=1)+P(Y=2)P(X≤4－2Y｜Y=2)+P(Y=3)P(X≤4－2Y｜Y=3)17、设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=__________．标准答案：2知识点解析：因为AB=0，所以r(A)+r(B)≤3，又因为B≠0，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)=2．18、已知一2是A=的特征值，其中b是不等于0的任意常数，则x=______标准答案：一4知识点解析：由|λE一A|=|-2E-A|=0，可求得x=一4．19、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则标准答案：8π．知识点解析：20、若β=(1，3，0)T不能由α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T线性表出，则a=______.标准答案：-1知识点解析：β不能由α1，α2，α3线性表出方程组x1α1+x2α2+x3α3=β无解．又因为a=-1时方程组无解，所以a=-1时β不能由α1，α2，α3线性表出．考研数学三（填空题）专项练习试卷第3套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=__________标准答案：知识点解析：2、=________．标准答案：知识点解析：3、若=_________．标准答案：5知识点解析：4、当x→一1时，若有～A(x+1)k，则A=_______，k=________．标准答案：知识点解析：当x→一1时，5、＝______．标准答案：知识点解析：6、设α=[1，2，3]，β=，A=αTβ，则An=_________．标准答案：3n－1A知识点解析：A=αTβ=An=(αTβ)n=(αTβ)(αTβ)…(αTβ)=αT(βα)T(βα)T…(βαT)β=3n－1A．7、设离散型随机变量X的分布函数F(x)=则随机变量|X|的分布函数为______．标准答案：知识点解析：由于分布函数F(x)只在x=一1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量X与|X|的概率分布分别为|X|的分布函数F|X|(x)为8、设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1+p3，其中p为价格，且R（1）=1，则R（p）=________。标准答案：知识点解析：由弹性的定义得9、标准答案：知识点解析：10、标准答案：0知识点解析：令In=e—xsinn，xdx=—e—xsinnx+ne—xcosnxdx=一e—xsinnx—ne—xcosnx—n2In。所以11、∫e+∞=___________。标准答案：1知识点解析：原式可化为=1。12、标准答案：知识点解析：令x—1=t，则13、设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则minm（x，y）dxdy=________。标准答案：知识点解析：由题干可知，min（x，y）dxdy=∫01dy∫y3ydx+∫01dy∫0yxdx=。14、设4阶矩阵A的秩为2，则r(A*)=______________．标准答案：0知识点解析：由知r(A*)=0．15、邑知α=的一个特征向量，则a=__________．标准答案：2．知识点解析：设a是矩阵A属于特征值λ0的特征向量，按定义有可得a=2．16、设y=y(x)由确定，则标准答案：当x=0时，y=1，两边对x求导，得将x=0，y=1代入得知识点解析：暂无解析17、幂级数的收敛域为_________．标准答案：[1，3)知识点解析：令y=x－2，则为不缺项级数，an==1，故R=1．当y=1时，发散(p级数，p=＜1)，当y=－1时，为收敛的交错级数．因此的收敛域为[－1，1)．可知－1≤x－2＜1，即1≤x＜3时，原级数(x－2)n收敛．18、微分方程xy’一y[1n(xy)一1]=0的通解为__________．标准答案：知识点解析：令xy=u，y+xy’=，积分得lnlnu=lnx+lnC，即lnu=Cx，原方程的通解为ln(xy)=Cx。19、已知随机变量X的概率密度为f（x）=e—|x|，一∞＜x＜+∞，则D（X2）=________。标准答案：20知识点解析：由于D（X2）=E（X4）一E2（X2）。E（X2）=∫—∞+∞x2f（x）dx=2∫0+∞x2．e—|x|dx=∫0+∞x2e—xdx=2!，E（X4）∫—∞+∞x4f（x）dx=2∫0+∞x4．e—|x|dx==∫0+∞x4e—xdx=4!，所以D（X2）=4!—（2!）2=24—4=20。20、设A，B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，则=________．标准答案：0．4．知识点解析：因为P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，所以P(AB)=0．2．又因为P(B)=P(B)一P(AB)，P(AB)=P(A)一P(AB)，所以P(B)+P(AB)=P(A)+P(B)一2P(AB)=0．8一0．4=0．4．考研数学三（填空题）专项练习试卷第4套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=__________标准答案：知识点解析：2、设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．标准答案：知识点解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E=3、交换积分次序：=________.标准答案：知识点解析：暂无解析4、设=_____________________。标准答案：知识点解析：对已知函数进行恒等变形，即则有所以5、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．标准答案：a≠1知识点解析：暂无解析6、曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.标准答案：2知识点解析：暂无解析7、=__________。标准答案：+C知识点解析：令x=tant，则dx=Sec2tdt，故8、设随机变量X的概率密度为f(x)=(一∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为________．标准答案：知识点解析：根据题意，即求E(X2)．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有9、标准答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数知识点解析：10、抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围图形面积为则a=______．标准答案：1知识点解析：y2=ax与x=1所围图形面积11、曲线直线x=2及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．标准答案：知识点解析：12、设总体X的概率密度为X1，X2，…，Xn是来自X的样本，则未知参数θ的最大似然估计值为_________．标准答案：知识点解析：似然函数为解似然方程得θ的极大似然估计值为13、设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=______．标准答案：知识点解析：令则X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，因此有14、已知一2是的特征值，则x=__________．标准答案：x=-4知识点解析：因为一2是矩阵A的特征值，所以由15、已知r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）=m，r（α1，α2，…，αs，γ）=m+1，则r（α1，α2，…，αs，β，γ）=________。标准答案：m+1知识点解析：已知r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）=m，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r（α1，α2，…，αs，γ）=m+1，则表明向量’不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得（α1，α2，…，αs，β，γ）=（α1，α2，…，αs，0，γ），因此可得r（α1，α2，…，αs，β，γ）=m+1。16、设n维列向量a=(a，0，…，0，a)T，其中a<0，又A=E一ααT，且B为A的逆矩阵，则a=__________．标准答案：由且ααT≠O，得解得a=一1．知识点解析：暂无解析17、设A是5阶方阵，且A2=O，则r(A*)=_________．标准答案：0知识点解析：因A2=AA=O，r(A)+r(A)≤5，r(A)≤2，从而A*=O．r(A*)=0．18、设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是________．标准答案：0(n一1重根)，n(单根)知识点解析：19、与α1=[1，2，3，一1]T，α2=[0，1，1，2]T，α3=[2，1，3，0]T都正交的单位向量是________．标准答案：知识点解析：设β=[x1，x2，x3，x4]T，那么故n一r(A)=4—3=1，则Ax=0有一个基础解向量。则Ax=0的基础解系为[一1，一1，1，0]T，将其单位化，得即为所求．20、一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为________．标准答案：知识点解析：独立重复试验．至少命中一次的对立事件是四次都没有命中．四次都没有命中的概率是所以该射手的命中率为考研数学三（填空题）专项练习试卷第5套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、＝______．标准答案：1知识点解析：2、设f(x)可导且在x=0处连续，则a=________。标准答案：3．知识点解析：3、设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则a=________标准答案：知识点解析：因为AB=0，则有r(A)+r(B)≤3，又已知矩阵B≠O，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，则行列式｜A｜=0．而4、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。的秩为_________.标准答案：2知识点解析：暂无解析5、已知函数z=f(x，y)在(1，1)处可微，且设φ(x)=f[x，f(x，x)]，则=__________．标准答案：51知识点解析：6、设f(x)的一个原函数为=______．标准答案：知识点解析：7、已知若Dn=anDn-1+kDn-2，则k=__________．标准答案：1知识点解析：8、设随机变量X和Y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差Cov(X2，Y2)=________．标准答案：一0．02知识点解析：由X和Y的联合概率分布得于是有E(X2)=12×0．5=0．5，E(Y2)=12×0．6=0．6，E(X2Y2)=12×0．28=0．28，所以Cov(X2，Y2)=E(X2Y2)一E(X2)E(Y2)=0．28—0．30=一0．02．9、设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布律，且X的分布律为：则随机变量Z=max｛X，Y｝的分布律为_________．标准答案：知识点解析：P｛Z=0｝=P｛X=0，Y=0｝=P｛X=0｝P｛Y=0｝=P｛Z=1｝=1－P｛Z=0｝=10、已知，则f(n)(3)=______．标准答案：知识点解析：11、设平面区域D由直线y=x，圆x2+y2=2y及y轴所围成，则二重积分xydσ=__________。标准答案：知识点解析：方法一：本题可以利用极坐标变换，D：≤θ≤，0≤r≤2sinθ。因此方法二：通过直角坐标变换求解，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为y=1+因此直角坐标区域为D：0≤x≤1，x≤y≤1+所以可得12、已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_________．标准答案：2知识点解析：二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6，0，0是A的特征值．13、设f(u，v)是二元可微函数标准答案：知识点解析：利用求导公式可得14、微分方程y’－xe－y+=0的通解为______．标准答案：知识点解析：由令z=ey，则所以原方程的通解为15、微分方程的通解为______．标准答案：lnx+C知识点解析：16、设f(x)∈C[1，+∞)，广义积分收敛，且满足则f(x)=_________．标准答案：令则由得解得所以知识点解析：暂无解析17、已知方程组有无穷多解，则a=___________．标准答案：—5知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有当a=一5时，r(A)=r()＜3，方程组有无穷多解．18、由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|e，0=________．标准答案：知识点解析：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z两边关于y求偏导得，将x=e，y=0，z=1代入得，故dz(e，0)=19、幂级数的收敛半径为__________．标准答案：2知识点解析：当x=0时级数显然收敛．当x≠0时设，于是用比值判别法知，当＞1时幂级数绝对收敛，而当时幂级数发散，故幂级数的收敛半径为2．20、已知α1，α2，α3，β，γ都是4维列向量，且｜α1，α2，α3，β｜=a，｜β+γ，α3，α2，α1｜=b，则｜2γ，α1，α2，α3｜=________.标准答案：2(a-b)知识点解析：｜β+γ，α3，α2，α1｜中第一列是两个数的和，用性质3可将其拆成两个行列式之和，再利用对换，提公因式等行列式性质作恒等变形，就有｜β+γ，α3，α2，α1｜=｜β，α3，α2，α1｜+｜γ，α3，α2，α1｜=b，｜β，α1，α2，α1｜=｜α1，α2，α1，β｜=a，又｜γ，α1，α2，α1｜=-｜γ，α1，α2，α3｜，于是｜2γ，α1，α2，α3｜=2(a-b).考研数学三（填空题）专项练习试卷第6套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、已知f(χ)＝在χ＝0处连绥，则a＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析2、＝______．标准答案：知识点解析：当x→0时，．3、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析4、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设A=，B=(E-A)(E+2A)-1，则(B-E)1=________标准答案：知识点解析：本题可以采用单位矩阵恒等变形的技巧．则B-E=(E-A)(E+2A)-1-(E+2A)(E+2A)-1=[(E-A)-(E+2A)](B+2A)-1=-3A(E+2A)-1因此可得(B-E)-1=[-3A(E+2A)-1]-1=根据已知可得6、[(χ＋1)2＋2y2]dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析7、设3阶矩阵A的特征值为2，3，λ．如果｜2A｜=一48，则λ=________．标准答案：一1知识点解析：｜2A｜=8｜A｜，得｜A｜=一6．又｜A｜=2×3×λ．得λ=一1．8、标准答案：知识点解析：9、设u=e—xsin的值为_________．标准答案：知识点解析：(对x求导时y为常量)．将上式对y求导，得(对y求导时x为常量)10、幂级数xn的收敛域为___________．标准答案：[一1，1)知识点解析：根据收敛半径的计算公式，幂级数，的收敛半径为1，收敛域为[一1，1)；幂级．数的收敛域为(一2，2)．因此原级数在[一1，1)收敛，在(一2，一1)∪[1，2)一定发散．又根据阿贝尔定理，原级数在(一∞，一2]∪[2，+∞)也一定发散．故原级数的收敛域为[一1，1)．11、已知A～B=，则r(A)+r(A—E)+r(A一2E)=__________．标准答案：9．知识点解析：由A～B知A+kE～B+kE，又因相似矩阵有相同的秩．故r(A)+r(A—E)+r(A一2E)=r(B)+r(B—E)+r(B一2E)=2+4+3=9．12、设u＝u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)＝x，u’x(x，3x)＝x3，则u’’xy(x，3x)＝______．标准答案：知识点解析：u(x，3x)＝x两边对x求导，得u’x(x，3x)＋3u’y(x，3x)＝1，再对x求导，得u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＋9u’’yy(x，3x)＝0．由，得10u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＝0，u’x＝x3两边对x求导，得u’’xx(x，3x)＋3u’’xy(x，3x)＝3x2，解得u’’xy(x，3x)＝．13、=______标准答案：知识点解析：原式14、积分标准答案：知识点解析：15、设f(x)=D={(x，y)｜-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞}，则=_______标准答案：知识点解析：由于故在区域D1={(x，y)｜0≤y≤1，-y≤x≤1-y}(如图4．2)上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是16、已知事件A与B相互独立，P(A)=a，P(B)=b．如果事件C发生必然导致事件A与B同时发生，则A，B，C都不发生的概率为__________．标准答案：(1一a)(1—b)．知识点解析：由于CAB，P(AB)=P(A)P(B)，故A，B，C都不发生的概率为=1一P(A∪B∪C)=1一P(A)一P(B)一P(C)+P(AB)+P(BC)+(AC)一P(ABC)=1一a—b—P(C)+ab+P(C)+P(C)一P(C)=1一a—b+ab=(1一a)(1—b)．17、设｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11+a22+a33=______。标准答案：－2知识点解析：因为｜A*｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A－1－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为－2，－1，1，于是a11+a22+a33=－2－1+1=－2．18、函数f(x)=ln(3+x)展开为x的幂级数为_________．标准答案：ln3+，－3＜x≤3知识点解析：f(x)=ln(3+x)=ln[3(1+)]=ln3+1n(1+)．因ln(1+x)=xn+1(－1＜x≤1)，故f(x)=ln3+ln(1+)=ln3+－1＜≤1，即－3＜x≤3．19、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T，3α1+α2=（2，4，6，8）T，则方程组Ax=b的通解是________。标准答案：（，0，0，0）T+k（0，2，3，4）T，k为任意常数知识点解析：由于r（A）=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4一r（A）=1个解向量。又因为（α1+α2+2α3）一（3α1+α2）=2（α3一α1）=（0，一4，一6，一8）T是Ax=0的解，所以其基础解系为（0，2，3，4）T，由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知（α1+α2+α3）是方程组Ax=b的一个解，根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其通解是（，0，0，0）T+k（0，2，3，4）T，k为任意常数。20、设Y～χ2((200)，则由中心极限定理得P{Y≤200}近似等于_______．标准答案：知识点解析：由Y～χ2(200)知，Y可表示为Y=X12+X22+…+X2002，其中X1，X2，…，X200相互独立且均服从N(0，1)．进而知Xi2～χ2(1)，E(Xi2)=1，D(Xi2)=2，i=1，2，…，200．由中心极限定理知，所以P{Y≤200}=考研数学三（填空题）专项练习试卷第7套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设a＞0，且，则a=__________，b=__________．标准答案：4；1知识点解析：2、设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．标准答案：知识点解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E=3、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是________。标准答案：知识点解析：设事件A={第一个人取出的球是黄色的}，事件B={第一个人取出的球是白色的}，事件C={第二个人取出的球是黄色的}，则有根据全概率公式可得P(C)=P(A)．P(C|A)+P(B)．P(C|B)4、若x→0时，(1－ax2)1/4－1与xsinx的等价无穷小，则a＝________．标准答案：-4知识点解析：暂无解析5、设∫0yetdt+∫0xcostdt=xy确定函数y=y(x)，则=________．标准答案：知识点解析：∫0yetdt+∫0xcostdt=xy两边对x求导得6、方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系是_________．标准答案：ξ1=[1，－1，0，0，0]T，ξ2=[1，0，－1，0，0]T，ξ3=[1，0，0，－1，0]T，ξ4=[1，0，0，0，－1]T知识点解析：暂无解析7、曲线tan（x+y+）=ey在点（0，0）处的切线方程为________。标准答案：y=—2x知识点解析：方程两边对x求导，可得sec2（x+y+）．（1+y’）=ey．y’，因此，点（0，0）处的切线方程为y—0=（—2）．（x—0），即y=—2x。8、=__________.标准答案：知识点解析：9、已知向量组α1=(2，3，4，5)T，α2=(3，4，5，6)T，α3=(4，5，6，7)T，α4=(5，6，7，8)T，则向量组r(α1，α2，α3，α2)=______标准答案：2知识点解析：根据初等变换的性质可知，初等变换不改变向量组或矩阵的秩，则可以通过初等变换将向量构成的矩阵化为阶梯形矩阵来求秩，即故r(α1，α2，α3，α4)=2．10、曲面x12+x22+x32+4x1x2+4x1x3+4x2x3=0的标准方程是_______．标准答案：5y12－y22－y32=1．知识点解析：A=的特征值为λ1=5，λ2=λ3=－1，曲面的标准方程为5y12－y22－y32=1．11、设其中函数f（u）可微，则标准答案：0知识点解析：12、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz=__________。标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：由已知=ex+y+xex+y+ln(1+y)，因此|(1，0)=2edx+(e+2)dy。13、已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_______。标准答案：知识点解析：记Y1=X2+X3，Y2=X2一X3，则Y1～N(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)]=E(X22)一E(X32)=σ2一σ2=0，所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立．又由X1+X2+X3=X1+Y1～N(0，3σ2)，可知(X1+X2+X3)～N(0，1)，～χ2(1)，且X1+X2+X3与X2一X3相互独立，于是按t分布定义有14、设n阶矩阵A=则|A|=________。标准答案：—2（n—2）!知识点解析：把第二行所有元素乘以—1加到其他各行所对应的元素上，再将第一行所有元素乘以2加到第二行相应的元素上，可得15、设随机变量X和y相互独立，且分布函数为FX(x)=，令U=X+Y，则U的分布函数为_______．标准答案：知识点解析：FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)，当U＜0时，FU(u)=0；当0≤u＜1时，FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)=P(X=0，Y≤u)16、设f(x)=，D={(x，y)|一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞)，则f(y)f(x+y)dxdy=________．标准答案：知识点解析：17、设A是秩为3的5×4矩阵，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，如果α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T，3α1+α2=（2，4，6，8）T，则方程组Ax=b的通解是________。标准答案：（，0，0，0）T+k（0，2，3，4）T，k为任意常数知识点解析：由于r（A）=3，所以齐次方程组Ax=0的基础解系只含有4—r（A）=1个解向量。又因为（α1+α2+2α3）一（3α1+α2）=2（α3—α1）=（0，—4，—6，—8）T是Ax=0的解，所以其基础解系为（0，2，3，4）T，由A（α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b，可知，0，0，0）T+k（0，2，3，4）T，k为任意常数。18、设A是三阶实对称矩阵，其特征值为λ1＝3，λ2＝λ3＝5，且λ1＝3对应的线性无关的特征向量为α1＝，则λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为______．标准答案：知识点解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令λ2＝λ3＝5对应的特征向量为得λ2＝λ3＝5对应的线性无关的特征向量为．19、微分方程(1一x2)y一xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是________．标准答案：知识点解析：原方程化为积分得通解得特解．20、已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，…，X2N是来自总体X容量为2n的简单随机样本，当σ2未知时，Y=的期望为σ2，则C=______，DY=_______．标准答案：知识点解析：通过EY=σ2求得C，为此需先求得X2i-X2i-1分布．由于Xi～N(μ，σ2)，且相互独立，故X2i-X2i-1～N(0，2σ2)，E(X2i-X2i-1)2=D(X2i-X2i-1)+[E(X2i-X2i-1)]2=2σ2．考研数学三（填空题）专项练习试卷第8套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设f(x)=在x=0处连续，则a=________．标准答案：知识点解析：2、设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．标准答案：知识点解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E=3、=_____________。标准答案：知识点解析：4、＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析5、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．标准答案：y=x－1知识点解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx上点(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)处的切线方程是从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1．6、设A是4×3矩阵，且A的秩r(A)=2，而B=，则r(AB)=________标准答案：2知识点解析：因为所以矩阵B可逆，因此r(AB)=r(A)=2．7、设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)＝f(x，y)dσ，则＝______．标准答案：2πf(0,0)知识点解析：F(t)＝f(x,y)dσ＝f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，D：x2＋y2≤t2．8、设n阶矩阵A的元素全是1，则A的n个特征值是_________．标准答案：0(n－1重根)，n(单根)知识点解析：故λ=0(n－1重特征值)，λ=n(单根)．9、设f(x)为连续函数，且满足∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，则f(x)=________．标准答案：cosx—xsinx+C知识点解析：由∫01f(xt)dt=f(x)+xsinx，得∫01f(xt)d(xt)=xf(x)+x2sinx，即∫0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得f’(x)=一2sinx—xcosx，积分得f(x)=cosx—xsinx+C．10、若函数f(x)=在x=1处连续且可导，那么a=______，b=______．标准答案：a=2，b=一1知识点解析：因f(x)在x=1处连续，则，即1=a+b．要函数f(x)在x=1处可导，必须有f-’(1)=f+’(1)．由已知可得因此可得a=2，b=一1．11、设f(x)在x=a处存在二阶导数，则标准答案：知识点解析：通分，分子用皮亚诺余项泰勒公式展开：12、∫sin3xcoszdx=__________．标准答案：知识点解析：13、=__________标准答案：知识点解析：14、设f（x，y，z）=ex+y2z，其中z=z（x，y）是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则fz’（0，1，—1）=________。标准答案：1知识点解析：已知f（x，y，z）=ex+y22，那么有fx’（x，y，z）=ex+y2zx’。在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+zx’+yz+xyzx’=0。由x=0，y=1，z=—1，可得zx’=0。故fx’（0，1，—1）=e0=1。15、曲线y=∫0xtantdt的弧长S=________．标准答案：知识点解析：16、抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围图形面积为则a=______．标准答案：1知识点解析：y2=ax与x=1所围图形面积17、设A2一BA=E，其中A=，则B=___________．标准答案：知识点解析：由于BA=A2一E，又A可逆，则有B=(A2一E)A-1=A—A-1．故．18、若数列{an}收敛，则级数(an+1一an)___________。标准答案：收敛知识点解析：由题干知，级数(an+1一an)的部分和数列为Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1，因为数列{an}收敛，所以{Sn}收敛。因此，级数(an+1一an)收敛。19、设某种商品的合格率为90％，某单位要想给100名职工每人一件这种商品．试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以97．5％的概率保证每人都可以得到一件合格品?标准答案：设至少购买n件，n件中合格品数为X，易见X服从二项分布B(n，0．9)，且n≥100，根据拉普拉斯中心极限定理，X近似服从二项分布N(0．9n，0．09n)．依题意P{X≥100}=0．975，即0．975=P{X≥100}=．解方程=一1．96→n≈119．知识点解析：暂无解析20、已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，|B|=2，则行列式标准答案：知识点解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，|A|=|B|=2，且λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，|(2B)*|=|22B*|=43|B*|=43|B|2=256，故考研数学三（填空题）专项练习试卷第9套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设f’(x)连续，x(0)=0，f’(0)=1，则=______．标准答案：0知识点解析：∫0xlncos(x－t)dt=－∫0xlncos(x－t)d(x－t)=一∫x0lncosudu=∫0xlncosudu，2、＝_______(a＞0)．标准答案：知识点解析：暂无解析3、若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=标准答案：n-m知识点解析：暂无解析4、已知方程组无解，则a=________.标准答案：-1知识点解析：[*]5、曲线y=ln(e－)的全部渐近线为________．标准答案：x=0，x=，y=1知识点解析：因为=+∞，x=0为铅直渐近线．为铅直渐近线．=1，y=1为水平渐近线．6、若a1，a2，a3，β1，β2都是4维列向量，且4阶行列式｜a1，a2，a3，β1｜=m，｜a1，a2，β2，a3｜=n，则4阶行列式｜a1，a2，a3，β1+β2｜=标准答案：n-m知识点解析：暂无解析7、函数f(x)=上的平均值为________．标准答案：1知识点解析：8、f（x）=则∫14f（x一2）dx=________。标准答案：知识点解析：设x—2=t，dx=dt，当x=1时，