考研数学三（填空题）专项练习试卷1（共180题）

考研数学三（填空题）专项练习试卷1（共9套）（共180题）考研数学三（填空题）专项练习试卷第1套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设f(x)为奇函数，且f’(1)＝2，则f(x3)｜x＝－1＝______．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，由f(x3)＝3x2f’(x3)得＝3f’(－1)＝3f’(1)＝6．2、标准答案：0知识点解析：因为x→0时，3、设且f′(0)存在，则a=___________，b=__________，c=__________.标准答案：f(0)=2，f(0一0)=c，因为f(x)在x=0处连续，所以f(0+0)=f(0)=f(0一0)，从而a=2，c=2，即因为f(x)在x=0处可导，即f′+(0)=f′-(0)，故b=一2．知识点解析：暂无解析4、设A为3阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵．若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=__________．标准答案：-27知识点解析：暂无解析5、设φ(x)==______标准答案：知识点解析：先考查φ(x)的可导性并进行求导．φ(x)在x=0处的左导数为φ(x)在x=0处的右导数为所以φ’(0)=0．6、幂级数[*的收敛域为__________．标准答案：(1．45，1．55)知识点解析：这是缺项幂级数，把一般项化成an(x一x0)2n-1的标准形再计算．所以，当时，级数绝对收敛；当时，级数发散．故幂级数的收敛区间为(1．45，1．55)．又当时，原级数的一般项分别是un=一10和un=10，所以发散．因此幂级数的收敛域为(1．45，1．55)．7、已知函数z=f(x，y)在(1，1)处可微，且f(1，1)=1，=3．设φ(x)=f[x，f(x，x)]，则φ3(x)｜=___________．标准答案：51知识点解析：．又=f’1+f’2．(f’1+f’2)，φ(1)=f(1，1)=1，所以=3．1．[2+3(2+3)]=51．8、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的密度函数为Fy(y)=_________．标准答案：知识点解析：fX(x)=当Y=X2在(0，4)内时fY(y)=9、设X1，X1，…，Xn是来自参数为λ的泊松分布总体的一个样本，则λ的极大似然估计量为________．标准答案：知识点解析：因为p(xi；λ)=P{X=xi}=(xi=0，1，…)，则极大似然估计为10、∫x3ex2dx=________．标准答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数知识点解析：11、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz｜(1,0)=__________．标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：12、标准答案：一sinθ知识点解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ,=一sinθ.13、幂级数在收敛域(－1，1)内的和函数S(x)为_________．标准答案：知识点解析：设S(x)=(－1)n－1nxn－1，x∈(－1，1)．因，故s(x)=[∫0xS(x)dx)]ˊ=14、幂级数的收敛域为_________．标准答案：[一1，1]知识点解析：为缺项级数，不能通过求收敛半径R，可用比值审敛法求R．具体为：当|x2|＜1，即|x|＜1时，级数绝对收敛；当|x2|＞1，即|x|＞1时，级数发散，故R=1．当x=1时，原级数收敛；当x=一1时，原级数收敛，从而收敛域为[-1，1]．15、方程组有非零解，则k=________。标准答案：一1知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12（k+1）=0，因此得k=一1。16、设A＝，B为三阶非零矩阵，且AB＝O，则r(A)＝______．标准答案：2知识点解析：因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3，又因为B≠O，所以r(B)≥1，从而有r(A)≤2，显然A有两行不成比例，故r(A)≥2，于是r(A)＝2．17、设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立，且f’(0)存在等于a，a≠0，则f(x)=________．标准答案：axex知识点解析：由f’(0)存在，设法去证对一切x，f’(x)存在，并求出f(x)．将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．令△x→0，得f’(x)=f(x)+exf’(0)=f(x)+aex，所以f’(x)存在．解此一阶微分方程，得f(x)=ex(∫aexdx+C)=ex(ax+C)．因f(0)=0，所以C=0，从而得f(x)=axex，如上所填．18、微分方程y’一xe一y+=0的通解为________．标准答案：知识点解析：19、已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)=_______．标准答案：n知识点解析：由χ2分布的典型模式，而Xi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以20、设总体X的概率密度为其中0＜θ＜1是未知参数，c是常数．X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则c=_______；θ的矩估计量=_______．标准答案：知识点解析：由考研数学三（填空题）专项练习试卷第2套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=______．标准答案：知识点解析：2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、设当x→0时，(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n等于标准答案：2知识点解析：暂无解析4、＝______．标准答案：知识点解析：5、设A=，B是3阶非零矩阵，且AB=O，则Ax=0的通解是__________．标准答案：k[－1，1，0]T，k为任意常数知识点解析：由于A为4×3矩阵，AB=O，且B≠O，我们得知r(A)＜3，对A作变换由r(A)＜3，有a=1．当a=1时，求得Ax=0的基础解系为[－1，1，0]T，因此通解为k[－1，1，0]T，k为任意常数．6、设X服从参数为λ的泊松分布，P{X=1}=P{X=2}，则概率P{0＜X2＜3}=______.标准答案：2e-2知识点解析：已知P{X=k}=(k=0，1，…)，由于P{X=1}=P{X=2}，即解得λ=2，所以P{0＜X2＜3}=P{X=1}=2e-2．7、若f(t)=，则f’(t)=_______．标准答案：(2t+1)e2t知识点解析：f’(t)=e2t+2te2t=(2t+1)e2t．8、设矩阵A满足A2+A-4E=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=_______.标准答案：1/2(A+2E)．知识点解析：矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞．应当考虑用定义法．因为(A-E)(A+2E)-2E=A2+A-4E=0．故(A-E)(A+2E)=2E．按定义知(A-E)-1=1/2(A+2E)．9、设随机变量x概率分布为P{X=k}=(k=0，1，2，…)，则E(X2)=________。标准答案：2知识点解析：由概率密度的性质P{X=k}=1，有即P{X=k}=k=0，1，2，…，为参数为1的泊松分布，则有E(X)=1，D(X)=1，故E(X2)=D(X)+E2(X)=2。10、设a>0，则I==__________。标准答案：一a2ln3知识点解析：由题干可知，原式可化为因为ln(x+)是奇函数，所以dx=0。根据定积分的几何意义可得(半径为a的半圆的面积)，所以11、标准答案：0知识点解析：被积函数是奇函数，在对称区间[一2，2]上积分为零．12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设X与Y独立，右表列出(X，Y)的联合分布列和关于X、Y的边缘分布列中的部分数值，请填上空白处，并填空求P(X+Y≤1)=________。P{X+Y≤1|X≤0)=________。标准答案：知识点解析：14、n个小球和n个盒子均编号1，2，…，n，将n个小球随机地投入n个盒中去，每盒投1个球．记X为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求E(X)＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析15、设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX=EY=0，EX2=EY2=2，则E(X+Y)2=____________．标准答案：6知识点解析：暂无解析16、已知事件A发生必导致事件B发生，且0＜P(B)＜1，则P(A｜)=__________．标准答案：0．知识点解析：17、微分方程xy’一y[1n(xy)一1]=0的通解为__________．标准答案：知识点解析：令xy=u，y+xy’=，积分得lnlnu=lnx+lnC，即lnu=Cx，原方程的通解为ln(xy)=Cx。18、微分方程+y=1的通解是_________．标准答案：y=(C1+C2x)ex+1，其中C1，C2为任意常数知识点解析：原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程．其通解为y=y齐+y*，其中y齐是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解．因原方程对应齐次方程的特征方程为r2－2r+1=0，即(r－1)2=0，特征根为r1，2=1．故y齐=(C1+C2x)ex，其中C1，C2为任意常数．又据观察，显然y*=1与y齐合并即得原方程通解．19、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x+△x)一y(x)，且其中a是当△x→0时的无穷小量，则y(x)=___________．标准答案：由得或者解得再由y(0)=2，得C=2，所以知识点解析：暂无解析20、设三阶方阵A的特征值是1，2，3，它们所对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令P=(3α3，α1，2α2)，则P-1AP=__________。标准答案：知识点解析：因为3α3，α1，2α2分别为A的对应特征值3，1，2的特征向量，所以P-1AP=。考研数学三（填空题）专项练习试卷第3套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设x→0时，lncosax～－2xb(a＞0)，则a＝______，b＝______．标准答案：2，2知识点解析：因为ln(cosax)＝ln[1＋(cosax－1)]～cosax－1～，所以得到＝－2，b＝2，解得a＝2，b＝2．2、标准答案：知识点解析：暂无解析3、=_________．标准答案：知识点解析：4、设f(x)连续，且F(x)==________．标准答案：a2f(a)．知识点解析：5、设则标准答案：Acosb知识点解析：补充定义f(x)=b，则有于是6、设随机变量X的密度函数f(x)=(0＜0＜b)，且EX2=2，则=_______标准答案：知识点解析：7、若f(t)=，则fˊ(t)=________．标准答案：(2t+1)e2t知识点解析：8、设矩阵A满足A2+A-4E=0，其中E为单位矩阵，则(A-E)-1=_______.标准答案：1/2(A+2E)．知识点解析：矩阵A的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞．应当考虑用定义法．因为(A-E)(A+2E)-2E=A2+A-4E=0．故(A-E)(A+2E)=2E．按定义知(A-E)-1=1/2(A+2E)．9、设A，B均为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=-3，则｜2A*B-1｜=_______．标准答案：-22n-1/3知识点解析：暂无解析10、设f(x)连续，则∫0xtf(x一t)dt=________．标准答案：f(x)．知识点解析：∫0xtf(x一t)dt∫0x(x一u)f(u)(一du)=∫0x(x一u)f(u)du=x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du，于是tf(x一t)dt=∫0xf(u)du，故∫0xtf(x一t)dt=f(x)．11、标准答案：ln2知识点解析：12、设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX=_______．标准答案：知识点解析：则X=X1+X2+…+Xm．事件“Xi=0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，所以有13、曲线y=x2与直线y=x+2所围成的平面图形面积为________．标准答案：知识点解析：令x=x2+2解得x=一1和x=2，则所求面积为14、设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________标准答案：k(1，-1，1)T，k≠0知识点解析：令B=αβT，因为矩阵B的秩是1，且βTα=a+1，由此可知矩阵B的特征值为a+1，0，0．那么A=E+B的特征值为a+2，1，1．因为λ=3是矩阵A的特征值，因此a+2=3，可得a=1．那么就有Bα=(αβT)α=α(βTα)=2α．α=(1，-1，1)T是矩阵B属于特征值λ=2的特征向量，因此也就是矩阵A属于特征值λ=3的特征向量．15、设z=f(x，y)=标准答案：知识点解析：16、已知α1，α2，α3线性无关，α1+α2，aα2—α3，α1—α2+α3线性相关，则a=___________．标准答案：2知识点解析：记β1=α1+α2，β2=aα2一α3，β3=α1一α2+α3，则β1，β2，β3线性相关a一2=0→a=2．17、设三阶行列式D3的第二行元素分别为1、一2、3，对应的代数余子式分别为一3、2、1，则D3=________。标准答案：一4知识点解析：根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×（一3）+（一2）×2+3×1=一4。18、已知，A*是A的伴随矩阵，那么A*的特征值是________。标准答案：1，7，7知识点解析：由矩阵A的特征多项式可得矩阵A的特征值为7，1，1。所以|A|=7×1×1=7。如果Aα=λα，则有A*α=因此A*的特征值是1，7，7。19、设n阶矩阵A与对角矩阵相似，则()．A、A的n个特征值都是单值B、A是可逆矩阵C、A存在n个线性无关的特征向量D、A一定为n阶实对称矩阵标准答案：C知识点解析：矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是其有n个线性无关的特征向量，A有n个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样A是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)．20、且n≥2，则An一2An-1=__________．标准答案：由A2=2A得An=2n-1A，An-1=2n-2A，所以An一2An-1=O．知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第4套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若当x→0时，有，则a=_________．标准答案：－3知识点解析：故a=－3．2、设函数y=1/(2x+3),则y(n)(0)=______.标准答案：[(-1)nn!2n]/3n+1知识点解析：暂无解析3、设f(x)=xex，则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________．标准答案：x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)知识点解析：由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1)．因为f(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)．4、设，且α，β，γ两两正交，则a=________，b=________．标准答案：一4；一13．知识点解析：因为α，β，γ正交，所以，解得a=一4，b=一13．5、设随机变量X的密度函数f(x)=(0＜0＜b)，且EX2=2，则=_______标准答案：知识点解析：设P(A)=0．4，P(A∪B)=0．7，那么6、若A与B互不相容，则P(B)=________；标准答案：0．3知识点解析：由P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)若A、B互不相容，则AB=，∴P(AB)=0，代入上式得0．7=0．4+P(B)一0，故P(B)=0．37、若A与B相互独立，则P(B)=________。标准答案：0．5知识点解析：若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)，代入得0．7=0．4+P(B)一0．4×P(B)，故P(B)=0．5。8、设α=(1，-1，a)T是A=的伴随矩阵A*的特征向量，其中r(A*)=3，则a=__________标准答案：-1知识点解析：α是A*的特征向量，设对应于α的特征值为λ0，则有A*α=λ0α，该等式两端同时左乘A，即得AA*α=｜A｜α=λ0Aα，即展开成方程组的形式为因为r(A*)=3，｜A*｜≠0，因此λ0≠0，根据方程组中的前两个等式，解得a=-1．9、设z=f(1nx+)，其中函数f(u)可微，则=___________。标准答案：0知识点解析：因为所以=0。10、设X，Y为两个随机变量，E(x)=E(y)=1，D(X)=9，D(Y)=1，且ρXY=，则E(X一2Y+3)2=________．标准答案：25知识点解析：E(X一2Y+3)=E(X)一2E(Y)+3=2，D(X一2Y+3)=D(X一2Y)=D(X)+4D(Y)一4Cov(X，Y)，由Cov(X，Y)=ρXY××3×1=一2，得D(X一2Y+3)=D(X)+4D(Y)一4Cov(X，Y)=9+4+8=21，于是E(X一2Y+3)2=D(X一2Y+3)+[E(X一2Y+3)]2=21+4=25．11、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足的特解为_________。标准答案：y=x3知识点解析：常数变易法。原方程变形为。先求齐次方程=0的通解，则dx，两端积分得lny=一lnx+lnc,故y=c√x。设y=c(x)√x为非齐次方程的通解，代入方程得c＇(x)√x+c(x)从而c＇(x)=积分得c(x)=+C。于是非齐次方程的通解为y=√x,由得C=1，故所求通解为y=√x+x3。12、设f(u)为连续函数，D是由y=1,x2一y2=1及y=0所围成的平面闭区域，则标准答案：0知识点解析：因积分域D关于y轴对称，被积函数xf(y2)关于变量x是奇函数，故13、设每次试验成功的概率为p=，x表示首次成功需要试验的次数，则X取偶数的概率为______。标准答案：知识点解析：14、如果β=（1，2，t）T可以由α1=（2，l，1）T，α2=（—1，2，7）T，α3=（1，—1，—4）T线性表示，则t的值是________。标准答案：5知识点解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t—5=0，即t=5。15、设f(x)=，D={(x，y)|一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+∞)，则f(y)f(x+y)dxdy=________．标准答案：知识点解析：16、设幂级数在x=0收敛，在x=2处发散，则该幂级数的收敛域为_________．标准答案：[0，2)知识点解析：暂无解析17、设则(A+3E)-1(A2一9E)=____________．标准答案：(A+3E)-1(A2一9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A一3E)=A一3E=知识点解析：暂无解析18、某车间生产的圆盘其直径服从区间（a，b）上的均匀分布，则圆盘面积的数学期望为________。标准答案：知识点解析：设圆盘直径为X，其概率密度为19、一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为60％，30％，10％，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为________．标准答案：知识点解析：令Ai={所取产品为i等品}(i=1，2，3)，P(A1)=0．6，P(A2)=0．3，P(A3)=0．1，所求概率为P(A1|A1+A2)=20、交换积分次序∫02dx∫x2xf(x，y)dy=_______．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第5套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设随机事件A，B满足条件A∪C=B∪C和C—A=C—B，则=________．标准答案：知识点解析：2、设y=y(x)由方程y=1+xexy确定，则dy｜x=0=_________，y’’｜x=0=____________．标准答案：1；2知识点解析：根据隐函数微分法有dy=exydx+xd(exy)=exydx+xexy(ydx+xdy)．由y(0)=1，在上述等式中令x=0，得到dy=dx．另外，由隐函数求导法则得到y’=exy+xexy(y+xy’)．①两边再次关于x求导一次，得到y’’=exy(x2y’’+2xy’+xy’+y)+exy(x2y’+xy+1)(xy’+y)，②再次令x=0，y(0)=1，由①式得到y’(0)=1，由②式得到y’’(0)=2．3、方程组x1+x2+x3+x4+x5=0的基础解系是_________．标准答案：ξ1=[1，－1，0，0，0]T，ξ2=[1，0，－1，0，0]T，ξ3=[1，0，0，－1，0]T，ξ4=[1，0，0，0，－1]T知识点解析：暂无解析4、设周期为4的函数f(x)处处可导，且，则曲线y=f(x)在(一3，f(一3))处的切线为________．标准答案：一2x一4．知识点解析：由得f(1)=2，再由得f’(1)=一2，又f(一3)=f(一4+1)=f(1)一2，f’(一3)=f’(一4+1)=f’(1)=一2，故曲线y=f(x)在点(一3，f(一3))处的切线为y一2=一2(x+3)，即y=一2x一4．5、已知曲线y=x3一3a2x+b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2=__________．标准答案：4a6．知识点解析：曲线y=x3一3a2x+b在x=x0处与x轴相切，则3x02—3a2=0且x03—3a2x0+b=0即x02=a2且x0(x02一3a2)=一b从而可得b2=4a66、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立(例如：dx＝－1／4(4x＋5))：(1)dx＝________d(ax＋b)(a≠0)；(3)xdx＝_________d(kx2＋b)(k≠0)；(4)x3dx＝_________d(3x4－2)；(5)eaxdx＝________d(eax＋b)；标准答案：知识点解析：暂无解析7、=________．标准答案：ln3知识点解析：8、设总体X的概率密度为f(x；θ)=其中0＜θ＜1是未知参数，c是常数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，则c=_______；θ的矩估计量=_______．标准答案：知识点解析：由1=∫－∞＋∞f(x；θ)dx=∫01θxdx+∫12(1一cθx)dx=．又EX=∫－∞＋∞xf(x；θ)dx=∫01θx2dx+∫12(1一θx)xdx．=即．9、设=_____标准答案：知识点解析：10、设A为n阶方阵，且｜A｜＝a≠0，则｜A*｜＝_______．标准答案：an-1知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、级数的和为_________。标准答案：知识点解析：13、级数的和为______．标准答案：知识点解析：由麦克劳林公式易知ln(1+x)=则14、已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=_________．标准答案：2知识点解析：二次型xTAx经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵A的特征值，所以6，0，0是A的特征值．15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、∫01dy∫0y2ycos(1一x)2dx=________．标准答案：知识点解析：17、设A，B都是三阶矩阵，A＝且满足(A*)－1B＝ABA+2A2，则B＝______．标准答案：知识点解析：｜A｜＝－3，A*＝｜A｜A－1＝－3A－1，则(A*)－1B＝ABA＋2A2化为AB＝ABA＋2A2，注意到A可逆，得B＝BA＋2A或－B＝3BA＋6A，则B＝－6A(E＋3A)－1，E＋3A＝，(E＋3A)－1＝则B＝－6A(E＋3A)－1＝．18、设3阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为3阶单位矩阵，则｜4A-1-E｜=_____．标准答案：3知识点解析：由已知条件，A-1的特征值为，进而4A-1-E的特征值为3，1，1．于是｜4A-1-E｜=3.1.1=3．19、将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为X，用切比雪夫不等式估计P(14＜X＜28)=______．标准答案：知识点解析：设Xi为第i次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则其中由切比雪夫不等式，有20、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X一1)(X+2)]=8，则λ=___________．标准答案：由随机变量X服从参数为λ的指数分布，得于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=而E[(X一1)(X+2)]=E(X2)+E(X)一2=解得知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第6套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=__________标准答案：知识点解析：2、使不等式成立的x的范围是_____.标准答案：(0,1)知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：4、＝______．标准答案：知识点解析：5、标准答案：知识点解析：6、标准答案：知识点解析：7、标准答案：知识点解析：先考查φ（x）的可导性并进行求导。φ（x）在x=0处的左导数为φ（x）在x=0处的右导数为8、设φ(x)==______标准答案：知识点解析：先考查φ(x)的可导性并进行求导．φ(x)在x=0处的左导数为φ(x)在x=0处的右导数为所以φ’(0)=0．9、上的平均值为______．标准答案：知识点解析：10、曲线(x-1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是_____．标准答案：y=8+3(x-5)知识点解析：由隐函数求导法，将方程(x-1)3=y2两边对x求导，得3(x-1)2=2yy’．令x=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x-1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是y=8+3(x-5)y=3x-7．11、=________.标准答案：知识点解析：暂无解析12、设z=（x+ey）x，则标准答案：2ln2+1知识点解析：由z=（x+ey）x，故z（x，0）=（x+1）x，则13、设二维随机变量(X，Y)在G={(x，y)｜＜x＜0，0＜y＜2x+1}上服从均匀分布，则条件概率=__________．标准答案：1知识点解析：G如图3-4的△OAB，它的面积S=，所以(X，Y)的概率密度为f(x，y)=由于关于Y的边缘概率密度其中D如图3-4带阴影的三角形．14、设u＝u(x，y)二阶连续可偏导，且，若u(x，3x)＝x，u’x(x，3x)＝x3，则u’’xy(x，3x)＝______．标准答案：知识点解析：u(x，3x)＝x两边对x求导，得u’x(x，3x)＋3u’y(x，3x)＝1，再对x求导，得u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＋9u’’yy(x，3x)＝0．由，得10u’’xx(x，3x)＋6u’’xy(x，3x)＝0，u’x＝x3两边对x求导，得u’’xx(x，3x)＋3u’’xy(x，3x)＝3x2，解得u’’xy(x，3x)＝．15、对随机变量X，Y，已知3X＋5Y＝11，则X和Y的相关系数为_______．标准答案：－1知识点解析：暂无解析16、行列式=________。标准答案：120知识点解析：将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即=10（2—1）（3—1）（4—1）（3—2）（4—2）（4—3）=120。17、设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y—z=ez所确定，则=________．标准答案：知识点解析：方程两端对x求偏导数18、微分方程ydx+(x2一4x)dx的通解为__________．标准答案：(x一4)y4=Cx知识点解析：暂无解析19、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=则P{X+Y≤1}=________。标准答案：知识点解析：已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y），求满足一定条件的概率P{g（X，Y）≤z0}，一般可转化为二重积分P{g（X，20、设B≠0为三阶矩阵，且BA=0，则r(B)=________．标准答案：1知识点解析：BA=0r(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠0，所以r(B)=1．考研数学三（填空题）专项练习试卷第7套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设A=，A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=________.标准答案：知识点解析：暂无解析2、标准答案：e6知识点解析：3、已知事件A、B仅发生一个的概率为0．3，且P(A)+P(B)=0．5，则A，B至少有一个不发生的概率为________。标准答案：0.9知识点解析：由题设互斥，所以=P(A)+P(B)一2P(AB)=0．3。P(A)+P(B)=0．5，于是解得P(AB)=0．1，所以所求的概率为=1一P(AB)=1—0．1=0．9。4、已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，｜B｜=2，则行列式=_________．标准答案：知识点解析：设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，｜A｜=｜B｜=2，且λ1λ2λ3=｜A｜=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有｜A+E｜=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12，｜(2B)*｜=｜22B*｜=43｜B*｜=43｜B｜2=256，故5、=__________.标准答案：知识点解析：暂无解析6、设z＝xy＋xf，其中f可导，则＝______．标准答案：z＋xy知识点解析：7、设试验成功的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为________．标准答案：知识点解析：设X表示试验成功两次时所进行的试验次数，Y表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则X=Y+Z，且Y与Z都服从同一几何分布，其概率分布为P{Y=k}=P{Z=k}=(k=1，2，…)，从而有E(Y)=E(Z)=，于是E(X)=E(Y+Z)=E(Y)+E(Z)=．8、若幂级数在χ＝－2处条件收敛，则幂级数的收敛半径为_______．标准答案：2知识点解析：暂无解析9、设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1服从区间[0，6]上的均匀分布，X2服从正态分布N(0，22)，X3服从参数为3的泊松分布，则D(X1一2X2+3X3)=_____．标准答案：46知识点解析：根据题设可知，D(X1)=D(X2)=22=4，D(X3)=3，于是D(X1—2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3)=3+4×4+9×3=46,10、曲线y=1/x+ln(1+ex)渐近线的条数为________.标准答案：3知识点解析：暂无解析11、=__________。标准答案：知识点解析：令t=x一1得12、=________.标准答案：知识点解析：暂无解析13、已知某自动生产线加工出的产品次品率为0．01，检验人员每天检验8次，每次从已生产出的产品中随意取10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为______．(0．9980≈0．4475)标准答案：0.55知识点解析：如果用X表示每天要调整的次数，那么所求的概率为P{每天至少调整设备一次}=P{X≥1}=1—P{X=0}．显然0≤X≤8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么X就是8次试验，事件A=“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此X～B(8，p)，其中p=P(a)．如果用Y表示10件产品中次品数，则Y～B(10，0．01)，p=P(A)=P{Y≥1}=1一P{Y=0}=1一(1—0．01)10=1—0．9910．所求的概率为P{X≥1}=1一P{X=0}=1一(1一p)8=1—0．9980=1—0．4475≈0．55．14、已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X=x条件下Y服从参数为x的指数分布，则E(XY)=_______．标准答案：1知识点解析：由题设知fY|X(y|x)=所以(X，Y)的联合密度函数f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=由二维连续型随机变量(X，Y)的函数的数学期望可知，随机变量X=g(X，Y)=XY的数学期望为E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫12dx∫0+∞xyxe-xydy=15、已知幂级数an（x+2）n在x=0处收敛，在x=—4处发散，则幂级数an（x—3）n的收敛域为_________。标准答案：（1，5]知识点解析：由题意可知，an（x+2）n的收敛域为（—4，0]，则anxn的收敛域为（—2，2]。所以an（x—3）n的收敛域为（1，5]。16、正项级数收敛的充分必要条件为其部分和数列｛Sn｝_________．标准答案：有界(或有上界)知识点解析：级数收敛等价于｛Sn｝收敛．对于正项级数，｛Sn｝为单调递增数列．由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列｛Sn｝收敛等价于｛Sn｝有界(或有上界)．17、微分方程(1－x2)y－xyˊ=0满足初值条件y(1)=1的特解是_________．标准答案：y=知识点解析：原方程化为积分得通解lny=lnCx－x2，即y=Cx．由初值y(1)=1解出C=得特解．18、若f（x）=为随机变量X的概率密度函数，则a=________。标准答案：知识点解析：19、设A是5阶方阵，且A2=O，则r(A*)=_________．标准答案：0知识点解析：因A2=AA=O，r(A)+r(A)≤5，r(A)≤2，从而A*=O．r(A*)=0．20、设P(A)=0．6，P(B)=0．5，P(A—B)=0．4，则P(B—A)=___________，P(A+B)=_____________.标准答案：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(AB)=0．2，于是．P(B—A)=P(B)一P(AB)=0．5—0．2=0．3，P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．6+0．5—0．2=0．9．知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第8套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、=________标准答案：知识点解析：2、设f(a)＝1，f′(a)＝2．则＝_______．标准答案：e2知识点解析：暂无解析3、设n维向量α=(a，0，…，0，a)T，a<0，E足n阶单位矩阵，A=E-ααT，B=E+1/aααT．其中A的逆矩阵为B，则a=_______.标准答案：-1知识点解析：按可逆定义，有AB=E，即(E-ααT)(E+1/aααT)=E+1/aααT-ααT-1/aααTααT．由于αTα=2a2，而ααT是秩为1的矩阵.4、设随机变量X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量Y=X2在(0，4)内的概率密度fY(Y)=________。标准答案：知识点解析：首先求出在(0，4)上Y的分布函数FY(y)。当0＜y＜4时，有FY(y)=P{Y≤Y}=P{X2≤y}=故fY(y)=FY’(y)=5、设f（x）在x=0处连续，且则曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为________。标准答案：知识点解析：当x→0时，arcslnx—x～。由极限的运算法则可得从而f（x）=1。又因为f（x）在x=0处连续，所以f（0）=f（x）=1。根据导数的定义可得所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为6、若∫f(x)dx=F(x)+C且x=at+b(a≠0)，则∫f(t)dt=_________．标准答案：F(t)+C，其中C为任意常数知识点解析：因Fˊ(x)=f(x)，故Fˊ(t)=f(t)，于是∫f(t)dt=F(t)+C．7、设随机变量X与一X服从同一均匀分布U[a，b]，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=______．标准答案：知识点解析：若X～U[a，b]，则一X—U[一b，一a]，由X与一X同分布可知a=一b，即X～U[一b，b]．于是有由题设f2(x)也是概率密度，则由8、标准答案：知识点解析：此极限属型，用洛必达法则．9、将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的累次积分为__________。标准答案：f(p2)pgo知识点解析：如图1—4—9所示，则有∫01dy∫0yf(x2+y2)dx=f(p2)pdp。10、已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是取自总体X容量为2n的简单随机样本，当σ2未知时，为σ2无偏估计，则C=______，D(Y)=_____．标准答案：知识点解析：依据E(Y)=σ2求得C，为此需要先求出X2i—X2i-1分布．由于Xi一N(μ，σ2)，且相互独立，故X2i一X2i-1～N(0，2σ2)，E(X2i—X2i-1)2=D(X2i—X2i-1)+[E(X2i—X2i-1)]2=2σ2那么有11、微分方程yy’’－2(y’)2=0的通解为______．标准答案：y=C或者=C1x+C2．知识点解析：令y’=p，得代入原方程得当p=0时，y=C；所以原方程的通解为y=C或者=C1x+C2．12、设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，则ρUV=________．标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)一9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以13、设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下)。其中α，β未知，但已知，则α=________，β=________，EX=________，E(XY)=________。标准答案：知识点解析：14、二次型f(x1，x2，x3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2的矩阵是___________．标准答案：知识点解析：f(x1，x2，x3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x22+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵A=．15、设f(x)一阶连续可导，且f(0)=0，f’(0)≠0，则标准答案：1知识点解析：16、设A，B是三阶矩阵，满足AB=A—B，其中B=，则|A+E|=_________。标准答案：知识点解析：由题设，AB=A—B，则(A+E)(E一B)=E，因此17、设x为三维单位列向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵E—xxT的秩为__________。标准答案：2知识点解析：由题设知，矩xxT的特征值为0，0，1，故E一xxT的特征值为1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即r(E一xxT)=2。18、设总体X的密度函数为其中θ＞0为未知参数，又设x1，x2，…，xn是X的一组样本值，则参数θ的最大似然估计值为________．标准答案：知识点解析：似然函数为19、设X的分布函数为F(x)=且Y=X2一1，则E(XY)=________．标准答案：一0．6．知识点解析：随机变量X的分布律为X～E(XY)=E[X(X2一1)]=E(X3一X)=E(X3)一E(X)，因为F(X3)=一8×0．3+1×0．5+8×0．2=一0．3，E(X)=一2×0．3+1×0．5+2×0．2=0．3，所以E(XY)=一0．6．20、设幂级数在x=0收敛，在x=2处发散，则该幂级数的收敛域为______．标准答案：[0，2)知识点解析：暂无解析考研数学三（填空题）专项练习试卷第9套一、填空题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、若在区间(0，1)上随机地取两个数μ，ν，则关于x的一元二次方程x2一2νx+μ=0有实根的概率是________．标准答案：知识点解析：设事件A表示“方程x2—2νx+μ=0有实根”，因μ，ν是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(μ，ν)与正方形区域D内的点一一对应，其中D={(μ，ν)｜0＜μ＜1，0＜ν＜1}．事件A={(μ，ν)｜(2ν)2一4μ≥0，(μ，ν)∈D}，有利于事件A的样本点区域为图1．2中阴影部分D1，其中D1={(μ，ν)｜ν2≥μ，0＜μ，ν＜1}．依几何型概率公式，有P(A)=．2、=________．标准答案：一2．知识点解析：3、设f(x)＝可导，则a＝__