考研数学三（解答题）专项练习试卷2（共90题）

考研数学三（解答题）专项练习试卷2（共9套）（共90题）考研数学三（解答题）专项练习试卷第1套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)=求常数a与b的值，使f(x)在(一∞，+∞)上处处连续．标准答案：知识点解析：暂无解析2、某保险公司统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，用X表示抽取的100个索赔户中被盗索赔户的户数．(1)求X的概率分布；(2)用拉普拉斯定理求被盗户数不少于14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：(1)X～B(100，0．2)，即X的分布律为P(X＝k)＝C100k0．2k．0．8100－k(k＝0，1，2，…，100)．(2)E(X)＝20，D(X)＝16，P(14≤X≤30)＝≈Ф(2．5)－Ф(－1．5)＝0．927．知识点解析：暂无解析3、求线性方程组的通解，并求满足条件的所有解．标准答案：对方程组的增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2，即α=(2，1，0，0)T其对应齐次方程组的解：令x3=1，x4=0，得x2=3，x1=1，即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1，得x2=0，x1=-1，即η2=(-1，0，0，1)T．故该方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，0)T+k2(-1，0，0，1)T而其中条件，即(2+k1-k2)2=(1+3k1)2．那么有2+k1-k2=1+3k1或2+k1-k2=-(1+3k1)，两边同时开方，即k2=1-2k1或k=3+4k1所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，-2)T或(-1，1，0，3)T+k(-3，3，1，4)T(k其中为任意常数)为满足的所有解．知识点解析：暂无解析4、在空间直角坐标系中，各卦限中的点的坐标有什么特征?指出下列各点所在的卦限：A(1，－3，2)；B(3，－2，－4)；C(－1，－2，－3)；D(－3，2，－1)．标准答案：各卦限中的点的坐标有如下特征：知识点解析：暂无解析5、证明：以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3)为顶点的三角形是等腰直角三角形．标准答案：知识点解析：暂无解析6、将一枚均匀的硬币接连掷5次，结果反面至少出现了一次，试求：(1)正面出现次数X的概率分布；(2)正面出现的次数与反面出现的次数之比Y的概率分布．标准答案：令Z表示反面出现的次数．于是X～B(5，)．(1)已知Z≥1，于是X的可能取值为0，1，2，3，4．知识点解析：暂无解析7、设x＞0时，f(x)可导，且满足：求f(x)．标准答案：由得两边对x求导得f(x)+xf′(x)=1+f(x)，解得因为f(1)=1，所以C=1，故f(x)=lnx+1．知识点解析：暂无解析设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(0＜x＜1)的条件下，随机变量Y在区间(0，x)上服从均匀分布．求：8、随机变量X和Y的联合概率密度；标准答案：X的概率密度为因在X=x(0＜x＜1)条件下，Y在区间(0，x)上服从均匀分布，故Y的条件密度fY|X(y|x)为当0＜y＜x＜1时，X和Y的联合概率密度为f(x，y)=fX(x)fY|X(y|x)=1／x，在其他点(x，y)处，有f(x，y)=0，即知识点解析：暂无解析9、Y的概率密度；标准答案：当0＜y＜1时，如图3．3．2．3所示，Y的概率密度为当y≤0或y≥1时，fY(y)=0．因此知识点解析：暂无解析10、概率P(X+Y＞1)．标准答案：所求概率为知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第2套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、证明：当x＞1时，标准答案：对x≥1引入函数则f(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时从而f(x)在[1，+∞)单调增加，又f(1)=0，所以当x＞1时f(x)＞f(1)=0，即令则g(x)在[1，+∞)可导，且当x＞1时故g(x)在区间[1，+∞)上单调减少，又g(1)=0，所以当x＞1时g(x)＜g(1)=0，即当x＞1时成立．知识点解析：暂无解析2、设B是可逆阵，A和B同阶，且满足A2+AB+B2=O．证明：A和A+B都是可逆阵，并求A－1和(A+B)－1．标准答案：由题设：A2+AB+B2=O，得A(A+B)=－B2．①①式右乘(－B2)－1，得A(A+B)(－B2)－1=E，得A可逆，且A－1=(A+B)(－B2)－1．①式左乘(－B2)－1，得(－B2)－1A(A+B)=E，得A+B可逆，且(A+B)－1=(－B2)－1A．知识点解析：暂无解析3、一半径为3m的球形水箱内有一半容量的水，现要将水抽到水箱顶端上方7m高处，问需要作多少功?标准答案：如图24所示，以球心为原点，建立坐标系，球的大圆为x2＋y2＝32＝9，即知识点解析：暂无解析4、设随机变量X，Y相互独立，且X～N(0，)，Y～N(0，)，Z＝｜X－Y｜，求E(Z)，D(Z)．标准答案：令U＝X－Y，因为X，Y相互独立，且X～NE(Z2)＝E(U2)＝D(U)＋[E(U)]2＝D(Z)＝E(Z2)－[E(Z)]2＝1－知识点解析：暂无解析5、设y=y（x），z=z（x）是由方程z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：分别在z=xf（x+y）和F（x，y，z）=0的两端对x求导，得知识点解析：暂无解析6、求定积分的值标准答案：知识点解析：暂无解析7、设an=∫0nπx｜sinx｜dx，n=1，2，…，试求的值．标准答案：令x=nπ－t，则an=－∫nπ0(nπ－t)｜sint｜dt=nπ∫0nπ｜sinx｜dx－∫0nπ｜sinx｜dx，所以an=∫0nπ｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=n2π，n=1，2，…．记S(x)=∑，n2xn，－1＜x＜1，因为，－1＜x＜1，逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．再次逐项求导，得，－1＜x＜1．整理得，－1＜x＜1．从而知识点解析：暂无解析8、一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．标准答案：曲线在点(x，y)处的切线方程为Y－y＝y’(X－x)，令X＝0，则Y＝y－xy’，切线与y轴的交点为(0，y－xy’)，由题意得x2＋x2y’2＝4，解得y’＝，变量分离得dy＝dx，积分得因为曲线经过点(2，0)，所以C＝0，故曲线为y＝±．知识点解析：暂无解析假设随机变量X与Y同分布，X的概率密度为9、已知事件A={X＞a}和B={Y＞a}独立，且P(A+B)=3／4，求常数a；标准答案：因X与Y同分布，故其概率密度相同，因而与概率密度有关的量也应相等，于是P(A)=P(X＞a)=P(y＞a)=P(B)．又A和B独立，故P(AB)=P(A)P(B)，于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=2P(A)-P(A)2=3／4，①解之得P(A)=1／2(或P(A)=3／2＞1，舍去)，则因f(x)为分段函数，需确定a的取值范围，从而确定被积函数f(x)．结论是a∈(0，2)，这是因为若a≤0，则则由式①得到P(A+B)=1．这与P(A+B)=3／4矛盾．若a＞2，则这也与P(A+B)=3／4矛盾．综上所述，得到a∈(0，2)．于是由式②得到知识点解析：暂无解析10、求1／X2的数学期望．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第3套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求e-x2带皮亚诺余项的麦克劳林公式．标准答案：把t=一x2代入即得知识点解析：暂无解析2、求函数y=的导数．标准答案：知识点解析：暂无解析3、设D={(x，y)|x2+y2≤x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数．计算二重积分标准答案：令D1={(x，y)|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，知识点解析：暂无解析4、求标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析5、甲袋中有4个白球和6个黑球，乙袋中有5个白球和5个黑球，今从甲袋中任取2个球，从乙袋中任取一个球放在一起，再从这3个球中任取一球，求最后取到白球的概率．标准答案：设B1={从甲袋中取到2个白球}，B2={从甲袋中取到1个白球，1个黑球}，B3={从甲袋中取到2个黑球}，A1={从乙袋中取到白球}，A2={从乙袋中取到黑球}，A={最后取到白球}．由全概率公式得P(A)=P(A｜B1A1)P(B1A1)+P(A｜B1A2)P(B1A2)+P(A｜B2A1)P(B2A1)+P(A｜B2A2)P(B2A2)+P(A｜B3A1)P(B3A1)+P(A｜B3A2)P(B3A2)知识点解析：暂无解析6、求方程y’’+2my’+n2y=0满足初始条件y(0)=a，y’(0)=b的特解，其中m＞n＞0，a，b为常数，并求标准答案：特征方程为λ2+2mλ+n2=(λ+m)2+n2-m2=0，特征根为计算可得知识点解析：暂无解析7、设y(x)是方程y(4)－yˊˊ=0的解，且当x→0时，y(x)是x的3阶无穷小，求y(x)．标准答案：由泰勒公式y(x)=y(0)+yˊ(0)x+yˊˊ(0)x2+yˊˊˊ(0)x3+o(x3)(x→0)．当x→0时，y(x)与x3同阶=>y(0)=0，yˊ(0)=0，yˊˊ(0)=0，yˊˊˊ(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)－yˊˊ=0两边积分得∫0xy(4)(t)dt－∫0xyˊˊ(t)dt=0，即yˊˊˊ(x)－C－yˊ(x)=0，两边再积分得yˊˊ(x)－y(x)=Cx．易知，它有特解y*=－Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e－x－Cx．由初值y(0)=0，yˊ(0)=0得C1+C2=0，C1－C2=C=>因此最后得y=[(ex－e－x)]C，其中C为任意非零常数．知识点解析：暂无解析8、计算行列式标准答案：=(a2+b2+c2+d2)4．故原式=±(a2+b2+c2+d2)2(负号舍去．取b=c=d=0，原式=a4，可知结果取“+”)．知识点解析：暂无解析假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记求：9、U和V的联合分布；标准答案：解一如图3．3．1．1所示，设二维随机变量(X，Y)在区域A，B，C中取值的事件依次记为A，B，C；S表示有关区域的面积．因(X，Y)在G上服从均匀分布，故而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．于是得到(U，V)的联合分布律为解二因(X，Y)在区域G上服从均匀分布，G的面积SG=2，故其概率密度函数为因而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．知识点解析：暂无解析10、U和V的相关系数ρ．标准答案：解一将(U，V)的联合分布律改写成下述同一表格的形式：于是E(U)=3／4，E(V)=1／2，E(UV)=1／2，E(U2)=3／4，E(V2)=1／2．因而D(U)=E(U2)－[E(U)]2=3／4－9／16=3／16，D(V)=E(V2)－[E(V)]2=1／2－1／4=1／4，cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=1／2－(3／4)(1／2)=1／8，解二由(U，V)的联合分布律及U、V的分布律，由命题3．3．1．3知，U服从参数为p1=3／4的0-1分布，故E(U)=p1=3／4，D(U)=p1(1－p1)=3／16；V服从参数为p2=1／2的0-1分布，故E(V)=p2=1／1D(V)=p2(1－p2)=1／4．而E(UV)=P(U=1，V=1)=1／2，故注：命题3．3．1．3已知(X1，X2)的联合分布律，其中单个随机变量X1与X2分别服从参数为p1，p2的0-1分布，则E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第4套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x)在[0，1]二阶可导，且|f(0)|≤a，|f(1)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有标准答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：有f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+f"(ξ)(x－c)2，(*)其中ξ=c+θ(x－c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(－c)+f"(ξ)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+f"(ξ2)(1－c)2，0＜c<ξ2＜1．上面两式相减得f(1)－f(0)=f’(c)+[f"(ξ2)(1－c)2－f"(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)－f(0)+[f"(ξ1)c2－f"(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2+c2≤1．知识点解析：暂无解析3、设f(x)=，求f(n)(x)。标准答案：知识点解析：暂无解析4、设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(x；θ)=其中θ＞0为未知参数．又设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的最大似然估计值．标准答案：似然函数为当xi＞0(i=1，2，…，n)时，L(θ)＞0，取对数，得由于θ必须满足xi＞θ(i=1，2，…，n)，因此当θ取x1，x2，…，xn中最小值时，L(θ)取最大值，所以θ的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析5、设(X，Y)服从G=｛(x，y)｜x2+y2≤1｝上的均匀分布，试求给定Y=y的条件下X的条件概率密度函数fX，Y(x｜y)．标准答案：因为(X，Y)服从G=｛(x，y)｜x2+y2≤1)上的均匀分布，所以f(x，y)=故fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx=所以，当－1＜y＜1时，有知识点解析：暂无解析6、设f(x)具有二阶导数，且f"(x)＞0．又设u(t)在区间[0，a](或[a，0])上连续，证明：标准答案：由泰勒公式≥f(x0)+f’(x0)(x一x0)，ξ介于x与x0之间．以x=u(t)代入并两边对t从0到a积分，其中暂设a＞0，于是有∫0af(u(t))≥af(x0)+f’(x0)(∫0a一x0a)．知识点解析：暂无解析7、证明：∫01dx∫01(xy)xydy=∫01xxdx．标准答案：本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫01(xy)xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy，当y从0变到1时，t从0变到x,则于是也就是要证明一∫01ttlntdt=∫01ttdt，移项后就是要证明∫01tt(1+lnt)dt=0．事实上，tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故∫01tt(1+lnt)dt=etlnt|01=0．知识点解析：暂无解析8、利用变换y=f(ex)求微分方程y"-(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解．标准答案：令t=ex，则y=f(t)，y’=f’(t).ex=tf’(t)，y"=[tf’(t)]x’=exf’(t)+tf"(t).ex=tf’(t)+t2f"(t)，代入方程得t2f"(t)+tf’(t)一(2t+1)tf’(t)+t2f(t)=t3，即f"(t)一2f’(t)+f(t)=t．解得f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以y"一(2ex+1)y’+e2xy=e3x的通解为y=(C1+C2ex)+ex+2，其中C1，Cv为任意常数．知识点解析：暂无解析设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份．9、求先抽到的一份是女生表的概率p；标准答案：设事件Bi={抽到的报名表是第i地区考生的}(i=l，2，3)，则P(B1)=P(B2)=P(B3)=1／3．又设Aj={第j次抽到的报名表是女生表)(j=1，2)，则={第j次抽到的报名表是男生表)，且P(A1|B1)=3／10，P(A1|B2)=7／15，P(A1|B3)=5／25．由全概率公式得到知识点解析：暂无解析10、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．标准答案：由抽签原理知，抽签所得结果与抽签次序无关，因而有P(A2)=29／90．于是由全概率公式得到又由条件概率的计算公式得到知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第5套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设总成本关于产量x的函数为C(x)=400+3x+x2，需求量x关于价格P的函数为P=．求边际成本，边际收益，边际利润以及收益对价格的弹性．标准答案：由边际成本的定义知，边际成本MC=C’(x)=3+x．又因总收益函数R=Px=．从而边际利润ML=MR—MC=一x一3．由于函数P=，由此可得收益对价格的弹性知识点解析：暂无解析2、设函数f（x）在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且f（0）f’（0）≠0，当h→0时，若af（h）+bf（2h）一f（0）=o（h），试求a，b的值。标准答案：由题设条件知[af（h）+bf（2h）—f（0）]=（a+b—1）f（0）。由于f（0）≠0，故必有a+b—1=0。又由洛必达法则因f’（0）≠0，则有a+2b=0。综上，得a=2，b=—1。知识点解析：暂无解析3、，αTβ=aibi≠0，求A的全部特征值，并证明A可以对角化．标准答案：令αTβ=k，则A2=kA，设AX=λX，则A2X=λ2X=kλX，即λ(λ一k)X=0，因为X≠0，所以矩阵A的特征值为λ=0或λ=k，由λ1+…+λn=tr(A)且tr(A)=k得λ1=…=λn一1=0，λn=k，因为r(A)=1，所以方程组(0E一A)X=0的基础解系含有n一1个线性无关的解向量，即λ=0有n一1个线性无关的特征向量，故A可以对角化．知识点解析：暂无解析4、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．标准答案：知识点解析：暂无解析5、已知矩阵B＝相似于对角矩阵．(1)求常数a的值；(2)用正交变换化二次型f(X)＝XTBX为标准形，其中X(χ1，χ2，χ3)T为3维向量．标准答案：(1)B的特征值为6，6，－2，由B可相似对角化，有1＝r(6E－A)＝，则a＝0．(2)f的矩阵为A＝，所求正交矩阵可取为P＝，它使PTAP＝，故f在正交变换X＝PY下化成的标准形为f＝6y12＋7y22－3y32．知识点解析：暂无解析6、设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x—y)+g(x，xy)，求标准答案：知识点解析：暂无解析7、求幂级数的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析8、求幂级数的收敛域．标准答案：由=3得收敛半径为发散，所以级数的收敛域为知识点解析：暂无解析已知是矩阵的一个特征向量．9、试确定参数a，b及特征向量ξ所对应的特征值；标准答案：设ξ是属于特征值λ0的特征向量，由定义得到解之得λ0=－1，a=－3，b=0．知识点解析：暂无解析10、问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．标准答案：因为故A的特征值为λ1=λ2=λ3=－1．因所以秩(E－A)=2，从而A的属于三重特征根λ=－1的线性无关的特征向量只有n－秩(－E－A)=3－2=1个，由命题2．5．3．2(3)知，A不能相似对角化．注：命题2．5．3．2(3)n阶矩阵A可相似对角化的另一充要条件是A的ni重特征值对应的线性无关的特征向量的个数等于其重数ni，即n－秩(λiE－A)=ni，亦即秩(riE－A)=n－ni，其中ni为特征值λi的重数，从而将A是否可相似对角化的问题转化为特征矩阵riE－A的秩的计算问题．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第6套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)在[a，b]上有三阶连续导数。(Ⅰ)写出f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式；(Ⅱ)证明存在一点η∈(a，b)，使得标准答案：(Ⅰ)任意给定x0∈(a，b)，对任意x∈[a，b]，则f(x)在[a，b]上带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式(Ⅱ)把f(b)与f(a)分别在点处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式，将上面两式相减可得由于f’’’(x)在[a，b]上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在，使得将其代入f(b)-f(a)的表达式，即存在一点η∈(a，b)使得知识点解析：暂无解析3、袋中有a个黑球和b个白球，一个一个地取球，求第忌次取到黑球的概率(1≤k≤a＋b)．标准答案：基本事件数n＝(a＋b)!，设Ak＝{第k次取到黑球}，则有利样本点数为a(a＋b－1)!，所以P(Ak)＝知识点解析：暂无解析4、标准答案：先求而且f（x）是一元函数f（u）与二元函数u=xy的复合，u是中间变量；φ（xy）是一元函数φ（υ）与二元函数υ=x+y的复合，υ是中间变量。由于方便，由复合函数求导法则得知识点解析：暂无解析5、设A是n阶正定阵，E是n阶单位阵，证明：A＋E的行列式大于1．标准答案：因A正定，有正交阵P，使两端取行列式，得｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．知识点解析：暂无解析6、一枚均匀硬币重复掷3次，以X表示正面出现的次数，以Y表示前两次掷出正面的次数，试求随机变量X和Y的联合概率分布．标准答案：易知X的可能取值为0，1，2，3．Y的可能取值为0，1，2．且记A为第i次出现正面，则P(X=0，Y=0)=P(X=0)=．P(X=0，Y=1)=0．P(X=0，Y=2)=0．P(X=1，Y=2)=0．P(X=2．Y=0)=P(X=3，Y=0)=P(X=3，Y=1)=0．知识点解析：暂无解析7、设A＝(aij)n×m是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜＝ak1Ak1＋ak2Ak2＋…＋aknAakn＝ak12＋ak22＋…＋akn2＞0．知识点解析：暂无解析8、设A=，且存在正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵。若Q的第一列为(1，2，1)T，求a，Q。标准答案：按已知条件，(1，2，1)T是矩阵A的特征向量，设特征值是λ1=1，那么又因为|λE—A|==(λ一2)(λ一5)(λ+4)，知矩阵A的特征值是2，5，一4。对λ=5，由(5E—A)x=0得基础解系α2=(1，一1，1)T。对λ=一4，由(一4E一A)x=0得基础解系α3=(一1，0，1)T。因为A是实对称矩阵，对应于不同特征值的特征向量相互正交，故只需单位化α2，α3，即γ2=(1，一1，1)T，γ3=(一1，0，1)T，令Q=，则有QTAQ=Q-1AQ=。知识点解析：暂无解析某保险公司对多年来的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20％，以X表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数．[附表]设Φ(x)是标准正态分布函数．9、写出X的概率分布；标准答案：设事件A={被抽查到被盗索赔户}，则p=p(A)=0．2．由题意知，X～B(100，0．2)．因此，分布律P(X=k)=C100k0．2k0．8100-k(k=0，1，…，100)．知识点解析：暂无解析10、利用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值．标准答案：E(X)=np=20，D(X)=np(1－p)=16．根据棣莫弗一拉普拉斯定理知，则知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第7套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、求证：方程lnx=在(0，+∞)内只有两个不同的实根．标准答案：即证f(x)=lnx一在(0，+∞)只有两个零点．先考察它的单调性：由于f(x)在(0，e)与(e，+∞)分别单调上升与下降，3f(e)=＞0，故只需证明：x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0．因则x2∈(e，+∞)使f(x2)＜0，因此f(x)在(0，e)与(e，+∞)内分别只有一个零点，即在(0，+∞)内只有两个零点．知识点解析：暂无解析2、设=1，且f"(x)＞0．证明：f(x)＞x．标准答案：得f(0)=0，f’(0)=1．因f(x)二阶可导，故f(x)在x=0处的一阶泰勒公式成立，因f“(x)＞0，故f(x)＞x，原命题得证．知识点解析：暂无解析3、求∫—22max(1，x)dx．标准答案：因为max(1，x)是偶函数，知识点解析：暂无解析4、设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求(1)未知参数θ的最大似然估计量；(2)未知参数θ的矩估计量；(3)当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．标准答案：(1)求参数θ的最大似然估计量．样本X1，X2，…，X3中1，2和3出现的次数分别为v1，v2和n－v1－v2，则似然函数和似然方程为L(θ)=lnL(θ)=+(2v1+v2)lnθ+(2n－2v1－v2)ln(1－θ)，=0．似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量(2)求参数θ的矩估计量．总体X的数学期望为EX=θ2+4θ(1－θ)+3(1－θ)2．在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量(3)对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值矩估计值知识点解析：暂无解析5、假设一批产品的不合格品数与合格品数之比为R(未知常数)．现在按还原抽样方式随意抽取的n件中发现k件不合格品．试求R的最大似然估计值．标准答案：设a是这批产品中不合格品的件数，b是合格品的件数．从而，a=Rb，合格品率为p=设X是“随意抽取的一件产品中不合格品的件数”，则X服从参数为p的0-1分布．对于来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，记vn=X1+X2+…+Xn，则似然函数和似然方程为L(R)=1nL(R)=vnlnR－nln(1+R)，=0．由条件知vn=X1+X2+…+Xn=k，于是似然方程的唯一解即是R的最大似然估计值．知识点解析：暂无解析6、在△ABC中任取一点P，而△ABC与△ABP的面积分别记为S与S1。若已知S1=12，求ES1。标准答案：如图建立坐标系，设AB长为r，△ABC高为h，C点坐标为(u，h)。设△ABC所围区域为G，则G的面积S==12．又设P点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在G上服从均匀分布，其概率密度为知识点解析：暂无解析7、设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当｜X｜=时XTAX的最大值．标准答案：因为方程组有非零解，所以=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以aii＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由｜λE一A｜==(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0得A的特征值为1，4，10．因为A为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得f=XTAXy12+4y22+10y32≤10(y12+y22+y32)而当｜X｜=时，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=｜X｜=2所以当｜X｜=时，XTAX的最大值为20(最大值20可以取到，如y1=y1=0，y3=)．知识点解析：暂无解析8、设随机变量X，Y相互独立，且X～P(1)，Y～P(2)，求P{max(X，Y)≠0)及P{min(X，Y)≠0}．标准答案：P{max(X，Y)≠0}=1一P{max(X，Y)=0}=1一P(X=0，Y=0)=1一P(X=0)P(Y=0)=1一e一1e一2=1一e一3P{min(X，Y)≠0}=1一P{min(X，Y)=0}，令A={X=0}，B={Y=0}，则{min(X，Y)=0)=A+B，于是P{min(X，Y)=0}=P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=e一1+e一2一e一1．e一2=e一1+e一2一e一3，故P{min(X，Y}≠0)=1一e一1一e一2+e一3．知识点解析：暂无解析假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记求：9、U和V的联合分布；标准答案：解一如图3．3．1．1所示，设二维随机变量(X，Y)在区域A，B，C中取值的事件依次记为A，B，C；S表示有关区域的面积．因(X，Y)在G上服从均匀分布，故而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．于是得到(U，V)的联合分布律为解二因(X，Y)在区域G上服从均匀分布，G的面积SG=2，故其概率密度函数为因而P(U=0，V=0)=P(X≤Y，X≤2Y)=P(A)=1／4，P(U=0，V=1)=P(X≤Y，X＞2Y)=P()=0，P(U=1，V=0)=P(X＞Y，X≤2Y)=P(B)=1／4，P(U=1，V=1)=P(X＞Y，X＞2Y)=P(C)=1／2．知识点解析：暂无解析10、U和V的相关系数ρ．标准答案：解一将(U，V)的联合分布律改写成下述同一表格的形式：于是E(U)=3／4，E(V)=1／2，E(UV)=1／2，E(U2)=3／4，E(V2)=1／2．因而D(U)=E(U2)－[E(U)]2=3／4－9／16=3／16，D(V)=E(V2)－[E(V)]2=1／2－1／4=1／4，cov(U，V)=E(UV)－E(U)E(V)=1／2－(3／4)(1／2)=1／8，解二由(U，V)的联合分布律及U、V的分布律，由命题3．3．1．3知，U服从参数为p1=3／4的0-1分布，故E(U)=p1=3／4，D(U)=p1(1－p1)=3／16；V服从参数为p2=1／2的0-1分布，故E(V)=p2=1／1D(V)=p2(1－p2)=1／4．而E(UV)=P(U=1，V=1)=1／2，故注：命题3．3．1．3已知(X1，X2)的联合分布律，其中单个随机变量X1与X2分别服从参数为p1，p2的0-1分布，则E(X1)=E(X12)=p1，E(X2)=E(X22)=p2，D(X1)=p1(1－p1)，D(X2)=p2(1－p2)，E(X1X2)=P(X1=1，X2=1)．知识点解析：暂无解析考研数学三（解答题）专项练习试卷第8套一、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、证明：D=标准答案：知识点解析：暂无解析2、设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．标准答案：知识点解析：暂无解析3、设f(x)在[0，1]二阶可导，且｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f"(x)｜≤b，其中a，b为非负常数，求证：对任何c∈(0，1)，有｜f’(c)｜≤2a+b．标准答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：∈(0，1)，有f(x)=f(c)+f’(c)(x一c)+f"(ξ)(x一c)2，(*)其中ξ=c+θ(x一c)，0<θ<1．在(*)式中，令x=0，得f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+f"(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令x=1，得f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+f"(ξ2)(1一c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)一f(0)=f，(c)+[f"(ξ2)(1一c)2一f"(ξ1)c2]．从而f’(c)=f(1)一f(0)+[f"(ξ1)c2一f"(ξ2)(1一c)2]，两端取绝对值并放大即得其中利用了对任何c∈(0，1)有(1一c)2≤1—c，c2≤c．于是(1一c)2+c2≤1．知识点解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式．本题涉及证明｜f’(c)｜≤2a+，自然联想到将f(x)在点x=c处展开．4、设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x－t)dt=arctanx2．已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．标准答案：令u=2x－t，则t=2x－u，dt=－du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x－t)dt=－∫2xx(2x－u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du－∫x2xuf(u)du=arctanx2,两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)－f(x)]－[2xf(2x).2－xf(x)]=，即2∫x2xf(u)du=+xf(x)．令x=1，得2∫12f(u)du=]．故∫12f(x)dx=．知识点解析：暂无解析5、计算不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析6、设y’＝arctan(x一1)2，y(0)＝0，求∫01y(x)dx．标准答案：∫01y(x)dx＝xy(x)｜01－∫01xarctan(x－1)2dx＝y(1)－∫01(x－1)arctan(x－1)2d(x－1)－∫01arctan(x－1)2dx＝∫01arctan(x－1)2d(x－1)2＝∫01arctantdt知识点解析：暂无解析7、设a1=2，证明：标准答案：(1)显然an＞0(n=1，2，…)，由初等不等式：对任意的非负数x，y必有x+y≥易知因此{an}单调递减且有下界，故极限存在．知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时)．已知X和Y的联合分布函数为9、问X与Y是否相互独立?标准答案：解一设X，Y的分布函数分别为FX(x)，FY(y)，则故当x≥0，y≥0时，有FX(x)FY(y)=(1－e－0.5x)(1－e－0.5y)=1－e－0.5x－e-0.5y+e－0.5(x+y)=F(x，y)．而当x＞0或y＜0时，有Fx(x)FY(y)=0=F(x，y)，所以对任意x，y，均有F(x，y)=Fx(x)FY(y)，则X与Y独立．解二先求出(X，Y)的联合概率密度函数f(x，y)及边缘密度fX(x)，fY(y)．当x≥0，y≥0时，有于是有因而同理，可求得易验证对x≥0，y≥0，均有f(x，y)=fX(x)fY(y)．对x<0或y<0，也有f(x，y)=fX(x)·fY(y)=0，故对任意x，y均有f(x，y)=fX(x)fY(y)，由命题3．3．5．1(1)知，X与Y相互独立．注：命题3．3．5．1(1)对任意二维随机变量(X，Y)，有X，Y相互独立对任意x，y，有F(x，y)=FX(x)FY(y)；X，Y相互独立对任意x，y，有f(x，y)=fX(x)fY(y)．知识点解析：暂无解析10、求两个部件的寿命都超过100小时的概α．标准答案：解一α=P(X>0．1，Y>0．1)=P(X>0．1)P(Y>0．1)(因X，Y相互独立)=[1－P(X≤0．1)][1－P(Y≤0．1)]=[1－FX(0．1)][1－FY(0．1)]=e0.05·e0.05=e－0.1．解二因X，Y相互独立，故解三由上题的解一知，X，Y相互独立，