第2章 特殊三角形 浙教版数学八年级上册单元培优测试卷(含答案)

特殊三角形单元培优卷一、选择题（每题3分，共30分）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或122．如图，等边△ABC的边长为4，点E是边AB的中点，且BE=CF，则CD的长为（）第2题图第4题图第5题图A．4 B．3 C．2 D．13．在△ABC中，∠ABC=30°，AB边长为4，AC边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）.A．3个 B．4个 C．5个 D．6个4．如图，△ABC的面积为6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分别是AC，AD上的动点，则FE+FC的最小值（）A．245 B．125 C．52 5．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4，QD=3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．126．如图：点C在AB上，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M，N，则下列结论①AE=DB，②CM=第6题图第7题图第8题图A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4.若已知A．18 B．24 C．25 D．36如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90∘；②∠ADE=∠CDE；四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．③④ D．①③9．如图，已知∠AOB=120°，点D是∠AOB的平分线上的一上定点，点E，F分别在射线OA和射线OB上，且∠EDF=60°.下列结论：①△DEF是等边三角形；②四边形DEOF的面积是一个定值；①当DE⊥OA时，△DEF的周长最小；④当DE∥OB时，DF也平行于OA.其中正确的个数是（）第9题图第10题图A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，任意画一个∠A=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AP=PC；④BD+CE=BC；⑤SΔPBA：SA．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题（每题4分，共24分）11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为.第11题图第13题图第14题图12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为.13．如图，在△ACD中，∠ACD=90°，∠A=30°，AC=b，CD=a，以C为圆心，CD为半径画弧，交斜边①△BCD是等边三角形，②a+c<b，③a=c，④b=2a14．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=55°，M，N分别是边BC，CD上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN=°．15．如图，在△ABC中，AH是高，AE//BC，AB=AE，在AB边上取点D，连接DE，DE=AC，若S△ABC=5S△ADE，BH=1，则BC=第15题图第16题图16．如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG=EG时，AF的长是．三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？18．在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.（1）求证：BE=BF；（2）若∠CAE=30°，求∠ACF度数.19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.（1）求证：AE＝AD；（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.（1）求CD的长.（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等?若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.21．在△ABC中，∠B=40°，∠ACB=110°，D为边BC延长线上一点，连接AD．（1）如图1，当∠D=∠B时，求证：AB=CD；（2）如图2，当∠D=2∠B时，求证：AB=AD+CD；、（3）如图3，当AB=CD时，求证：∠D=∠B．22．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用

如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.在△ABC中，∠A=42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数.答案解析部分1-5．【答案】CDCBC6-10．【答案】DAACB11．【答案】6412．【答案】71°或19°13．【答案】①③14．【答案】7015．【答案】516．【答案】217．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB=A同理：AC=A∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441，AB2=202=400，AC2=132=169∴BC2≠AB2+AC2∴△ABC不是直角三角形．18．【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°，在Rt△ABE和Rt△CBF中AE=CFAB=BC∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)，∴BE=BF.（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴∠CAB=∠ACB=45°，又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE＝∠CAD在△ABE和△ACD中∠ABD=∠ACDAB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（ASA），∴AE＝AD；（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°.20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=6∵CD⊥AB于点D，∴S△ABC=12AC·BC=12（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，CD=24∴CE=35∵CD⊥AB，EF⊥AC，∴∠CDF=∠CEF=90°.∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF(HL)，∴∠ECF=∠DCF，∴CF平分∠ACD.（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，CF是公共边，有四种情形：①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，∴CE=CD=245，∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，∴F∴FD=②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.同①可得△CEF≌△CDF，∴CE=CD=∵EF=FD∴F∴FD=③如图4，若点E在线段AC上，点F在线段BD上.当EF=CD，∵CF=CF∴△CEF≅△FDC，∴EF=CD=∵EF∴∴FD=④如图5，若点E在射线CA上，点F在射线BA上.当EF=CD，∵CF=CF∴△CEF≅△FDC，此时△ACD≅△AFE，∴FD=AF+AD=AC+AD=8+综上，所有符合条件的DF的长是8521．【答案】（1）证明：∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°-∠ACB=70°，∵∠D=∠B=40°，∴AB=AD，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD，∴AB=CD；（2）证明：如图所示，在AB上截取一点E使得AE=AD，连接CE，∵∠ACB=110°，∴∠ACD=180°-∠ACB=70°，∵∠D=2∠B=80°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=30°，∵∠BAC=180°-∠B-∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CAD，又∵AE=AD，∴△CAE≌△CAD(SAS)，∴CD=CE，∵∠AEC=∠D=2∠B=∠B+∠BCE，∴∠B=∠BCE，∴BE=CE，∴BE=CD，∵AB=AE+BE∴AB=AD+CD；（3）证明：如图所示，在射线CD上取一点H，使得AB=AH，连接AH，∴∠B=∠AHB由（1）同理可证明AB=CH，又∵AB=CD，∴CH=CD，∴点H和点D重合，∴∠B=∠ADB．22．【答案】（1）解：△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°