考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷1（共136题）

考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷1（共4套）（共136题）考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则A、f′2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f′2+xf"12+xzf"22D、xzy"22标准答案：C知识点解析：选(C)．2、函数z=f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z=f(x，y)在点(x0，y0)连续的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：D知识点解析：如在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如在(0，0)处连续，但对x不可偏导．选(D)．3、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(x0，y)在y=y0处导数为零B、f(x0，y)在y=y0处导数大于零C、f(x0，y)在y=y0处导数小于零D、f(x0，y)在y=y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有f′x(x0，y0)=0，f′0(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)4、设f(x，y)满足f(x，0)=1，f′y(x，0)=x，则f(x，y)=________．标准答案：由得因为f′y(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即再由得f(x，y)=y1+xy+φ1(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．知识点解析：暂无解析5、设u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则标准答案：x+y+z+xyz=0两边关于x求偏导得将x=0，y=1，z=一1代入得知识点解析：暂无解析6、设其中f(u)可导，则标准答案：知识点解析：暂无解析7、设y=y(x，z)是由方程ex+y+z=x2+y2+z2确定的隐函数，则标准答案：ex+y+z=x2+y2+z2两边对z求偏导得从而知识点解析：暂无解析8、设z=f(x，y)是由确定的函数，则标准答案：将代入e2yz+x+y2+z=中得z=0，两边求微分得2e2yz(zdy+ydz)+dx+2ydy+dz=0，将z=0代入得知识点解析：暂无解析9、设y=y(x)由确定，则标准答案：当x=0时，y=1，两边对x求导，得将x=0，y=1代入得知识点解析：暂无解析10、设z=z(x，y)由z+ez=xy2确定，则dz=___________．标准答案：方法一z+ez=xy2两边对x求偏导得解得z+ez=xy2两边对y求偏导得解得则方法二z+ez=xy2两边求微分得d(z+ez)=d(xy2)，即dz+ezdz=y2dx+2xydy，解得知识点解析：暂无解析11、设z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f连续可偏导，则标准答案：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求x求偏导得解得知识点解析：暂无解析12、设其中f可导，则标准答案：则知识点解析：暂无解析13、由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=__________．标准答案：两边求微分得把(1，0，一1)代入上式得知识点解析：暂无解析14、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f′x(0，1，一1)=__________．标准答案：x+y+z+xyz=0两边对x求偏导得将x=0，y=1，z=一1代入得解得f′x(0，1，一1)=1．知识点解析：暂无解析15、设f(x，y)可微，且f′1(-1,3)=-2，f′2(-1，3)=1，令则dz|(1,3)=________．标准答案：则则dz|(1,3)=一7dx+3dy．知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)16、设有一阶连续的偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析17、设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(x2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．标准答案：x2+y2+z2=xyf(z2)两边对x求偏导得解得x2+y2+z2=xyf(z2)两边对y求偏导得解得故知识点解析：暂无解析18、设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x—y)+g(x，3y)，求标准答案：知识点解析：暂无解析19、设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析20、设z=f(x2+y2，xy，x)，其中f(u，v，w)二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析21、设z=z(x，y)由x—yz+yez-x-y=0确定，求及dz．标准答案：方程x—yz+yez-y-x=0两边对x求偏导得解得方程x—yz+yez-x-y=0两边对y求偏导得解得知识点解析：暂无解析22、设z=f[x—y+g(x—y—z)]，其中f，g可微，求标准答案：等式z=f(x—y+g(x—y—z))两边对x求偏导得解得等式z=f(x—y+g(x—y—z))两边对y求偏导得解得知识点解析：暂无解析23、设u=f(x)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：标准答案：两边对x求偏导得解得则两边对y求偏导得解得则所以知识点解析：暂无解析24、设xy=xf(z)+yg(z)，且xf′(z)+yg′(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：标准答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得解得于是知识点解析：暂无解析25、设z=f(x，y)由方程z—y—x+xez-y-x=0确定，求dz．标准答案：对z—y—x+xz-y=x=0两边求微分，得dz—dy—dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz—dy—dx)=0，解得知识点解析：暂无解析26、设u=f(x．y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy—y=0与ez一xz=0确定，求标准答案：方程exy一y=0两边对x求导得解得方程ez一xz=0两边对x求导得解得则知识点解析：暂无解析27、设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得解得知识点解析：暂无解析28、(1)设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求(2)设z=z(x，y)由方程确定，求标准答案：(1)将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得(2)当x=0，y=0时，z=1．两边分别对x和y求偏导得两边对y求偏导得故知识点解析：暂无解析29、设且F可微，证明：标准答案：两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得解得于是知识点解析：暂无解析30、设变换可把方程化简为求常数a．标准答案：将u，v作为中间变量，则函数关系为z=f(u，v)，则有将上述式子代入方程根据题意得解得a=3．知识点解析：暂无解析31、设z=f[x+φ(x—y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求标准答案：z=f[x+φ(x—y)，y]两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析32、设z=f(x，y)由f(x+y，x—y)=x2一y2一xy确定，求dz．标准答案：令则代入得知识点解析：暂无解析33、(1)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．(2)求函数f(x，y)=(x2+2x+y)ey的极值．-标准答案：(1)二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)|y＞0}，因为AC—B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小值点，极小值为(2)由得由AC—B2=2＞0及A=2＞0得(x，y)=(一1，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为f(-1，0)=一1．知识点解析：暂无解析34、试求z=f(x，y)=x3+y3一3xy在矩形闭域D={(x，y)|0≤x≤2，一1≤y≤2}上的最大值与最小值．标准答案：当(x，y)在区域D内时，在L1：y=一1(0≤x≤2)上，z=x3+3x一1，因为z′=3x2+3>0，所以最小值为z(0)=一l，最大值为z(2)=13；在L2：y=2(0≤x≤2)上，z=x3一6x+8，由z′=3x2一6=0得z(2)=4；在L3：x=0(-1≤y≤2)上，z=y3，由z′=3y2=0得y=0，z(一1)=一1，z(0)=0，z(2)=8；在L4：x=2(-1≤y≤2)上，z=y3一6y+8，由z′=3y2一6=0得z(2)=4.故z=x3+y3一3xy在D上的最小值为一1，最大值为13．知识点解析：暂无解析35、平面曲线L：绕x轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．标准答案：曲线L：绕x轴旋转一周所得的曲面为S：根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(x，y，z)，则体积为V=8xyz．令由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为知识点解析：暂无解析36、设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)=6x—x2+16y一4y2一2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?标准答案：根据题意，即求函数L(x，y)=6x—x2+16y一4y2～2在0＜x+y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一驻点为(3，2)，令F(x，y，λ)=6x—x2+16y一4y2一2+λ(x+y一6)，由根据题意，x，y只能取正整数，故(x，y)的可能取值为L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2时利润最大，最大利润为23万元．知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)1、函数f(x，y)=不连续的点集为()A、y轴上的所有点B、x=0，y≥0的点集C、空集D、x=0，y≤0的点集标准答案：C知识点解析：当x≠0时，f(x，y)为二元连续函数，而当所以(0，y0)为f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点的集合为空集．2、考虑二元函数f(x，y)的下面4条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续；②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续；③f(x，y)在点(x0，y0)处可微；④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在．若用“”表示可由性质P推出性质Q，则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：如图1．4—1所示，本题考查4条性质的因果关系．3、函数z=f(x，y)=在点(0，0)处()A、连续，但偏导数不存在B、偏导数存在，但不可微C、可微D、偏导数存在且连续标准答案：B知识点解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．由于所以f(0，0)=0，同理fy’(0，0)=0．令α=△z—fx’(0，0)△x一fy’(0，0)△y=当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时，，即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)．4、函数z=x3+y3一3x2-3y2的极小值点是()A、(0，0)B、(2，2)C、(0，2)D、(2，0)标准答案：B知识点解析：由=3x2—6x=0和=3y2—6y=0，可得到4个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．又在(0，2)点和(2，0)点，均有AC—B2＜0，因而这两个点不是极值点；在(0，0)点，AC—B2=36＞0，且A=一6＜0，所以(0，0)点是极大值点；在(2，2)点，AC—B2=36＞0，且A=6＞0，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)．5、函数f(x，y)=A、等于1B、等于2C、等于0D、不存在标准答案：C知识点解析：当xy≠0时，≤|x|+|y|，当(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．6、设函数则点(0，0)是函数z的()A、极小值点且是最小值点B、极大值点且是最大值点C、极小值点但非最小值点D、极大值点但非最大值点标准答案：B知识点解析：由极值点的定义可知．7、设f(x，y)=则fx’(2，1)=A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：8、zx’(x0，y0)=0和zy’(x0，y0)=0是函数z=z(x，y)在点(x0，y0)处取得极值的()A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、充要条件D、既非必要也非充分条件标准答案：D知识点解析：若z=z(x，y)=，则点(0，0)为其极小值点，但zx’(0，0)，zy’(0，0)均不存在．9、函数f(x，y)=在点(0，0)处()A、连续，偏导数存在B、连续，偏导数不存在C、不连续，偏导数存在D、不连续，偏导数不存在标准答案：C知识点解析：取y=kx，可得f(x，y)在(0，0)处不连续．由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在．10、极限A、等于0B、不存在C、等于D、存在，但不等于也不等于0标准答案：B知识点解析：当取y=kx时，与k有关，故原极限不存在．11、A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：将x视为常数，属基本计算．12、极限A、等于0B、不存在C、等于D、存在且不等于0及标准答案：B知识点解析：取y=x，则故原极限不存在．13、设u=f(r)，其中,f(r)具有二阶连续导数，则A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：属基本计算，考研计算中常考这个表达式．14、利用变量代换u=x，v=．可将方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由复合函数微分法于是又u=x，故15、设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，u1’(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则u11"(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u1’+2u2’=1，两边再对x求导得u11"+2u12"+2u21"+4u22"=0，①等式u1’(x，2x)=x2两边对x求导得u11"+2u12"=2x，②将②式及u12"=u21"，u11"=u22"代入①式中得u11"(x，2x)=16、若函数其中f是可微函数，且=G(x，y)u，则函数G(x，y)=()A、x+yB、x—yC、x2一y2D、(x+y)2标准答案：B知识点解析：设则u=xyf(t)，于是于是=(x—y)xyf(t)=(x—y)u，即G(x，y)=x—y．17、设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的()A、最大值点和最小值点必定都在D的内部B、最大值点和最小值点必定都在D的边界上C、最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D、最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、函数f(x，y)=ln(x2+y2一1)的连续区域是________．标准答案：{(x，y)|x2+y2＞1}知识点解析：一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的．19、设标准答案：0知识点解析：本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式．20、若函数z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c(a，b，c均为常数)在点(一2，3)处取得极小值一3，则abc=______．标准答案：30知识点解析：由极值的必要条件知在点(一2，3)处，zx’=0，zy’=0，又z(-2，3)=一3，从而可求出a，b，c分别为一1，一6，5，故abc=30．21、设u=x4+y4一4x2y2，则标准答案：12x2一8y2知识点解析：因=4x3一8xy2，故=12x2一8y2．22、设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y—z=ez所确定，则标准答案：知识点解析：方程两端对x求偏导数得23、函数的定义域为________．标准答案：{(x，y，z)|，且z≠0)知识点解析：由一1≤≤1，且z≠0即得．24、设f(u)可导，P(x，y)=其中xy≠0，则标准答案：一2知识点解析：25、标准答案：一sinθ知识点解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ,=一sinθ.26、设f(x，y)=则fx’=r(0，1)=_______．标准答案：1知识点解析：27、设z=esinxy，则dz=_______．标准答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知识点解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycosxy.x，则dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)28、设f(x)可导，F(x，y)=一∞＜x＜+∞，y＞0．求：标准答案：知识点解析：暂无解析29、已知其中a＞0，a≠1，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析30、设，其中f，g均可微，计算标准答案：设z=f(u，v)+g(ω)u=xy，则知识点解析：暂无解析31、设z=f(2x—y)+g(x，xy)，其中函数f(t)二阶可导，g(u，v)具有二阶连续偏导数，求标准答案：=2f’+g1’+yg2’，则=一2f"+xg12"+xyg22"+g2’．知识点解析：暂无解析32、设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy一y=0和ez一xz=0所确定，求标准答案：方程exy—y=0两边关于x求导，有方程ez一xz=0两边关于x求导，有于是知识点解析：暂无解析33、厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1=24—0．2p1和q2=10—0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)．试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?标准答案：总收入函数为R=p1q1+p2q2=24p1—0．2p12+10p2—0．05p22．总利润函数为L=R—C=32p1—0．2p12一0．05p22+12p2一1395．由极值的必要条件，得方程组解此方程组得p1=80，p2=120．由问题的实际含义可知，当p1=80，p2=120时，厂家所获得的总利润最大，其最大总利润为知识点解析：暂无解析34、在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式(a＞0，b＞0，c＞0)．标准答案：作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一5R2)，并令由前3式得x2=y2=，代入第4式得可疑点，因xyz3在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f(x，y，z)=ln(xyz3)在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而是唯一可疑点，故最大值为又lnx+lny+3lnz≤故x2y2z6≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则abc3≤(a＞0，b＞0，c＞0)．知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设则f(x，y)在(0，0)处()．A、对x可偏导，对y不可偏导B、对x不可偏导，对y可偏导C、对x可偏导，对y也可偏导D、对x不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：因为不存在，所以f(x，y)在(0，0)处对x不可偏导；因为所以f′y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处对y可偏导，选(B)．2、设f′x(x0，y0)，f′y(x0，y0)都存在，则()．A、f(x，y)在(x0，y0)处连续B、C、f(x，y)在(x0，y0)处可微D、标准答案：D知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数在(0，0)处可偏导，但不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，选(D)，事实上由存在得3、设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足则函数f(x，y)在点(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为根据极限保号性，存在δ>0，当时，有而x2+1一xsiny>0，所以当时，有f(x，y)-f(0，0)<0，即f(x，y)4、设f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足则f(x，y)在(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否取极值标准答案：A知识点解析：因为所以由极限的保号性，存在δ＞0，当时，因为当时，|x|+y2＞0，所以当时，有f(x，y)＜f(0，0)，即f(x，y)在(0，0)处取极大值，选(A)．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)5、设z=(x2+y2)xy，则标准答案：z=exyln(x2+y2)则知识点解析：暂无解析6、设f二阶可导，标准答案：知识点解析：暂无解析7、设f二阶可偏导，z=f(xy，z+y2)，则标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(x，y)连续，且f(x，y)=3x+4y+6+ο(ρ)，其中则dz|(1,0)=__________．标准答案：因为f(x，y)连续，所以f(1，0)=9，由f(x，y)=3x+4y+6+ο(ρ)得由可微的定义得dz|(1,0)=3dx+4dy．知识点解析：暂无解析9、设z=f(x，y)二阶连续可导，且f′x(x，0)=2x，f(0，y)=sin2y，则f(x，y)=______，标准答案：由得由f′x(x，0)=2x得φ(x)=2x，即再由得由f(0，y)=sin2y得h(y)=sin2y，故知识点解析：暂无解析10、标准答案：知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、由x=zey+z确定z=z(x，y)，则dz|(c,0)=__________．标准答案：x=e，y=0时，z=1．x=zey+z两边关于x求偏导得将x=e，y=0，z=1代入得x=zey+z两边关于y求偏导得将x=e，y=0，z=1代入得故知识点解析：暂无解析13、标准答案：则知识点解析：暂无解析14、标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)15、设z=f(t2，e2t)二阶连续可偏导，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析16、设z=f(exsiny，xy)，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析17、u=f(x2，xy，xy2z)，其中f连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析18、设z=f(x，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)=1，f′1(1，1)=a，f′2(1，1)=b，又u=f[x，f(x，x)]，求标准答案：由=f′1[x，f(x，x)]+f′2[x，f(x，x)]·[f′1(x，x)+f′2(x，x)]得=f′2[1，f(1，1)]+f′2[1，f(1，1)]·[f′1(1，1)+f′2(1，1)]=a+b(a+b)=a+ab+b2．知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设y=y(x)，z=z(x)由确定，求标准答案：两边对x求导得解得知识点解析：暂无解析21、设z=z(x，y)是由所确定的二元函数，其中F连续可偏导，求标准答案：两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析22、求二元函数f(x，Y)=x3一3x2一9x+y2一2y+2的极值．标准答案：由得当(x，y)=(一1，1)时，A=一12，B=0，C=2，因为AC-B2=一24＜0，所以(一1，1)不是极值点；当(x，y)=(3，1)时，A=12，B=0，C=2，因为AC—B2=24＞0且A＞0，所以(3，1)为极小值点，极小值为f(3，1)=一26．知识点解析：暂无解析已知z=f(x，y)满足：dz=2xdx一4ydy且f(0，0)=5．23、求f(x，y)．标准答案：由dz=2xdx一4ydy得dz=d(x2一2y2)，从而f(x，y)=x2一2y2+C，再由f(0，0)=5得．f(x，y)=x2一2y2+5．知识点解析：暂无解析24、求f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+4y2≤4}上的最小值和最大值．标准答案：当x2+4y2<4时，由得当x2+4y2=4时，令z=4cos2t一2sin2t+5=6cos2t+3，当cost=0时，fmin=3；当cost=±1时，fmax=9，故最小值为m=0，最大值M=9．知识点解析：暂无解析25、设u=xyz，求du．标准答案：由u=eyzlnx得知识点解析：暂无解析26、设z=yf(x2一y2)，其中f可导，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析27、设u=f(x+y，x2+y2)，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析28、设z=f[xg(y)，x—y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求标准答案：知识点解析：暂无解析29、设z=z(x，y)由xyz=x+y+z确定，求标准答案：方法一令F=xyz—x—y一z，方法二xyz=x+y+z两边对x求偏导得解得故知识点解析：暂无解析30、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：设显然f(x，y)在点(0，0)处连续，但不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对x不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对y也不可偏导．设因为所以f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且f′x(0，0)=f′y(0，0)=0．因为所以不存在，而f(0，0)=0，故f(x，y)在点(0，0)处不连续．知识点解析：暂无解析31、设讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：因为所以不存在，故函数f(x，y)在点(0，0)处不连续．因为所以函数f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导．知识点解析：暂无解析32、讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．标准答案：因为所以即函数f(x，y)在点(0，0)处连续．因为所以f′x(0，0)=0，根据对称性得f′y(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．知识点解析：暂无解析33、设试讨论f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性．标准答案：由得f(x，y)在点(0，0)处连续．因为所以即f(x，y)在(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析34、设z=f(e′sint，tant)，求标准答案：知识点解析：暂无解析35、设标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微分学）模拟试卷第4套一、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、标准答案：知识点解析：2、标准答案：知识点解析：二、解答题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)3、(1)若f(x)=，试证f’(0)=0；(2)若f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=∫0xf(t)dt，试证f(x)≡0(一∞＜x＜+∞)．标准答案：(1)因为(2)由f(x)=∫0xf(t)dt可知f’(x)=f(x)，其通解为f(x)=Cex又f(0)=0，故f(x)≡0．知识点解析：暂无解析4、标准答案：因k值不同，故分情况讨论：当k＞1时，原式=即积分收敛；当k=1时，原式=即积分发散；当k＜1时，原式=，即积分发散．综上，当k＞1时，原积分为；当k≤1时，原积分发散.知识点解析：暂无解析5、已知I(α)=求积分∫-32I(α)dα．标准答案：当α≠0且a≠±1时，当α=1时，I(α)=当α=一1时，I(α)=当α=0时，I(α)=∫0πsinxdx=2．综上，知识点解析：暂无解析6、设函数f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=已知f(1)=1，求∫12f(x)dx的值．标准答案：令u=2x一t，则t=2x一u，dt=一du．当t=0时，u=2x；当t=x时，u=x．故∫0xtf(2x-t)dt=一∫2xx(2x-u)f(u)du=2x∫x2xf(u)du-∫x2xuf(u)du，由已知得2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=两边对x求导，得2∫x2xf(u)du+2x[2f(2x)一f(x)]一[2xf(2x)．2一xf(x)]=即知识点解析：暂无解析7、设在区间[e，e2]上，数p，q满足条件px+q≥lnx，求使得积分取得最小值时p，q的值．标准答案：设直线y=px+q与曲线y=lnx相切于点(t，lnt)，则有知识点解析：暂无解析8、设f(x)在[0，+∞)上连续，且收敛，其中常数A＞0．证明：标准答案：所以知识点解析：暂无解析9、求曲线的一条切线l，使该曲线与切线l及直线x=0，x=2所围成图形的面积最小．标准答案：又S"(1)＞0，故t=1时，S(t)取最小值，此时l的方程为知识点解析：暂无解析10、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．标准答案：由题设，当x≠0时,，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得知识点解析：暂无解析11、设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．标准答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X-x)．它与x轴的交点为．由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0(x≥0)，于是又S2=∫0xy(t)dt，由条件2S1一S2=1，知①式两边对x求导并化简得yy"=(y’)2．令p=y’，则方程可化为注意到y(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．知识点解析：暂无解析12、设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)；(2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0Tf(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T∫0Tf(x)dx=0．标准答案：(1)=f(a+T)一f(a)=0，故∫aa+Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx|a=0=∫0Tf(x)dx．(2)∫0xf(t)dt以T为周期∫0x+Tf(t)dt—∫0xf(t)dt=∫0x+Tf(t)dt∫0Tf(t)dt=0．(3)由∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，易知此命题成立．知识点解析：暂无解析13、计算不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析14、求定积分的值．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设常数0＜a＜1，求标准答案：对后者作变量代换x=π一t，得，所以知识点解析：暂无解析16、设a，b均为常数，a＞一2且a≠0，求a，b为何值时，有标准答案：若b—a≠0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必有a=b，那么所以=2ln2—2，解得a=b=8e-2一2．知识点解析：暂无解析17、直线y=x将椭圆x2+3y2=6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的值．标准答案：直线与椭圆的交点为(0，0)，，则令y一1=sint，则知识点解析：暂无解析18、设f(x)=求曲线y=f(x)与直线所围成的平面图形绕x轴旋转所成旋转体的体积．标准答案：先求f(x)的表达式，注意到函数ex在x→+∞与x→一∞的极限，可知显然，x＜0时f(x)与直线无法围成图形．当x＞0时，y=f(x)与y=的交点横坐标为x=1，且显然0＜x＜1时所以所求旋转体体积为知识点解析：暂无解析19、设f(x)=∫0xg(t)dt．(1)证明y=f(x)为奇函数，并求曲线的水平渐近线；(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴所围成图形的面积．标准答案：(1)因f(一x)==一f(x)，故f(x)为奇函数．因故y=f(x)有两条水平渐近线(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为其中，由洛必达法则得知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且f(x)dx=f(0)．证明：在(0，1)内存在一点c，使f’(c)=0．标准答案：由积分中值定理知，在上存在一点ξ1，使从而有f(ξ1)=f(0)，故f(x)在区间[0，ξ1]上满足罗尔定理条件，因此在(0，ξ1)内存在一点c，使f’(c)=0，c∈(0，ξ1)(0，1)．知识点解析：暂无解析21、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续．证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．标准答案：记G(x)=f(x)∫xbg(t)dt-g(x)∫axf(t)dt，则G(x)的原函数为F(x)=∫axf(t)dt∫xbg(t)dt+C，其中C为任意常数．因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，F(a)=F(b)=C，即F(x)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一个ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知识点解析：暂无解析22、f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0．证明：存在一点ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．标准答案：因为f’(x)在[0，1]上连续，所以f’(x)在[0，1]上有最小值和最大值，设为m，M，即存在x1，x2∈[0，1]，使f’(x1)=m，f’(x2)=M：由拉格朗日中值定理，对任意x∈[0，1]，存在η∈(0，x)，使f(x)=f(x)-f(0)=f’(η)x，于是有f’(x1)x=mx≤f(x)=f(x)一f(0)=f’(η)x≤Mx=f’(x2)x，两边积分得f’(x1)∫01xdx≤∫01f(x)dx≤f’(x2)∫01xdx，即f’(x1)≤∫01f(x)dx≤f’(x2)，故f’(x1)≤2∫01f(x)dx≤f’(x2)．因为f’(x)在[0，1]上连续，由介值定理，必存在ξ∈[x1，x2][0，1]，或ξ∈[x2，x1][0，1]，使f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析23、设f(x)在[a，b]上连续且严格单调增加．证明：(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．标准答案：令F(t)=(a+t)∫atf(x)dx一2∫atxf(x)dx，则F’(t)=∫atf(x)dx+(a+t)f(t)一2tf(t)=∫atf(x)dx一(t-a)f(t)=∫atf(x)dx—∫atf(t)dx=∫at[f(x)一f(t)]dx．因为a≤x≤t，且f(x)在[a，b]上严格单调增加，所以f(x)一f(t)≤0，于是有F’(t)=∫at[f(x)一f(t)]dx≤0，即F(t)单调递减，又F(a)=0，所以F(b)＜0，即(a+b)∫abf(x)dx一2∫abxf(x)dx＜0，即(a+b)∫abf(x)dx＜2∫abxf(x)dx．知识点解析：暂无解析24、设函数f’(x)在[a，b]上连续，且f(a)=0．证明：标准答案：因为[f(x)]2=[f(x)一f(a)]2=[∫axf’(t)dt]2，而[∫axf’(t)dt]2≤(x-a)∫ax[f’(t)]2dt≤(x-a)∫ab[f’(t)]2dt(施瓦茨不等式)，所以∫ab[f(x)2]dx≤∫ab(x-a)dx∫ab[f’(t)]2dt=知识点解析：暂无解析25、设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0．证明：对任意a∈[0，1]，有∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．标准答案：令F(a)=∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(a)g(1)，a∈[0，1]，则F’(a)=g(a)f’(a)-f’(a)g(1)=f’(a)[g(a)一g(1)]．因为x∈[0，1]时，f’(x)≥0，g’(x)≥0，即函数f(x)，g(x)在[0，1]上单调递增，又a≤1，所以F’(a)=f’(a)[g(a)一g(1)]≤0，即函数F(a)在[0，1]上单调递减，又F(1)=∫01g(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(1)g(1)=∫01[g(x)f(x)]’dx一f(1)g(1)=g(1)f(1)一g(0)f(0)一f(1)g(1)=一f(0)g(0)=0，所以F(a)≥F(1)=0，即∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx一f(a)g(1)≥0，即∫0ag(x)f’(x)dx+∫01f(x)g’(x)dx≥f(a)g(1)．知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：(1)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；(2)在(a，b)内至少存在一点η，且η≠ξ，使得f"(η)=f(η)．标准答案：(1)由积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得