考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷6（共226题）

考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷6（共7套）（共226题）考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、对事件A，B，已知P(｜A)＝，P(B｜)＝，P(AB)＝．则P(A)＝_______，P(B)＝_______．标准答案：知识点解析：由得P(A)＝，又由得P(B)＝．2、对事件A、B，已知P(∪B)＝0．75，P()＝0．8，P(B)＝0．3，则P(A)＝_______，P(AB)＝_______，P()＝_______，P(A－B)＝_______，P(B－A)＝_______，P(A∪)＝_______．标准答案：0．45；0．2；0．45；0．25；0．1；0．9．知识点解析：∵0．8＝P()＝1－P(AB)，∴P(AB)＝0．2，又∵0．75＝P(∪B)＝1－P()＝1－P(A)＝1－[P(A)－P(AB)]＝1－[P(A)－0．2]，得P(A)＝0．45，可得P()＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)－P(AB)]＝1－(0．45＋0．3－0．2)＝0．45，P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝0．25，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝0．1，P(A∪)＝1－P(B)＝1－[P(B)－P(AB)]＝0．9．3、某城市共有N辆汽车，车牌号码从1到N．有一人将他所遇到的该城市的行辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车被遇到的机会相同，求抄到的最大号码正好是k(1≤k≤N)的概率为_______．标准答案：知识点解析：暂无解析4、设两两独立的三事件A，B，C满足条件：ABC＝，P(A)＝P(B)＝P(C)＜，P(A∪B∪C)＝则P(A)_______．标准答案：知识点解析：设P(A)＝χ，则＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝3χ－3χ2，解得χ＝．5、设在3次独立试验中，事件A出现的概率均相等且A至少出现一次的概率为，则在1次试验中，A出现的概率为_______．标准答案：知识点解析：设1次试验中A出现的概率为p，则＝P{A至少出现1次}＝1－P{A出现0次}＝1－C30.p0.(1－P)3-0＝1－(1－p3)，故p＝．6、设甲、乙两人独立地射击同一目标，其命中率分别为0．6和0．5．则已命中的目标是被甲射中的概率为_______．标准答案：知识点解析：记A＝{甲击中目标}，B＝{乙击中目标}，C＝{目标被击中}，则P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0．6＋0．5－0．6×0．5＝0．8，所求概率为P(A｜C)＝，注意AC，∴P(AC)＝P(A)＝0．6，故P(A｜C)＝．7、设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝0，P(AC)＝P(BC)＝，则A，B，C都不发生的概率为_______．标准答案：知识点解析：P()＝1－P(A∪B∪C)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)]＝1－．二、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)8、设A，B，C为事件，用它们来表示下列事件：(1)仅A发生；(2)A，B，C不都发生；(3)A，B，C都不发生；(4)A，B，C恰一个发生．标准答案：知识点解析：暂无解析9、从6双不同的手套中任取4只，求(1)恰有一双配对的概率；(2)至少有2只可配成一双的概率．标准答案：知识点解析：暂无解析10、一袋中装有N－1只黑球及1只白球，每次从袋中随机地取出一球，并换人一只黑球，这样继续下去、问第k次取出的是黑球的概率是多少?标准答案：记Ai＝{第i次取得黑球}，i＝1，2，…，k，则A1A2…Ak-1，故＝A1A2…Ak-1，∴P()＝P(A1A1…)＝P(｜A1…Ak1)P(Ak-1｜A1…Ak-2)…P(A2｜A1)P(A1)＝，得P(Ak)＝1－P()＝1－．知识点解析：暂无解析11、将n个同样的盒子和n只同样的小球分别编号为1，2，…，n．把这，n只小球随机地投入n个盒子中，每个盒子中投入一只小球．问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?标准答案：记Ai＝{i号小球投人到i号盒中}，i＝1，2，…，n．则所求概率为知识点解析：暂无解析12、对目标进行三次独立炮击．第一次命中率为0．4，第二次命中率为0．5，第三次命中率为0．7．目标中一弹而被击毁的概率为0．2，中两弹被击毁的概率为0．6，中三弹被击毁的概率为0．8．(1)求目标被击毁的概率；(2)已知目标被击毁，求目标中两弹的概率．标准答案：(1)记Ai＝{第i次射击时击中目标}(i＝1，2，3)，B＝{目标被击毁}，则＝0．2(0．4×0．5×0．3＋0．6×0．5×0．3＋0．6×0．5×0．7)＋0．6(0．4×0．5×0．3＋0．4×0．5×0．7＋0．6×0．5×0．7)＋0．8×0．4×0．5×0．7＝0．43；(2)P(A1A2∪A1A3∪A2A3｜B)＝＝×0．6×(0．4×0．5×0．3＋0．4×0．5×0．7＋0．6×0．5×0．7)＝0．572093023．知识点解析：暂无解析13、在随机地抛掷两枚均匀骰子的独立重复试验中，求两枚骰子点数和为5的结果出现在它们的点数和为7的结果之前的概率．标准答案：记Ai＝{第i次抛时点数之和为5}，Bi＝{第i次抛时点数之和为7}，则P(Ai)＝，P(Bi)＝，而A1B1＝，∴P()＝1－P(Ai∪Bi)＝1－[P(Ai)＋P(Bi)]＝，i＝1，2，…．又记C1＝A1，Ck＝Ak，(k＝2，3，…)而诸Ai，Aj，Bk，Bl(在i，j，k，l互不相等时)相互独立，故P(Ck)＝，(k＝1，2，…)．注意诸Ck两两不相容，故所求概率为知识点解析：暂无解析14、乒乓球比赛采用5局3胜制，甲、乙两人在比赛中，各局甲胜的概率为0．6，且前2局皆为甲胜．求甲最终赢得比赛胜利的概率．标准答案：记Ai＝{第i局甲胜}，i＝3，4，5．所求概率为P(A3∪A4∪A5)＝1－P()＝1－＝1－0．43＝0．936．知识点解析：暂无解析15、设袋中有7红6白13个球，现从中随机取5个球，分(1)不放回；(2)放回两种情形下，写出这5个球为3红2白的概率(写出计算式即可)．标准答案：知识点解析：暂无解析16、乒乓球盒中有15个球，其中有9只新球和6只旧球．第一次比赛时任取3只使用，用后放回(新球使用一次就成旧球)．第二次比赛时也任取3只球，求此3只球均为新球的概率．(写出计算式即可)．标准答案：记Ai＝{第1次取的3只球中有i只新球}，B＝{第2次取的3只球均为新球}，则P(Ai)＝，P(B｜Ai)＝，i＝0，1，2，3．则P(B)＝P(B｜Ai)P(Ai)＝(C63C93＋C62C91C83＋C61C92C73＋C93C62)．知识点解析：暂无解析17、3架飞机(其中有1架长机和2架僚机)去执行轰炸任务，途中要过一个敌方的高炮阵地．各机通过高炮阵地的概率均为0．8，通过后轰炸成功的概率均为0．3，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功．求最终轰炸成功的概率．标准答案：设长机为A，另2架僚机分别为B、C，记A1＝{A通过高炮阵地}，B1＝{B通过高炮阵地}，C1＝{C通过高炮阵地}，A2＝{A轰炸成功}，D＝{最终轰炸成功}，由题意，得＝0．2＋0．8P(｜A1)，又P(｜A1＝P(A2｜A1)＋P(｜A1)＝0＋＝0．7P()，又＝072×0．82＋0．7×0．8×0．2×2＋1×0．22＝0．5776。代回可得P(D)＝0．476544．知识点解析：暂无解析18、设X和Y独立同分布，且均服从区间(0，1)上的均匀分布，求ξ＝的分布函数F(u)．标准答案：由题意，(X，Y)的概率密度为则F(u)＝P(ξ≤u)＝P(≤u)U≤0时，F(u)＝0；U≥0时，F(u)＝1；0＜u≤时，F(u)＝其中G见图1中阴影部分；其中D见图2中阴影部分．知识点解析：暂无解析19、设区域D1为以(0，0)，(1，1)，(0，)，(，1)为顶点的四边形，D2为以(，0)，(1，0)，(1，)为顶点的三角形，而D由D1与D2合并而成．随机变量(X，Y)在D上服从均匀分布，求关于X、Y的边缘密度fX(χ)、fY(y)．标准答案：易算得D1的面积为，D2的面积为，故D的面积为，∴(X，Y)的概率密度为∴fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy当χ≤0或χ≥1时，fχ(χ)＝0；当0＜χ＜时，fX(χ)＝2dy＝1当≤χ＜1时，fX(χ)＝2dy＋∫χ12dy＝1．而fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ当y≤0或y≥1时，fY(y)＝0；当0＜y＜时，fY(y)＝∫0y2dχ＋2dχ＝1；当≤y＜1时，fY(y)＝2dχ＝1．故知识点解析：暂无解析20、设X与Y独立同分布，P(X＝1)＝P∈(0，1)，P(X＝0)＝1－P，令问P取何值时，X与Z独立?(约定：0为偶数)标准答案：P(Z＝0)＝P(X＋Y＝1)＝P(X＝0，Y＝1)＋P(X＝1，Y＝0)＝2p(1－p)P(Z＝1)＝P(X＋Y＝0)＋P(X＋Y＝1)＝P(X＝0，Y＝0)＋P(X＝1，Y＝1)＝(1－p)2＋P2而P(X＝0，Z＝0)＝P(X＝0，Y＝1)＝P(X＝0)P(Y＝1)＝P(1－p)如果P(X＝0，Z＝0)＝P(X＝0)P(Z＝0)，则须p(1－P)＝(1－p).2p(1－p)解得p＝．不难验算出，p＝时，P(X＝0，Z＝1)＝P(X＝0)P(Z＝1)＝，P(X＝1，Z＝0)＝P(X＝1)P(Z＝0)＝，P(X＝1，Z＝1)＝P(X＝1)P(Z＝1)＝．故知当且仅当P＝时，X与Z独立．知识点解析：暂无解析21、设随机变量X，Y，Z相互独立，都服从指数分布，参数分别为λ1，λ2，λ3(均为正)，求P{X＝min(X，Y，Z)}．标准答案：由已知可得：(X，Y，Z)的概率密度为∴P{X＝min(X，Y，Z)}＝P{X≤Y，X≤Z}＝(χ，y，z)dχdydz＝知识点解析：暂无解析22、设随机变量(X，Y)的概率密度为问X与Y是否独立?｜X｜与｜Y｜是否独立?标准答案：关于X的边缘密度为fX(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy．若｜χ｜≥1，则fX(χ)＝0；若｜χ｜＜1，则fX(χ)＝关于Y的边缘密度为fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ若｜y｜≥1，则fY(y)＝0；若｜y｜＜1，则fY(y)＝即X与Y不独立．而(｜X｜，｜Y｜)的分布函数为F(χ，y)＝P{｜X｜≤χ，｜y｜≤y}当χ≤0或y≤0时，F(χ，y)＝0；当χ≥0，y≥0时，F(χ，y)＝P{－χ≤X≤χ，－y≤Y≤y}＝∫－χχdu∫－yyf(u，v)dv．当χ＞1，y＞1时，F(χ，y)＝∫－11du∫－11dv＝1：当0＜χ≤1，y≥1时，F(χ，y)＝∫－χχdu∫－χχdv＝χ；当χ≥1，0＜y≤1时，F(χ，y)＝∫－11du∫－yydv＝y；当0＜χ＜1，0＜y＜1时，F(χ，y)＝∫－χχdu∫－yydv＝χy．故于是，关于｜X｜的(边缘)分布函数为：而关于｜y｜的(边缘)分布函数为：可见F｜X｜(χ).＝F｜y｜(y)＝F(χ，y)(χ，y)∈R2，即｜X｜与｜Y｜相互独立．知识点解析：暂无解析23、函数F(χ，y)＝是否是某个二维随机变量(X，Y)的分布函数?标准答案：令a＝c＝0，b＝d＝2，则a＜b，c＜d，但F(b，d)－F(a，d)－F(b，f)＋F(a，c)＝1－1－1＋0＝－1＜0，可见F(χ，y)不是随机变量的分布函数．知识点解析：暂无解析24、设X～N(0，1)，当给定X＝χ时，Y～N(ρχ，1－ρ2)，(0＜ρ＜1)求(X，Y)的分布以及给定Y＝y时，X的条件分布．标准答案：由题意，X的概率密度为φ(χ)＝，而已知X＝χ条件下，Y的条件概率密度为f｜Y｜X(y｜χ)＝，故(X，Y)的概率密度为f(χ，y)＝φ(χ)fY｜X(y｜χ)＝，可见(X，Y)服从二维正态分布，且EX＝EY＝0，DX＝DY＝1，(X，Y)的相关系数为ρ．故Y～N(0，1)，Y的概率密度为φ(y)，故Y＝y的条件下X的条件概率密度为fX｜Y(χ｜y)＝y∈R1，χ∈R1．知识点解析：暂无解析25、证明：(1)若随机变量X只取一个值a，则X与任一随机变量Y独立；(2)若随机变量X与自己独立，则存在C，使得P(X＝C)＝1．标准答案：(1)χ＜a时，P(X≤χ)＝0，故P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)＝0；χ≥a时，P(X≤χ)＝1，故P(X≤χ，Y≤y)＝P(Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)．y∈R1即y(χ，y)∈R1，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)，即X与Y独立；(2)由已知得：(χ，y)∈R2，有P(X≤χ，Y≤y)＝P(X≤χ)P(Y≤y)，记X的分布函数为F(χ)，则F(χ)＝P(X≤χ)前式中令y＝χ即得F(χ)＝[F(χ)]2，可见F(z)只能取0或1，又由F(－∞)＝0，F(＋∞)＝1，知必存在C(常数)，使得故P{X＝C}＝1．知识点解析：暂无解析26、设(X，Y)的分布函数为：F(χ，Y)＝A(B＋arctan)(C＋arctan)，－∞＜χ，y＜＋∞求：(1)常数A，B，C；(2)(X，Y)的密度；(3)关于X、Y的边缘密度．标准答案：(1)0＝F(－∞，y)＝A(B－)(C＋arctan)，y∈R1，0＝F(χ，－∞)＝A(B＋arctan)(C－)，χ∈R1，1＝F(＋∞，＋∞)＝A(B＋)(C＋)．上边3式联立可解得A＝，B＝C＝；(2)(X，Y)的概率密度为f(χ，y)＝(3)关于X的边缘分布函数为FX(χ)＝F(χ，＋∞)＝，χ∈R1，关于Y的边缘分布函数为FY(y)＝F(＋∞，y)＝，y∈R1，故关于X的边缘概率密度为fX(χ)＝F′X(χ)＝，χ∈R1，关于Y的边缘概率密度为fY(y)＝F′Y(y)＝，y∈R1．知识点解析：暂无解析27、设X的密度为f(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞求：(1)常数C和X的分布函数F(z)，(2)P(0≤X≤1)及Y＝e－｜X｜的密度fY(y)．标准答案：Y的分布函数为FY(y)＝P{Y≤y}＝P{e－｜X｜≤y}显然，y≤0时，FY(y)＝0，y≥1时，FY(y)＝1，这时fY(y)＝F′Y(y)＝0；当0＜y＜1时，FY(y)＝P{－｜X｜≤lny}＝P{｜X｜≥－lny}＝1－P(lny≤X≤－lny}＝1－∫lny-lnyf(χ)dχ，则fY(y)＝F′Y(y)＝－[f(－lny)(－－f(lny).]＝[f(－lny)＋f(lny)]，注意到f(χ)是一偶函数，故fY(y)＝f(lny)＝即fY(y)＝知识点解析：暂无解析28、某种产品的次品率为0．1，检验员每天独立地检验6次，每次有放回地取10件产品进行检验，若发现其中有次品，则作一次记录(否则不记录)．设X为一天中作记录的次数，写出X的分布列．标准答案：设检验员取出的10件产品中有Y件次品，则Y～B(10，0．1)(即Y服从参数为(10，0．1)的二项分布)，而X～B(6，P)。其中P＝P{Y＞1}＝1－P{Y＝0}－P{Y＝1}＝1－C100.0．10.0．910-0－C101.0．11.0．910-1＝0．2639，故P(X＝k)＝C6k×0．2639k×0．73616-k，k＝0，1，2，…，6．知识点解析：暂无解析29、设X与Y独立且X～N(μ，σ2)，Y服从IX间[－π，π]上的均匀分布，求Z＝X＋Y的密度fZ(z)．标准答案：由题意，X的概率密度为fX(χ)＝，Y的概翠密度为故fZ(z)＝∫－∞＋∞fX(z－y)fY(y)dy＝作代换，(这是y与t的变换)，则知识点解析：暂无解析30、设在时间t(分钟)内，通过某路口的汽车数服从参数为λt的泊松分布．已知1分钟内没有汽车通过的概率为0．2，求在2分钟内有至少1辆汽车通过的概率．标准答案：设t分钟内通过该路口的汽车数为X(t)，则由题意知0．2＝P(X(1)＝0)＝＝e－λ，∴λ＝ln5，故P{X(2)≥1}＝1－P{X(2)＝0}＝1－e－λ.2＝1－e－2ln5＝1－．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，=P(B｜A)，则必有A、P(A｜B)=．B、P(A｜B)≠．C、P(AB)=P(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．标准答案：C知识点解析：由题设条件可知，无论事件A发生与否，事件B发生的概率都相同，即事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，因此可以确认A与B是相互独立的，应该选(C)．2、某射手的命中率为p(0＜P＜1)，该射手连续射击n次才命中k次(k≤n)的概率为A、Pk(1一P)n－k．B、Cnkpk(1一P)n－k．C、Cn－1k－1pk(1一P)n－k．D、Cn－1k－1pk－1(1—p)n－k．标准答案：C知识点解析：n次射击视为n次重复独立试验，每次射击命中概率为P，不中概率为1一P，设事件A=“射击n次才命中k次”=“前n一1次有k一1次击中，且第n次也击中”，则P(A)=Cn－1k－1pk－1(1一P)n－1－(k－1)．P=Cn－1k－1pk(1一p)n－k，应选(C)．3、已知(X，Y)的联合密度函数f(x，y)=g(x)h(y)，其中g(x)≥0，h(y)≥0，a=∫－∞＋∞g(x)dx，b=∫－∞＋∞h(y)dy存在且不为零，则X与Y独立，其密度函数fX(x)，fY(y)分别为A、fX(x)=g(x)，fY(y)=h(y)．B、fX(x)=ag(x)，fY(y)=bh(y)．C、fX(x)=bg(x)，fY(y)=ah(y)．D、fX(x)=g(x)，fY(y)=abh(y)．标准答案：C知识点解析：显然我们需要通过联合密度函数计算边缘密度函数来确定正确选项，由于fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫－∞＋∞g(x)h(y)dy=g(x)∫－∞＋∞h(y)dy=bg(x)，fY(y)=∫－∞＋∞g(x)h(y)dx=ah(y)，又1=∫－∞＋∞∫－∞＋∞f(x，y)dxdy=∫－∞＋∞g(x)dx∫－∞＋∞h(y)dy=ab，所以f(x，y)=g(x)h(y)=abg(x)h(y)=bg(x)ah(y)=fX(x)fY(y)，X与Y独立，故选(C)．4、设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立，根据辛钦大数定律，当n一∞时依概率收敛于其数学期望，只要｛Xn，n≥1｝A、有相同的数学期望．B、有相同的方差．C、服从同一泊松分布．D、服从同一连续型分布，f(x)=(一∞＜x＜+∞)．标准答案：C知识点解析：辛钦大数定律要求：{Xn，n≥1}独立同分布且数学期望存在，选项(A)、(B)缺少同分布条件，选项(D)虽然服从同一分布但期望不存在，因此选(C)．5、设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则A、服从标准正态分布．B、Xi2服从自由度为n—1的χ2分布．C、服从标准正态分布．D、(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布．标准答案：D知识点解析：显然，(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)，其余选项不成立是明显的，对于服从标准正态分布的总体，，由于X1，X2，…，Xn相互独立并且都服从标准正态分布，可见Xi2服从自由度为n的χ2分布．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)6、设随机事件A，B满足条件A∪C=B∪C和C—A=C—B，则=________．标准答案：知识点解析：7、设A、B是两个随机事件，且=________．标准答案：知识点解析：根据乘法公式再应用减法公式8、已知某自动生产线加工出的产品次品率为0．01，检验人员每天检验8次，每次从已生产出的产品中随意取10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为________．(0．9980≈0．4475)标准答案：0.55知识点解析：如果用X表示每天要调整的次数，那么所求的概率为P{每天至少调整设备一次}=P{X≥1}=1—P{X=0}，显然0≤X≤8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么X就是8次试验，事件A=“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此X～B(8，p)，其中p=P(A)，如果用Y表示10件产品中次品数，则Y～B(10，0．01)，p=P(A)=P{Y≥1}=1—P{Y=0}=1一(1—0．01)10=1—0．9910．所求的概率为P{X≥1}=1一P{X=0}=1一(1一p)8=1一0．9980=1—0．4475≈0．55．9、设离散型随机变量X的概率分布为则随机变量Y=3X2一5的概率分布为________．标准答案：知识点解析：由于P{X=一2}=P{Y=3X2—5}=P{Y=3×(一2)2—5}=P{Y=7}=0．1，P{X=一1}=P{Y=一2}=0．2，P{X=0}=P{Y=一5}=0．1，P{X=1}=P{Y=一2}=0．3，P{X=2}=P{Y=7}=0．2，P{X=3}=P{Y=22}=0．1，因此Y可能取值为一5，一2，7，22，其概率分布为P{Y=一5}=0．1，P{Y=一2}=0．2+0．3=0．5，P{Y=7}=0．1+0．2=0．3，P{Y=22}=0．1，于是Y=3X2—5的概率分布为10、已知随机变量X与Y的联合概率分布为又P{X+Y=1}=0．4，则α=________；β=________；P{X＋Y＜1}=________；P{X2＋Y2=1}=__________．标准答案：0．3；0．1；0．4；0．3；知识点解析：由0．1+0．2+α+β+0．1+0．2=1及P{X+Y=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=α+0．1=0．4解得α=0．3，β=0．1，于是P{X+Y＜1}=｛X=i，Y=j｝=P{X=0，Y=一1}+P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=一1}=0．1+0．2+0．1=0．4；P{X2Y2=1}=P{X=1，Y=一1}+P{X=1，Y=1}=0．1+0．2=0．3．11、将一颗骰子连续重复掷4次，以X表示4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P{10＜X＜18}≥________．标准答案：知识点解析：以Xk(k=1，2，3，4)表示第k次掷出的点数，则Xk独立同分布：P=｛Xk=i｝=(i=1，2，…，6)，所以EXk=，DXk=EXk2一(EXk)2=．又由于X=X1+X2+X3+X4，而Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以EX=因此，根据切比雪夫不等式，有P{10＜x＜18}=P{一4＜x一14＜4}=P｛｜x一14｜＜4｝=P{｜X－EX｜＜4}≥1一．12、已知随机变量X1与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，P{X1+X2＞0}=1一e－1，则E(X1+X2)2=_________．标准答案：2知识点解析：已知Xi～P(λi)且相互独立，所以EXi=DXi=λi，i=1，2．E(X1+X2)2=E(X12+2X1X2+X22)=EX12+2EX1EX2+EX22=λ1+λ12+2λ1λ2+λ2+λ22=λ1+λ2+(λ1+λ2)2．为求得最终结果我们需要由已知条件求得λ1+λ2，因为P{X1+X2＞0}=1一P{X1+X2≤0}=1一P{X1+X2=0}=1一P{X1=0，X2=0}=1一P{X1=0}P｛X2=0｝=1一=1一e－1．所以λ1+λ2=1，故E(X1+X2)2=1+1=2．13、设随机试验成功的概率p=0．20，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=_______．标准答案：0．84知识点解析：以X表示“在100次独立重复试验中成功的次数”，则X服从参数为(n，p)的二项分布，其中n=100，p=0．20，且EX=np=20，=4．由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量Un=近似服从标准正态分布N(0，1)，因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率α=P{16≤X≤32}=≈φ(3)一φ(一1)=φ(3)一[1一φ(1)]=0．9987一(1—0．8413)=0．84，其中φ(μ)是标准正态分布函数．14、已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)=________．标准答案：n知识点解析：由χ2分布的典型模式χ2=X12+X22+…+Xn2=，而Xi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以E(χ2)==n．15、假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，为其均值，S为其标准差，如果P{＞μ+aS}=0．95，则参数a=_______．(t0．05(15)=1．7531)标准答案：一0．4383知识点解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故与S2独立，由t分布典型模式得：t=～t(15)，所以=P{t＞4a}=0．95．由此知4a为t(15)分布上0．95分位数，即4a=t0．95(15)=一t1－0．95(15)=一t0．05(15)=一1．7531，a=一0．4383．16、已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，…，X2n是来自总体X容量为2n的简单随机样本，当σ2未知时，Y=(X2i—X2i－1)2的期望为σ2，则C=_______，DY=______．标准答案：知识点解析：通过EY=σ2求得C，为此需先求得X2i—X2i－1分布，由于Xi～N(μ，σ2)，且相互独立，故X2i—X2i－1～N(0，2σ2)，E(X2i—X2i－1)2=D(X2i—X2i－1)+[E(X2i一X2i－1)]2=2σ2．所以由EY=E(X2i—X2i－1)2=Cn2σ2=σ2，解得C=．又～N(0，1)且相互独立，故W=～χ2(n)．Y=C．2σ2．=2Cσ2W，DW=2n，所以DY=4C2．σ4DW=．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)17、已知袋中有3个白球2个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现4次白球为止，试求抽取次数X的概率分布．标准答案：显然X可能取的值为4，5，…，k，…，由于是有放回的取球，因此每次抽取“取到白球”的概率p不变，并且都是p=，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得P{X=4}=P4，P{X=5}=P{前4次抽取取到3个白球1个黑球，第5次取到白球}=C43p3(1一p)4－3P=C43(1一P)P4，同理P{X=6}=C53p3(1一p)5－3P=C53(1一p)5－3P4，P{x=K}=Ck－13(1一p)(k－1)－3P4=Ck－13(1一p)K－4P4(K≥4)，故X的概率分布为P{X=k}=Ck－13(1一p)k－4p4，其中k=4，5，…，且p=．知识点解析：暂无解析18、设随机变量X的分布函数为F(x)=．已知Y=，求｜Y｜的分布函数．标准答案：从X的分布函数F(X)可知：X只取一2，一1与1三个值，其概率分别为0．3，0．3，0．4，因此随机变量，其相应概率分别为0．3，0．3与0．4．因此｜Y｜的分布律为=0．3，｜Y｜的分布函数为F｜Y｜(y)=P{｜Y｜≤y}=知识点解析：显然X是离散型随机变量，Y=也是离散型随机变量，要求｜Y｜的分布函数，应先求｜Y｜的分布律，而Y又是X的函数，因此我们应通过X的分布律求解．已知随机变量X的分布函数FX(x)=(λ＞0)，Y=lnX．19、求Y的概率密度fY(y)；标准答案：由题设知X的概率密度fX(x)=，所以Y的分布函数FY(y)=P{Y≤y}=P{lnX≤Y}(y∈R)．由于P｛X＞1｝=1，故当y≤0时FY(y)=0；当Y＞0时，FY(y)=P｛1＜X＜ey｝=∫1eyλx－λ－1dx=1—e－λy．于是FY(y)=故Y=lnX的概率密度fY(y)=可见，Y服从参数为λ的指数分布．知识点解析：暂无解析20、计算P｛Y≥K｝．标准答案：P｜Y≥k｜=∫k＋∞λe－λydy=e－λk，由于λ＞0，0＜e－λ＜1，故．知识点解析：暂无解析21、设二维离散型随机变量只取(一1，一1)，(一1，0)，(1，一1)，(1，1)四个值，其相应概率分别为．(I)求(X，Y)的联合概率分布；(Ⅱ)求关于X与关于Y的边缘概率分布；(Ⅲ)求在Y=1条件下关于X的条件分布与在X=1条件下关于Y的条件分布．标准答案：(I)依题意，(X，Y)的联合概率分布如下表所示．(Ⅱ)关于X与关于Y的边缘概率分布分别为表中最右一列与最后一行．(Ⅲ)由于，且在Y=1条件下，X只取1，因此关于X的条件概率分布为P{X=1｜Y=1}==1；在X=1条件下，Y取一1和1两个值，其条件概率分布为。知识点解析：暂无解析22、设二维随机变量(X，Y)的分布律为(Ⅰ)求常数a；(Ⅱ)求两个边缘分布律；(Ⅲ)说明X与Y是否独立；(Ⅳ)求3X+4Y的分布律；(Ⅴ)求P{X+Y＞1}．标准答案：(Ⅰ)由1=．(Ⅱ)由(X，Y)的分布律，得所以，两个边缘分布律分别为(Ⅲ)因为P{X=一1，Y=3}=，故X与Y不独立．(Ⅳ)由(X，Y)的分布律，得所以3X+4Y的分布律为(V)由(Ⅳ)可得X+Y的分布律为所以P{X+Y＞1}=P{X+Y=2}+P{X+Y=3}=．知识点解析：先由联合概率分布的性质求出a，再由式(3．2)与(3．3)求X，Y的边缘分布律，然后由列表法求出3X+4Y，X+Y的分布律，从而可解(Ⅳ)与(V)，而由式(3．11)可判断X与Y是否独立．23、设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为p的几何分布，即P{X=m}=pqm－1，m=1，2，…，0＜p＜1，q=1一p，Y服从标准正态分布N(0，1)．求：(Ⅰ)U=X+Y的分布函数；(Ⅱ)V=XY的分布函数．标准答案：(Ⅰ)根据全概率公式有(Ⅱ)知识点解析：暂无解析投篮测试规则为每人最多投三次，投中为止，且第i次投中得分为(4一i)分，i=1，2，3．若三次均未投中不得分，假设某人投篮测试中投篮的平均次数为1．56次．24、求该人投篮的命中率；标准答案：设该投篮人投篮次数为X，投篮得分为Y；每次投篮命中率为P(0＜P＜1)，则X的概率分布为P{X=1}=P，P{X=2}=pq，P{X=3}=q2，EX=P+2pq+3q2=P+2p(1一P)+3(1一P)2=P2一3p+3．依题意P2一3p+3=1．56，即P2一3p+1．44=0．解得P=0．6(P=2．4不合题意，舍去)．知识点解析：暂无解析25、求该人投篮的平均得分．标准答案：Y可以取0，1，2，3四个可能值，且P{Y=0}=q3=0．43=0．064，P{Y=1}=pq2=0．6×0．42=0．096，P{Y=2}=pq=0．6×0．4=0．24，P{Y=3}=P=0．6，于是EY=P｛Y=i｝=2．376(分)．知识点解析：暂无解析26、设随机变量X在区间[一1，1]上服从均匀分布，随机变量(Ⅰ)Y=，试分别求出DY与Cov(X，Y)．标准答案：显然Y是X的函数：Y=g(x)，因此计算DY可以直接应用公式EY=Eg(x)，或用定义计算．(Ⅰ)已知X～f(x)=，则EY=Eg(X)=∫－∞＋∞g(x)f(x)dx=∫－∞0(一1)f(x)dx+∫0＋∞f(x)dx=∫－10dx=0，EY2=Eg2(X)=∫－∞＋∞g2(x)f(x)dx=∫－∞＋∞f(x)dx=1，故DY=EY2一(EY)2=1—0=1．或者EY=1×P{Y=1}+0×P{Y=0}+(一1)×P{Y=一1}=P｛X＞0｝－P{X＜0}=∫01dx=0，又Y2=所以DY=EY2一(EY)2=EY2=P{X≠0}=P{X＞0}+P{X＜0}=1，cov(X，Y)=EXY—EXEY=EXY=∫－∞＋∞xg(x)f(x)dx=∫－10．(Ⅱ)知识点解析：暂无解析设总体X～N(0，σ2)，参数σ＞0未知，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本(n＞1)，令估计量27、求的数学期望；标准答案：由于X1，X2，…，Xn相互独立且与总体x同分布，故EXi=0，DXi=σ2，，知识点解析：暂无解析28、求方差．标准答案：根据抽样分布有关结论知再由χ2分布随机变量的方差公式有：Y～χ2(n)，则DY=2n．所以知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设随机事件A，B，C两两独立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，则必有A、C与A—B独立．B、C与A—B不独立．C、A∪C与B∪独立．D、A∪C与B∪不独立．标准答案：D知识点解析：对于(A)，(B)：P[C(A—B)]==P(AC)－P(ABC)=P(A)P(C)一P(ABC)，P(C)P(A—B)=P(C)[P(A)一P(AB)]=P(A)P(C)一P(A)P(B)P(C)．尽管A，B，C两两独立，但未知A，B，C是否相互独立，从而不能判定P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立，故(A)，(B)均不正确．与题设P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)矛盾，因此排除(C)，选(D)．2、设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量｜X｜的概率密度f1(x)为A、f1(x)=[f(x)+f(一x)]．B、f1(x)=f(x)+f(一x)．C、f1(x)=D、f1(x)=标准答案：D知识点解析：设X的分布函数为F(x)，｜X｜的分布函数为F1(x)，则当x≤0时，F1(x)=P{｜X｜≤x}=0，从而f1(x)=0；当x＞0时，F1(x)=P{｜X｜≤x}=P{一x≤X≤x}=∫－xxf(x)dx=F(x)一F(一x)，从而有f1(x)=f(x)+f(一x)．由上分析可知，应选(D)．3、已知X，Y的概率分布分别为P{X=1}=P{X=0}=，则P{X=Y}=A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：本题考查联合分布与边缘分布的关系，由题设知P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=，又已知X，Y的分布，从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X，Y)的概率分布所以，P{X=Y}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=，故选(C)．4、假设随机变量X1，X2，…相互独立且服从同参数λ的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比夫大数定律条件的是A、X1，X2，…，Xn，…B、X1+1，X2+2，…，Xn+n，…C、X1，2X2，…，nXn，…D、X1，X2，…，Xn，…标准答案：C知识点解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的，显然无论是X1，…，Xn，…，还是X1+1，X2+2，…，Xn+n，…；X1，2X2，…，nXn，…以及X1，，…都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在，由于EXn=λ，DXn=λ，E(Xn+n)=λ+n，D(Xn+n)=λ，E(nXn)=nλ，D(nXn)=n2λ，，因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差DX1，…，DXn…有公共上界，即DXn＜c，c是与n无关的常数，对于(A)：DXn=λ＜λ+1；对于(B)：D(Xn+n)=DXn=λ＜λ+1；对于(C)：(nXn)=n2DXn=n2λ没有公共上界；对于(D)＜λ+1。综上分析，只有(C)中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)．5、设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P｛X＞Fα(3，4)｝=α，若P｛X≤x}=1一α，则x=A、．B、．C、Fα(4，3)．D、F1－α(4，3)．标准答案：A知识点解析：由P{X≤x}=1一α可知，P{X＞x}=α，即x=Fα(3，4)，又由F1－α(n1,n2)=，故选(A)．6、设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)，若已知P{｜X｜＞x}=b(b＞0)，则x等于A、t1－b．B、．C、tb．D、．标准答案：D知识点解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0，从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=1－．根据题设定义P{X≤tα}=1一α，可知x=，应选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、已知，则X=_________．标准答案：知识点解析：事件的运算性质，可得8、若在区间(0，1)上随机地取两个数μ，ν，则关于x的一元二次方程x2一2νx+μ=0有实根的概率是________．标准答案：知识点解析：设事件A表示“方程x2—2νx+μ=0有实根”，因μ，ν是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(μ，ν)与正方形区域D内的点一一对应，其中D={(μ，ν)｜0＜μ＜1，0＜ν＜1}．事件A={(μ，ν)｜(2ν)2一4μ≥0，(μ，ν)∈D}，有利于事件A的样本点区域为图1．2中阴影部分D1，其中D1={(μ，ν)｜ν2≥μ，0＜μ，ν＜1}．依几何型概率公式，有P(A)=．9、甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜，设甲、乙每次投篮的命中率分别是P与0．5，则P=________时，甲、乙胜负概率相同．标准答案：知识点解析：记事件Ai表示甲在总投篮次数中第i次投中，i=1，4，7，10，…．事件Bj表示乙在总投篮次数中第i次投中，j=2，3，5，6，8，9．…．记事件A，B分别表示甲、乙取胜，事件A可以表示为下列互不相容的事件之和，即A=A1∪，又A中每项中的各事件相互独立，因此有=P+0．52(1一p)p+0．54(1一P)2P+…=P+0．25(1一p)p+[0．25(1一p)]2P+…这是一个公比q=0．25(1一P)的几何级数求和问题，由于0＜0．25(1一P)＜1，该级数收敛，且P(A)=．若要甲、乙胜率相同，则P(A)=P(B)=0．5，即．按这种游戏规则，只有当P=时，甲、乙胜负概率相同．10、设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y一N(一3，4)，则随机变量Z=一2X+3Y+5的概率密度为f(z)=________．标准答案：知识点解析：因为两个相互独立的正态随机变量的线性函数仍然服从正态分布，所以Z=一2X+3Y+5服从正态分布，要求f(z)=，则需确定参数μ与σ的值，又E(Z)=μ，D(Z)=σ2，因此归结为求E(Z)与D(Z)，根据数学期望和方差的性质及E(X)=1，D(X)=2，E(Y)=一3，D(Y)=4，可得E(Z)=E(一2X+3Y+5)=一2E(X)+3E(Y)+5=(一2)×1+3×(一3)+5=一6，D(Z)=D(一2X+3Y+5)=(一2)2D(X)+32D(Y)=4×2+9×4=44．因此Z的概率密度为f(z)=，z∈R．11、已知随机变量X与Y的相关系数ρ=，则根据切比雪夫不等式有估计式P{｜X一Y｜≥}≤________．标准答案：知识点解析：由于E(X—Y)=EX—EY=0。12、设随机变量序列X1，…，Xn，…相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，则=_______(结果用标准正态分布函数φ(x)表示)．标准答案：知识点解析：由于Xn相互独立且都在(一1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DXn=，根据独立同分布中心极限定理，对任意x∈R有13、已知总体X服从参数为λ的泊松分布，X1，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，其均值为+(2—3a)S2的期望为λ，则a=_______．标准答案：知识点解析：直接由+(2—3a)ES2=aλ+(2—3a)λ=(2—2a)λ=λ，解得a=．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)14、设随机变量X的分布函数为求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(x)．标准答案：P{0．4＜X≤1．3}=F(1．3)一F(0．4)=(1．3—0．5)一=0．6，P{X＞0．5}=1一P｛X≤0．5｝=1一F(0．5)=1一=0．75，P{1．7＜X≤2}=F(2)一F(1．7)=1—1=0；f(x)=知识点解析：暂无解析15、已知随机变量X的概率分布为且P{X≥2}=，求未知参数θ及X的分布函数F(x)．标准答案：由P{X≥2}=1一P{X=1}=1一θ2=，又P{X=2}=20(1—θ)≥0，θ=，从而得X的概率分布于是X的分布函数F(x)=P{X≤x}=知识点解析：暂无解析设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每个球随机地放人四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码．16、求X的分布律；标准答案：用古典型概率求X的分布律．样本空间样本点总数为43=64，事件{X=1}表示“1号盒中有球”，分1号盒中有1个球、2个球和3个球三种情况，所含样本点个数为m1=C31．32+C32．3+C33=37，事件{X=2}表示“1号盒中尤球，2号盒中有球”，同样分盒中有1个、2个、3个球三种情况，所含样本点数为m2=C31．22+C32．2+C33=19，事件{X=3}表示“1号、2号盒中无球，3号盒中有球”，所含样本点数，m3=C31+C32+C33=7，事件{X=4}表示“3个球全落入4号盒中”，样本点数m4=1，故知识点解析：暂无解析17、若当X=k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求P{y≤2}．标准答案：由于当x=k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，故P{Y≤2｜X=1}=P{Y≤2｜X=2}=1，P{Y≤2｜X=3}=，P{Y≤2｜X=4}=．由全概率公式即得知识点解析：暂无解析18、假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e－5=0．007)．标准答案：记事件A=“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19．6”=“100次独立测量中，事件{｜X｜＞19．6}至少发生3次”，依题意，所求α=P(A)，如果记事件C={｜X｜＞19．6}，Y表示100次独立测量中事件C发生的次数，则事件A={Y≥3}，Y～B(100，p)，其中p=P(C)．p=P(C)=P{｜X｜＞19．6}=1—P{｜X｜≤19．6}=1一P{一19．6≤X≤19．6}=1一=2[1一φ(1．96)]=2×0．025=0．05，因此所求的概率α=P(A)=P{Y≥3}=1一P{Y＜3}=1—P{Y=0}一P{Y=1}一P{Y=2}，其中P{Y=k}=C100kPk(1一p)100－k=C100k×0．05k×0．95100－k．由于n=100充分大，p=0．05很小，np=100×0．05=5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为Y近似服从参数为5的泊松分布，因此P{Y=k}≈e－λ，其中λ=np=5，于是α≈1－e－5－5e－5－e－5=1－18．5e－5=0．87．知识点解析：暂无解析19、设(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)=其中参数λ＞0，试求X与Y的边缘分布函数．标准答案：当x＞0时，FX(x)=P{X≤x}=F(x，+∞)=1一e－x；当x≤0时，FX(x)=0，因此关于X的边缘分布函数为｛｛FX(x)=类似地，关于Y的边缘分布函数为FY(y)=知识点解析：暂无解析20、设随机变量，且P{｜X｜≠｜Y｜}=1．(I)求X与Y的联合分布律，并讨论X与Y的独立性；(Ⅱ)令U=X+Y，V=X—Y，讨论U与V的独立性．标准答案：(Ⅰ)由P{｜X｜}≠｜Y｜}=1知，P{｜X｜=｜Y｜}=0．由此可得X与Y的联合分布律为因为P{X=一1，Y=一1}≠P{X=一1}P{Y=一1}，所以X与Y不独立．(Ⅱ)由(X，Y)的联合分布律知U，V的取值均为一1，1，且P{U=V=一1}=P{X=一1，Y=0}=，P{U=一1，V=1}=P{X=0，Y=一1}=，P{U=1，V=一1}=P{X=0，Y=1}=，P{U=V=1}=P{X=1，Y=0}=，故U与V的联合分布律与边缘分布律为可验证U与V独立．知识点解析：暂无解析21、已知随机变量X，Y的概率分布分别为P{X=一1}=，并且P{X+Y=1}=1，求：(Ⅰ)(X，Y)的联合分布；(Ⅱ)X与Y是否独立?为什么?标准答案：首先由边缘分布及条件求得联合分布，进而判断是否独立．(Ⅰ)由题设P{X+Y=1}=1，即P{X=一1，Y=2}+P{X=0，Y=1}+P{X=1，Y=0}=1，故其余分布值均为零，即P{X=一1，Y=0}=P{X=一1，Y=1}=P{X=0，Y=0}=P{X=0，Y=2}=P{X=1，Y=1}=P{X=1，Y=2}=0，由此可求得联合分布为(Ⅱ)因为P{X=一1，Y=0}=0≠P{X=一1}P{Y=0}=，故X与Y不独立．知识点解析：暂无解析22、已知随机变量X服从参数为1的指数分布，Y服从标准正态分布，X与Y独立，现对X进行n次独立重复观察，用Z表示观察值大于2的次数，求T=Y+Z的分布函数FT(t)．标准答案：由题意知Z～B(n，p)，其中p=P{X＞2}=∫2＋∞e－Xdx=e－2，即Z～B(n，e－2)，又X与Y独立，故Y与Z独立，Z为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得T=Y+Z的分布函数FT(t)，事实上，由于{Z=k}=Ω，所以，根据全概率公式可得其中p=e－2，t∈R．知识点解析：暂无解析汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车A，B，C同时进入该加油站，假设A、B首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车C加油，假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为A的指数分布．23、第三辆车C在加油站等待加油时间T的概率密度；标准答案：首先我们需要求出T、S与各辆车加油时间Xi(i=1，2，3)之间的关系，假设第i辆车加油时间为Xi(i=1，2，3)，则Xi独立同分布，且概率密度都为fi(x)=依题意，第三辆车C在加油站等待加油时间T=min(X1，X2)，度过时间=等待时间+加油时间，即S=T+X3=min(X1，X2)+X3．由于T=min(X1，X2)，其中X1与X2独立，所以T的分布函数FT(t)=P{min(X1，X2)≤t}=1一P{min(X1，X2)＞t}=1－P｛X1＞t｝P{X2＞t}=T的密度函数fT(t)=即T=min(X1，X2)服从参数为2λ的指数分布．知识点解析：暂无解析24、求第三辆车C在加油站度过时间S的概率密度．标准答案：S=T+X3=min(X1，X2)+X3，T与X3独立且已知其概率密度，由卷积公式求得S的概率密度为fS(s)=∫－∞＋∞fT(t)f3(s一t)dt=∫0＋∞2λe－2λtf3(s一t)dt∫s－∞2λe－2λ(s－x)f3(x)d(一x)=∫－∞s2λe－2λs．e2λxf3(x)dx知识点解析：暂无解析25、已知随机变量X的概率密度为f(x)=Aex(B－x)(一∞＜x＜+∞)，且E(X)=2D(X)，试求：(Ⅰ)常数A，B之值；(Ⅱ)E(X2+eX)；(Ⅲ)Y=｜(X—1)｜的分布函数F(y)．标准答案：(I)(Ⅱ)E(X2+eX)=E(X2)+E(eX)，而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=，所以E(X2+eX)=．(Ⅲ)由于X～．显然，当y＜0时，F(y)=0；当y≥0时，其中φ(y)为标准正态分布的分布函数．知识点解析：f(x)=Aex(B－x)=，可以将f(x)看成正态分布的概率密度函数．假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克．求：26、100个螺丝钉一袋的重量超过5．1千克的概率；标准答案：假设Xi表示袋中第i颗螺丝钉的重量，i=1，…，100，则X1，…，X100相互独立同分布，EXi=50，DXi=52，记一袋螺丝钉的重量为S100，则S100=Xi，ES100=5000，DS100=2500．应用列维-林德伯格中心极限定理可知S100近似服从正态分布N(5000，502)，且P{S100＞5100}=1一P{S100≤5100}=1一≈1一φ(2)=0．02275．知识点解析：暂无解析27、每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4％的重量超过5．1千克的概率．标准答案：设500袋中重量超过5．1千克的袋数为Y，则Y服从参数n=500，p=0．02275的二项分布．EY=11．375，DY=11．116，应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，可知Y近似服从参数μ=11．375，σ2=11．116的正态分布，于是≈φ(2．59)=0．995．知识点解析：暂无解析28、已知总体X的数学期望EX=μ，方差DX=σ2，X1，X2，…，X2n是来自总体X容量为2n的简单随机样本，样本均值为，求EY．标准答案：由于总体分布未知，我们只好将Y化简，应用数字特征性质计算EY，由于又EXi=μ，DXi=σ2，EXi2=σ2＋μ2，，所以EY==2nσ2＋2nμ2＋2nμ2－2σ2－4nμ2=2(n－1)σ2．知识点解析：暂无解析考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、已知A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，且A3=E，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：故P200=(P2)100=又A100=A3×33+1=(A3)33.A=E.A=A．2、已知n阶矩阵A和n阶矩阵B等价，则必有()A、A+E和B+E等价B、A2和B2等价C、AB和BA等价D、-2A和3B等价标准答案：D知识点解析：因为n阶矩阵A和B等价，故r(A)=r(B).因为r(A)=r(-2A)=r(B)=r(3B)，故-2A和3B等价，应选(D)．取r(A)=r(B)=2，但r(A+E)=1≠r(B+E)=2，所以A+E和B+E不等价，故(A)不成立．取．r(A)=r(B)=1，但r(A2)=1≠r(B2)=0，所以A2和B2不等价，故(B)不成立．取，r(A)=r(B)=1，但r(AB)==0≠r(BA)=所以AB和BA不等价，故(C)不成立．3、设A为n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解，则()A、A*x=0的解均是Ax=0的解B、Ax=0的解均是A*x=0的解C、Ax=0与A*x=0无非零公共解D、Ax=0与A*x=0仅有两个非零公共解标准答案：B知识点解析：因为齐次线性方程组Ax=0有两个线性无关的解向量，所以方程组Ax=0的基础解系所含向量个数n一r(A)≥2，于是r(A)≤n一2，由此得知A*=O．任意n维列向量均是方程组A*x=0的解．因此方程组Ax=0的解均是A*x=0的解，选项(B)是正确的．选项(A)显然不对．对于选项(C)，(D)，由于方程组Ax=0的基础解系至少含有两个解向量，故Ax=0有无穷多个非零解，与A*x=0的公共解中也有无穷多个非零解．显然(C)，(D)不正确．4、设二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+x3)2+[-x1+(a-4)x2+2x3]2+(2x1+x2+ax3)2正定，则参数a的取值范围是()A、a=2B、a=一7C、a＞0D、a可任意标准答案：D知识点解析：f(x1，x2，x3)已是平方和，故f(x1，x2，x3)≥0．又则方程组(*)的系数行列式对任意a成立，故对任意a，(*)式有唯一零解．故对任意的x≠0，有f(x1，x2，x3)=xTAx＞0，f正定，故应选(D)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、设n阶行列式|An×n|=a，将A的每一列减去其余各列的行列式记成|B|，则|B|=_______．标准答案：(2一n)2n-1a知识点解析：由题设知，若|A|=|α1，α2，…，αn|=a，则6、设A，B，C均是3阶矩阵，满足AB=B2一BC，其中则A5=________标准答案：知识点解析：因|B|==1≠0，故B可逆，则由AB=B2一BC=B(B—C)，得A=B(B-C)B-1，于是A5=B(B-C)B-1B(B—C)B-1…B(B—C)B-1=B(B—C)5B-1，7、设A是2阶矩阵，有特征值λ1=1，λ2=2，B=A2一3A—E，则B=kE，其中k=_______．标准答案：一3知识点解析：因为A是2阶矩阵，有两个不同的特征值λ1=1，λ2=2，故存在可逆矩阵P，使得P-1AP=A=，故A=PAP-1．因此kE=B=A2—3A—E=(PAP-1)2一3PAP-1一PP-1故k=-3．或kE=B=A2一3A—E=(A—E)(A一2E)-3E=(PAP-1一PP-1)(PAP-1—2PP-1)一3E=P(A—E)(A一2E)P-1-3E故k=一3．8、设实二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换化成的标准形为f=2y12-y22一y32，A*是A的伴随矩阵，且向量α=[1，1，一1]T满足A*α=α，则二次型f(x1，x2，x3)=______．标准答案：2x1x2-2x1x3-2x2x3知识点解析：由于A的特征值为2，一1，一1，所以|A|=2×(-1)×(-1)=2．对A*α=α两端左边乘A，并利用AA*=|A|E得Aα=2α，则α是A的对应于特征值2的特征向量．取α2=[0，1，1]T，α3=[-2，1，-1]T，则α，α2，α3两两正交，将它们分别单位化有令Q=[q1，q2，q3]，即Q为正交矩阵，且所以二次型f(x1，x2，x3)=2x1x2-2x1x2-2x2x3．三、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)9、设线性方程组则λ为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解．标准答案：方程组是齐次线性方程组故当λ≠一2且λ≠2时，有唯一零解；当λ=2时，有无穷多解，其解为k1[1，一1，0，0]T+k2[1，0，一1，0]T+k3[1，0，0，-1]T，k1，k2，k3为任意常数；当λ=一2时，方程为有通解k[1，1，1，1]T，k为任意常数．知识点解析：暂无解析10、已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．标准答案：方程组(I)的通解为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3=其中k1，k2，k3是任意常数．代入添加的两个方程，得得解：η1=[2，一3，0]T，η2=[0，1，-1]T，故方程组(Ⅱ)的基础解系为ζ1=2ξ1—3ξ2=[一4，-3，2，5]T，ζ2=ξ2-ξ3=[2，一1，一1，0]T．知识点解析：暂无解析11、已知线性方程组(I)及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，0，1]T．求方程组(I)和(Ⅱ)的公共解．标准答案：方程组(Ⅱ)的通解为k1ξ1+k2ξ2=k1[-3，7，2，0]T+k2[-1，一2，0，1]T=[-3k1一k2，7k1-2k2，2k1，k2]T，其中k1，k2是任意常数．将该通解代入方程组(I)得，3(-3k1-k2)一(7k1-2k2)+8(2k1)+k2=一16k1+16k1—3k2+3k2=0，(一3k1-k2)+3(7k1-2k2)一9(2k1)+7k2=一21k1+21k1—7k2+7k2=0，即方程组(Ⅱ)的通解均满足方程组(I)，故(Ⅱ)的通解k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T即是方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．知识点解析：暂无解析12、已知线性方程组问：(1)a，b为何值时，方程组有解；(2)方程组有解时，求出方程组的导出组的基础解系；(3)方程组有解时，求出方程组的全部解．标准答案：(1)a=1，b=3时，r(A)=r([A|b])，方程组有解．(2)导出组基础解系为：ξ1=[1，一2，1，0，0]T，ξ2=[1，-2，0，1，0]T，ξ3=[5，一6，0．0，1]T．(3)方程组通解：非齐次特解为η=[-2，3，0，0，0]T，故通解为k1ξ1+k2ξ2+k3ξ3+η，其中k1，k2，k3为任意常数．知识点解析：暂无解析13、已知η1=[一3，2，0]T，η2=[一1，0，一2]T是线性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c．标准答案：对应齐次方程组有解ξ=η1-η2=[一2，2，2]T或[一1，1，1]T，即对应齐次方程组至少有一个非零解向量，故又显然应有r(A)=r([A|b])≥2，从而r(A)=r([A|b])=2，故方程组有通解是[一1，1，1]T+[一3，2，0]T，其中k为任意常数，将η1，η2代入第一个方程，得一3a+2b=2，一a一2c=2，解得a=-2-2c，b=-2-3c，c为任意常数，可以验证：当a=-2--2c，b=-2-3c，c任意时，r(A)r([A|b])=2．知识点解析：暂无解析14、已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．标准答案：由α1=2α2一α3及α2，α3，α4线性无关知r(A)=r(α1，α2，α3，α4)=3．且对应齐次方程组AX=0有通解k[1，一2，1，0]T，又β=α1+α2+α3+α4，即[α1，α2，α3，α4]X=β=α1+α2+α3+α4=[α1，α2，α3，α4]故非齐次方程组有特解η=[1，1，1，1]T，故方程组的通解为k[1，一2，1，0]T+[1，1，1，1]T，k为任意常数．知识点解析：暂无解析15、设三元非齐次线性方程组AX=b的系数矩阵A的秩为1，已知η1，η2，η3是它的三个解向量，且η1+η2=[1，2，3]T，η2+η3=[2，一1，1]T，η3+η1=[0，2，0]T，求该非齐次方程的通解．标准答案：因r(A)=1，故AX=b的通解应为k1ξ1+k2ξ2+η，其中对应齐次方程AX=0的解为ξ1=(η1+η2)一(η2+η3)=[-1，3，2]T，ξ2=(η2+η3)一(η3+η1)=[2，一3，1]T．因ξ1，ξ2线性无关，故ξ1，ξ2是AX=0的基础解系．取AX=b的一个特解为故AX=b的通解为k1[一1，3，2]T+k2[2，一3，1]T+[0，1，0]T，k1，k2为任意常数．知识点解析：暂无解析16、设α1，α2，…，αn是n个n维列向量，已知齐次线性方程组α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解，问齐次线性方程组(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0是否有非零解?若没有，说明理由；若有，求出其通解．标准答案：齐次线性方程组α1x1+α2x2+…+αnxn=0只有零解，故其系数矩阵(记为A)的秩r(A)=r(α1，α2，…，αn)=n，则矩阵A是可逆方阵．齐次线性方程组(α1+α2)x1+(α2+α3)x2+…+(αn-1+αn)xn-1+(αn+α1)xn=0(*)的系数矩阵(记为B)和A有如下关系：[α1+α2，α2+α3，…，αn-1+αn，αn+α1]=[α1，α2，…，αn]记为B=AC．因A可逆，故有r(B)=r(C)，而当n=2k+1时，|C|=2≠0，故r(B)=r(C)=n，方程组(*)只有零解．当n=2k时，|C|=0，故r(B)=r(C)＜n，方程组(*)有非零解．当n=2k时，B=AC，A可逆．故Bx=0和Cx=0是同解方程组，故只需求解齐次线性方程组Cx=0即可．对C作初等行变换，将第i行的一1倍加到第i+1行(i=1，2，…，n一1)．知r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0的基础解系为ξ=[1，一1，1，…，1，一1]T，故方程组(*)的通解为cξ=c[1，一1，1，…，1，一1]T，其中c是任意常数．或由C知，C中有n一1阶子式Cn-1≠0，故r(B)=r(C)=2k一1，Bx=0有通解lξ．由观察，因α1+α2一(α2+α3)+…一(α2k+α1)=0，则通解为l[1，一1，1，一1，…，一1]T，其中l是任意常数．知识点解析：暂无解析17、设三元线性方程组有通解求原方程组．标准答案：设非齐次线性方程组为ax1+bx2+cx3=d，由η1=[-1，3，2]T，η2=[2，一3，1]T是对应齐次解，代入对应齐次线性方程得解得a=-9k，b=-5k，c=3k，k是任意常数．又η=[1，一1，3]T是非齐次方程的解，代入得d=一b=5k，故原方程组是9x1+5x2—3x3=一5．知识点解析：暂无解析18、已知方程组(I)及方程组(Ⅱ)的通解为k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[一2，一3，0，0]T．求方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．标准答案：将方程组(Ⅱ)的通解k1[一1，1，1，0]T+k2[2，一1，0，1]T+[-2，一3，0，0]T=[-2-k1+2k2，一3+k1一k2，k1，k2]T代入方程组(I)，得化简得k1=2k2+6．将上述关系式代入(Ⅱ)的通解，得方程组(I)，(Ⅱ)的公共解为[一2一(2k2+6)+2k2，一3+2k2+6-k2，2k2+6,k2]T=[-8，k2+3，2k2+6，k2]T．知识点解析：暂无解析19、已知方程组与方程组是同解方程组，试确定参数a，b，c．标准答案：对方程组(I)，因增广矩阵为故其通解为k[-1，2，一1，1]T+[1，2，一1，0]T=[1-k，2+2k，一1-k，k]T，k为任意常数．将通解代入方程组(Ⅱ)，有解得a=-1，b=-2，c=4．此时，方程组(Ⅱ)的增广矩阵为因r(B)=r([B|β])=3，故方程组(I)和(Ⅱ)是同解方程组．知识点解析：暂无解析20、已知矩阵相似．(1)求x与y；(2)求一个满足P-xAP=B的可逆矩阵P．标准答案：(1)B的特征值为2，y，-1．由A与B相似，则A的特征值为2，y，-1．故(2)分别求出A的对应于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=一1的线性无关的特征向量为令可逆矩阵P=[p1，p2，p3]=则P-1AP=B．知识点解析：暂无解析21、设A，B是n阶方阵，证明：AB，BA有相同的特征值．标准答案：设AB有任一特征值λ，其对应的特征向量为ξ，则ABξ=λξ．①①式两端左边乘B，得BABξ=BA(Bξ)=λ(Bξ)．②若Bξ≠0，②式说明，BA也有特征值λ(其对应的特征向量为Bξ)，若Bξ=0，由①式知λξ=0，又ξ≠0，得AB有特征值λ=0，从而|AB|=0，且|BA|=|B||A|=|A||B|=0，从而BA也有λ=0的特征值．故AB和BA有相同的特征值．知识点解析：暂无解析22、已知n阶矩阵A的每行元素之和为a，当k是自然数时，求Ak的每行元素之和．标准答案：A的每行元素之和为a，故有A[1，1，…,1]T=a[1，1，…，1]T，即a是A的一个特征值．又Ak的特征值为ak，且相应的特征向量相同，即Ak[1，1，…，1]T=ak[1，1，…，1]T，故Ak的每行元素之和为ak．知识点解析：暂无解析23、A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．标准答案：A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1线性无关[λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1]=[ξ1，ξ2，ξ3]秩为3|A|=λ1λ2λ3≠0，A是可逆矩阵(因为ξ1，ξ2，ξ3线性无关