考研数学二（重积分）模拟试卷1（共123题）

考研数学二（重积分）模拟试卷1（共4套）（共123题）考研数学二（重积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设D：χ2＋y2≤16，则｜χ2＋y2－4｜dχdy等于()．A、40πB、80πC、20πD、60π标准答案：B知识点解析：｜χ2＋y2－4｜dχdy＝∫02πdθd∫04｜r2－4｜rdr＝2π∫04｜r2－4｜rdr2π[∫024(4－r2)rdr＋∫24(r2－4)rdr]＝80π，故选B．2、设D是χOy平面上以(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(χy＋cosχsiny)dσ等于()．A、2cosχsinydχdyB、2χydχdyC、4(χy＋cosχsiny)dχdyD、0标准答案：A知识点解析：令A(1，1)，B(0，1)，C(－1，1)，D(－1，0)，E(－1，－1)，记△OAB，△OBC，△OCD、△ODE所在的区域分别记为D1，D2，D3，D4，(χy＋cosχsiny)dσ＝()(χy＋cosχsiny)dσ，根据对称性，故选A．3、设平面区域D：1≤χ2＋y2≤4，f(χ，y)是区域D上的连续函数，则等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]标准答案：A知识点解析：＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr故选A．4、设χ2＋y2≤2ay(a＞0)，则f(χ，y)dχdy在极坐标下的累次积分为()．A、f(rcosθ，rsinθ)rdrB、f(rcosθ，rsinθ)rdrC、f(rcosθ，rsinθ)rdrD、f(rcosθ，rsinθ)rdr标准答案：B知识点解析：今其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(χ，y)dχdy＝f(rcosθ，rsinθ)rdr故选B．5、极坐标下的累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：χ2＋y2≤2χ(y≥0)，则D＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤}，选D．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、(χ2＋χy－χ)dχdy＝_______，其中D由直线y＝χ，y＝2χ及χ＝1围成．标准答案：知识点解析：7、(｜χ｜＋χ2y)dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：其中D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1－χ}，8、＝_______．标准答案：sin1知识点解析：改变积分次序得9、设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝χy＋(χ，y)dσ，其中D由y＝0，y＝χ2及χ＝1围成，则f(χ，y)＝_______．标准答案：χy＋知识点解析：令(χ，y)dσ－k，则f(χ，y)＝χy＋k，两边在D上积分得f(χ，y)dσ＝(χy＋k)dσ，即k＝(χ＋k)dy，解得k＝，所以f(χ，y)＝χy＋．10、设f(χ，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)＝f(χ，y)dσ，则＝_______．标准答案：2πf(0，0)知识点解析：F(t)＝f(χ，y)dσ＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，D：χ2＋y2≤t2．11、＝_______．标准答案：知识点解析：12、设D：χ2＋y2≤R2，则＝_______．标准答案：知识点解析：13、设f(χ)在[0，1]上连续，且∫01f(χ)dχ＝A，则∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝_______．标准答案：知识点解析：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，则∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝∫01f(χ)[F(1)－F(χ)]dχ＝F(1)∫01f(χ)dχ－∫01F(χ)dF(χ)＝三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)14、改变积分次序标准答案：因为D＝{(χ，y)｜a－≤χ≤y，0≤y≤a}，所以知识点解析：暂无解析15、改变积分次序标准答案：D＝{(χ，y)｜0≤χ≤，χ2≤y≤χ}，则知识点解析：暂无解析16、改变积分次序f(χ，y)dy(a＞0)．。标准答案：D1＝{(χ，y)｜a－≤χ≤a＋，－a≤y≤0}，D2＝{(χ，y)｜≤χ≤2a，0≤y≤2a}，则知识点解析：暂无解析17、改变积分次序并计算标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析18、计算标准答案：令D1＝{(χ，y)｜1≤χ≤2，≤y≤χ}，D2＝{(χ，y)｜2≤χ≤4，≤y≤2}，D1＋D2＝D＝{(χ，y)｜1≤y≤2，y≤χ≤y2}，则知识点解析：暂无解析19、计算标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析20、把二重积(χ，y)dχdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线χ＋y＝1，χ＝1，y＝1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析21、把(χ，y)dχdy写成极坐标的累次积分，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ}．标准答案：D＝{(r，θ)｜0≤θ≤，0≤r≤secθ}，则知识点解析：暂无解析22、设f(χ)连续，f(0)＝1，令F(t)＝f(χ2＋y2)dχdy(t≥o)，求F〞(0)．标准答案：令χ＝rcosθ，y＝rsinθ，则F(t)＝∫02πdθ∫0trf(r)dr＝2π∫0trf(r)dr，因为f(χ)连续，所以F′(t)＝2πtf(t2)且F′(0)＝0，于是F〞(0)＝＝2πf(0)＝2π．知识点解析：暂无解析23、计算I＝ydχdy，其中D由曲线＝1及χ轴和y轴围成，其中a＞0，b＞0．标准答案：令t＝1－，则χ＝a(1－t)2，dχ＝－2a(1－t)dt，于是I＝知识点解析：暂无解析24、设D是由点0(0，0)，A(1，2)及B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算χdχdy．标准答案：将区域向χ轴投影，令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，≤y≤2χ}，D2＝{(χ，y)｜1≤χ≤2，≤y≤3－χ}，则知识点解析：暂无解析25、求I＝dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析26、求I＝｜cos(χ＋y)｜dχdy，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤，0≤y≤}．标准答案：直线χ＋y＝将区域D分为D1，D2，其中D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤，0≤y≤－χ}，D2＝{(χ，y)｜0≤χ≤，－χ≤y≤}，故I＝｜cos(χ＋y)｜dχdy－π－2．知识点解析：暂无解析27、计算二重积分(χ＋y)dχdy，其中D：χ2＋y2≤χ＋y＋1．标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算(a＞0)，其中D是由曲线y＝－a＋和直线y＝－χ所围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析29、计算I＝y2dσ，其中D由χ＝－2，y＝2，χ轴及曲线χ＝－围成．标准答案：知识点解析：暂无解析30、计算(χ＋y)2dχdy，其中D：ay≤χ2＋y2≤2ay(a＞0)．标准答案：(χ＋y)2dχdy＝(χ2＋2χy＋y2)dχdy－(χ2＋y2)dχdy．令(0≤θ≤π，asinθ≤r≤2asinθ)，则知识点解析：暂无解析31、计χy(χ＋y)dσ，其中D是由χ2－y2＝1及y＝0，y＝1围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析32、计算(3χy＋y2)曲，其中D由y＝χ2，y＝4χ2及y＝1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析33、设f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜a≤χ＋y≤b}(0＜a＜b)．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤a，a－χ≤y≤b－χ}，D2＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，0≤y≤b－χ}，则f(χ，y)dχdy＝∫0ae－χdχ∫a-χb-χe－ydy＋∫abe－χdχ∫0b-χe－ydy＝∫0ae－χ(eχ-a－eχ-b)dχ＋∫abe－χ(1－eχ-b)dχ＝(a＋1)(e－a－e－b)－(b－a)e－b．知识点解析：暂无解析34、求，其中D：χ2＋y2≤π2．标准答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，则知识点解析：暂无解析35、求标准答案：知识点解析：暂无解析36、求(χ2－2y)dχdy．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析考研数学二（重积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设χ2＋y2≤2ay(a＞0)，则(χ，y)dχdy在极坐标下的累次积分为()．A、f(rcosθ，rsinθ)rdrB、f(rcosθ，rsinθ)rdrC、f(rcosθ，rsinθ)rdrD、f(rcsoθ，rsinθ)rdr标准答案：B知识点解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(χ，y)dχdy＝∫dθ∫f(rcosθ，rsinθ)rdr，选B．2、极坐标下的累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：χ2＋y2≤2χ(y≥0)，则D＝{(χ，y)｜0≤χ≤2，0≤y≤}，选D．3、设区域D由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1围成，若I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy，I2＝(χ＋y)3dχdy，I3＝sin3(χ＋y)dχdy，则()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜32＜I1标准答案：B知识点解析：由≤χ＋y≤1得[ln(χ＋y)]5≤0，于是I1＝[ln(χ＋y)]3*dχdy≤0；当≤χ＋y≤1时，由(χ＋y)2≥sin2(χ＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，应选B．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)4、＝_______．标准答案：sin1知识点解析：改变积分次序得5、设f(χ，y)连续，且f(χ，y)＝χy＋f(χ，y)dσ，其中D由y＝0，y＝χ2及χ＝1围成，则f(χ，y)＝_______．标准答案：χy＋知识点解析：f(χ，y)dσ＝k，则f(χ，y)＝χy＋k，两边在D上积分得f(χ，y)dσ＝(χy＋k)dσ，即k＝∫01dχ(χy＋k)dy，解得k＝，所以f(χ，y)＝χy＋．6、设f(χ，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(f)＝f(χ，y)dσ，则＝_______．标准答案：2πf(0，0)知识点解析：F(t)＝f(χ，y)dσ＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，D：χ2＋y2≤t2．故＝2πf(0，0)．7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、设D：χ2＋y2≤R2，则＝_______．标准答案：知识点解析：9、设f(χ)在[0，1]上连续，且∫01f(χ)dχ＝A，则∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝_______．标准答案：知识点解析：令F(χ)＝∫0χf(t)dt，则∫01f(χ)dχ∫χ1f(y)dy＝∫01f(χ)[F(1)－F(χ)]dχ＝F(1)∫01f(χ)dχ－∫01F(χ)dF(χ)＝F2(1)－．10、计算＝_______．标准答案：知识点解析：改变积分次序得11、计算＝_______．标准答案：1－sin1知识点解析：改变积分次序得＝∫01(1－y)sinydy＝∫01(y－1)d(cosy)＝(y－1)cosy｜01－∫01cosydy＝1－sin1三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)12、计算(χ＋y)2dχdy，其中D：ay≤χ2＋y2≤2ay(a＞0)．标准答案：(χ＋y)2dχdy＝(χ2＋2χy＋y2)dχdy＝(χ2＋y2)dχdy．令(0≤0≤π，asinθ≤r≤2asinθ)，则知识点解析：暂无解析13、计算χy(χ＋y)dσ，其中D是由χ2－y2＝1及y＝0，y＝1围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算(3χy＋y2)dσ，其中D由y＝χ2，y＝4χ2及y＝1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(χ，y)＝求f(χ，y)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜a≤χ＋y≤b}(0＜a＜b)．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤a，a－χ≤y≤b－χ}，D2＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，0≤y≤b－χ}，则f(χ，y)dχdy＝∫0ae－χdχ∫a－χb－χe－ydy＋∫abedχ－χ∫0b-χe－ydy＝∫0ae－χ(eχ－a－eχ－b)dχ＋∫abe－χ(1－eχ－b)dχ＝(a＋1)(e－a－e－b)－(b－a)e－b．知识点解析：暂无解析16、求，其中D：χ2＋y2≤π2．标准答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤π)，则＝∫02πdθ∫0πrcosrdr＝2π∫0πrd(sinr)＝2πrsinr｜0π－2π∫0πsinrd＝－4π．知识点解析：暂无解析17、求标准答案：令(0≤0≤，0≤r≤2acosθ)，则知识点解析：暂无解析18、求(χ2－2y)dχdy．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析19、计算sinχ2cosy2dχdy，其中D：χ2＋y2≤a2(χ≥0，y≥0)．标准答案：由对称性得I＝sinχ2cosy2dχdy－siny2cosχ2dχdy，则得I＝(1－cosa2)．知识点解析：暂无解析20、计算，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}．标准答案：由极坐标法得知识点解析：暂无解析21、计算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4χ，0≤y≤χ}．标准答案：令(0≤θ≤，0≤r≤4cosθ)，则知识点解析：暂无解析22、求max{χy，1}dχdy，其中D＝{(χ，y)｜≤χ≤2，0≤y≤2}．标准答案：令D0＝{(χ，y)｜≤χ≤2，≤y≤2}，则知识点解析：暂无解析23、设D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤}，求｜χ－y｜dχdy．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算(χy2＋χ2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤2y}．标准答案：由奇偶性得(χy2＋χ2)dχdy＝χ2dχdy，令(0≤θ≤π，0≤r≤2sinθ)，则知识点解析：暂无解析25、求如dy，其中D是由L：(0≤t≤2π)与χ轴围成的区域．标准答案：设曲线L的直角坐标形式为y＝y(χ)，则知识点解析：暂无解析26、计算，其中D＝{(χ，y)｜χ＋y≥1，χ2＋y2≤1}．标准答案：由对称性得I＝，则知识点解析：暂无解析考研数学二（重积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设区域D由χ＝0，y＝0，χ＋y＝，χ＋y＝1围成，若I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy，I2＝(χ＋y)3dχdy，I3＝sin3(χ＋y)dχdy，则()．A、I1＞I2＞I3B、I2＞I3＞I1C、I1＜I2＜I3D、I2＜I3＜I1标准答案：B知识点解析：由≤χ＋y≤1得[ln(χ＋y)]3≤0，于是I1＝[ln(χ＋y)]3dχdy≤0；当≤χ＋y≤1时，由(χ＋y)3≥sin3(χ＋y)≥0得I2≥I3≥0，故I2≥I3≥I1，应选B．2、累次积分rf(rcosθ，rsinθ)dr等于()．A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤χ≤1，0≤y≤，选D．3、设D＝{(χ，y)｜0≤χ≤π，0≤y≤π}，则sinχsiny.max{χ，y}dσ等于()A、πB、C、D、标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤π，0≤y≤χ}，故选B．4、设，其中D：χ2＋y2≤a2，则a值为()．A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：解得a＝2，选B．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)5、计算＝_______．标准答案：知识点解析：改变积分次序得6、计算＝_______．标准答案：1－sin1知识点解析：改变积分次序得7、设f(u)连续，则＝_______．标准答案：－χf(χ2－1)知识点解析：8、设f(χ)＝，则∫0πf(χ)dχ＝_______．标准答案：2知识点解析：9、设f(χ)连续，则＝_______．标准答案：知识点解析：10、设f(χ，y)在区域D：χ2＋y2≤t2上连续且f(0，0)＝4，则＝_______．标准答案：8π知识点解析：由当t→0时，t－ln(1＋t)＝t－[t－＋o(t2)]～t2(t→0)，由积分中值定理得f(χ，y)dχdy＝f(ξ，η).πt2，其中(ξ，η)∈D，于是＝2πf(0，0)＝8π．11、设a＞0，f(χ)＝g(χ)＝而D表示整个平面，则I＝f(χ)g(y－χ)dχdy＝_______．标准答案：a2知识点解析：由f(χ)g(y－χ)＝得I＝＝a2．12、设f(χ)＝D为χOy面，则f(y)f(χ＋y)dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)13、计算sinχ2cosy2dχdy，其中D：χ2＋y2≤a2(χ≥0，y≥0)．标准答案：由对称性得I＝sinχ2cosy2dχdy＝siny2cosχ2dχdy，则得I＝(1－cosa2)．知识点解析：暂无解析14、计算其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤1，χ≥0，y≥0}标准答案：由极坐标法得知识点解析：暂无解析15、计算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4χ，0≤y≤χ}．标准答案：知识点解析：暂无解析16、计算标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知f(χ，y)＝，设D为由χ＝0，y＝0及χ＋y＝t所围成的区域，求F(t)＝(χ，y)dχdy．标准答案：当t＜0时，F(t)＝0；当0≤t＜1时，F(t)＝1dχdy＝t2；当1≤t＜2时，F(t)＝f(χ，y)dχdy＝1－(2－t)2；当t≥2时，F(t)＝1，则知识点解析：暂无解析18、设f(χ)连续，且f(0)＝1，令F(t)＝f(χ2＋y2)dχdy(t≥0)，求F〞(0)．标准答案：令(0≤θ≤2π，0≤r≤t)由F(t)＝∫02χdθ∫0trf(r2)dr＝2π∫0trf(r2)dr＝πf(u)du得F′(t)＝2πtf(t2)，F′(0)＝0，知识点解析：暂无解析19、计算二重积分I＝标准答案：I＝，其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，－χ≤y≤－1}令则D＝{(r，t)｜－≤t≤0，0≤r≤－2sint}于是知识点解析：暂无解析20、计算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4，χ2＋y2≥2χ}．标准答案：知识点解析：暂无解析21、计算(χ＋y2)dχdy，其中D：χ2＋y2≤2χ＋2y＝1．标准答案：D：χ2＋y2≤2χ＋2y－1可化为D：(χ－1)2＋(y－1)2≤1，知识点解析：暂无解析22、设f(χ，y)＝且D：χ2＋y2≥2χ，求f(χ，y)dχdy．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜1≤χ≤2，≤y≤χ}，则知识点解析：暂无解析23、计算I＝，其中D＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤2}．标准答案：令D1＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，0≤y≤χ2}，D2＝{(χ，y)｜－1≤χ≤1，χ2≤y≤2}，知识点解析：暂无解析24、计算标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算I＝χydχdy，其中D由y＝－χ，y＝及y＝围成．标准答案：将D分成两部分D1，D2，知识点解析：暂无解析26、计算I＝标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算，其中D为单位圆χ2＋y2＝1所围成的第一象限的部分．标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算二重积分(χ2＋4χ＋y2)dχdy，其中D是曲线(χ2＋y2)2＝a2(χ2－y2)围成的区域．标准答案：根据对称性(χ2＋4χ＋y2)dχdy＝4(χ2＋y2)dχdy，其中D1是D位于第一卦限的区域．知识点解析：暂无解析29、设f(χ)在[a，b]上连续，证明：∫abf(χ)dχ∫χbf(y)dy＝[∫abf(χ)dχ]2．标准答案：令F(χ)＝∫aχf(t)dt，则∫abf(χ)dχ∫χbf(y)dy＝∫abf(χ)[F(b)－F(χ)]dχ＝F(b)∫abf(χ)dχ－∫abf(χ)F(χ)dχ＝F2(b)－∫abF(χ)dF(χ)＝F2(b)－知识点解析：暂无解析30、设f(χ，y)，g(χ，y)在平面有界闭区域D上连续，且g(χ，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得(χ，y)g(χ，y)dσ＝f(ξ，η)g(χ，y)dσ．标准答案：因为f(χ，y)在D上连续，所以f(χ，y)在D上取到最大值M和最小值m，故mg(χ，y)≤f(χ，y)g(χ，y)≤Mg(χ，y)积分得(1)当g(χ，y)dσ＝0时，f(χ，y)g(χ，y)dσ＝0，则对任意的(ξ，η)∈D，有(χ，y)g(χ，y)dσ＝f(ξ，η)(χ，y)dσ(2)当g(χ，y)＞0时，由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得即f(χ，y)g(χ，y)dσ＝f(ξ，η)(χ，y)dσ．知识点解析：暂无解析31、设函数f(χ)∈C[a，b]，且f(χ)＞0，D为区域a≤χ≤b，a≤y≤b．证明：≥(b－a)2．标准答案：因为积分区域关于直线y＝χ对称，所以又因为f(χ)＞0，所以≥2，从而知识点解析：暂无解析32、设f(χ)为连续函数，计算χ[＋yf(χ2＋y2)]dχdy，其中D是由y＝χ3，y＝1，χ＝－1围成的区域．标准答案：设f(χ)的一个原函数为F(χ)，则知识点解析：暂无解析33、交换积分次序并计算(a＞0)．标准答案：知识点解析：暂无解析34、设f(χ)在[0，1]上连续且单调减少，且f(χ)＞0．证明：标准答案：等价于∫01f2(χ)dχ∫01χf(χ)dχ≥∫01f(χ)dχ∫01χf2(χ)dχ，等价于∫01f2(χ)dχ∫01yf(y)dy≥∫01f(χ)dχ∫01yf2(y)dy，或者∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy≥0令I＝∫01dχ∫01yf(χ)f(y)[f(χ)－f(y)]dy，根据对称性，I＝∫01dχ∫01χf(χ)f(y)[f(y)－f(χ)]dy，2I＝∫01d(χ)∫01f(χ)f(y)(y－χ)[f(χ)－f(y)]dy，因为f(χ)＞0且单调减少，所以(y－χ)[f(χ)－f(y)]≥0，于是2I≥0，或I≥0，所以知识点解析：暂无解析35、证明：用二重积分证明标准答案：令D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2，χ≥0，y≥0}，S＝{(χ，y)｜0≤χ≤R，0≤y≤R}，D2一{(χ，y)｜χ2＋y2≤2R2，χ≥0，y≥0}φ(χ，y)＝，因为φ(χ，y)＝≥0且D2D2，令R→＋∞同时注意到＞0，根据迫敛定理得知识点解析：暂无解析考研数学二（重积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设D：χ2＋y2≤16，则｜χ2＋y2－4｜dχdy等于()．A、40nB、80nC、20nD、60n标准答案：B知识点解析：｜χ2＋y2－4｜dχdy＝∫02πdθ∫04｜r2－4｜rdr＝2∫04｜r2－4｜rdr＝2π[∫02(4－r2)rdr＋∫24(r2－4)rdr]＝80π，故选B．2、设D是χOy平面上以(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)为顶点的三角形区域，D1为区域D位于第一象限的部分，则(χy＋cosχsiny)dσ等于()．A、2cosχsinydχdyB、2χydχdyC、4(χycosχsiny)dχdyD、0标准答案：A知识点解析：令A(1，1)，B(0，1)，C(－1，1)，D(－1，0)，E(－1，－1)，记△OAB，△OBC，△OCD、△ODE所在的区域分别记为D1，D2，D3，D4，(χy＋cosχsiny)dσ＝()(χy＋cosχsiny)dσ，根据对称性，()(χy＋cosχsiny)dσ＝()cosχsinydσ＝2cosχsinydσ；()(χy＋cosχsiny)dσ＝0，选A．3、设平面区域D：1≤χ2＋y2≤4，f(χ，y)是区域D上的连续函数，则等于()．A、2π∫12rf(r)drB、2π[∫12rf(r)dr－∫01rf(r)dr]C、2π∫12rf(r2)drD、2π[∫02rf(r2)dr－∫01rf(r2)dr]标准答案：A知识点解析：＝∫02πdθ∫12rf(r)dr＝2π∫12rf(r)dr，选A．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)4、＝_______．标准答案：ln3知识点解析：5、设区域D＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}，则｜y－χ2｜dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：令D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤χ2}，D2＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，χ2≤y≤1}，6、改变积分次序f(χ，y)dy＝_______．标准答案：∫01dy∫0yf(χ，y)dχ＋f(χ，y)dχ知识点解析：暂无解析7、＝_______．标准答案：知识点解析：8、设D由y＝及χ轴围成，f(χ，y)＝χy－(χ，y)dχdy，求f(χ，y)＝_______．标准答案：χy－知识点解析：令A＝f(χ，y)dχdy，则f(χ，y)＝χy－A，积分得A＝，解得A＝χydχdy，令(0≤θ≤，0≤r≤2cosθ)，则故f(χ，y)＝χy－．9、(χ＋χy－χ)dχdy＝_______，其中D由直线y＝χ，y＝2χ及χ＝1围成．标准答案：知识点解析：10、(｜χ｜＋χ2y)dχdy＝_______．标准答案：知识点解析：其中D1＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1－χ}，三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、改变积分次序标准答案：因为D＝{(χ，y)｜a－≤χ≤y，0≤y≤a}，所以知识点解析：暂无解析12、改变积分次序标准答案：D＝{(χ，y)｜0≤χ≤，χ2≤y≤χ}，则知识点解析：暂无解析13、改变积分次序f(χ，y)dy(a＞0)．标准答案：D1＝{(χ，y)｜a－≤χ≤a＋，－a≤y≤0}，D2＝{(χ，y)｜≤χ≤2a，0≤y≤2a}，则知识点解析：暂无解析14、改变积分次序并计算标准答案：改