考研数学二（向量）模拟试卷1（共250题）

考研数学二（向量）模拟试卷1（共9套）（共250题）考研数学二（向量）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性无关，则()．A、α1可由α2，α3线性表示B、α4可由α1，α2，α3线性表示C、α4可由α1，α3线性表示D、α4可由α1，α2线性表示标准答案：A知识点解析：因为α2，α3，α4线性无关，所以α2，α3线性无关，又因为α1，α2，α3线性相关，所以α1可由α2，α3线性表示，选A．2、设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组()．A、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1线性无关B、α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1线性无关C、α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4－α1线性无关D、α1＋α2，α2＋α3，α3－α4，α4－α1线性无关标准答案：C知识点解析：因为－(α1＋α2)＋(α2＋α3)－(α3＋α4)＋(α4＋α1)＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1线性相关；因为(α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α4)＋(α4－α1)＝0，所以α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1线性相关；因为(α1＋α2)－(α2＋α3)＋(α3＋α4)＋(α4＋α1)＝0，所以α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得α1＋α2，α2＋α3，α3＋α4，α4＋α1线性无关，选C．3、向量组α1，α2，…，αm线性无关的充分必要条件是()．A、向量组α1，α2，…，αm，β线性无关B、存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km，使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0C、向量组α1，α2，…，αm的维数大于其个数D、向量组α1，α2，…，αm的任意一个部分向量组线性无关标准答案：D知识点解析：A项不对，因为α1，α2，…，αm，β线性无关可以保证α1，α2，…，αm线性无关，但α1，α2，…，αm线性无关不能保证α1，α2，…，αm，β线性无关；B项不对，因为α1，α2，…，αm线性无关可以保证对任意一组非零常数k1，k2，…，km有k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0，但存在一组不全为零的常数k1，k2，…，km使得k1α1＋k2α2＋…＋kmαm≠0不能保证α1，α2，…，αm线性无关；C项不对，向量组α1，α2，…，αm线性无关不能得到其维数大于其个数，如α1＝，α2＝线性无关，但其维数等于其个数，选D．4、设向量组α1，α2，…，αm线性无关，β1可由α1，α2，…，αm线性表示，但β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，则()．A、α1，α2，…，αm-1，β1线性相关B、α1，α2，…，αm-1，β1，β2线性相关C、α1，α2，…，αm，β1＋β2线性相关D、α1，α2，…，αm，β1＋β2线性无关标准答案：D知识点解析：选项A不对，因为β1可由向量组α1，α2，…，α3线性表示，但不一定能被α1，α2，…，αm-1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关；选项B不对，因为α1，α2，…，αm-1，β1不一定线性相关，β2不一定可由α1，α2，…，αm-1，β1线性表示，所以α1，α2，…，αm-1，β1，β2不一定线性相关；选项C不对，因为β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，而β1可由α1，α2，…，αm线性表示，所以β1＋β2不可由α1，α2，…，αm线性表示，于是α1，α2，…，αm，β1＋β2线性无关，选D．5、设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是()．A、向量组α1，α2，…，αm可由向量组β1，β2，…，βm线性表示B、向量组β1，β2，…，βm可由向量组α1，α2，…，αm线性表示C、向量组α1，α2，…，αm与向量组β1，β2，…，βm等价D、矩阵A＝(α1，α2，…，αm)与矩阵B＝(β1，β2，…，βm)等价标准答案：D知识点解析：因为α1，α2，…，αm线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm的秩为m，向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件是其秩为m，所以选D．6、设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1＋β2一定不可以由向量组α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关，选A．7、设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β2，…，βn)，AB＝(γ1，γ2，…，γn)，记向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αn；(Ⅱ)：β1，β2，…，βn；(Ⅲ)：γ1，γ2，…，γn，若向量组(Ⅲ)线性相关，则()．A、(Ⅰ)，(Ⅱ)都线性相关B、(Ⅰ)线性相关C、(Ⅱ)线性相关D、(Ⅰ)，(Ⅱ)至少有一个线性相关标准答案：D知识点解析：若α1，α2，…，αn线性无关，β1，β2，…，βn线性无关，则r(A)＝n，r(B)＝n，于是r(AB)＝n因为γ1，γ2，…，γn线性相关，所以r(AB)＝r(γ1，γ2，…，γn)＜n，故α1，α2，…，αn，与β1，β2，…，βn至少有一个线性相关，选D．8、设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αs的秩为r1，向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs的秩为r2，且向量组(Ⅱ)可由向量组(Ⅰ)线性表示，则()．A、α1＋β1，α2＋β2，…，αs＋βs的秩为r1＋r2B、向量组α1－β1，α2－β2，…，αs－βs的秩为r1－r2C、向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1＋r2D、向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1标准答案：D知识点解析：因为向量组β1，β2，…，βs可由向量组α1，α2，…，αs线性表示，所以向量组α1，α2，…，αs与向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs等价，选D．9、向量组α1，α2，…，αs线性无关的充要条件是()．A、α1，α2，…，αs都不是零向量B、α1，α2，…，αs中任意两个向量不成比例C、α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示D、α1，α2，…，αs中有一个部分向量组线性无关标准答案：C知识点解析：若向量组α1，α2，…，αs线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若α1，α2，…，αs中任一向量都不可由其余向量线性表示，则α1，α2，…，αs一定线性无关，因为若α1，α2，…，αs线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选C．10、设A为n阶矩阵，且｜A｜＝0，则A()．A、必有一列元素全为零B、必有两行元素对应成比例C、必有一列是其余列向量的线性组合D、任一列都是其余列向量的线性组合标准答案：C知识点解析：因为｜A｜＝0，所以r(A)＜n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选C．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、设线性相关，则a＝_______．标准答案：知识点解析：α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是｜α1，α2，α3｜＝＝0，从而A＝．12、设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3线性相关，则a＝_______．标准答案：5知识点解析：(α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3)(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，而α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－aα3，α2＋α3线性相关，所以解得a＝5．13、设，且α，β，γ两两正交，则a＝_______，b＝_______．标准答案：－4；－13．知识点解析：因为α，β，γ正交，所以解得a＝－4，b＝－13．14、设A＝(α1，α2，α3，α4)为4阶方阵，且AX＝0的通解为X＝k(1，1，2，－3)T，则α2由α1，α3，α4表示的表达式为_______．标准答案：α2＝－α1－2α3＋3α4知识点解析：因为(1，1，2，－3)T为AX＝O的解，所以α*＋α2＋2α3－3α4＝0，故α2＝－α*－2α3＋3α4．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)15、设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3线性无关．标准答案：令k1(α1＋α2＋α3)＋k2(α1＋2α2＋3α3)＋k3(α1＋4α2＋9α3)＝0，即(k1＋k2＋k3)α1＋(k1＋2k2＋4k3)α2＋(k1＋3k2＋9k3)α3＝0，因为α1，α2，α3线性无关，所以有而D＝(i－j)＝2≠0，由克拉默法则得k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3线性无关．知识点解析：暂无解析16、设α1，…，αm，β为m＋1个n维向量，β＝α1＋…＋αm(m＞1)．证明：若α1，…，αm线性无关，则β－α1，…，β－αm线性无关．标准答案：令k1(β－α1)＋…km(β－αm)＝0，即k1(α2＋α3＋…＋αm)＋…＋km(α1＋α2…＋αm-1)＝0或(k2＋k3＋…＋km)α1＋(k1＋k3＋…＋km)α2＋…＋(k1＋k2＋…＋km-1)αm＝0，因为α1，αm线性无关，所以因为＝(－1)m-1(m－1)≠0，所以k1＝…＝km＝0，故β－α1，…，β－αm线性无关．知识点解析：暂无解析17、设α1，α2，…，αn(n≥2)线性无关，证明：当且仅当n为奇数时，α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1线性无关．标准答案：设χ1，χ2，…，χn，使χ1(α1＋α2)＋χ2(α2＋α3)＋…＋χn(αn＋α1)＝0，即(χ1＋χn)α1＋(χ1＋χ2)α2＋…＋(χn-1＋χn)αn＝0，因为α1，α2，…，αn线性无关，所以有该方程组系数行列式Dn＝1＋(－1)n+1，n为奇数Dn≠χ1＝…＝χn＝0α1＋α2，α2＋α3，…，αn＋α1线性无关．知识点解析：暂无解析18、设α1，…，αn为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，…，αn线性相关．标准答案：向量组α1，…，αn线性相关的充分必要条件是方程组χ1α1＋…χnαn＝0有非零解，因为方程组χ1α1＋…＋χnαn＝0中变量有n个，约束条件最多有m个且m＜n，所以方程组χ1α1＋…＋χnαn＝0一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组α1，αn线性相关．知识点解析：暂无解析19、证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关．标准答案：设α1，…，αn为一个向量组，且α1，…，αr(r＜n)线性相关，则存在不全为零的常数k1，…，kr，使得k1α1＋…＋krαr，于是k1α1＋…＋krαr＋0αr+1＋…＋0αn＝0，因为k1，…，kr，0，…，0不全为零，所以α1，…，αn线性相关．知识点解析：暂无解析20、n维列向量组α1，…，αn-1线性无关．且与非零向量β正交．证明：α1，…，αn-1，β线性无关．标准答案：令k0β＋k1α1＋…＋kn-1αn-1＝0，由α1，…，αn-1与非零向量β正交及(β，k0β＋k1α1＋…＋kn-1αn-1)＝0得k0(β，β)＝0，因为β为非零向量，所以(β，β)＝｜β｜2＞0，于是k0＝0，故k1α1＋…＋k-1αn-1＝0，由α1，αn-1线性无关得k1＝…kn-1＝0，于是α1，…，αn-1，β线性无关．知识点解析：暂无解析21、设向量组α1，…，αn为两两正交的非零向量组，证明：α1，…，αn线性无关，举例说明逆命题不成立．标准答案：令走k1α1＋…＋knαn＝0，由α1，…，αn两两正交及(α1，k1α1＋…＋knαn)＝0，得k1(α1，α1)＝0，而(α1，α1)＝｜α1｜2＞0，于是k1＝0，同理可证k2＝…＝kn＝0，故α1，…，αn线性无关．令α1＝，α2＝，显然α1，α2线性无关，但α1，α2不正交．知识点解析：暂无解析22、设A为n×m矩阵，B为m×n矩阵(m×n)，且AB＝E．证明：B的列向量组线性无关．标准答案：首先r(B)≤min{m，n}＝n，由AB＝E得r(AB)＝n，而r(AB)≤r(B)，所以r(B≥n，从而r(B)＝n，于是B；的列向量组线性无关．知识点解析：暂无解析23、设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关．证明：向量γ，可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．标准答案：因为向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm也线性无关，又向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关，所以向量γ可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，从而γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．知识点解析：暂无解析24、设向量组线性相关，但任意两个向量线性无关．求参数t．标准答案：向量组α1，α2，α3线性相关的充分必要条件是｜α1，α2，α3｜＝0，而｜α1，α2，α3｜＝＝(t＋1)(t＋5)，所以t＝－1或者t＝－5，因为任意两个向量线性无关，所以t＝－5．知识点解析：暂无解析25、设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．标准答案：不妨设β≠0，令k1α1＋k2α2＋…＋knαn＋k0β＝0，上式两边左乘βT得k1βTα1＋k2βTα2＋…＋knβTαn＋k0βTβ＝0因为α1，α2，…，αn与β正交，所以k0βTβ＝0，即k0｜β｜2＝0，从而k0＝0，于是k1α1＋k2α2＋…＋knαn＝0，再由α1，α2，…，αn线性无关，得走k1＝k2＝…＝kn＝0，故α1，α2，…，αn，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β＝0．知识点解析：暂无解析26、设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．标准答案：由Aα1＝α1得(A－E)α1＝0；由Aα2＝α1＋α2得(A－E)α2＝α1；由Aα3＝α2＋α3得(A－E)α3＝α2，令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0，(1)(1)两边左乘A－E得k2α1＋k3α2＝0，(2)(2)两边左乘A－E得k3α1＝0，因为α1≠0，所以k3＝0，代入(2)、(1)得k1＝0，k2＝0，故α1，α2，α3线性无关．知识点解析：暂无解析考研数学二（向量）模拟试卷第2套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是()A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关。B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关。C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关。D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关。标准答案：A知识点解析：设α1，α2，…，αs线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，…，ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0。于是k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=0，所以，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，故选A。本题主要考查的是向量组线性相关的概念。题目难度不大，直接用概念逐个验证选项。对于C、D两个选项，当α1，α2，…，αs线性无关时，Aα1，Aα2，…，Aαs未必线性相关，也未必线性无关。例如，当α1=(1，0)T，α2=(0，1)T时，如果A=，则Aα1=0，所以Aα1，Aα2线性相关；如果A=，则Aα1=α1，Aα2=α2，线性无关，因此选项C、D不正确。2、设α1=，则3条直线a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0，i=1，2，3)交于一点的充要条件是()A、α1，α2，α3线性相关。B、α1，α2，α3线性无关。C、R(α1，α2，α3)=R(α1，α2)。D、α1，α2，α3线性相关，α1，α2线性无关。标准答案：D知识点解析：3条直线联立组成方程组将上述方程组写成矩阵形式：A3×2x=b，其中A==(α1，α2)是其系数矩阵，b==—α3。（A）α1，α2，α3线性相关，当α1=α2=α3时，方程组Ax=b的系数矩阵与增广矩阵的秩相等且小于未知量的个数，则方程组有无穷多解，根据解的个数和直线的位置关系可得3条直线重合，A项不成立。（B）α1，α2，α3线性无关，α3不能由α1，α2线性表出，方程组Ax=b的系数矩阵与增广矩阵的秩不相等，方程组无解，根据解的个数与直线的位置关系得出3条直线无公共交点，B项不成立。（C）R(α1，α2，α3)=R(α1，α2)，当R(α1，α2，α3)=R(α1，α2)=1时，3条直线重合，故C项不成立。由排除法可知，故选D。3、设向量组α1=(6，λ+1，7)T，α2=(λ，2，2)T，α3=(λ，1，0)T线性相关，则()A、λ=1或λ=4。B、λ=2或λ=4。C、λ=3或λ=4。D、λ=或λ=4。标准答案：D知识点解析：α1，α2，α3线性相关，故行列式｜(α1，α2，α3)｜==2λ2—5λ—12=0，解得λ=或λ=4，故选D。4、设A，B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有()A、A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。B、A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关。C、A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关。D、A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关。标准答案：A知识点解析：由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关。同理，由AB=O知，BTAT=O，于是有BT的列向量组线性相关，从而B的行向量组线性相关，故选A。5、设α1=，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是()A、α1，α2，α3。B、α1，α2，α4。C、α1，α3，α4。D、α2，α3，α4。标准答案：C知识点解析：由行列式｜(α1，α3，α4)｜==0，可知α1，α3，α4线性相关。可采用相同的方法判断，其他选项的向量组线性无关，故选C。6、设α1，α2，α3是3维向量空间R3的一组基，则由基α1，到基α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由基α1，到α1+α2，α2+α3，α3+α1的过渡矩阵M满足(α1+α2，α2+α3，α3+α1)=，故选A。7、已知4维列向量组α1，α2，α3线性无关，若非零向量βi(i=1，2，3，4)与α1，α2，α3均正交，则R(β1，β2，β3，β4)=()A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：设α1=(a11，a12，a13，a14)T，α2=(a21，a22，a23，a24)T，α3=(a31，a32，a33，a34)T。由题设知，βi与α1，α2，α3均正交，即内积βiTαj=0(i=1，2，3，4；j=1，2，3)，亦即βi(i=1，2，3，4)是齐次方程组的非零解。由于α1，α2，α3线性无关，故系数矩阵的秩为3。所以基础解系中含有4—3=1个解向量。从而R(β1，β2，β3，β4)=1，故选A。8、设α1，α2，…，αn—1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn—1正交，则()A、α1，α2，…，αn—1，β1必线性相关。B、α1，α2，…，αn—1，β1，β2必线性无关。C、β1，β2必线性相关。D、β1，β2必线性无关。标准答案：C知识点解析：由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错；若αi(i=1，2，…，n—1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β1是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β2是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α1，α2，…，αn—1，β1线性无关，β2=2β1，所以A和D两项错误。由排除法，故选C。下证C选项正确：因α1，α2，…，αn—1，β1，β2必线性相关，所以存在n+1个不全为零的数k1，k2，…，kn—1，l1，l2，使k1α1+k2α1+…+kn—1αn—1+l1β1+l2β1=0，又因为α1，α2，…，αn—1线性无关，所以l1，l2一定不全为零，否则α1，α2，…，αn—1线性相关，产生矛盾。在上式两端分别与β1，β2作内积，有(l1β1+l2β2，β1)=0，(1)(l1β1+l2β2，β2)=0，(2)联立两式，l1×(1)+l2×(2)可得(l1β1+l2β2，l1β1+l2β2)=0，从而可得l1β1+l2β2=0，故β1，β2必线性相关。二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、向量组α1=(1，0，1，2)，α2=(0，1，2，1)，α3=(—2，0，—2，—4)，α4=(0，1，0，1)，α5=(0，0，0，—1)，则向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为________。标准答案：4知识点解析：因为以α1，α2，α4，α5构成的行列式=2≠0，故α1，α2，α4，α5线性无关，而向量的维数为4，则α1，α2，α3，α4，α5必线性相关，所以R(α1，α2，α3，α4，α5)=4。10、向量组α1=(1，—2，0，3)T，α2=(2，—5，—3，6)T，α3=(0，1，3，0)T，α4=(2，—1，4，7)T的一个极大线性无关组是________。标准答案：α1，α2，α4知识点解析：用已知向量组构成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有(α1，α2，α3，α4)=因为矩阵中有3个非零行，所以向量组的秩为3。在上述阶梯形矩阵的每一台阶各取一列，则α1，α2，α4或α1，α3，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。11、向量组α1=(1，—1，2，4)T，α2=(0，3，1，2)T，α3=(3，0，7，a)T，α4=(1，—2，2，0)T线性无关，则未知数a的取值范围是__________。标准答案：a≠14知识点解析：n个n维向量线性无关的充分必要条件是以n个向量组成的矩阵所对应的行列式不为0。则｜α1，α2，α3，α4｜===14—a≠0。因此可得a≠14。12、已知α1，α2，α3是三维向量空间的一个基，若β1=α1+α2+α3，β2=3α2+α3，β3=α1—α2，则由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵是_________。标准答案：知识点解析：依过渡矩阵定义，有(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)13、向量β=(1，—2，4)T在基α1=(1，2，4)T，α2=(1，—1，1)T，α3=(1，3，9)T下的坐标是_______。标准答案：知识点解析：设向量β在基α1，α2，α3下的坐标是(x1，x2，x3)T，由β=x1α1+x2α2+x3α3可得方程组解得x=，x3=1，因此β在基α1，α2，α3下的坐标是。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、已知β1=具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值。标准答案：。因为β3可由α1，α2，α3线性表示，所以由R(β1，β2，β3)=R(α1，α2，α3)=2，可得(β1，β2，β3)→a=15。知识点解析：本题看似考查线性表示的求解，但实质考查的是向量组等价的问题。根据向量β3可由向量组α1，α2，α3线性表示可知：向量组α1，α2，α3与向量组α1，α2，α3，β3等价，因此秩相等，依此可得出未知数的值。利用矩阵解决向量问题或者利用向量解决矩阵问题是线性代数常用的解题方法之一。设有向量组α1=(1，3，2，0)，α2=(7，0，14，3)，α3=(2，—1，0，1)，α4=(5，1，6，2)，α5=(2，—1，4，1)。15、求向量组的秩。标准答案：A=(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)=从变换结果可知，向量组α1，α2，α3，α4，α5的秩为3。知识点解析：暂无解析16、求此向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量分别用该极大无关组线性表示。标准答案：在B中选对应向量，例如α1，α2，α3或α1，α3，α5或α1，α4，α5均可作为极大线性无关组。不妨选α1，α2，α3作为极大线性无关组，将B化为标准形知识点解析：暂无解析17、设R3中两组基分别为求由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵。标准答案：由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵为C=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)。对(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行变换，有所以过渡矩阵为知识点解析：暂无解析18、求齐次线性方程组的通解，并将其基础解系单位正交化。标准答案：取x3，x4为自由未知量，则方程组的基础解系为α1=(1，0，1，0)T，α2=(—1，1，0，1)T，所以该齐次线性方程组的通解为k1α1+k2α2，其中k1，k2为任意常数。对α1，α2进行施密特正交化，令β1=α1=(1，0，1，0)T，β2=α2—=(—1，1，0，1)T—(1，0，1，0)T=(—1，2，1，2)T，单位化得知识点解析：暂无解析已知α1=(1，3，5，—1)T，α2=(2，7，a，4)T，α3=(5，17，—1，7)T。19、若α1，α2，α3线性相关，求a的值。标准答案：α1，α2，α3线性相关秩R(α1，α2，α3)＜3。由于(α1，α2，α3)=，所以a=—3。知识点解析：暂无解析20、当a=3时，求与α1，α2，α3都正交的非零向量α4。标准答案：设α4=(x1，x2，x3，x4)T。由内积[α1，α4]=0，[α2，α4]=0，[α3，α4]=0，得方程组对方程组的系数矩阵作初等变换，即于是得同解方程组令x4=1，则得基础解系(19，—6，0，1)T，所以α4=k(19，—6，0，1)T，其中k≠0。知识点解析：暂无解析21、当a=3时，利用第2小问的结果，证明α1，α2，α3，α4可表示任一个4维列向量。标准答案：已知，a=3时，α1，α2，α3必线性无关，设k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0，用α4T左乘上式两端并利用α4Tα1=α4Tα2=α4Tα3=0，则有k4α4Tα4=0，又α4≠0，故必有k4=0，于是k1α1+k2α2+k3α3=0。由α1，α2，α3线性无关知，必有k1=0，k2=0，k3=0，从而α1，α2，α3，α4必线性无关。而5个4维列向量必线性相关，因此任一个4维列向量都可由α1，α2，α3，α4线性表出。知识点解析：暂无解析22、设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，—1，a+2)T和向量组(Ⅱ)：β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，当a为何值时(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。标准答案：令xj1α1+xj2α2+xj3α3=βj(j=1，2，3)，(1)对(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行变换，即可见，当a+1≠0，即a≠—1时，(1)中的三个非齐次线性方程组都有解且为唯一解，此时β1，β2，β3都可由α1，α2，α3线性表示，即向量组(Ⅱ)可由(Ⅰ)线性表示。当a+1=0，即a=—1时，由于R(α1，α2，α3)≠R(α1，α2，α3，β1)，R(α1，α2，α3)≠R(α1，α2，α3，β3)，故此时β1，β3不能由α1，α2，α3线性表示，即向量组(Ⅱ)不能由(Ⅰ)线性表示。类似地，令xi1β1+xi2β2+xi3β3=αi(i=1，2，3)。(2)对(β1，β2，β3α1，α2，α3)作初等行变换，即可见，无论a取何值，总有R(β1，β2，β3)=R(β1，β2，β3，α1，α2，α3)，即α1，α2，α3都可由β1，β2，β3线性表示，亦即向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示。综上可知，当a≠—1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价；当a=—1时，向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价。知识点解析：暂无解析23、设4维向量组α1=(1+a，1，1，1)T，α2=(2，2+a，2，2)T，α3=(3，3，3+a，3)T，α4=(4，4，4，4+a)T，问a为何值时，α1，α2，α3，α4线性相关。当α1，α2，α3，α4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。标准答案：记A=(α1，α2，α3，α4)，则｜A｜==(a+10)a3，因此当a=0或a=—10时，｜A｜=0，即α1，α2，α3，α4线性相关。当a=0时，α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1。当a=—10时，对A作初等行变换，即=(β1，β2，β3，β4)。由于β2，β3，β4是β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组且β1=—β2—β3—β4，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组且α1=—α2—α3—α4。知识点解析：暂无解析24、设α1=(1，1，1)T，α2=(1，—1，—1)T，求与α1，α2均正交的单位向量β并求与向量组α1，α2，β等价的正交单位向量组。标准答案：令β=(x1，x2，x3)T，由于β与α1，α2均正交，则可得方程组解得方程组的基础解系为(0，1，—1)T，单位化为。欲求与向量组α1，α2，β等价的正交单位向量组，需先将α1，α2正交化(β与α1，α2已经正交，不需要再正交化)。令β1=α1=(1，1，1)T，再单位化，得(1，1，1)T→，可知向量组就是与α1，α2，β等价的正交单位向量组。知识点解析：暂无解析考研数学二（向量）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、已知n维列向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr(r＜n)线性无关，则n维列向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件为()A、β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr线性表示。B、α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表示。C、α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr等价。D、矩阵A=(α1，α2，…，αr)与B=(β1，β2，…，βr)等价。标准答案：D知识点解析：对于选项A，由已知条件只能得出R(Ⅱ)≤R(Ⅰ)=r，但不能得出R(Ⅱ)=R(Ⅰ)=r，故A项不正确。对于选项B，由已知条件知r=R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)≤r，于是R(Ⅱ)=r，即β1，β2，…，βr线性无关。因而B项是充分条件。但若β1，β2，…，βr线性无关，是不能得出α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr线性表出的结论。例如，(Ⅰ)：e1=(1，0，0)T，e2=(0，1，0)T；(Ⅱ)：e2=(0，1，0)T，e3=(0，0，1)T，(Ⅰ)(Ⅱ)均线性无关，但(Ⅰ)不可由(Ⅱ)线性表出，故B项错误。对于选项C，由于B项不是必要条件，则C项就不可能是必要条件。对于选项D，注意到两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等，由题设知R(A)=R(Ⅰ)=r，则A与B等价β1，β2，…，βr线性无关，所以D选项是正确的，故选D。本题主要考查的是向量组等价的相关问题。根据线性表示的向量组之间秩的关系能快速排除A、B选项，但C、D选项具有一定的迷惑性，需要充分认识矩阵等价与向量组等价的异同点：①等价的向量组有相等的秩，等价的矩阵也有相等的秩；②有相等秩的两个同型矩阵必等价，但有相等秩的两个同维向量组未必等价(如果其中一组还可由另一组线性表出，则必等价)。2、已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是()A、如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关。B、如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关。C、如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出。D、如果秩R(α1，α1+α2，α2+α3)=R(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出。标准答案：B知识点解析：设α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知B项不正确，故选B。关于选项A：用其逆否命题判断。若α1，α2，α3线性无关，则α1，α2，α3，α4必线性相关(因为n+1个n维向量必线性相关)，所以α4可由α1，α2，α3线性表出。关于选项C：由已知条件，有(Ⅰ)R(α1，α2)≠R(α1，α2，α3)，(Ⅱ)R(α2，α3)≠R(α2，α3，α4)。若R(α2，α3)=1，则必有R(α1，α2)=R(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾，故必有R(α2，α3)=2。那么由(Ⅱ)知R(α2，α3，α4)=3，从而R(α1，α2，α3，α4)=3。因此α1可以由α2，α3，α4线性表出。关于选项D：经初等变换有(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，从而R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3线性表出。3、下列说法不正确的是()A、s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后的向量组仍然线性无关。B、s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则每个向量增加k维分量后得到的向量组仍然线性无关。C、s个n维向量α1，α2，…，αs线性相关，则加入k个n维向量β1，β2，…，βk后得到的向量组仍然线性相关。D、s个n维向量α1，α2，…，αs线性无关，则减少一个向量后得到的向量组仍然线性无关。标准答案：A知识点解析：A选项不正确，因为如果s+k＞n，则增加向量个数后的向量组线性相关，故选A。B、C两个选项说明的是向量组中高维向量和低维向量的线性相关性之间的关系。D选项说明一个向量组整体无关，则这个向量组的部分向量也无关，说法正确。4、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是()A、α1—α2，α2—α3，α3—α1。B、α1+α2，α2+α3，α3+α1。C、α1—2α2，α2—2α3，α3—2α1。D、α1+2α2，α2+2α3，α3+2α1。标准答案：A知识点解析：用向量组线性相关的定义进行判定。令x1(α1—α2)+x2(α2—α3)+x3(α3—α1)=0，得(x1—x3)α1+(—x1+x2)α2+(—x2+x3)α3=0。因α1，α2，α3线性无关，所以因上述方程组系数矩阵的行列式=0，故上述齐次线性方程组有非零解，即α1—α2，α2—α3，α3—α1线性相关，故选A。同理可判断B、C、D中的向量组都是线性无关的。5、设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则()A、矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价。B、矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价。C、矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价。D、矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价。标准答案：B知识点解析：把矩阵A，C列分块：A=(α1，α2，…，αn)，B=(bij)n×n，C=(γ1，γ2，…，γn)。由于AB=C，即于是得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示。同时由于B可逆，即A=CB—1。同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价，故选B。6、设α1，α2，α3是3维向量空间R3中的一组基。则由基α2，α1—α2，α1+α3到基α1+α2，α3，α2—α1的过渡矩阵为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：设(α1+α2，α3，α2—α1)=(α2，α1—α2，α1+α3)C，则由于α1，α2，α3是R3中的一组基，故(α1，α2，α3)可逆，则故选C。7、设A，B均为n阶正交矩阵，则下列矩阵中不是正交矩阵的是()A、AB—1B、kA(｜k｜=1)C、A—1B—1D、A—B标准答案：D知识点解析：由题设条件，则选项A，(AB—1)TAB—1=(B—1)TATAB—1=(B—1)TEB—1=(BT)TBT=BBT=E，AB—1是正交矩阵；选项B，(kA)T(kA)=k2ATA=E，kA(｜k｜=1)是正交矩阵；选项C，(A—1B—1)TA—1B—1=(B—1)T(A—1)TA—1B—1=BAA—1B—1=E，A—1B—1是正交矩阵；选项D，(A—B)T=AT—BT=A—1—B—1，故(A—B)T(A—B)=(A—1—B—1)(A—B)=2E—B—1A—A—1B≠E，A—B不是正交矩阵，故选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设R3中的两个基α1，α2，α3和β1，β2，β3之间满足β1=α1—α2，β2=α2—α3，β3=2α3，向量β在基α1，α2，α3下的坐标为x=(2，—1，3)T，则β在基β1，β2，β3下的坐标为_________。标准答案：y=(2，1，2)T知识点解析：由题设条件，有(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)，因此(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)。(1)又β在基α1，α2，α3下的坐标为x=(2，—1，3)T，故有β=2α1—α2+3α3=(α1，α2，α3)。(2)将(1)式代入(2)式中，得β=(β1，β2，β3)=(β1，β2，β3)，因此β在基β1，β2，β3下的坐标为y=(2，1，2)T。9、已知向量组α1=(1，2，—1，1)T，α2=(2，0，t，0)T，α3=(0，—4，5，t)T线性无关，则t的取值为_________。标准答案：(—∞，+∞)知识点解析：由于向量的个数与维数不一样，因此不能用行列式去分析，而要用齐次方程组只有零解，或矩阵的秩等于n来分析向量组的无关性。A=(α1，α2，α2)=由于对任意的t，R(A)=3恒成立，所以向量组α1，α2，α3必线性无关，因此t∈(—∞，+∞)。10、向量组α1=(1，1，2，3)T，α2=(—1，1，4，—1)T的施密特正交规范化向量组是________。标准答案：知识点解析：先正交化，有β1=α1=(1，1，2，3)T，再单位化，有11、设α1=(1，2，—1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，α)T，若由α1，α2，α3形成的向量空间的维数是2，则α=_________。标准答案：6知识点解析：由题意可知向量组α1，α2，α3的秩R(α1，α2，α3)=2，对向量组组成的矩阵作初等行变换所以有α—6=0α=6。12、设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，—2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=________。标准答案：—1知识点解析：根据题意，β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此对增广矩阵作初等变换，即因此可知，当a=—1时，满足方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，而方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解的条件，故a=—1。13、与α1=(1，2，3，—1)T，α2=(0，1，1，2)T，α3=(2，1，3，0)T都正交的单位向量是________。标准答案：知识点解析：若列向量α，β正交，则内积αTβ=0，设β=(x1，x2，x3，x4)T与α1，α2，α3均正交，那么对以上齐次方程组Ax=0的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系是(—1，—1，1，0)T，将这个向量单位化，即。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(—2，a，4)T，β3=(—2，a，a)T。线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。标准答案：如果α1，α2，α3线性无关，则βj(j=1，2，3)一定可由3个3维线性无关向量组α1，α2，α3线性表示，不符合题设，故α1，α2，α3线性相关，即｜(α1，α2，α3)｜==(a+2)[—(a—1)2]=—(a+2)(a—1)2=0，于是a=—2或a=1。当a=—2时，(β1，β2，β3，α1，α2，α3)显然α2，α3，不能由β1，β2，β3线性表示，所以a≠—2。而当a=1时，α1=α2=α3=β1，但β2，β3不能由α1，α2，α3线性表示，即a=1满足题意。知识点解析：暂无解析15、设α1，α2，…，αn是n个n维的线性无关向量组，αn+1=k1α1+k2α2+…+knαn，其中k1，k2，…，kn全不为零。证明α1，α2，…，αn，αn+1中任意n个向量线性无关。标准答案：选取αi之外的n个向量为例。令λ1α1+…+λi—1αi—1+λi+1αi+1+…+λnαn+λn+1αn+1=0，即(λ1+λn+1k1)α1+…+(λi—1+λn+1ki—1)αi—1+λn+1kiαi+(λi+1+λn+1ki+1)αi+1+…+(λn+λn+1kn)αn=0。因为α1，α2，…，αn线性无关，所以必有λn+1ki=0，而ki≠0，则λn+1=0，故由λ1+λn+1k1=0，…，λi—1+λn+1ki—1=0，λi+1+λn+1ki+1=0，…，λn+λn+1kn=0，立即得λ1=λ2=…=λi—1=λi+1=…=λn+1=0，所以α1，α2，…，αi—1，αi+1，…，αn，αn+1线性无关。知识点解析：暂无解析16、设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。标准答案：设R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=r，且α1，α2，…，αr与β1，β2，…，βr分别为向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)的极大线性无关组。由于向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，故α1，α2，…，αr可以由β1，β2，…，βr线性表示。因此，R(α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr)=R(β1，β2，…，βr)=r。又α1，α2，…，αr线性无关，所以α1，α2，…，αr是向量组α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr的极大线性无关组，从而β1，β2，…，βr可以由α1，α2，…，αr线性表示，于是向量组(Ⅱ)可以由α1，α2，…，αr线性表示，所以向量组(Ⅱ)可以由(Ⅰ)线性表示。又已知向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，所以向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。知识点解析：暂无解析17、设α为n维非零列向量，E为n阶单位阵，试证A=E—为正交矩阵。标准答案：知识点解析：暂无解析设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。18、求a的值。标准答案：4个3维向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)必线性相关。若β1，β2，β3线性无关，则αi(i=1，2，3)可由β1，β2，β3线性表示，这与题设矛盾。所以β1，β2，β3线性相关，从而｜(β1，β2，β3)｜==a—5=0，于是a=5。此时，αi(i=1，2，3)不能由向量组β1，β2，β3线性表示。知识点解析：暂无解析19、将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示。标准答案：令A=(α1，α2，α3β1，β2，β3)。对A作初等行变换则β1=2α1+4α2—α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2—2α3。知识点解析：暂无解析20、设α1，α2，β1，β2均是三维向量，且α1，α2线性无关，β1，β2线性无关，证明存在非零向量γ，使得γ既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。当α1=时，求出所有的向量γ。标准答案：四个三维向量α1，α2，β1，β2必线性相关，故有不全为零的数k1，k2，l1，l2，使得k1α1+k2α2+l1β1+l2β2=0。令γ=k1α1+k2α2=—l1β1—l2β2，则必有k1，k2不全为零。否则，若k1=k2=0，由k1，k2，l1，l2不全为零知，l1，l2不全为零，从而—l1β1—l1β2=0，这与β1，β2线性无关相矛盾，所以k1，k2不全为0。同理l1，l2亦不全为0。从而γ≠0，且它既可由α1，α2线性表出，又可由β1，β2线性表出。对已知的α1，α2，β1，β2，设x1α1+x2α2+y1β1+y2β2=0，对α1，α2，β1，β2组成的矩阵作初等行变换，有于是得方程组的通解为k(0，—3，—2，1)T，即x1=0，x2=—3k，y1=—2k，y2=k，所以γ=—3kα2=，l为任意常数。知识点解析：暂无解析已知向量β=(α1，α2，α3，α4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，—1，—3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。21、求α1，α2，α3，α4应满足的条件。标准答案：β可由α1，α2，α3，α4线性表示，即方程组(1)x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β有解，对增广矩阵作初等行变换，有所以向量β可以由α1，α2，α3，α4线性表出的充分必要条件是a1—a2+a3—a4=0。知识点解析：暂无解析22、求向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出。标准答案：由初等变换矩阵知，向量组α1，α2，α3，α4的极大线性无关组是α1，α2，α3，且α4=—6α1+6α2—3α3。(2)知识点解析：暂无解析23、把向量β分别用α1，α2，α3，α4和它的极大线性无关组线性表出。标准答案：方程组(1)的通解是x1=a1—a2—2a3+6t，x2=a2+2a3—6t，x3=3t—a3，x4=t，其中t为任意常数，所以β=(a1—a2—2a3+6t)α1+(a2+2a3—6t)α2+(3t—a3)α3+tα4，其中t为任意常数。把(2)式代入，得β=(a1—a2—2a3)α1+(a2+2a3)α2—a3α3。知识点解析：暂无解析24、设R3的两组基为：α1=(1，1，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(0，0，1)T；β1=(1，0，1)T，β2=(0，1，—1)T，β3=(1，2，0)T，求α1，α2，α3到β1，β2，β3的过渡矩阵C，并求γ=(—1，2，1)T在基β1，β2，β3下的坐标。标准答案：由基α1，α2，α3到基β1，β2，β3的过渡矩阵C=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)，对(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行交换，有(α1，α2，α3β1，β2，β3)=则过渡矩阵对(β1，β2，β3γ)作初等行变换，有(β1，β2，β3γ)=，故γ在基β1，β2，β3下的坐标为(—5，—6，4)T。知识点解析：暂无解析考研数学二（向量）模拟试卷第4套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A4×5(α1，α2，α3，α4，α5)经初等行变换化为阶梯形矩阵A=(α1，α2，α3，α4，α5)→则()A、α1不能由α2，α3，α4线性表示。B、α2不能由α3，α4，α5线性表示。C、α3不能由α1，α2，α4线性表示。D、α4不能由α1，α2，α3线性表示。标准答案：D知识点解析：对于选项A，考虑非齐次线性方程组x2α2+x3α3+x4α4=α1。由已知条件可知r(α2，α3，α4)=r(α2，α3，α4，α1)=3，所以α1必可由α2，α3，α4线性表示。类似可判断选项B和C也不正确，只有选项D正确。实际上，由r(α1，α2，α3)=2，r(α1，α2，α3，α4)=3可知，α4不能由α1，α2，α3线性表示。故选D。2、设向量组I：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则()A、当rB、当r>s时，向量组Ⅱ必线性相关。C、当rD、当r>s时，向量组I必线性相关。标准答案：D知识点解析：因为向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，故r(I)≤r(Ⅱ)≤s。又因为当r＞s时，必有r(I)＜r，即向量组I的秩小于其所含向量的个数，此时向量组I必线性相关。故选D。3、设A，B为n阶方阵，P，Q为n阶可逆矩阵，则下列命题不正确的是()A、若B=AQ，则A的列向量组与B的列向量组等价。B、若B=PA，则A的行向量组与B的行向量组等价。C、若B=PAQ，则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。D、若A的行(列)向量组与矩阵B的行(列)向量组等价，则矩阵A与B等价。标准答案：C知识点解析：将等式B=AQ中的A，B按列分块，设A=(α1，α2，…，αn)，B=(β1，β2，…，βn)，则有(β1，β2，…，βn)=(α1，α2，…，αn)表明向量组β1，β2，…，βn可由向量组α1，α2，…，αn线性表示。由于Q可逆，从而有A=BQ—1，即(α1，α2，…，αn，)=(β1，β2，…，βn)Q—1，表明向量组α1，α2，…，αn可由向量组β1，β2，…，βn线性表示，因此这两个向量组等价，故选项A的命题正确。类似地，对于PA=B，将A与B按行分块可得出A与B的行向量组等价，从而选项B的命题正确。下例可表明选项C的命题不正确。设，则P，Q均为可逆矩阵，且但B的行(列)向量组与A的行(列)向量组不等价。对于选项D，若A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A与B的秩相同，故矩阵A与B等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。故选C。4、设α1=(1，2，3，1)T，α2=(3，4，7，一1)T，α3=(2，6，a，6)T，α4=(0，l，3，a)T，那么a=8是α1，α2，α3，α4线性相关的()A、充分必要条件。B、充分而非必要条件。C、必要而非充分条件。D、既不充分也不必要条件。标准答案：B知识点解析：n个n维向量线性相关性一般用行列式｜α1，α2，…，αn｜是否为零去判断。｜α1，α2，α3，α4｜=当a=8时，行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，向量组｜α1，α2，α3，α4｜线性相关，但a=2时仍有行列式｜α1，α2，α3，α4｜=0，所以a=8是向量组α1，α2，α3，α4线性相关的充分而非必要条件。故选B。5、现有四个向量组①(1，2，3)T，(3，一1，5)T，(0，4，一2)T，(1，3，0)T；②(a，1，b，0，0)T，(c，0，d，2，0)T，(e，0，f，0，3)T；③(a，1，2，3)T，(b，1，2，3)T，(c，3，4，5)T，(d，0，0，0)T；④(1，0，3，1)T，(一1，3，0，一2)T，(2，1，7，2)T，(4，2，14，5)T。则下列结论正确的是()A、线性相关的向量组为①④，线性无关的向量组为②③。B、线性相关的向量组为③④，线性无关的向量组为①②。C、线性相关的向量组为①②，线性无关的向量组为③④。D、线性相关的向量组为①③④，线性无关的向量组为②。标准答案：D知识点解析：向量组①是四个三维向量，从而线性相关，可排除B。由于(1，0，0)T，(0，2，0)T，(0，0，3)T线性无关，添上两个分量就可得向量组②，故向量组②线性无关。所以应排除C。向量组③中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是α1，α2，α4线性相关，那么添加α3后，向量组③必线性相关。应排除A。由排除法，故选D。6、向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分条件是()A、α1，α2，…，αn均不为零向量。B、α1，α2，…，αn中任意两个向量的分量不成比例。C、α1，α2，…，αn中任意一个向量均不能由其余n—1个向量线性表示。D、α1，α2，…，αn中有一部分向量线性无关。标准答案：C知识点解析：选项A、B、D均是向量组α1，α2，…，αn线性无关的必要条件，不是充分条件。由排除法可知选C。例如取α1=(1，0)，α2=(0，1)，α3=(1，1)，则向量组α1，α2，α3满足选项A、B、D中的条件，但α1+α2—α3=0，即向量组α1，α2，α3线性相关。故选C。7、下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为()①如果α1，α2，…，αn线性相关，则存在全不为零的数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0；②如果α1，α2，…，αn线性无关，则对任意不全为零的数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn≠0；③如果α1，α2，…，αn线性无关，则由k1α1+k2α2+…+knαn=0可以推出k1=k2=…=kn=0；④如果α1，α2，…，αn线性相关，则对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn，都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。A、1。B、2。C、3。D、4。标准答案：B知识点解析：对于①，线性相关的定义是存在不全为零的常数k1，k2，…，kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0。不全为零与全不为零不等价，故①错。②和③都是向量组线性无关的等价描述，正确。对于④，线性相关性只是强调不全为零的常数k1，k2，…，kn的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k2，…，kn都满足k1α1+k2α2+…+knαn=0，故④错误。事实上，当且α1，α2，…，αn全为零向量时，才能满足对任意不全为零的常数k1，k2，…，kn都有k1α1+k2α2+…+knαn=0。综上所述，正确的只有两个。故选B。8、设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论中不正确的是()A、若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关。B、若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。C、α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s。D、α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。标准答案：B知识点解析：对于选项A，因为齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs线性无关，选项A正确。对于选项B，由α1，α2，…，αs线性相关知，齐次线性方程组x1α1+x2α2+…+xsαs=0存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项B错误。选项C是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项D也正确。故选B。9、设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是()A、α1一α2，α2一α3，α3一α1。B、α1一α2，α2+α3，α3+α1。C、α1+α2，3α1—5α2，5α1+9α2。D、α1+α2，2α1+3α2+4α3，α1一α2一2α3。标准答案：D知识点解析：通过已知选项可知(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α1)=0，(α1一α2)+(α2+α3)一(α3+α1)=0，因此选项A、B中的向量组均线性相关。对于选项C，可设β1=α1+α2，β2=3α1一5α2，β3=5α1+9α2，即β1，β2，β3三个向量可由α1，α2两个向量线性表示，所以β1，β2，β3必线性相关，即α1+α2，3α1一5α2，5α1+9α2必线性相关。因而用排除法可知，故选D。10、已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组()A、α1一α2，α2一α3，α3一α4，α4一α1线性无关。B、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性无关。C、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4—α1线性无关。D、α1+α2，α2+α3，α3—α4，α4—α1线性无关。标准答案：C知识点解析：排除法。通过观察可知(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3+α4)一(α1+α1)=0，(α1+α2)一(α2+α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0，即选项A、B、D中的向量组均线性相关。故选C。二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)11、如果β=(1，2，t)T可以由α1=(2，1，1)T，α2=(一1，2，7)T，α3=(1，一1，一4)T线性表示，则t=______。标准答案：5知识点解析：β可以由向量组α1，α2，α3线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此t一5=0，即t=5。12、设α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，一2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则a=______。标准答案：一1知识点解析：根据题意，β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1，有解，β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3线性表示，则方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当a=一1时，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β有解，方程组x1α1+x2α2+x3α3=β2无解，故a=一1。13、任意一个三维向量都可以由α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(0，1，2)T线性表示，则a的取值范围为______。标准答案：a≠3知识点解析：任意一个三维向量都可以用α1=(1，0，1)T，α2=(1，一2，3)T，α3=(0，1，2)T线性表示，则α1，α2，α3必线性无关。又α1，α2，α3为3个三维向量，故可考虑其行列式，即｜α1，α2，α3｜==2(a—3)≠0，即a≠3。14、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=m，r(α1，α2，…，αs，γ)=m+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)=______。标准答案：m+1知识点解析：已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=m，表明向量β可以由向量组α1，α2，…，αs线性表示，但是r(α1，α2，…，αs，γ)=m+1，则表明向量γ不能由向量组α1，α2，…，αs线性表示，因此通过对向量组α1，α2，…，αs，β，γ作初等列变换，可得(α1，α2，…，αs，β，γ)=(α1，α2，…，αs，0，γ)，因此可得r(α1，α2，…，αs，β，γ)=m+1。三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)设向量组α1=(a，0，10)T，α2=(一2，1，5)T，α3=(一1，1，4)T，β=(1，b，c)T，试问：当a，b，c满足什么条件时，15、β可由α1，α1，α3线性表出，且表示唯一；标准答案：考虑线性方程组k1α1+k2α2+k3α3=β，(1)记其系数矩阵A=(α1，α2，α3)。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即当a≠一10时，r(A)=r(A，β)=3，此时方程组(1)有唯一解，β可由α1，α2，α3唯一地线性表出。知识点解析：暂无解析16、β不可由α1，α1，α3线性表出；标准答案：当a=一10，且c≠3b一1时，可知r(A)≠r(A，β)，此时方程组(1)无解，β不可由α1，α2，α3线性表出。知识点解析：暂无解析17、β可由α1，α1，α3线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。标准答案：当a=一10，且c=3b一1时，可知r(A)=r(A，β)=2，此时方程组(1)有无穷多解，其全部解为，k2=l，k3=b—l，其中l为任意常数。β可由α1，α2，α3线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为β=+lα2+(b一l)α3，其中l为任意常数。知识点解析：暂无解析18、已知α1=(1，一1，1)T，α2=(1，t，一1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，一4)T，若β可由向量组α1，α1，α3线性表示，且表示法不唯一，求t及β的表达式。标准答案：记A=(α1，α2，α3)，考虑线性方程组Ax=β。对其系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，即由题意可知，线性方程组有无穷多解，所以r(A)=＜3，从而t=4。当t=4时，线性方程组Ax=β的通解为k(一3，一1，1)T+(0，4，0)T，k∈R。所以β=一3kα1+(4一k)α2+kα3，k∈R。知识点解析：暂无解析设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示。19、求a的值；标准答案：由于α1，α2，α3不能由β1，β2，β3表示，且由｜α1，α2，α3｜=1≠0，知α1，α2，α3线性无关，所以β1，β2，β3线性相关，即｜β1，β2，β3｜==a一5=0，解得a=5。知识点解析：暂无解析20、将β1，β2，β3由α1，α2，α3线性表示。标准答案：本题等价于求三阶矩阵C，使得(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)C。所以C=(α1，α2，α3)—1(β1，β2，β3)因此(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)所以β1=2α1+4α2一α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2—2α3。知识点解析：暂无解析21、设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?标准答案：对矩阵(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行变换，有(α1，α2，α3β1，β2，β3)当a≠一1时，行列式｜α1，α2，α3｜=a+1≠0，由克拉默法则可知线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，此时向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示。同理，由行列式｜β1，β2，β3｜=6≠0，可知向量组(I)也可由向量组(Ⅱ)线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)等价。当a=一1时，有(α1，α2，α3β1，β2，β3)因为r(α1，α2，α3)≠r(α1，α2，α3，β1)，所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，即β1不能由α1，α2，α3线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)不等价。综上所述，当a≠一1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价；当a=一1时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价。知识点解析：暂无解析22、确定常数a，使向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(一2，a，4)T，β3=(一2，a，a)T线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示。标准答案：记A=(α1，α2，α3)，B=(β1，β2，β3)。因为β1，β2，β3，不能由α1，α2，α3线性表示，所以r(A)＜3(若r(A)=3，则任何三维向量都可以由α1，α2，α3线性表示)，从而=一(a+2)(a一1)2=0，即a=一2或1。当a=一2时，有考虑线性方程组Bx=α2。因为系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3