考研数学二（解答题）模拟试卷1（共180题）

考研数学二（解答题）模拟试卷1（共9套）（共180题）考研数学二（解答题）模拟试卷第1套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、求标准答案：知识点解析：暂无解析2、设y＝，且f′(χ)＝lnχ，求y′．标准答案：知识点解析：暂无解析3、求星形线L(a＞0)所围区域的面积A．标准答案：图形关于x，y轴均对称，第一象限部分：知识点解析：暂无解析4、求下列积分：标准答案：知识点解析：暂无解析5、求标准答案：知识点解析：暂无解析6、求微分方程x(y2－1)dx+y(x2－1)dy=0的通解．标准答案：这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为ln｜y2－1｜=－ln｜x2－1｜+C’，即(x2－1)(y2－1)=C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析7、已知=2x+y+1，=x+2y+3，μ(0，0)=1，求μ(x，y)及μ(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由。标准答案：由=2x+y+1，有μ(x，y)=x2+xy+x+φ(y)，再结合=x+2y+3，有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C。于是μ(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由μ(0，0)=1得C=1，因此μ(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1。知识点解析：暂无解析8、设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)和z=z(x)分别由方程exy一y=0和ez一xz=0所确定，求标准答案：方程exy一y=0两边关于x求导，有方程ez一xz=0两边关于x求导，有于是知识点解析：暂无解析9、计算sinx2cosy2dxdy，其中D：x2+y2≤a2(x≥0，y≥0)．标准答案：由对称性得I=sinx2cosy2dxdysiny2cosx2dxdy知识点解析：暂无解析10、设向量α＝(a1，a2，…，an)T，其中a≠0，A＝ααT．(1)求方程组AX＝0的通解；(2)求A的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量．标准答案：因为r(A)＝1，所以AX＝0的基础解系含有n－1个线性无关的特征向量，其基础解系为则方程组AX＝0的通解为k1α1＋k2α2＋…＋kn-1αn-1(k1，k2，…，kn-1为任意常数)．(2)因为A2＝kA，其中k＝(α，α)＝ai2＞0，所以A的非零特征值为k，因为Aα＝ααTα＝kα，所以非零特征值志对应的线性无关的特征向量为α．知识点解析：暂无解析11、已知线性方程组(I)及线性方程组(Ⅱ)的基础解系ξ1=[一3，7，2，0]T，ξ2=[一1，一2，一0，1]T求方程组(I)和(Ⅱ)的公共解．标准答案：方程组(Ⅱ)的通解为k1ξ1+k2ξ2=k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T=[一3k1一k2，7k1一2k2，2k1，k2]T．其中k1，k2是任意常数，将该通解代入方程组(I)得：3(一3k1一k2)一(7k1—2k2)+8(2k1)+k2=一16k1+16k1—3k2+3k2=0，(一3k1一k2)+3(7k1—2k2)一9(2k1)+7k2=一21k1+21k1—7k2+7k2=0，即方程组(Ⅱ)的通解均满足方程组(I)，故(Ⅱ)的通解k1[一3，7，2，0]T+k2[一1，一2，0，1]T．即是方程组(I)，(Ⅱ)的公共解．知识点解析：暂无解析12、设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．标准答案：知识点解析：暂无解析13、设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)-f(t-x)dt=-3x+2，求f(x)．标准答案：则有f’(x)+2f(x)-=-3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)-=-3x+2两边对x求导数得f’’(x)+2f’(x)-3f(x)=-3，其通解为f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代人得f(x)=1．知识点解析：暂无解析14、设f(χ)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)与f(χ)的几何平均数，求f(χ)．标准答案：根据题意得，令a＝，则有∫0χf(t)dt＝两边求导得，知识点解析：暂无解析15、设A为n阶矩阵，证明：r(A*)＝，其中n≥2．标准答案：AA*＝A*A＝｜A｜E．当r(A)＝n时，｜A｜≠0，因为｜A*｜＝｜A｜n-1，所以｜A*｜≠0，从而r(A*)＝n；当r(A)＝n－1时，由于A至少有一个n－1阶子式不为零，所以存在一个Mij≠0，进而Aij≠0，于是A*≠O，故r(A*)≥1，又因为｜A｜＝0，所以AA*＝｜A｜E＝O，根据矩阵秩的性质有r(A)＋r(A*)≤n，而r(A)＝n－1，于是得r(A*)≤1，故r(A*)＝1；当r(A)＜n－1时，由于A的所有n－1阶子式都为零，所以A*＝O，故r(A*)＝0．知识点解析：暂无解析设方程组x3=a+3有无穷多个解，α1=，α2=，α3=为矩阵A的分别属于特征值λ1=1，λ2=-2，λ3=-1的特征向量．16、求A；标准答案：因为方程组有无穷多个解，所以D==a2-2a+1=0，解得a=1．知识点解析：暂无解析17、求｜A*+3E｜．标准答案：｜A｜=2，A*对应的特征值为，即2，-1，-2，A*+3E对应的特征值为5，2，1，所以｜A*+3E｜=10．知识点解析：暂无解析18、求不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析19、方程ysinx＝(sinx)y确定y是x的函数，求yˊ．标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第2套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、计算下列各题：(Ⅰ)设(Ⅱ)设(Ⅲ)设y＝，其中a＞b＞0，求y′．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x)对一切x1，x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，并且f(x)在x=0处连续，证明：函数f(x)在任意点x0处连续．标准答案：已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，令x2=0，则f(x1)=f(x1)+f(0)，可得f(0)=0，又f(x)在x=0处连续，则有=f(0)=0，而f(x0+△x)一f(x0)=f(x0)+f(△x)一f(x0)=f(△x)，两边取极限得到[f(x0+△x)一f(x0)]==0，故函数f(x)在任意点x0处连续．知识点解析：暂无解析3、设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα2，…，Ak-1α是线性无关的．标准答案：设有常数λ0，λ1，¨λk-1，使得λ0α+λ1α+…+λk-1Ak-1α=0，则有Ak-1(λ0α+λ1Aα+…+λk-1Ak-1α)=0，从而得到λ0Ak-1α=0．由题设Ak-1α≠0，所以λ0=0．类似地可以证明λ1=λ2=…=λk-1=0，因此向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．知识点解析：暂无解析4、设n＞1，n元齐次方程组AX=0的系数矩阵为(1)讨论a为什么数时AX=0有非零解?(2)在有非零解时求通解．标准答案：(1)用矩阵消元法，把第n行除以n移到第一行，其他行往下顺移，再第i行减第一行的i倍(i＞1)．a=0时r(A)=1，有非零解．下面设a≠0，对右边的矩阵继续进行行变换：把第2至n各行都除以a，然后把第1行减下面各行后换到最下面，得于是当a=－n(n+1)／2时r(A)=n－1，有非零解．(2)a=0时AX=0与x1+x2+…+xn=0同解，通解为c1(1，－1，0，…，0)T+c2(1，0，－1，…，0)T+…+cn－1(1，0，0，…，－1)T，ci任意．a=－n(n+1)／2时，通解为c(1，2，3，…，n)T，c任意．知识点解析：暂无解析5、设f(χ)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)＝0，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．标准答案：令φ(χ)＝f(χ)sinχ，φ(0)＝φ(1)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(0，1)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝f′(χ)sinχ＋f(χ)cosv，故f′(ξ)sinξ＋f(ξ)cosξ＝0．知识点解析：暂无解析6、设n为自然数，试证：标准答案：右端不等式等价于证明从而，当x＞0时，f’(x)单调增，且当x→+∞时，f’(x)趋于零，所以，当x＞0时，f’(x)＜0．进而知当x＞0时，f(x)单调减，且当x→+∞时，f(x)趋于零，于是，当x＞0时，f(x)＞0．所以，对一切自然数n，恒有f(n)＞0，故有从而右端不等式成立．类似地，引入辅助函数类似可证明：当x＞0时，g(x)＜0，从而对一切自然数n，左端不等式成立．知识点解析：暂无解析7、设f(χ)＝讨论f(χ)在χ＝0处的可导性．标准答案：f(0)＝f(0－0)＝0，f(0＋0)＝＝0，由f(0－0)＝f(0＋0)＝f(0)得f(χ)在χ＝0处连续；由＝0得f′－(0)＝0，得f′+(0)＝0，因为f′－(0)＝f′+(0)＝0，所以f(χ)在χ＝0处可导．知识点解析：暂无解析8、设二次型f=x12+x22+x32+2ax1x2+2βx2x3+2x1x3经正交变换x=Py化成产f=y22+2y32，其中x=(x1，x2，x3)T和y=(y1，y2，y3)T都是3维列向量，P是3阶正交矩阵.试求常数α，β．标准答案：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为因为P为正交矩阵，所以即A与B相似，故A与B有相同的特征值λ1=0，λ2=1，λ3=2，这些特征值满足｜λE一A｜=0．当λ1=0，则由式(1)和(2)，可求得α=β=0．知识点解析：本题主要考查二次型在正交变换下的不变量．令二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为A，由标准形f=y22+2y32，知A的特征值为0，1，2，代入A的特征方程，求得α，β．9、设A＝，问当k取何值时，存在可逆矩阵P，使得P-1AP成为对角矩阵?并求出P和相应的对角矩阵．标准答案：由｜λE－A｜＝＝(λ＋1)2(λ－1)＝0得A的全部特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝1．故A可对角化A的属于2重特征值λ1＝λ2＝－1的线性无关特征向量有2个方程组(－E－A)χ＝0的基础解系含2个向量3－r(－E－A)＝2r(－E－A)＝k＝0．当k＝0时，可求出A的对应于特征值－1，－1；1的线性无关特征向量分别可取为α1＝(－1，2，0)T，α2＝(1，0，2)T，α3＝(1，0，1)T，故令P＝[α1α2α3]＝，则有P-1AP＝diag(－1，－1，1)．知识点解析：暂无解析10、设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n．标准答案：必要性．若BTAB为正定矩阵，则对任意的实n维列向量x≠0，有xT(BTAB)x＞0，即(Bx)TA(Bx)＞0．又A为正定矩阵，于是Bx≠0．因此齐次线性方程组Bx=0仅有零解，从而r(B)=n．充分性．因(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵．若r(B)=n，则齐次线性方程组Bx=0仅有零解．因此，对任意的n维实列向量x≠0，必有Bx≠0．由已知，A为正定矩阵，故对Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0，xT(BTAB)x＞0，故BTAB为正定矩阵．知识点解析：本题主要考查实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件，齐次线性方程组仅有零解的判别．注意运用齐次线性方程组Bx=O只有零解充分必要条件是，则有Bx≠0，这是证题的关键．11、设f(x)，g(x)在(a，b)内可导，g(x)≠0且(a，b))．证明：存在常数c，使得f(x)=cg(x)，x∈(a，b)．标准答案：因为所以存在常数c，使得，即f(x)=cg(x)(∈(a，b))．知识点解析：暂无解析12、求由曲线y=4-x2与X轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．标准答案：取[x，x+dx][-2，2]，则dV=2π(3-x)(4-x2)dx，V=∫-22dV=2π∫-22(3-x)(4-x2)dx=6π∫-22(4-x2)dx=12π∫02(4-x2)dx=12π×=64π知识点解析：暂无解析13、把二重积分f(x,y)dxdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x+y=1，x=1，y=1围成．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求证：f(x，y)=Ax2+2Bxy+Cy2在约束条件g(x,y)=下有最大值和最小值，且它们是方程k2一(Aa2+Cb2)k+(AC—B2)a2b2=0的根．标准答案：因为f(x，y)在全平面连续，为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值．设(x1，y1)，(x2，y2)分别为最大值点和最小值点，令则(x1，y1)，(x2，y2)应满足方程记相应乘子为λ1，λ2，则(x1，y1，λ1)满足解得λ1=Ax12+2Bx1y1+Cy12同理λ2=Ax22+2Bx2y2+Cy22．即λ1，λ2是f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值．又方程组①和②有非零解，系数行列式为0，即化简得λ2一(Aa2+Cb2)λ+(AC—B2)a2b2=0，所以λ1，λ2是上述方程(即题目所给方程)的根．知识点解析：暂无解析15、已知A=，求A2016。标准答案：令，则A2016=。知识点解析：暂无解析16、已知a1，a2，…，as是互不相同的数，n维向量αi=(1，ai，ai2，…，ain-1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．标准答案：当s＞n时，α1，α2，…，αs必线性相关，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn线性无关．因而r(α1，α2，…，αs)=n．当s=n时，α1，α2，…，αn线性无关，秩r(α1，α2，…，αn)=n．当s＜n时，记α’1=(1，a1，a12，…，a1s-1)T，α’2=(1，a2，a22，…，a2s-1)T，…，α’s=(1，as，as2，…，ass-1)T，则α’1，α’2，…，α’s线性无关．那么α1，α2，…，αs必线性无关．故r(α1，α2，…，αs)=s．知识点解析：暂无解析17、用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=-4x1x2-4x1x3-4x2x3为标准二次型．标准答案：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中X=由｜E-A｜==(λ+3)(λ-3)2=0得λ1=-3，λ2=λ3=3．由(-3E-A)X=0得λ1=-3对应的线性无关的特征向量为α1=由(3E-A)X=0得λ2=λ3=3对应的线性无关的特征向量为α2=将α2，α3正交化得β2=知识点解析：暂无解析已知二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3．18、写出二次型f的矩阵表达式；标准答案：二次型的矩阵则二次型f的矩阵表达式为f=xTAx．知识点解析：暂无解析19、用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．标准答案：A的特征多项式|A一λE|=一(6+λ)(1-λ)(6一λ)，则A的特征值λ1=一6，λ2=1，λ3=6．λ1=一6对应的正交单位化特征向量λ2=1对应的正交单位化特征向量λ3=6对应的正交单位化特征向量令正交矩阵所求正交变换二次型f的标准形f=一6y12+y22+6y32．知识点解析：暂无解析20、证明：用二重积分证明标准答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S={(x，y)｜0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第3套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线Y=ax2围成一平面图形D，求(I)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(A);(II)a的值，使V(x)为最大。标准答案：由题意知，y=ax2与y=1一x2的交点为直线OA的方程为(I)旋转体的体积(II)当a＞0时，得V(A)的唯一驻点a=4。当0＜a＜4时，V’(A)＞0；当a＞4时，V’’(A)＜0。故a=4为V(A)的唯一极大值点，即为最大值点。知识点解析：暂无解析2、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=k，r(α1，α2，…，αs，β，γ)=k+1，求r(α1，α2，…，αs，β－ξ)．标准答案：利用定理3．6，只用看β－γ能不能用α1，α2，…，αs线性表示．由条件知，β可用α1，α2，…，αs线性表示，γ不能用α1，α2，…，αs，β线性表示，从而也就不能用α1，α2，…，αs线性表示．于是β－γ不能用α1，α2，…，αs线性表示．从而r(α1，α2，…，αs，β－γ)=k+1．知识点解析：暂无解析3、设f’(x)=arcsin(x-1)2，f(0)=0，求∫01f(x)dx．标准答案：∫01f(x)dx=∫01f(x)d(x-1)=(x-1)f(x)｜01-∫01(x-1)f’(x)dx=f(0)-∫01(x-1)f’(x)dx=-∫01(x-1)arcsin(x-1)2dx=∫01arcsin(x-1)2d(x-1)2∫01arcsintdt=∫01arcsintdt知识点解析：暂无解析4、设A为实矩阵，证明ATA的特征值都是非负实数．标准答案：ATA是实对称矩阵，特征值都是实数．设λ是ATA的一个特征值，η是属于A的一个实特征向量，则ATAη=λη．于是ηTATAη=AηTη，即(η，η)＞0，(Aη，Aη)≥0，因此λ≥0．知识点解析：暂无解析5、设c1，c2，…，cn均为非零实常数，A＝(aij)n×n为正定矩阵，令bij＝aijcicj(i，j＝1，2，…，n)，矩阵B＝(bij)n×n，证明矩阵B为正定矩阵．标准答案：由bji＝bij，知B对称．若χ1，χ2，…，χn不全为0，则c1χ1，c2χ2，…，cnχn不全为零，此时，(χ1，χ2，…，χn)B(χ1，χ2，…，χn)T＝accχχ＝a(cχ)(cχ)＞0，故B正定．知识点解析：暂无解析6、标准答案：令ex=t，dx=知识点解析：暂无解析7、设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e-x=0，求f(x)．标准答案：因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(u)du，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01(tx)dt+e-x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt+e-x=0，两边对x求导得f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x，由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，则方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．由f(0)=1，f’(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x．知识点解析：暂无解析8、求2y－＝(χ－y)ln(χ－y)确定的函数y＝y(χ)的微分dy．标准答案：2y－χ＝(χ－y)ln(χ－y)关于χ求导得知识点解析：暂无解析9、标准答案：令χ＝tant，则知识点解析：暂无解析10、已知A＝可对角化，求可逆矩阵P及对角矩阵∧，使P-1AP＝A．标准答案：由特征多项式｜λE—A｜＝＝(λ－1)2(λ＋2)，知矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－2．因为矩阵A可以相似对角化，故r(E－A)=1．而E－A＝所以χ＝6．当λ＝1时，由(E－A)χ＝0得基础解系α1＝(－2，1，0)T，α2＝(0，0，1)T．当λ＝－2时，由(－2E－A)χ＝0得基础解系α3＝(－5，1，3)T．那么，令P＝(α1，α2，α3)＝，得P-1AP＝知识点解析：暂无解析11、设，求n，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析假设λ为n阶可逆矩阵A的一个特征值，证明：12、为A-1的特征值；标准答案：设A对应于特征值λ的特征向量为X，则知识点解析：暂无解析13、为A的伴随矩阵A*的特征值．标准答案：由上题设可知知识点解析：暂无解析14、设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)．二次型f(x1，x2，…，xn)=(1)记X=(x1，x2，…，xn)T，把f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A一1；(2)二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同？说明理由．标准答案：(1)f(X)=(x1，x2，…，xn)因秩(A)=n，故A可逆，且A一1=A*，从而(A一1)T=(AT)一1=A一1，故A一1也是实对称矩阵，因此二次型f(X)的矩阵为(2)因为(A一1)TAA一1=(AT)一1E=A一1，所以A与A一1合同，于是g(X)与f(X)有相同的规范形．知识点解析：暂无解析15、计算标准答案：令知识点解析：暂无解析16、用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：故原方程的通解为y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx．知识点解析：暂无解析17、细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．标准答案：设t时刻细菌总数为S，则有＝kS，S(0)＝100，S(24)＝400，所以S＝，S(12)＝100eln2＝200．知识点解析：暂无解析18、设某种商品的需求量Q是单价p(单位：元)的函数：Q＝12000－80p；商品的总成本C是需求量Q的函数：C＝25000＋50Q；每单位商品需要纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价和最大利润额．标准答案：设L为销售利润额，有L＝(12000－80p)(p－2)－(25000＋50Q)＝(12000－80p)(p－2)－[25000＋50(12000－80p)]＝－80p＋16160p－649000令Lˊ＝－160p＋16160＝0，得驻点p＝101．又L〞＝－160＜0，所以，当P＝101时，L有极大值，也是最大值，最大利润额L｜p＝101＝167080(元)．知识点解析：暂无解析19、设一球面过点M(1，2，3)且与各坐标面相切，求此球面方程．标准答案：因为点M(1，2，3)在第一卦限，所以球面一定在第一卦限．设球面方程(因为与坐标面相切)为：(x－a)2＋(y－a)2＋(z－a)2＝a2，a＞0又由于点M(1，2，3)在球面上，故满足球面方程：(1－a)2＋(2－a)2＋(3－a)2＝a2知识点解析：暂无解析20、设X1，X2均服从[0，4]上的均匀分布，且P{X1≤3，X2≤3}=9/16，求P{X1＞3，X2＞3}．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第4套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、求极限：．标准答案：连续使用完两次法则，又回到了起点，法则失效，正确的做法是先对式子恒等变形．分子分母同乘ex，即．知识点解析：暂无解析2、求标准答案：知识点解析：暂无解析3、求标准答案：知识点解析：暂无解析4、求不定积分标准答案：知识点解析：暂无解析5、有一椭圆形薄板，长半轴为a，短半轴为b，薄板垂直立于水中，而其短半轴与水面相齐，求水对薄板的侧压力．标准答案：取坐标系如图3．17所示，椭圆方程为＝1．分割区间[0，a]，在小区间[χ，χ＋dχ]对应的小横条薄板上，水对它的压力dP＝压强×面积＝γχ.2γdχ＝γχdχ，其中γ为水的比重．于是从0到a积分便得到椭圆形薄板所受的压力知识点解析：暂无解析6、当a，b取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(Ⅰ)当a≠0，且b≠3时，方程组有唯一解(Ⅱ)当a=0时，b方程组均无解．(Ⅲ)当a≠0，b=3时，方程组有无穷多解+k(0，－3，2)T．知识点解析：暂无解析7、标准答案：结合图1．3—3，可得知识点解析：暂无解析8、用变量代换x=cost(0＜t＜π)化简微分方程(1一x2)y’’一xy’+y=0，并求其满足y｜x=0=1，y’｜x=0=2的特解。标准答案：代入原方程，得解此微分方程，得y=C1cost+C2sint=C1x+，将y｜x=0=1，y’｜x=0=2代入，得C1=2，C2=1。故满足条件的特解为。知识点解析：暂无解析9、设z=．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设A=，已知r(A*)+r(A)=3，求a，b应该满足的关系．标准答案：根据伴随矩阵的秩的性质，r(A*)+r(A)=3这个条件说明了r(A)=2．则a+2b和a-b必须有一个为0(否则r(A)=3)，但是a-b为0则r(A)＜2．于是得r(A)=2的条件是a+2b=0且a-b≠0，即a=-2b并且a≠b．或者表示为：a=-2b≠0．知识点解析：暂无解析11、已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，如AB=C，且r(C)=m，证明A的行向量线性无关．标准答案：(用定义)对矩阵A按行分块，记A=，那么AT=(α2T，α2T，…，αmT)．若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0，即(α1T，α2T，…，αmT)=0，即AT=0，那么BTAT=0．于是CT=0．因为C是m×p矩阵，那么CT是p×m矩阵．由于r(CT)=r(C)=m，所以齐次方程组CTx=0只有零解．因此k1=0，k2=0，…，km=0．故α1，α2，…，αm线性无关．知识点解析：暂无解析12、设f(x)在[a，+∞)上连续，f(a)<0，而存在且大于零．证明：f(x)在(a，+∞)内至少有一个零点．标准答案：令=k>0，取ε0=＞0，因为=k＞0，所以存在X0＞0，当x≥X0时，有｜f(x)-k｜≤，从而f(x)≥>0，特别地，f(X0)>0，因为f(x)在[a，X0]上连续，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知识点解析：暂无解析13、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1．证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．标准答案：令φ(x)=exf(x)，由微分中值定理，存在η∈(a，b)，使得=eη[f’(η)+f(η)]，再由f(a)=f(b)=1，得=eη[f’(η)+f(η)]，从而=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，令φ(x)=e2x，由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得即2e2ξ=(ea+eb)eη[f’(η)+f(η)]，或2e2ξ-η=(ea+eb)[f’(η)+f(η)]．知识点解析：暂无解析14、细菌的增长率与总数成正比．如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数．标准答案：设t时刻细菌总数为S，则有，S(0)=100，S(24)=400，知识点解析：暂无解析15、标准答案：知识点解析：暂无解析16、直线y＝x将椭圆x2＋3y2＝6y分为两块，设小块面积为S，求S．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析18、考虑有一保险公司设计一个险种预计卖出n个保单，设Xj是第j个保单投保人在未来一个特定时期内发生索赔时保险公司的险赔金额，记S=X1+X2+…+Xn，则S是保险公司在这一保险期内向这n个投保人赔付的总金额．假设Xj均服从均值为5的指数分布且相互独立．保险公司希望确定适当保费水平p，保证P{np≥S}=0．95，试求满足这一要求的p关于n的函数．并分析投保人数规模n对p的影响．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求P(Z≤1/2|X=0)；标准答案：知识点解析：暂无解析20、求Z的概率密度fZ(z)．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第5套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设有来自三个地区各10名，15名，25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3价，7份，5份．随机地取出一个地区的报名表，从中先后抽取两份．(1)求先抽到的一份是女生表的概率p；(2)已知后取到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q．标准答案：(1)由全概率公式，得知识点解析：随机试验分为两个阶段，先要抽取一个地区，再在所抽取的地区中先后抽取两份报名表，第二阶段的结果由第一阶段试验结果所决定，因此考虑使用全概率公式进行计算．可以设Bi表示“报名表是第i个地区考生的”i=1，2，3．P(E)=Ai表示“第j次抽到的报名表是男生表”j=1，2．重复使用全概率公式得到所求概率．2、求标准答案：属型．先用等价无穷小关系arctan4x～x(x→0)化简分母后再用洛必达法则得知识点解析：暂无解析3、求xn，其中xn=标准答案：作恒等变形后再作放大与缩小：于是又故由夹逼定理知知识点解析：暂无解析4、设A，B是两个事件，且求(1)(X，Y)的概率分布；(2)Z=X2+Y2的概率分布；(3)问X，Y是否相互独立．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设(X，Y)的概率密度为f(x，y)=，一∞＜x，y＜+∞，求fX(x)．标准答案：．知识点解析：暂无解析6、设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a—1(2)有公共解，求a的值及所有公共解。标准答案：把方程组(1)与方程(2)联立，得方程组则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有因方程组(3)有解，所以(a—1)(a—2)=0。当a=1时，，此时方程组(3)的通解为k(—1，0，1)T(k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。当a=2时，，此时方程组(3)有唯一解(0，1，—1)T，这也是方程组(1)与(2)的公共解。知识点解析：暂无解析7、求一块铅直平板如图3．1所示在某种液体(比重为γ)中所受的压力．标准答案：液体中深度为h处所受的压强为p=hγ，从深度为a到x之间平板所受的压力记为P(x)，任取[x，x+△x]上小横条，所受压力为△P=P(x+△x)－P(x)≈xγ.c△x．令△x→0，得dP(x)=xγcdx．于是，总压力为P=∫abxγcdx=(b2－a2)=(a+b)c(b－a)=γ.矩形中心的深度.矩形的面积．知识点解析：暂无解析8、设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．标准答案：令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b)，因为f(x)，g(x)在[a，b]上为增函数，所以F(x，y)≥0，从而∫abdx∫abF(x，y)dy≥0，而∫abdx∫abF(x，y)dy=∫abdx∫ab[f(x)g(x)-f(x)g(y)-f(y)g(x)+f(y)g(y)]dy=(b一a)∫ab}f(x)g(x)dx—∫abf(x)dx∫abg(y)dy—∫abg(x)dx∫abf(y)dy+(b一a)∫abf(y)g(y)dy=2(b一a)∫abf(x)g(x)dx一2∫abf(x)dx∫abg(x)dx，故∫abf(x)dx∫abg(x)dx≤(b一a)∫abf(x)g(x)dx．知识点解析：暂无解析9、设抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=一x2+2x所围图形的面积最小，求a，b，c的值．标准答案：由y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)得则y=ax2+(2-a)x．令ax2+(2一a)x=一x2+2x得x=0及所围成的图形面积为得a=一3，且当a＜一3时，S’(a)＜0；当a＞一3时，S’(a)＞0，故当a=一3时，所围成的面积最小，此时a=一3，b=5，c=0．知识点解析：暂无解析10、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导且f(a)≠f(b)．试证：存在η，ξ∈(a，b)，使得标准答案：由拉格朗日中值定理知f(b)一f(a)=f’(η)(b一a)，又由柯西中值定理知知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且f’(x)≠0，证明：存在ξ，η，ζ∈(1，2)，使得标准答案：令F(x)=lnx，F’(x)=≠0，由柯西中值定理，存在ξ∈(1，2)，使得由拉格朗日中值定理得，其中η∈(1，2)，f(2)-f(1)=f’(ζ)(2-1)=f’(ζ)，其中ζ∈(1，2)，故知识点解析：暂无解析12、已知下列非齐次线性方程组(I)，(II)：(1)求解方程组(I)，用其导出组的基础解系表示通解；(2)当方程组中的参数m，n，t为何值时，方程组(I)与(Ⅱ)同解?标准答案：(1)(－2，－4，－5，0)T＋k(1，1，2，1)T；(2)m＝2，n＝4，t＝6。知识点解析：暂无解析13、求函数f(x)=(2-t)e-tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2-x2)=0，得f(x)的唯一驻点为x=当x∈(0，)时，f’(x)>0，当x∈(，+∞)时，f’(x)<0，注意到驻点的唯一性，则x=及x=-为函数f(x)的最大值点，最大值为f()=f(-)=1+因为f(+∞)=f(-∞)=∫0+∞(2-t)etdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析14、设A为4阶矩阵，满足条件AAT＝2E，｜A｜＜0，其中E是4阶单位矩阵，求方阵A的伴随矩阵A*的一个特征值．标准答案：．知识点解析：暂无解析设A为n阶实对称可逆矩阵，f(x1，x2，…，xn)=15、记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；标准答案：f(X)=(x1，x2，…，xn)因为r(A)=n，所以｜A｜≠0，于是=A-1，显然A*，A-1都是实对称矩阵．知识点解析：暂无解析16、二次型g(X)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?标准答案：因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)与g(x)=XTAX规范合同．知识点解析：暂无解析17、标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算定积分∫-aa(χ－a)．标准答案：知识点解析：暂无解析19、计算D2n=标准答案：方法一方法二D2n=a2D2n-2-b2D2n-2=(a2-b2)D2n-2=…=(a2-b2)n．知识点解析：暂无解析20、设A，B，C，D都是n阶矩阵，r(CA＋DB)＝n．(1)证明：r＝n；(2)设ξ1，ξ2，…，ξr，与η1，η2，…，ηs分别为方程组AX＝0与BX＝0的基础解系，证明：ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηs线性无关．标准答案：(1)因为n＝r(CA＋DB)＝≤n，所以＝n；(2)因为＝n，所以方程组＝0只有零解，从而方程组AX＝0与BX＝0没有非零的公共解，故ξ1，ξ2，…，ξr，与η1，η2，…，ηs线性无关．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第6套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、求极限：标准答案：当x→0时，sinx～x，ex一e-x=e-x(e2x一1)～2x，故原极限=2．知识点解析：暂无解析2、设随机变量X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，求Z=(X+Y)2的概率密度fZ(Z)．标准答案：设T=X+Y，则Z=T2，由独立条件下正态分布的性质，T服从N(0，2)，知识点解析：解答本题的关键是独立条件下正态分布的性质．因为X和Y相互独立，且都服从标准正态分布N(0，1)，可知X+Y服从N(0，2)，再利用分布函数法求解．3、求不定积分∫cos(lnx)dx标准答案：知识点解析：暂无解析4、求下列定积分：标准答案：(Ⅰ)由于，故(Ⅱ)由于，故作平移变换：，则知识点解析：暂无解析5、标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析6、设实对称矩阵求可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵，并计算行列式｜A—E｜的值．标准答案：矩阵A的特征多项式为由此得矩阵A的特征值λ1=λ2=a+1，λ3=a—2．对于特征值λ=λ=a+1，可得对应的两个线性无关的特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(1，0，1)T．对于特征值λ3=a一2，可得对应的特征向量α3=(一1，1，1)T．令矩阵知识点解析：本题主要考查的知识点是把实对称矩阵化为对角矩阵的方法，矩阵特征值、特征向量的求法及相似矩阵的性质．由题设可求出矩阵A的3个线性无关的特征向量，于是可求出可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵．由｜A—E｜=｜P一1AP—P一1P｜=｜P一1AP-E｜，可知只要求出对角矩阵P一1AP，就可以计算出｜A一E｜．7、设f(x)在闭区间[1，2]上可导，证明：∈(1，2)，使f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．标准答案：把所证等式ξ改为x，得xf’(x)一f(x)=f(2)一2f(1)，两边同除以x2，得F(2)=F(1)=f(2)一f(1)．由罗尔定理，∈(1，2)，使F’(ξ)=0，即f(2)一2f(1)=ξf’(ξ)一f(ξ)．知识点解析：暂无解析8、已知3阶矩阵A=有一个二重特征值，求a，并讨论A是否相似于对角矩阵．标准答案：(1)求a．A的特征多项式为要使得它有二重根，有两种可能的情况：①2是二重根，即2是λ2－8λ+18+3a的根，即4－16+18+3a=0，求出a=一2，此时三个特征值为2，2，6．②2是一重根，则λ2－8λ+18+3a有二重根，λ2－8λ+18+3a=(x－4)2，求出a=－2／3．此时三个特征值为2，4，4．(2)讨论A是否相似于对角矩阵．①当a=－2时，对二重特征值2，考察3－r(A－2E)是否为2？即r(A－2E)是否为1A－2E=，r(A－2E)=1，此时A可相似对角化②当a=－2／3时，对二重特征值4，考察3－r(A－4E)是否为2？即r(A－4E)是否为1A－4E=，r(A－4E)=2，此时A不相似于对角矩阵．知识点解析：暂无解析9、计算∫ln(1＋)dχ标准答案：令＝t，则∫ln(1＋)dχ＝∫ln(1＋t)d(t2)＝t2ln(1＋t)－dt＝t2ln(1＋t)－＝t2ln(1＋t)－＋t－ln(t＋1)＋C＝(χ－1)＋C．知识点解析：暂无解析10、证明可微的必要条件：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)都存在，且=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。标准答案：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则等式△z=A△x+B△y+成立。令△y=0，于是，令=B，于是证明了fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y。知识点解析：暂无解析11、设f(χ)＝sin3χ＋∫－ππχf(χ)dχ，求∫0πf(χ)dχ．标准答案：令∫-ππχf(χ)dχ＝A，则f(χ)＝sin3χ＋A，χf(χ)＝χsin3χ＋Aχ两边积分得∫-ππχf(χ)dχ＝∫-ππχsinχdχ＋∫-ππAχdχ，即A＝∫-ππχsin3χdχ＝2∫0πχsin3χdχ＝π∫0πsin3χdχ＝2πsin3χdχ＝，从而f(χ)＝sin3χ＋，故知识点解析：暂无解析12、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r。的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，则，于是有r＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小时雪堆可以全部融化．知识点解析：暂无解析13、已知A是m×n矩阵，m＜n证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．标准答案：由(AAT)T=(AT)TAT=AAT，所以AAT是对称阵．必要性若AAT正定，r(AAT)=m≤r(A)，又r(Am×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组ATX=0只有零解，故对任意X≠0，均有ATX≠0，故XTAATX=(ATX)T(ATX)＞0，即AAT正定．知识点解析：暂无解析14、设z＝arctan，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上连续且单调增加，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析设y=f(x)=16、讨论f(x)在x=0处的连续性；标准答案：f(0+0)=f(0)=f(0-0)=1，由f(0)=f(0-0)=f(0+0)=1得f(x)在x=0处连续．知识点解析：暂无解析17、f(x)在何处取得极值?标准答案：当x＞0时，由f’(x)=2x2x(1+lnx)=0得x=；当x＜0时，f’(x)=1＞0．当x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜时，f’(x)＜0；当x＞时，f’(x)＞0，则x=0为极大点，极大值为f(0)=1；x=为极小点，极小值为知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且证明：存在，使得f’(ξ)+f’(η)=ξ2+η2。标准答案：令则F(1)=F(0)=0。在区间上分别应用拉格朗日中值定理，知识点解析：暂无解析19、已知y＝sin4x＋cos4x，求y(n)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求解下列微分方程：标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第7套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、求极限：．标准答案：知识点解析：暂无解析2、试证：当T＞0时，(x2－1)lnx≥(x－1)2．标准答案：构造辅助函数f(x)＝(x2－1)lnx－(x－1)2，或，利用单调性；也可对lnx在1与x之间用拉格朗日中值定理和单调性；或直接用泰勒公式来证明．知识点解析：暂无解析3、设总体X～(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是一个样本，，S2分别为样本均值和样本方差，设C1，…，Cn是不全相等的常数，且所服从的分布；(2)求。标准答案：知识点解析：综合考查正态总体常用统计量的分布与数字特征，由于=0，故可将Y的形式化简，再利用独立条件下正态分布的运算性质判断出Y的分布．又与S2独立，从而．4、求其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图l-4-2)。标准答案：令D1={(x，y)｜x2+y2≤4}，D2={(x，y)｜(x+1)2+y2≤1}(如图1—4—23所示)。知识点解析：暂无解析5、求函数y=excosx的极值．标准答案：知识点解析：暂无解析6、设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．标准答案：函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析7、设f(x)=标准答案：知识点解析：暂无解析8、设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，证明：标准答案：(1)方法一由上可得方法二其中代入上式得(2)以T为周期(3)只需注意是f(x)的一个原函数．知识点解析：暂无解析9、设f(x)为连续正值函数，x∈[0，+∞)，若平面区域Rt={(x，y)｜0≤x≤t，0≤y≤f(x)}(t＞0)的形心纵坐标等于曲线y=f(x)在[0，t]上对应的曲边梯形面积与之和，求f(x)．标准答案：(Ⅰ)列方程．按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为∫0tf(x)dx．见图6．2．按题意即∫0tf2(x)dx=2[∫0tf(x)dx]2+∫0tf(x)dx(x≥0)．①(Ⅱ)转化．将方程①两边求导，则方程①<=>f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t)<=>f(t)=40tf(x)dx+1②(①中令x=0，等式自然成立，不必另加条件)．f(x)实质上是可导的，再将方程②两边求导，并在②中令t=0得方程①<=>方程②<=>③(Ⅲ)求解等价的微分方程的初值问题③．这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘μ(t)=e－∫4dte－4t得[f(t)ee－4t]’=0，并由初始条件得f(t)=e4t，即f(x)=e4x．知识点解析：暂无解析10、∫χ2arctanχdχ．标准答案：知识点解析：暂无解析设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O，r(A)=2．11、求A的全部特征值；标准答案：由A2+2A=O得r(A)+r(A+2E)=3，从而A的特征值为0或-2，因为A是实对称矩阵且r(A)=2，所以λ1=0，λ2=λ3=-2．知识点解析：暂无解析12、当k为何值时，A+kE为正定矩阵?标准答案：A+kE的特征值为k，k-2，k-2，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．知识点解析：暂无解析13、设A是n×n矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0，证明：A=O．标准答案：由于对任何x均有AX=0，取X=[1，0，…，0]T，由得a11=a21=…=am1=0．类似地，分别取X为e1=[1，0，…，0]T，e2=[0，1，0，…，0]T，…，en=[0，0，…，1]T代入方程，可证每个aij=0，故A=0.知识点解析：暂无解析14、设向量组证明：向量组α1，α2，…，αs线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(唯一零解)．标准答案：α1，α2，…，αs(线性无关)线性相关(不)存在不全为0的x1，x2，…，xs，使得x1α1+x2α2+…+xsαs=0成立有非零解(唯一零解)．知识点解析：暂无解析15、设z＝f(2z－y，ysinχ)，其中f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求标准答案：＝2f′1＋ycosχf′2，＝2(－f〞11＋sinχf〞12)＋cosχf′2＋ycosχ(－f〞21＋sinχf〞22)＝－2f〞11＋(2sinχ－ycosχ)f〞12＋cosχf′2＋ysinχcosχf〞22知识点解析：暂无解析16、设a1＜a2＜…n，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，a2]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得标准答案：当c=ai(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立；设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2＜…＜an．令k=构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a1)(x-a2)…(x-an)，显然φ(x)在[a1，an]上n阶可导，且φ(a1)=φ(c)=φ(a2)=…=φ(an)=0，由罗尔定理，存在，φ’(x)在(a1，an)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ(n-1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1，an)，使得φ(n-1)(c1)=φ(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)(a1，a2)，使得φ(n)(ξ)=0．而φ(n)(x)=f(n)(x)-n!k，所以f(ξ)=n!k，从而有知识点解析：暂无解析17、设函数f(x)在[0，1]上可微，且满足f(1)=xf(x)dx(0＜λ＜1)，证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=标准答案：令φ(x)=xf(x)，由积分中值定理得f(1)=.cf(c).λ=cf(c)，其中c∈[0，λ]，从而φ(c)=φ(1)，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=f(x)+xf’(x)，故f’(ξ)=知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)和g(x)和[a，b]上存在二阶导数，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，试证(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使标准答案：证：将欲证的等式变形为f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0，由此可启发我们构造辅助函数φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)．(1)用反证法．若存在c∈(a，b)，使g(c)＝0，对g(x)在[a，c]和[c，b]上应用罗尔定理，知存在ε1∈(a，c)，ε2∈(c，d)，使gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0．gˊ(x)再在[ε1，ε2]上应用罗尔定理，应存在ε3∈(ε1，ε2)，使g〞(ε3)＝0，这与条件g〞(x)≠0矛盾．故在(a，b)内g(x)≠0．(2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)，则φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理知，存在ε∈(a，b)，使φˊ(ε)＝0，即fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0即f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε)因g(ε)≠0，g〞(ε)≠0，故得知识点解析：暂无解析19、求下列不定积分：标准答案：知识点解析：暂无解析20、若，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第8套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设x的概率密度为f(x)=，F(x)是x的分布函数，求Y=F(x)的分布函数和概率密度。标准答案：由已知条件，当x＜1时，F(x)=0；当1≤x＜8时，F(x)=．当x≥8时，F(x)=1；综合上述讨论．可得Y的取值范围为[0，1]，当y＜0时，FY(y)=0；y≥1时，FY(y)=1；0≤y＜1时，FY(y)=P{Y≤y}=P{F(x)≤y}=P{一1≤y}=F((y+1)3)=y知识点解析：本题考查随机变量函数Y=F(X)的概率分布，由于没有直接给出函数的表达式，需要先确定F(x)=∫-∞x(t)dt的具体形式，再求Y=F(X)的分布函数．2、设.标准答案：．知识点解析：暂无解析3、已知f(x)=x2一x∫02f(x)dx+2∫01f(x)dx，求f(x)．标准答案：令∫02f(x)dx=A，∫01f(x)dx=B，则f(x)=x2一Ax+2B，两边在[0，2]上积分得知识点解析：暂无解析4、f(x)在(一∞，+∞)上连续，=+∞，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．标准答案：令F(x)=f(x)一x0，则F(x)在(一∞，+∞)上连续，且F(x)＜0，b＞x0，使得F(b)＞0，于是由零点定理知x2∈(x0，b)，使得F(x2)=0，即有x1＜x0＜x2，使得f(x1)=x0=f(x2)，从而得f[f(x1)]=f(x0)=f[f(x2)]．知识点解析：暂无解析5、设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使得P一1AP为对角矩阵．标准答案：当b=0或n=1时，A=E，于是A的特征值为λ1=…=λn=1，任意非零列向量均为特征向量；对任意n阶可逆矩阵P，均有P一1AP=E．下面考虑b≠0且n≥2的情形．由得A的特征值为λ=1+(n—1)b，λ=…=λ=1一b．(1)对于λ1=1+(n一1)b，考虑齐次线性方程组(λ1E一A)x=0，对λ1E－A施以初等行变换，得解得基础解系为ξ1=(1，1，…，1)T，所以A的属于λ1的全部特征向量为k1ξ1=k(1，1，…，1)T(k1为任意非零常数)．对于λ2=…=λn=1一b，考虑齐次线性方程组(λ2E一A)x=0．对λ2E-A施以初等行变换，得解得基础解系为ξ2=(1，一1，0，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T，故A的属于λ2的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn(k2，k3，…，kn是不全为零的常数)．(2)令P=(ξ1，ξ2，…，ξn)，则知识点解析：本题主要考查含参数的矩阵的特征值、特征向量的计算问题．计算过程中涉及行列式的计算、齐次线性方程组的求解以及矩阵对角化问题，因而是一道综合性较强的试题．由矩阵A的特征多项式｜λE一A｜，求出特征值，然后通过解齐次线性方程组(λE一A)x=0，求特征向量，进而求出P．6、设0＜x＜1，证明：＜4。标准答案：在＜4两边同时取对数得＜2ln2。令F(x)=一2ln2，则F(1)=0。原命题等价于当0＜x＜1时，F(x)＜0恒成立。对F(x)求导，得当0＜x＜1时，φ(x)＜φ(0)=0，即F’’(x)＜0，于是F’(x)＞F’(1)=0，从而有F(x)＜F(1)=0。命题得证。知识点解析：暂无解析7、设4元线性方程组(Ⅰ)为，又已知某齐次线性方程组(Ⅱ)的通解为k1(0，1，1，0)＋k2(－1，2，2，1)．(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系；(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解，若没有，则说明理由．标准答案：(1)由系数矩阵的初等行变换：令χ3＝1，χ4＝0，得ξ1＝(0，0，1，0)T；令χ3＝0，χ4＝1，得ξ2＝(－1，1，0，1)T，则ξ1，ξ2就是(Ⅰ)的一个基础解系．(2)若χ是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，则存在常数λ1，λ2，λ3，λ4，使由此得λ1，λ2，λ3，λ4满足齐次线性方程组解此齐次线性方程组，得其参数形式的通解为λ1＝C，λ2＝C，λ3＝C，λ4＝C，其中C：为任意常数．故(Ⅰ)和(Ⅱ)有非零公共解，全部非零公共解为C(0，0，1，0)T＋C(－1，1，0，1)T＝C(－1，1，1，1)T，其中C为任意非零常数．知识点解析：暂无解析8、设矩阵A＝可逆，向量α＝是矩阵A*的一个特征向量，λ是α对应的特征值，其中A*是A的伴随矩阵．试求a、b和λ的值．标准答案：由A可逆知A*可逆，于是有λ≠0，｜A｜≠0．由题设，有A*α＝λα，两端左乘A并利用AA*＝｜A｜E，得｜A｜α＝λAα，或Aα＝即b＝1或b＝－2，将a＝2代入矩阵A得｜A｜＝4。于是得λ＝，所以，a＝2，b＝1，λ＝1；或a＝2，b＝－2，λ＝4．知识点解析：暂无解析9、设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf′(η)＋f(η)＝0．标准答案：(1)令φ(χ)＝f(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝[f′(χ)－2χf(χ)]且≠0，故f′(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)令φ(χ)＝χf(χ)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ′(η)＝0，而φ′(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)，故ηf′(η)＋f(η)＝0．知识点解析：暂无解析10、求证：ex+e-x+2eosx=5恰有两个根．标准答案：即证f(x)=ex+e-x+2cosx-5在(-∞，+∞)恰有两个零点．由于f’(x)=ex-e-x-2sinx，f’’(x)=ex+e-x-2cosx＞2-2cosx≥0(x≠0)，f’(x)在(-∞，+∞)↑．又因f’(0)=0f(x)在(-∞，0]单调下降，在[0，+∞)单调上升．又f(0)=-1＜0，=+∞，因此f(x)在(-∞，0)与(0，+∞)各唯一零点，即在(-∞，+∞)恰有两个零点．知识点解析：暂无解析11、设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(χ)cosχdχ＝∫0πf(χ)sinχdχ＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f′(ξ)＝0．标准答案：令F(χ)＝∫0χf(t)sintdt，因为F(0)＝F(χ)＝0，所以存在χ1∈(0，π)，使得F′(χ1)＝0，即f(χ1)sinχ1＝0，又因为sinχ1≠0，所以f(χ1)＝0．设χ1是f(χ)在(0，π)内唯一的零点，则当χ∈(0，π)且χ≠χ1时，有sin(χ－χ1)f(χ)恒正或恒负，于是∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ≠0．而∫0πsin(χ－χ1)f(χ)dχ＝cosχ1∫0πf(χ)sinχdχ－sinχ1∫0πf(χ)cosχdχ＝0，矛盾，所以f(χ)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(χ1)＝f(χ2)＝0，χ1，χ2∈(0，π)且χ1＜χ2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(χ1，χ2)(0，π)，使得f′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析设A，B为n阶矩阵，P=13、求P.Q；标准答案：PQ==｜A｜｜B｜E知识点解析：暂无解析14、证明：当P可逆时，Q也可逆．标准答案：因为｜P｜=｜A｜｜B｜，所以当P可逆时，｜A｜｜B｜≠0，而PQ=｜A｜｜B｜E，即PQ=E，于是Q可逆且Q-1=知识点解析：暂无解析15、设α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，而向量组α1，α2…，αm，γ线性相关．证明：向量γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．标准答案：因为向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性无关，所以向量组α1，α2，…，αm也线性无关，又向量组α1，α2，…，αm，γ线性相关，所以向量γ可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，从而γ可由向量组α1，α2，…，αm，β1，β2，…，βn线性表示．知识点解析：暂无解析16、构造齐次方程组，使得η1=(1，1，0，-1)T，η2=(0，2，1，1)T构成它的基础解系．标准答案：所求AX=0要满足：4维向量η是AX=0的解η可用η1，η2线性表示．设η=(c1，c2，c3，c3)T，(η1，η1｜η)=于是η可用η1，η2线性表示c2-c1-2c3=0且c4+c1-c3=0η是齐次方程组的解．这个齐次方程组满足要求．知识点解析：暂无解析17、设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，βs的线性相关性．标准答案：方法一设x1β1+x2β2+…+xnβn=0，即(x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs-1+xs)αs=0．因为α1，α2，…，αs线性无关，则其系数行列式当s为奇数时，|A|=2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关；当s为偶数时，|A|=0，方程组有非零解，则向量组β1，β2，…，βs线性相关．方法二显然因为α1，α2，…，αs线性无关，则r(β1，β2，…，βs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K)}=r(K)．①r(K)=s|K|=1+(一1)αs+1≠0，即s为奇数时，r(β1，β2，…，βs)=s，则向量组β1，β2，…，βs线性无关；②r(K)|K|=1+(一1)s+1=0，即s为偶数时，r(β1，β2，…，βs)1，β2，…，βs线性相关．知识点解析：暂无解析18、设α是n维单位列向量，A＝E－ααT．证明：r(A)＜n．标准答案：A2＝(E－ααT)(E－ααT)＝E－2ααT＋ααT.ααT，因为α为单位列向量，所以αTα＝1，于是A2＝A．由A(E－A)＝O得r(A)＋r(E－A)≤n，又由r(A)＋r(E－A)≥r[A＋(E－A)]＝r(E)＝n，得r(A)＋r(E－A)＝n．因为E－A＝ααT≠0，所以r(E－A)＝r(ααT)＝r(α)＝1，故r(A)＝n－1＜n．知识点解析：暂无解析19、求曲面x2+y2+z2=x的切平面，使其垂直于平面x—y—z=2和标准答案：设切点为M0(x0，y0，z0)，令F(x，y，z)=x2+y2+z2一x，则切平面的法向量为n=(Fx’，Fy’，Fz’)M0=(2x0-1，2y0，2z0)，又已知知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sindx=0，∫0πf(x)cosxdx=0。证明在(0，π)内f(x)至少有两个零点。标准答案：反证法，如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，证法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)。这与假设相矛盾。如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x一a)同号，因此∫πf(x)sin(x一a)dx≠0.但是，另一方面∫0πf(0)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa一cosxsina)dx=cos∫0πf(x)sinxdx一sina∫0πf(x)cosxdx=0。这个矛盾说明f(x)也不可能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点。知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）模拟试卷第9套一、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)1、设存在，求a．标准答案：知识点解析：暂无解析2、设f(x)可导，y=f(cos2x)，当x=处取增量△x=一0．2时，△y的线性部分为0．2，求标准答案：知识点解析：暂无解析3、设A为正交矩阵，且｜A｜=一1，证明：λ=一1是A的特征值。标准答案：要证λ=一1是A的特征值，需证｜A+E｜=0。因为｜A+E｜=｜A+ATA｜=｜(E+AT)A｜=｜E+AT｜｜A｜=一｜A+E｜，所以｜A+E｜=0，故λ=一1是A的特征值。知识点解析：暂无解析4、设，其中