考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷2（共135题）

考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷2（共9套）（共135题）考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第1套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、标准答案：知识点解析：暂无解析2、已知求f(1)．标准答案：知识点解析：暂无解析3、求标准答案：原式=一(e—2xarctanex+e—x+arctanex)+C。知识点解析：暂无解析4、设标准答案：方程两边对χ求导数得知识点解析：暂无解析5、设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(χ)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y＝y(χ)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y＝y(χ)的凹凸性．标准答案：(Ⅰ)＝3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t＝0，，π时为零，因而得χ是t的单调(减)函数．反函数t＝t(χ)y＝sin3t(χ)＝y(χ)，χ∈[－1．1]．(Ⅱ)记0≤t≤π．当t≠0，，π时反函数t＝t(χ)可导，得y＝y(χ)可导，则注意y＝y(χ)在[－1，1]连续，t与χ的对应关系：得0≤χ≤1时y(χ)单调下降，－1≤χ≤0时y(χ)单调上升．因此y(χ)在[－1，0]，[0，1]均是凹的．y＝y(χ)的图形如图4．2．知识点解析：暂无解析6、飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至。时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．(1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；(2)导弹运行方程．标准答案：(1)设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得两边对x求导数得又所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为(2)令进一步解得故轨迹方程为知识点解析：暂无解析7、设χ＝χ(t)由sint－∫tχ(t)φ(u)du＝0确定，φ(0)＝φ′(0)＝1且φ(u)＞0为可导函数，求χ〞(0)．标准答案：t＝0时，χ(0)＝0．sint－∫tχ(t)φ(u)du＝0两边关于t求导得cost－φ[χ(t)]χ′(t)＋φ(t)＝0，取t＝0得χ′(0)＝2；两边再关于t求导可得－sint－φ′[χ(t)][χ′(t)]2－φ[χ(t)]χ〞(t)＋φ′(t)＝0，取t＝0得χ〞(0)＝－3．知识点解析：暂无解析8、若行列式的某个元素aij加1，则行列式的值增加Aij．标准答案：修改后的行列式第j列为(a1j，aij，…，anj+1，…，a)T=(a1j，…，aij，…，anj)T+(0，…，1，…，0)T，对它分解(性质⑤)，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为Aij．知识点解析：暂无解析9、计χy(χ＋y)dσ，其中D是由χ2－y2＝1及y＝0，y＝1围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析10、已知齐次线性方程组=有非零解，且矩阵A=是正定矩阵．(1)求a的值；(2)求当XTX=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T∈R3．标准答案：(1)由方程组的系数行列式△=a(a+1)(a一3)=0,a的取值范围为：0，一1，3，再由矩阵A正定，得a=3；(2)可求得A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为ξ(即Aξ=10ξ，且ξTξ=1)．对二次型XTAX，存在正交变换X=AX，使XTAXλ1y12+λ2y22+λ3y32≤10(y12+y22+y32)，当XTX=YTY=y12+y22+y32=2时，有XTAX≤10×2=20，又X0=满足X0TX0=2，且X0TAX0==2ξT(Aξ)=2ξT(10ξ)=20(ξTξ)=20，综上可知=20．知识点解析：暂无解析11、为清除井底污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥提出井口，设井深30m，抓斗自重400N，缆绳每米重50N，抓斗盛污泥2000N，提升速度为3m／s，在提升过程中，污泥以20N／S的速度从抓斗中漏掉，现将抓斗从井底提升到井口，问克服重力做功多少?标准答案：设拉力对空斗所做的功为W1，则W1=400×30=12000J．设拉力对绳所做的功为W2，任取[x，x+dx][0，30]，dW2=50(30-x)dx，则W2=∫030dW2=22500J．设拉力对污泥做功为W3，任取[t，t+dt][0，10]，dW3=(2000-20t)×3dt，则W3=∫010dW3=57000J，拉力克服重力所做的功为W=W1+W2+W3=91500J．知识点解析：暂无解析12、由方程听确定的函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的全微分dz=_________.标准答案：在给定方程的两边分别对x求偏导数，并注意到z是x,y的二元函数，得知识点解析：暂无解析设其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f'(0)=1。13、a、b为何值时，g(x)在x=0处连续。标准答案：由题意若要g(x)在x=0处连续，必须故b=一1，a为任意实数时，g(x)在x=0处连续。知识点解析：暂无解析14、a、b为何值时，g(x)在x=0处可导。标准答案：若要g(x)在x=0处可导，则必须g(x)在x=0处连续(b=一1)，且g+’(0)=g+’(0)，所以知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)和g(x)和[a，b]上存在二阶导数，并且g〞(x)≠0，f(a)＝f(b)＝g(a)＝g(b)＝O，试证(1)在开区间(a，b)内g(x)≠0；(2)在开区间(a，b)内至少存在一点ε，使标准答案：证：将欲证的等式变形为f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)＝0，由此可启发我们构造辅助函数φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)．(1)用反证法．若存在c∈(a，b)，使g(c)＝0，对g(x)在[a，c]和[c，b]上应用罗尔定理，知存在ε1∈(a，c)，ε2∈(c，d)，使gˊ(ε1)＝gˊ(ε2)＝0．gˊ(x)再在[ε1，ε2]上应用罗尔定理，应存在ε3∈(ε1，ε2)，使g〞(ε3)＝0，这与条件g〞(x)≠0矛盾．故在(a，b)内g(x)≠0．(2)令φ(x)＝f(x)gˊ(x)－fˊ(x)g(x)，则φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理知，存在ε∈(a，b)，使φˊ(ε)＝0，即fˊ(ε)gˊ(ε)＋f(ε)g〞(ε)－f〞(ε)g(ε)－fˊ(ε)gˊ(ε)＝0即f(ε)g〞(ε)＝f〞(ε)g(ε)因g(ε)≠0，g〞(ε)≠0，故得知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第2套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设f(x，y)＝，x＞0，y＞0，求(1)；(2)。标准答案：(1)；(2)π知识点解析：暂无解析2、设f(χ)在[0，＋∞)连续，f(χ)＝A＞0，求证：∫0χf(t)dt＝＋∞．标准答案：因，由极限的不等式性质可知，X，当χ＞X时f(χ)＞，则χ＞X时有因此∫0χf(t)dt＝＋∞．知识点解析：暂无解析3、设函数f(x)在(-∞，+∞)内满足f(x)=f(x-π)+sinx，且f(x)=x，x∈[0，π)，求∫π3πf(x)dx．标准答案：∫π3πf(x)dx=∫π3π[f(x-π)+sinx]dx=∫π3πf(x-π)dx=∫02πf(t)dt=∫0πf(t)dt+∫02πf(t)dt=∫0πtdt+∫π2π[f(t-π)+sint]dt=-2+∫π2πf(t-π)dt-2+∫0πf(u)du=π2-2．知识点解析：暂无解析4、标准答案：此题为用导数定义去求极限，关键在于把此极限构造为广义化的导数的定义式．=(x10)’|x=2+(x10)|x=2=2×10×29=10×210．知识点解析：暂无解析5、证明：当0＜x＜1时，(1+x)ln2(1+x)＜x2标准答案：令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x-ln2(1+x)-2ln(1+x)，f’(0)=0；故当0＜x＜1时，(1+x)ln2(1+x)＜x2知识点解析：暂无解析6、求证：当x＞0时，(x2一1)lnx≥(x一1)2标准答案：设f(x)=(x2一1)lnx一(x一1)2．所以f(1)=0．又因为f’(x)=2xlnx-x+2一,f’(1)=0，且f"(x)=2lnx+1+，f"(1)=2＞0，所以当x≥1时，f"(x)＞0，知f’(x)单调递增，则f’(x)≥f’(1)=0，从而f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=0．原式成立．当0＜x＜1时，f"’(x)＜0，知f"(x)单调递减，则f"(x)≥f"(1)=2＞0，从而f’(x)单调递增，故f’(x)＜f’(1)=0，所以f(x)单调递减，知f(x)＞f(1)=0．原式成立．知识点解析：暂无解析7、求曲线y＝的上凸区间．标准答案：由y〞＜0得(χ－3)2－1＜0，解得2＜χ＜4，故曲线y＝的上凸区间为(2，4)．知识点解析：暂无解析8、求不定积分标准答案：令有dx=tdt，于是知识点解析：暂无解析9、求双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)所围成的面积．标准答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的4倍，令则双纽线的极坐标形式为r2=所求面积为A=4A1=a2．知识点解析：暂无解析10、计算(x+y)2dxdy，其中D：ay≤x2+y2≤2ay(a>0)．标准答案：知识点解析：暂无解析11、求微分方程y2dx+(2xy+y2)dy=0的通解．标准答案：由y2dx+(2xy+y2)dy=0得所以原方程的通解为y2(y+3x)=C知识点解析：暂无解析12、已知对于n阶方阵A，存在自然数k，使得Ak=O．试证明：矩阵E一A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵)．标准答案：E=E一Ak=Ek一Ak=(E一A)(E+A+…+Ak一1)，所以E一A可逆，且(E—A)一1=E+A+…+Ak一1．知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析设矩阵为A*对应的特征向量．14、求a，b及α对应的A*的特征值；标准答案：显然α也是矩阵A的特征向量，令Aα=λ1α，则有｜A｜=12，设A的另外两个特征值为λ2，λ3，由得λ2=λ3=2．α对应的A*的特征值为=4．知识点解析：暂无解析15、判断A可否对角化．标准答案：2E-A=，因为r(2E-A)=2，所以λ2=λ3=2只有一个线性无关的特征向量，故A不可以对角化．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第3套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限：标准答案：当x→0时，tanx～x，知识点解析：暂无解析2、求极限。标准答案：由麦克劳林展开式sinx=x一+o(x3)，cosx=1一+o(x2)及常见的等价无穷小代换，可得知识点解析：暂无解析3、设矩阵相似，求x，y；并求一个正交矩阵P，使P－1AP=A。标准答案：A与相似，相似矩阵有相同的特征值，故λ=5，λ=一4，λ=y是A的特征值。因为λ=一4是A的特征值，所以｜A+4E｜==9(x一4)=0，解得x=4。又因为相似矩阵的行列式相同，｜A｜==一100，=一20y，所以y=5。当λ=5时，解方程(A一5E)x=0，得两个线性无关的特征向量，将它们正交化、单位化得：当λ=一4时，解方程(A+4E)x=0，得特征向量，单位化得：知识点解析：暂无解析4、计算∫01dy∫y1x2dx．标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析5、f(χ，y)＝χ3＋y3－3χy的极小值．标准答案：由得(χ，y)＝(0，0)，(χ，y)＝(1，1)．f〞χχ＝6χ，f〞χy＝－3，f〞yy＝6y，当(χ，y)＝(0，0)时，A＝0，B＝－3，C＝0，因为AC－B2＜0，所以(0，0)不是极值点；当(χ，y)＝(1，1)时，A＝6，B＝－3，C＝6，因为AC－B2＞0且A＞0，所以(1，1)为极小值点，极小值为f(1，1)＝－1．知识点解析：暂无解析6、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为v0／3?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0et．由v0e-t=v0／3得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为知识点解析：暂无解析7、A＝E－αβT，其中α，β都是n维非零列向量，已知A2＝3E－2A，求αTβ．标准答案：A2＝3E－2A，A2＋2A一3E＝0，(A＋3E)(A－E)＝0，(4E－αβT)(－αβT)＝0，4αβT－αβTαβT＝0，(βTα是数!)(4－βTα)αβT＝0，(由于α，β都是非零列向量，αβT不是零矩阵)4－βTα＝0，βTα＝4，从而αTβ＝βTα＝4．知识点解析：暂无解析8、设f(x)在[0，a](a>0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：标准答案：知识点解析：暂无解析9、讨论方程组的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中a，b为常数．标准答案：D==-(a+1)(b+2)．(1)当a≠-1，b≠-2时，因为D≠0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=-1，b≠-2时，当b≠-1时，方程组无解当b=-1时，(3)当a≠-1，b=-2时，当a≠1时，显然r(A)=2≠r()=3，方程组无解．知识点解析：暂无解析10、设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．标准答案：由Aα1＝α1得(A－E)α1＝0；由Aα2＝α1＋α2得(A－E)α2＝α1；由Aα3＝α2＋α3得(A－E)α3＝α2，令k1α1＋k2α2＋k3α3＝0，(1)(1)两边左乘A－E得k2α1＋k3α2＝0，(2)(2)两边左乘A－E得k3α1＝0，因为α1≠O，所以k30，代入(2)、(1)得k1＝0，k2＝0，故α1，α2，α3线性无关．知识点解析：暂无解析11、设y＝f(x)在(－1，1)内具有二阶连续导数且f〞(x)≠0，试证：(1)对于(－1，1)内的任一x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使下式成立f(x)＝f(0)＋xfˊ[θ(x)x]标准答案：知识点解析：暂无解析12、计算下列曲线所围成的平面图形的面积：(1)y＝x2，y＝x＋2(2)y＝sinx，y＝cosx，x＝0(3)y＝x2，y＝x，y＝2x标准答案：知识点解析：暂无解析设(X，Y)服从G={(x，y)|1>y>x>0}上的均匀分布(图3-6)，求：13、(X，Y)的密度函数；标准答案：知识点解析：暂无解析14、X和Y的边缘密度函数.标准答案：知识点解析：暂无解析15、标准答案：因α,β,γ是方程x3+px+q=0的三个根，故α+β+γ=0．将行列式的其余各列都加到第一列，得：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第4套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限：标准答案：这是“1∞”型未定式极限，可用公式计算(事实上lnu=ln[1+(u一1)]～u一1(u→1))．故原式=知识点解析：暂无解析2、设f(χ)二阶连续可导，且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(0)≠0，设u(χ)为曲线y＝f(χ)在点(χ，f(χ))处的切线在χ轴上的截距，求．标准答案：曲线y＝f(χ)在点(χ，f(χ))的切线为Y－f(χ)＝f′(χ)(X－χ)，令Y＝0，则u(χ)＝X＝χ－知识点解析：暂无解析3、已知三元二次型f=xTAx的秩为2，且求此二次型的表达式，并求正交变换x=Qy化二次型为标准形。标准答案：二次型xTAx的秩为2，即r(A)=2，所以λ=0是A的特征值。所以3是A的特征值，(1，2，1)T是与3对应的特征向量；一1也是A的特征值值，(1，一1，1)T是与一1对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设λ=0的特征向量是(x1，x2，x3)T，则有由方程组解出λ=0的特征向量是(1，0，一1)T。因此xTAx=(x12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3)，令Q=，则经正交变换x=Qy，有xTAx=yTy=3y12一y32。知识点解析：暂无解析4、计算标准答案：令于是知识点解析：暂无解析5、设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．标准答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X—x)．它与x轴的交点为由于y’(x)>0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又由条件2S1一S2=1知两边对x求导并化简得yy"=(y’)2．令p=y’，则上述方程可化为从而解得p=C1y，即于是y=eC1x+C2．注意到y(0)=1，并由式①得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．知识点解析：暂无解析6、(1)计算(2)当x→1-时，求与等价的无穷大量．标准答案：(2)要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点：①x→x0时，f(x)与g(x)为等价无穷大②无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式：此题x→1-，故考虑用于是，根据第一问的提示，我们要凑出“[]”这种形式，故令即知识点解析：暂无解析7、(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．标准答案：(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素bij(i≠j)都为0．设A的对角线元素为λ1，λ2，…，λn．则AB的(i，j)位元素为λibij，而BA的(i，j)位元素为λibij因为AB＝BA，得aibij＝λjbij，因为λi≠λj，所以bij＝0．(2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c11，c22，…，cnn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则CA的(i，j)位元素为cij，AC的(i，j)位元素为cjj．于是cii＝cjj．这里的i，j是任意的，从而．c11＝c22＝…＝cnn．知识点解析：暂无解析8、设A，B满足A*BA=2BA一8E，其中A=，求矩阵B。标准答案：｜A｜=一2，利用恒等式AA*=｜A｜E，在等式A*BA=2BA一8E两边同时左、右分别乘A、A－1得｜A｜B=2AB一8E，移项合并得(A+E)B=4E，则B=4(A+E)－1=。知识点解析：暂无解析9、设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1＝8，λ2＝λ3＝2，矩阵A的属于特征值λ1＝8的特征向量为ξ1＝，属于特征值λ2＝λ3＝2的特征向量为ξ2＝，求属于λ2＝λ3＝2的另一个特征向量．标准答案：因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有ξ1Tξ2＝－1＋k＝0k＝1λ1＝8对应的特征向量为ξ1＝令λ2＝λ3＝2对应的另一个特征向量为ξ3＝，由不同特征值对应的特征向量正交，得χ1＋χ2＋χ3＝0知识点解析：暂无解析10、设a＞1，n为正整数，证明：标准答案：对f(x)=ax在上用拉格朗日中值定理，有知识点解析：暂无解析设A=，方程组AX=β有解但不唯一．11、求a；标准答案：因为方程组AX=β有解但不唯一，所以｜A｜=0，从而a=-2或a=1．当a=-2时，=2＜3，方程组有无穷多解；当a=1时，，方程组无解，故a=-2．知识点解析：暂无解析12、求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角阵；标准答案：由｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)=0得λ1=0，λ2=3，λ3=-3．由(0E-A)X=0得λ1=0对应的线性无关的特征向量为ξ1=由(3E-A)X=0得λ2=3对应的线性无关的特征向量为ξ2=由(-3E-A)X=0得λ3=-3对应的线性无关的特征向量为ξ3=知识点解析：暂无解析13、求正交阵Q，使得QTAQ为对角阵．标准答案：令γ=知识点解析：暂无解析14、设A＝，已知A有三个线性无关的特征向量且λ＝2为矩阵A的二重特征值，求可逆矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵．标准答案：由λ1＝λ2＝2及λ1＋λ2＋λ3＝tr(A)＝10得λ3＝6．因为矩阵阵A有三个线性无关的特征向量，所以r(2E－A)＝1，由2E－A＝得a＝2，b＝－2．λ1＝λ2＝2代入(XE－A)X＝0，由得λ1＝λ2＝2对应的线性无关的特征向量为λ3＝6代入(λE－A)X＝0，由6E－A＝得λ3＝6对应的线性无关的特征向量为则P可逆，且P－1AP＝知识点解析：暂无解析15、标准答案：(x-a1)(x-a2)(x-a3)…(x-an)知识点解析：第i列减去最后一列的ai倍，i=1，2，…，n．考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第5套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、求极限：．标准答案：知识点解析：暂无解析2、分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?标准答案：不正确．初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数．分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如ψ(x)=|x|，通常写成分段函数的形式但也可以写成一个表达式所以函数ψ(x)=|x|是初等函数．而则不是初等函数．知识点解析：暂无解析3、证明：若单调函数f(x)在区间(a，b)内有间断点，则必为第一类间断点．标准答案：不妨设．f(x)在(a，b)内是单调递增的，x0∈(a，b)是f(x)的间断点．再设x∈(a，x0)，则x＜x0，由单调递增性知：f(x)＜f(x0)(为常数)，即f(x)在(a，x0)上单调递增有上界，它必定存在左极限：式中“≤”处若取“一”号，则f(x)在点x0处左连续，同理可证，当x＞x0时，单调增函数f(x)存在右极限x(x0)≥f(x0)，则f(x)在x0处右连续．反之点x0为跳跃间断点．综合之，单调增函数f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在，故若x0是f(x)的间断点，则x0一定是f(x)的第一类间断点．同理可证f(x)在(a，b)内单调递减的情形．知识点解析：暂无解析4、设an=，证明：{an}收敛，并求标准答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n=1时，a1=≤3，设n=k时，ak≤3，当n=k+1时，ak+1==3．由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以存在．令=A，由ak+1=，得A=，解得A=3，即=3．知识点解析：暂无解析5、求圆弧x2+y2=a2绕y轴旋转一周所得球冠的面积．标准答案：如图3.15，由对称性只需考虑y轴右方部分的圆弧.将它表示为直接由旋转面的面积计算公式得知识点解析：暂无解析6、设f(χ)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)＝∫02f(t)dt＝f(2)＋f(3)．证明：(1)存在ξ1，ξ2∈(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．(2)存在ξ∈(0，3)，使得f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．标准答案：(1)令F(χ)＝∫0χf(t)dt，F′(χ)＝f(χ)，∫02f(t)dt＝F(2)－F(0)＝F′(c)(2－0)－2f(c)，其中0＜c＜2．因为f(χ)在[2，3]上连续，所以f(χ)在[2，3]上取到最小值m和最大值M，m≤≤M，由介值定理，存在χ0∈[2，3]，使得f(χ0)＝，即f(2)＋f(3)＝2f(χ0)，于是f(0)＝f(c)＝f(χ0)，由罗尔定理，存在ξ1∈(0)(0，3)，ξ2∈(c，χ0)(0，3)，使得f′(ξ1)＝f′(ξ2)＝0．(2)令φ(χ)＝e－2χf′(χ)，φ(ξ1)＝φ(ξ2)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(0，3)，使得φ′(ξ)＝0，而φ′(χ)＝e－2χ[f〞(χ)－2f′(χ)]且e－2χ≠0，故f〞(ξ)－2f′(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析7、设f(x)具有连续导数，求标准答案：由积分中值定理可知，存在ξ∈[一a，a]，使∫-aa[f(t+a)一f(t一a)]dt=2a[f(ξ+a)一f(ξ一a)]，再由微分中值定理可知，存在η∈(ξ—a，ξ+a)，使f(ξ+a)-f(ξ一a)=2af’(η)．由夹逼准则可知，当a→0+时ξ→0，η→0，故知识点解析：暂无解析8、标准答案：知识点解析：暂无解析9、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．标准答案：记G(x)=f(x)∫xbg(t)dt—g(x)∫axf(t)dt．求得G(x)的原函数为F(x)=∫axf(t)dt∫xbg(t)dt+C，其中C为任意常数，因为f(x)，g(x)在[a，b]上连续，所以F(x)：(1)在[a，b]上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即F(z)在[a，b]上满足罗尔定理，所以，至少存在一个ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知识点解析：暂无解析10、设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)=6x-x2+16y-4y2-2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?标准答案：根据题意，即求函数L(x，y)=6x-x2+16y-4y2—2在02+16y-4y2-2+λ(x+y-6)，由，根据题意，x，y只能取正整数，故(x，y)的可能取值为L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当x=3，y=2时利润最大，最大利润为23万元．知识点解析：暂无解析11、设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA，证明：B相似于对角阵．标准答案：A有n个互不相同的特征值，故存在可逆阵P，使得P一1AP=diag(λ1，λ2，…，λs)=A1，其中λi，i=1，2，…，n是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．又AB=BA，故P一1APP=P一1BPP一1AP，即．设P一1BP=(cij)n×n，则知识点解析：暂无解析12、设f(x+y2)dxdy，其中D：x2+y2≤16．标准答案：由于f(y+1)=所以I的被积函数f(y+1)f(x+y2)的非零值区域D1为D1={(x，y)|1≤x+y2≤3，0≤y≤2}={(x，y)|1一y2≤x≤3一y2，0≤y≤2}，故知识点解析：暂无解析设f(x)为[一a，a]上的连续偶函数，且f(x)＞0，令F(x)=∫-aa|x－t|一f(t)dt13、证明F’(x)单调增加；标准答案：所以f’’(x)=2f(x)＞0，因此F’(x)为单调增加的函数。知识点解析：暂无解析14、当x取何值时，F(x)取最小值；标准答案：因为且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为f’’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小值点，也为最小值点。知识点解析：暂无解析15、当F(x)的最小值为f（A）一a2一1时，求函数f(x)。标准答案：由2∫0n(t)dt=f（A）一a2—1，两边对a求导得2af（A）=f’(a)一2a，于是f’(x)一2xf(x)=2x，解得f(x)=[∫2xe-2xdxdx+C∫e-∫-2xdx=Cex2一1，在2∫02tf(t)dt=f（A）一a2一1中，令a=0，得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=2ex2一1。知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第6套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设αi=(αi1,αi2……αin)T(i=1，2，…，r，r＜n)是n维实向量，且α1,α2……αr线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1,α2标准答案：设有一组数x1,x2,……xx+1，使得x1α1+x2α2+…+xα+xrαr+xr+1β=0，(*)用βT左乘(*)式两端，由于β是方程组的非零解，所以βTαi=0(i=1，2，…，r)，从而得xr+1βTβ=0，而β≠0，故βTβ≠0，从而xr+1=0，代入(*)式并注意到向量组α1,α2……αr线性无关，可得x1=0，x2=0，…，xr=0，所以向量组α1,α2……αr，β线性无关．知识点解析：本题是向量与方程组的综合题．注意β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的解，则有即βTαi=0(i=1，2，…，r)．2、(1)由方程sinχy＋ln(y－χ)＝χ确定函数y＝y(χ)，求．(2)设f(χ)＝，求df(χ)｜χ＝0．(3)设y＝y(χ)是由eχ－χ＋y－2＝0确定的隐函数，则y〞(0)＝_______．标准答案：(1)将χ＝0代入sinχy＋ln(y－χ)＝χ得y＝1，sinχy＋ln(y－χ)＝χ两边对χ求导得将χ＝0，y＝1代入得＝1．(2)由f(χ)＝＝χeχ得f′(χ)＝(χ＋1)eχ，从而f′(1)＝2e，故df(χ)｜χ＝1＝2edχ．(3)当χ＝0时，y＝1，eχy－χ＋y－2＝0两边对χ求导得eχy(y＋χy′)－1＋y′＝0，解得y′(0)＝0；eχy(y＋χy′)＝1＋y′＝0两边对χ求导得eχy(y＋χy′)2＋eχy(2y′＋χy〞)＋y〞＝0，解得y〞(0)＝－1．知识点解析：暂无解析3、标准答案：知识点解析：暂无解析4、设f(χ)＝求f′(χ)并讨论f′(χ)在χ＝0处的连续性．标准答案：当χ≠0时，f′(χ)＝当χ＝时，所以f′(χ)在χ＝0处连续．知识点解析：暂无解析5、求不定积分．标准答案：知识点解析：暂无解析6、设A=(aij)n×n是非零矩阵，且｜A｜中每个元素aij与其代数余子式Aij相等．证明：｜A｜≠0．标准答案：因为A是非零矩阵，所以A至少有一行不为零，设A的第k行是非零行，则｜A｜=ak1Ak1+ak2Ak2+…+aknAkn=ak12+ak22+…+akn2＞0．知识点解析：暂无解析7、求二重积分，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y—1)2≤2，y≥x}．标准答案：由已知条件，积分区域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x1．由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知识点解析：暂无解析8、设函数f(x，y)可微，又f(0，0)=0，f’x(0，0)=a，f’y(0，0)=b，且φ(t)=f[t，f(t，t2)]，求φ’(0)．标准答案：在φ(t)=f[t，f(t，t2)]中令u=t，u=f(t，t2)，得φ(t)=f(u，u)，φ’(t)=f’1(u，v)．=f’1(u，v)．1+f’1(u，v)．[f’1(t，t2)．1+f’1(t，t2)．2t]=f’1[t，f(t，t2)]+f’2[t，f(t，t2)]．[f’1(t，t2)+f’2(t，t2)．2t]，所以φ’(0)=f’1(0，0)+f’2(0，0)．[f’1(0，0)+f’2(0，0)．2．0]=a+b(a+0)=a(1+b)．知识点解析：暂无解析9、把二重积分f(x，y)dxdy写成极坐标下的累次积分的形式(先r后θ)，其中D由直线x+y=1，x=1，y=1围成．标准答案：D1={(x，y)｜0≤θ≤≤r≤secθ}，知识点解析：暂无解析10、证明：当0＜χ＜1时，e-2χ＞标准答案：e－2χ＞等价于－2χ＞ln(1－χ)－ln(1＋χ)，令f(χ)＝ln(1＋χ)－ln(1－χ)－2χ，f(0)＝0，f′(χ)＝＞0(0＜χ＜1)，由得f(χ)＞0(0＜χ＜1)，故当0＜χ＜1时，e－2χ＞知识点解析：暂无解析11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、求的最大项．标准答案：当x∈(0，e)时，f’(x)>0；当x∈(e，+∞)时，f’(x)<0，则x=e为f(x)的最大点，于是的最大项为因为，所以最大项为知识点解析：暂无解析13、证明：用二重积分证明标准答案：令D1＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤R2，χ≥0，y≥0}，S＝{(χ，y)｜0≤χ≤R，0≤y≤R}，D2一{(χ，y)｜χ2＋y2≤2R2，χ≥0，y≥0}φ(χ，y)＝，因为φ(χ，y)＝≥0且D2D2，令R→＋∞同时注意到＞0，根据迫敛定理得知识点解析：暂无解析设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．14、证明α，Aα线性无关；标准答案：若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，可设k2≠0，所以Aα=，矛盾，所以α，Aα线性无关．知识点解析：暂无解析15、若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；标准答案：由A2α+Aα-6α=0，得(A2+A-6E)α=0，因为α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，从而｜A2+A-6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E-A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E-A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得(2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E-A｜≠0，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得(3E+A)α=0，即Aα=-3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E-A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值-3，2，故A可对角化．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第7套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设x1＞0，xn+1=1—e-xn，n=1，2，…．(1)证明数列{xn}收敛，并求其极限；(2)求极限标准答案：(1)因为x1＞0，所以x2=1一＞0．设xn＞0，则xn+1=1—＞0，从而{xn}有下界．令f(x)=x一(1一e-x)，则f’(x)=1一e-x，当x＞0时，f’(x)＞0，从而f(x)＞f(0)=0，即x＞1一e-x，于是xn＞1一e-xn=xn+1，即{xn}单调递减．由单调有界准则，{xn}收敛，设，则a=1一e-a，得a=0．(2)知识点解析：暂无解析2、设X1和X2是相互独立的且均服从正态分布N(μ，σ)的随机变量，求E(max(X1，X2))．标准答案：设X1，X2的分布函数为F(x)，Z=max{X1，X2}，则fZ(x)=2F(x)d(x)，知识点解析：暂无解析3、设有以O为圆心，r为半径，质量为M的均匀圆环，垂直圆面，=b，质点P的质量为m，试导出圆环对P点的引力公式标准答案：如图3．36，由对称性，引力沿方向．取环上某点为计算弧长的起点，任取弧长为s到s+ds的一段微元，它的质量为，到P点的距离为的夹角为θ，cosθ=对P点的引力沿方向的分力为于是整个圆环对P点的引力为知识点解析：暂无解析4、设y=exsinx，求y(n)．标准答案：知识点解析：暂无解析5、设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1．试证：必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．标准答案：函数f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上连续，那么其在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是m≤f(0)≤M，m≤f(1)≤M，m≤f(2)≤M，由介值定理知，至少存在一点η∈[0，2]，使得于是便有f(η)=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(η，3)(0，3)，使f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析6、已知且AX+X+B+BA=P，求X2006。标准答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=一B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=一(A+E)B(E+A)，故X2006=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、设L：y＝e－χ(χ≥0)．(1)求由y＝e-χ、χ轴、y轴及χ＝a(a＞0)所围成平面区域绕χ轴一周而得的旋转体的体积V(a)．(2)设V(c)＝V(a)，求c．标准答案：(1)V(a)＝π∫0ae－2χdχ＝(1－e－2a)．(2)解得c＝ln2．知识点解析：暂无解析9、设向量组α1，α2，α3线性无关，证明：α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3线性无关．标准答案：令k1(α1＋α2＋α3)＋k2(α1＋2α2＋3α3)＋k3(α1＋4α2＋9α3)＝0，即(k1＋k2＋k3)α1＋(k1＋2k2＋4k3)α2＋(k1＋3k2＋9k3)α3＝0，因为α1，α2，α3线性无关，所以有而D＝(i－j)＝2≠0，由克拉默法则得k1＝k2＝k3＝0，所以α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3线性无关．知识点解析：暂无解析10、设A为n阶非零矩阵，且存在自然数k，使得Ak=O．证明：A不可以对角化．标准答案：方法一令AX=λX(X≠0)，则有AkX=λkX，因为Ak=O，所以λkX=0，注意到X≠0，故λk=0，从而λ=0，即矩阵A只有特征值0．因为r(0E-A)=r(A)≥1，所以方程组(0E-A)X=0的基础解系至多含n-1个线性无关的解向量，故矩阵A不可对角化．方法二设矩阵A可以对角化，即存在可逆阵P，使得P-1AP=从而有λ1=λ2=…=λn=0，于是P-1AP=O，进一步得A=O，矛盾，所以矩阵A不可以对角化．知识点解析：暂无解析11、用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3标准答案：令知识点解析：暂无解析12、求标准答案：知识点解析：暂无解析13、证明：当x≥0时，f(x)=标准答案：当x＞0时，令f’(x)=(x-x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，当0＜x＜1时，f’(x)＞0；当x＞1时，f’(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x=1为f(x)的最大值点，f(x)的最大值为f(1)．因为当x≥0时，sinx≤x，所以当x∈[0，1]时，(x-x2)sin2nx≤(x-x2)x2n=x2n+1-x2n+2．于是知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．14、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得知识点解析：暂无解析15、导弹运行方程．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第8套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设x1=1，求标准答案：假设xn＞xn-1，则即xn+1＞xn，由数学归纳法可知对一切n，都有xn=1＞xn．又所以{xn}单调递增且有上界，故{xn}收敛．记对等式xn+1=1+两边取极限，得即a2一a一1=0．解得因xn≥1，故负值不合题意，于是知识点解析：暂无解析2、设α1,α2……αn是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n维向量都可由它们线性表示．标准答案：必要性：a1，a2，…,an是线性无关的一组n维向量，因此r(a1，a2，…，an)=n．对任一n维向量b，因为a1，a2，…,an，b的维数n小于向量的个数n+1，故a1，a2，…，an，b线性相关．综上所述r(a1，a2，…，an，b)=n．又因为a1，a2，…，an线性无关，所以n维向量b可由a1，a2，…，an线性表示．充分性：已知任一n维向量b都可由a1，a2，…，an线性表示，则单位向量组：ε1，ε2，…，εn可由a1，a2，…，an，线性表示，即r(ε1，ε2，…，εn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一组n维向量，有r(a1，a2，…，an)≤n．综上，r(a1，a2，…，an)=n．所以a1，a2，…，an线性无关．知识点解析：暂无解析3、证明下列不等式：标准答案：(Ⅰ)设f(x)=，则f(x)在区间[0，1]上连续，且可见函数f(x)在点x=处取得它在区间[0，1]上的最小值，又因f(0)=f(1)=1，故f(x)在区间[0，1]上的最大值是f(0)=f(1)=1，从而注意于是有(Ⅱ)注意0＜x＜时，0＜x＜tanx＜1，则知识点解析：暂无解析4、设f(x)=，求f(n)(x)．标准答案：令f(x)=由A(2x+1)+B(x-2)=4x-3得，解得A=1，B=2，即f(x)=知识点解析：暂无解析5、设z＝f(x，y)是由方程z—y－x＋xez－y－x＝0所确定的二元函数，求dz．标准答案：。知识点解析：暂无解析6、若函数f(x)在(一∞，+∞)内满足关系式f’(x)=f(x)，且f(0)=1，证明：f(x)=ex．标准答案：作函数，x∈(一∞，+∞)，于是有φ’(x)=已知f’(x)=f(x)，从而φ’(x)=0，于是当x=0时，易知故f(x)=ex．知识点解析：暂无解析7、设一质点在单位时间内由点A从静止开始做直线运动至点B停止，A，B两点间距离为1，证明：该质点在(0，1)内总有某一时刻的加速度的绝对值不小于4．标准答案：设质点运动的距离y关于时间t的函数为y=y(t)，0≤t≤1，则有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．在t=0与t=1处的一阶泰勒展开式分别为若则由上述①式得y"(ξ1)≥4；若由上述②式得y"(ξ2)＜一4．证毕．知识点解析：暂无解析8、已知向量α＝(1，k，1)T是A＝的伴随矩阵A*的一个特征向量，试求k的值及与α对应的特征值λ．标准答案：已知A*α＝λα，两端左乘A，并利用AA*＝｜A｜E＝4E，得λAα＝4α，即，对比两端对应分量得，由此解得k＝1，λ＝1，或k＝－2，λ＝4．知识点解析：暂无解析9、求标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)=x2sinx，求f(n)(0)标准答案：f(x)=x2+o(x2n+2)，f(2n+1)(0)=(-1)n-1.(2n+1)!=(-1)n-1(2n+1)2n，n=1，2，…f(2n)(0)=0，n=1，2，…，f(1)(0)=0．知识点解析：暂无解析11、设z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求出与。标准答案：由题意=f1’+f2’+yf3’，=f1’一f2’+xf3’，所以dz==(f1’+f2’+yf3’)dx+(f1’一f2’+xf3’)dy，=f11’’．1+f12’’．(一1)+f13’’．x+f21’’．1+f22’’．(一1)+f23’’．x+f3’+y[f31’’．1+f32’’．(一1)+f33’’．x]=f3’+f11’’一f22’’+xyf33’’+(x+y)f13’’+(x一y)f23’’。知识点解析：暂无解析12、已知齐次线性方程组(I)的基础解系为ξ1=[1，0，1，1]T，ξ2=[2，1，0，一1]T，ξ3=[0，2，1，一1]T，添加两个方程后组成齐次线性方程组(Ⅱ)，求(Ⅱ)的基础解系．标准答案：方程组(I)的通解为得解：η1=[2，一3，0]T，η2=[0，1，一1]T，故方程组(Ⅱ)的基础解系为ζ1=2ξ1一3ξ2=[一4，一3，2，5]T，ζ2=ξ2一ξ3=[2，一1，一1，0]T．知识点解析：暂无解析13、设n阶矩阵(1)求A的特征值和特征向量；(2)求可逆矩阵P，使P一1AP为对角矩阵．标准答案：(1)1°当b≠0时，=[λ一1一(n一1)b][λ一(1一b)]n一1，故A的特征值为λ1=1+(n一1)b，λ2=…=λn=1一b．对于λ1=1+(n一1)b，设对应的一个特征向量为ξ1，则ξ1=[1+(n一1)b]ξ1解得ξ1=(1，1，…，1)T，所以，属于λ1的全部特征向量为kξ1=k(1，1，…，1)T，其中k为任意非零常数．对于λ2=…=λn=1一b，解齐次线性方程组[(1一b)E一A]x=0，由解得基础解系为ξ2=(1，一1，0，…，0)T，ξ3=(1，0，一1，…，0)T，…，ξn=(1，0，0，…，一1)T．故属于λ2=…=λn的全部特征向量为k2ξ2+k3ξ3+…+knξn，其中k2，k3，…，kn为不全为零的任意常数．2°当b=0时，A=E，A的特征值为λ1=λ2=…=λn=1，任意n维非零列向量均是特征向量．(2)1°当b≠0时，A有n个线性无关的特征向量，令矩阵P=[ξ1ξ2…ξn]，则有P一1AP=diag(1+(N一1)b，1一b，…，1一b)．2°当b=0时，A=E，对任意n阶可逆矩阵P，均有P一1AP=E．知识点解析：暂无解析设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．14、求矩阵A的特征值；标准答案：因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1=2；又由A(α1-α2)=-(α1-α2)，A(α2-α3)=-(α2-α3)，得A的另一个特征值为λ2=-1，因为α1，α2，α3线性无关，所以α1-α2与α2-α3也线性无关，所以λ2=-1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，-1，-1．知识点解析：暂无解析15、判断矩阵A可否对角化．标准答案：因为α1-α2，α2-α3为属于二重特征值-1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析考研数学二（解答题）高频考点模拟试卷第9套一、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)1、设f(x)=求f[g(x)]．标准答案：本题同样