考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷1（共266题）

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷1（共9套）（共266题）考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、已知f(x，y)=，则()A、f’x(0，0)，f’y(0，0)都存在。B、f’x(0，0)不存在，f’y(0，0)存在。C、f’x(0，0)不存在，f’y(0，0)不存在。D、f’x(0，0)，f’y(0，0)都不存在。标准答案：B知识点解析：由于故f’y(0，0)不存在。所以f’y(0，0)存在。故选B。2、函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是()A、f’x(x，0)=f’x(0，0)，且f’y(0，y)=f’y(0，0)。B、[f(x，y)一f(0，0)]=0。C、和都存在。D、f’x(x，y)=f’x(0，0)，且f’y(x，y)=f’y(0，0)。标准答案：D知识点解析：由f’x(x，y)=f’x(0，0)，且有f’y(x，y)=f’y(0，0)，可知，f(x，y)的两个一阶偏导数f’x(x，y)和f’y(x，y)在(0，0)点连续，因此f(x，y)在(0，0)点可微。故选D。3、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是()A、f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。B、f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。C、f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。D、f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。标准答案：B知识点解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有f’x(x0，y0)=0,f’y(x0，y0)=0。又由f’x(x0，y0)=。故选B。4、=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：结合二重积分的定义可得故选D。5、设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于f(0，0)。标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知故选C。6、交换积分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy为()A、∫0edy∫0lnxf(x，y)dx。B、∫eyedy∫01f(x，y)dx。C、∫0lnxdy∫1ef(x，y)dx。D、∫01dy∫eyef(x，y)dx。标准答案：D知识点解析：交换积分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx。故选D。7、累次积分可以写成()A、。B、。C、∫01dx∫01f(x，y)dx。D、。标准答案：D知识点解析：由累次积分可知，积分区域。为D={(r，θ)｜0≤r≤cosθ，0≤θ≤}。由r=cos0为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图所示。该圆的直角坐标方程为。故用直角坐标表示区域D为D={(x，y)｜0≤y≤，0≤x≤1}，或者可见选项A、B、C均不正确，故选D。8、设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+f(u，v)dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)=()A、xy。B、2xy。C、。D、xy+1。标准答案：C知识点解析：等式f(x，y)=xy+两端积分得则有故选C。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程z+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=______。标准答案：1知识点解析：已知f(x，y，z)=e2+y2z，那么有f’x(x，y，z)=e2+y2z’x。在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+z’x+yz+xyz’x=0。由x=0，y=1，z=一1，可得z’x=0。故f’x(0，1，一1)=e0=1。10、设函数f(u)可微，且f’(0)=，则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分dz｜(1，2)=______。标准答案：4dx一2dy知识点解析：直接利用微分的形式计算，因为所以11、设，则=______。标准答案：知识点解析：设则z=ux，所以因此12、设z=xf(u)+g(u)，，且f(u)及g(u)具有二阶连续导数，则=______。标准答案：0知识点解析：由复合函数求导法则因此13、二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极小值为______。标准答案：知识点解析：由题干可知f’x=2x(2+y2)，f’y=2x2y+lny+1。由解得驻点。又有所以，则A＞0。故是f(x，y)的极小值，且。14、交换积分次序=______。标准答案：知识点解析：由题干可知，积分区域如图所示，则有15、设D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则(x2一y)dxdy=______。标准答案：知识点解析：利用函数奇偶性及轮换对称性16、=______，其中D由y轴，，y=arctanx围成。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)17、设求标准答案：由已知分别代入可得知识点解析：暂无解析18、求原点到曲面(x一y)2+z2=1的最短距离。标准答案：根据题意，求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离在条件(x2一y2)2+z2=1下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令F(x，y，z，λ)=x2+y2+z2+λ(x一y)2+λz2一λ，则有即得由(3)式，若λ=一1，代入(1)式和(2)式得解得x=0，y=0。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到z2=1，d=1。若λ≠一1，由(3)式解得z=0。由(1)式和(2)式得到x=一y。代入曲面方程(x一y)2+z2=1，得到故所求的最短距离为。知识点解析：暂无解析19、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。标准答案：先求在D内的驻点，即解得因此在D内只有驻点相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值：①在x轴上y=0，所以f(x，0)=0；②在y轴上x=0，所以f(0，y)=0；③在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此f’x=6x2—24x=0，得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x2y(4一x一y)｜(4，2)=一64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64。知识点解析：暂无解析20、已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)｜}上的最大值和最小值。标准答案：根据题意可知于是f(x，y)=x2+C(y)，且C’(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令得可能极值点为x=0，y=0。且△=B2一AC=4＞0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线上的情形，令拉格朗日函数为F(x，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+—1)，求解得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0，y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。将其分别代入f(x，y)得，f(0，±2)=一2，f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在区域D={(x，y)｜}内的最大值为3，最小值为一2。知识点解析：暂无解析21、设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成。计算标准答案：根据已知得及所以则有知识点解析：暂无解析22、计算(x2+y2)dxdy，其中D是由y=一x，所围成的平面区域。标准答案：x2一2x+y2=0=>(x一1)2+y2=1；y=一x与x2+y2=4的交点为和；y=一x与x2一2x+y2=0的交点为(0，0)和(1，一1)；x2+y2=4与x2一2x+y2=0的交点为(2，0)。知识点解析：暂无解析23、求二重积分(x一y)dxdy，其中D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。标准答案：由已知条件，积分区域D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是知识点解析：暂无解析24、求二重积分max{xy，1}dxdy，其中D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤2}。标准答案：曲线xy=1将区域分成两个区域D1和D2+D3(如图所示)知识点解析：暂无解析25、计算二重积分，其中D是由x轴，y轴与曲线所围成的区域，a＞0，b＞0。标准答案：积分区域D如图所示的阴影部分所示。由得因此令有x=a(1一t)2，dx=一2a(1一t)dt，故知识点解析：暂无解析26、计算(xy2+3exsiny)dσ，其中D：x2+y2≤2x。标准答案：由于积分区域关于x轴对称，3exsiny关于y为奇函数，故对该积分利用极坐标进行计算可得知识点解析：暂无解析27、计算二重积分，其中区域D由曲线r=l+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成。标准答案：由题意令u=cosθ得，原式=知识点解析：暂无解析28、计算二重积分，其中D={(r，θ)｜0≤r≤secθ，0≤θ≤}。标准答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图所示。D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，则有利用换元法，记x=sint，则上式知识点解析：暂无解析29、设D={(x，y)｜(x一1)2+(y一1)2=2}，计算二重积分。标准答案：其中同理而=2·2π=4π。所以原式=4π。知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：将x视为常数，属于基本计算．2、极限A、等于0B、不存在C、等于D、存在且不等于0及标准答案：B知识点解析：取y=x，则取y=x2，则故原极限不存在．3、设u=f(r)，而f(r)具有二阶连续导数，则A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：属于基本计算，考研计算中常考这个表达式．4、设函数u=u(x，y)满足及u(x，2x)=x，u’1(x，2x)=x2，u有二阶连续偏导数，则u"11(x，2x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u’1+2u’2=1，两边再对x求导得u"11+2u"12+2u"21+4u"22=0，①等式u’1(x，2x)=x2两边对x求导得u"11+2u"12=2x，②将式②及u"12=u"21，u"11=u"22代入式①中得5、下列结论正确的是()A、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续B、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在C、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续D、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)该邻域内两个偏导数有界标准答案：C知识点解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)某邻域U内，对于任意(x，y)∈U，有|f’x(x，y)|≤M，|f’y(x，y)|≤M(M为正常数)．由微分中值定理，有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤|f(x，y)一f(x，y0)|+|f(x，y0)一f(x0，y0)|=|f’y(x，y0+θ1Ay)·△y|+|f’x(x0+θ2△x，y0)·△x|≤M(|△x|+|△y|)，这里△x=x—x0，△y=y—y0，0＜θ1，θ2＜1．当时，有△x→0，△y→0，必有|f(x，y)一f(x0，y0)|≤M(|△x|+|△y|)→0，故f(x，y)在点(x0，y0)处连续．6、利用变量替换u=x，可将方程化成新方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由复合函数微分法于是又u=x，故7、若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)=()A、x+yB、x—yC、x2一y2D、(x+y)2标准答案：B知识点解析：设则u=xyf(t)，于是即G(x，y)=x—y．8、设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的()A、最大值点和最小值点必定都在D的内部B、最大值点和最小值点必定都在D的边界上C、最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D、最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．9、设函数则函数z(x，y)在点(0，0)处()A、不连续，而两个偏导数z’x(0，0)与z’y(0，0)存在B、连续，而两个偏导数z’x(0，0)与z’y(0，0)不存在C、连续，两个偏导数z’x(0，0)与z’y(0，0)都存在，但不可微D、可微标准答案：D知识点解析：直接验证(D)正确，从而排除(A)，(B)，(C)．按微分定义，z(x，y)在点(0，0)处可微，且二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)10、设函数z=z(x，y)由方程sinx+2y—z=ez所确定，则标准答案：知识点解析：方程两端对x求偏导数移项并解出即可．11、函数的定义域为_____________．标准答案：知识点解析：由且z≠0可得．12、设F(u，v)对其变元u，v具有二阶连续偏导数，并设则标准答案：知识点解析：13、设则f’x(0，1)=_____________．标准答案：1知识点解析：14、设z=esinxy，则dz=____________．标准答案：esinxycosxy(ydx+xdy)知识点解析：由于z’x=esinxycosxy·y，z’y=esinxycosxy·x，所以dz=esinxycosxy(ydx+xdy)．15、已知u(0，0)=1，求u(x，y)的极值点__________，并判别此极值是极__________(大、小)值．标准答案：知识点解析：由有u(x，y)=x2+xy+x+φ(y)．再由=x+2y+3有x+φ’(y)=x+2y+3，得φ’(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C于是u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C．再由u(0，0)=1得C=1，从而u(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1．所以为极小值．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)16、求f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上的最大值和最小值．标准答案：这是闭区域上求最值的问题．由于函数f(x，y)=x+xy—x2一y2在闭区域D上连续，所以一定存在最大值和最小值．首先求f(x，y)=35-+xy—x2一y2在闭区域D内部的极值：解方程组得区域D内部唯一的驻点为由g(x，y)=(f"xy)2一f"xxf"yy=一3得f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D内部的极大值再求f(x，y)在闭区域D边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件．在x轴上约束条件为y=0(0≤x≤1)，于是拉格朗日函数为F(x，y，λ)=x+xy一x2一y2+λy，解方程组得可能的极值点其函数值为在下边界的端点(0，0)，(1，0)处f(0，0)=0，f(1，0)=0，所以下边界的最大值为最小值为0。同理可求出：在上边界上的最大值为一2，最小值为一4；在左边界上的最大值为0，最小值为一4；在右边界上的最大值为最小值为一2．比较以上各值，可知函数f(x，y)=x+xy一x2一y2在闭区域D上的最大值为最小值为一4．知识点解析：暂无解析17、求函数z=x2+y2+2x+y在区域D={(x，y)|x2+y2≤1)上的最大值与最小值．标准答案：由于x2+y2≤1是有界闭区域，z=x2+y2+2x+y在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值．①解方程组得由于不在区域D内，舍去．②函数在区域内部无偏导数不存在的点．③再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求z=x2+y2+2x+y满足约束条件x2+y2=1的条件极值点．此时z=1+2x+y．用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数L(x，y，λ)=1+2x+y+λ(x2+y2一1)，解方程组得或所有三类最值怀疑点仅有两个，由于所以最小值最大值知识点解析：暂无解析18、求内接于椭球面的长方体的最大体积．标准答案：设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件因此，需要求出v=8xyz在约束条件下的极值．设求出L的所有偏导数，并令它们都等于0，有式①，②，③分别乘以x，y，z，有得或λ=0(λ=0时，8xyz=0，不合题意，舍去)．把代入式④，有解得从而由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为知识点解析：暂无解析19、在第一象限的椭圆上求一点，使原点到过该点的法线的距离最大．标准答案：设则有椭圆上任意一点(x，y)处的法线方程为即原点到该法线的距离为记x＞0，y＞0，约束条件为构造拉格朗日函数h(x，y，λ)=f(x，y)+λg(x，y)．根据条件极值的求解方法，先求令得方程组：由式①得一16+λx4=0，则由式②得一1+4λy4=0即所以有则代入式③得到解得根据实际问题，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为知识点解析：暂无解析20、在球面x2+y2+z2=5R2(x＞0，y＞0，z＞0)上，求函数f(x，y，z)=lnx+lny+3lnz的最大值，并利用所得结果证明不等式标准答案：作拉格朗日函数L(x，y，z，λ)=lnx+lny+3lnz+λ(x2+y2+z2一5R2)，并令由①，②，③式得代入式④得可疑点因xyz2在有界闭集x2+y2+z2=5R2(x≥0，y≥0，z≥0)上必有最大值，且最大值必在x＞0，y＞0，z＞0取得，故f=lnxyz3在x2+y2+z2=5R2上也有最大值，而唯一，故最大值为又lnx+lny+3lnz≤，即故x2y2z2≤27R10．令x2=a，y2=b，z2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则知识点解析：暂无解析21、设讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③函数的可微性．标准答案：对f(x，y)作如下讨论．①按定义易知f’x(0，0)=0，f’y(0，0)=0，故在点(0，0)处偏导数存在．②所以f(x，y)在点(0，0)处连续．③按可微定义，若可微，则即应有但上式并不成立(例如取△y=k△x，上式左边为故不可微．对g(x，y)作如下讨论．以下直接证明③成立，由此可推知①，②均成立．事实上，所以按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析22、设f(x，y)在点0(0，0)的某邻域U内连续，且常数试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值?若为极值，是极大值还是极小值?标准答案：由知再令于是上式可改写为由f(x，y)的连续性，有另一方面，由知，存在点(0，0)的去心邻域当时，有故在内，f(x，y)＞0．所以f(0，0)是f(x，y)的极小值．知识点解析：暂无解析23、求函数f(x，y)=x2+2y2一x2y2在区域D={(x，y)|x2+y2≤4，y≥0}上的最大值与最小值．标准答案：先求f(x，y)在D内部的驻点．由f’x(x，y)=2x一2xy2=0，f’y(x，y)=4y一2x2y=0，解得x=0或y=±1；或y=0．经配对之后，位于区域D内部的点为经计算，有再考虑D边界上的f(x，y)．在y=0上，f(x，0)=x2，最大值f(2，0)=4，最小值f(0，0)=0．又在x2+y2=4(y＞0)上，有令g’(x)=4x3一10x=0，得x=0或有g(0)=8，比较以上函数值的大小，有知识点解析：暂无解析24、设h(t)为三阶可导函数，u=h(xyz)，h(1)=f"xy(0，0)，h’(1)=f"yx(0，0)，且满足求u的表达式，其中标准答案：因u’x=yzh’(xyz)，u"xy=zh’(xyz)+xyz2h"(xyz)，u’"xyz=h’(xyz)+xyzh"(xyz)+2xyzh"(xyz)+x2y2z2h’"(xyz)．故3xyzh"(xyz)+h’(xyz)=0，令xyz=t，得3th"(t)+h’(t)=0．设v=h’(t)，得3tv’+v=0，分离变量，得从而又f(x，0)=0，则易知f(0，0)=0，当(x，y)≠(0，0)时，有于是f’x(0，y)=一y，所以f"xy(0，0)=一1，由对称性知f"yx(0，0)=1，所以h(1)=一1，h’(1)=1，于是故从而知识点解析：暂无解析25、(1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分的定义；(2)证明可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则f’x(x0，y0)与f’y(x0，y0)都存在，且并请举例说明(1)之逆不成立．标准答案：(1)定义：设z=f(x，y)在点(x0，0)的某邻域U内有定义，(x0+△x0，y0+△y)∈U．增量其中A，B与△x和△y都无关，则称f(x，y)在点(x0，y0)处可微，并且为z=f(x，y)在点(x0，y0)处的微分．(2)设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则(*)式成立．令△y=0，于是令△x→0，有同理有于是f’x(x0，y0)与f’x(x0，y0)存在，并且例如，对于函数有两个偏导数均存在．以下用反证法证f(x，y)在点(0，0)处不可微．若可微，则有△f=f(△x，△y)一f(0，0)=0△x+0△y+o(ρ)，但此式是不成立的．例如取△y=k△x，则与k有关，(**)式不成立，所以不可微．知识点解析：暂无解析26、设z=f(x，y)，其中f，g，φ在其定义域内均可微，计算中出现的分母均不为0，求标准答案：复合关系复杂，又夹有隐函数微分法，利用微分形式不变性解题比较方便，由z=f(x，y)，有dz=f’1dx+f’2dy．由有解得代入第一式dz表达式中再解出得知识点解析：暂无解析设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy为某二元函数u(x，y)的全微分．27、求f(x)；标准答案：由题知，存在二元函数u(x，y)，使du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy，即由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有即有x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy，f’(x)+f(x)=x．又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e-x．知识点解析：暂无解析28、求u(x，y)的一般表达式．标准答案：由上题有，du=(xy2+y—ye-x)dx+(x一1+e-x+x2y)dy．求u(x，y)有多个方法．方法一凑微分法．所以u(x，y)=(xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C为任意常数．方法二偏积分法．由其中C1(y)为Y的任意可微函数．再由得x2y+x+e-x+C’1(y)=x一1+e-x+x2y，于是C’1(y)=一1，C1(y)=一y+C．于是u=(xy)2+xy+ye-x一y+C，其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析29、求函数f(x，y)=x2+y2一12x+16y在区域D={(x，y)|x2+y2≤25}上的最大值和最小值．标准答案：令解得点(6，一8)不在区域D内，所以在D内无极值点．又闭区域上的连续函数必有最大值和最小值，因此，最大值和最小值只能在边界x2+y2=25上取得．在边界x2+y2=25上，f(x，y)=25—12x+16y．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=25—12x+16y+2(x2+y2一25)，比较大小可知，f(x，y)在点(3，一4)处有最小值f(3，一4)=一75，在点(一3，4)处有最大值f(一3，4)=125．知识点解析：暂无解析30、求二元函数z=f(x，y)=x2+4y2+9在区域D={(x，y)|x2+y2≤4)上的最大值与最小值．标准答案：按二元函数求极值的方法．因可得驻点(0，0)，又所以z(0，0)=9为极小值．再考查D的边界D={(x，y)|x2+y2=4)上的情况，用参数方程x=2cost，y=2sint，0≤t≤2π．于是在边界上，z=4cos2t+16sin2t+9=12sin2t+13．当时，z最大，最大值为25．在D的边界D上的最小值为13>z(0，0)=9．所以z(0，0)=9为最小值．知识点解析：暂无解析31、设函数z=z(x，y)由方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+32=0确定，讨论函数z(x，y)的极大值与极小值．标准答案：将x2—6xy+10y2一2yz—z2+32=0两边分别对x，y求偏导数，有为求驻点，令联立方程得与原设方程x2一6xy+10y2一2yz—z2+32=0联立解得点(12，4，4)1与(一12，一4，一4)2．再将(*)与(**)式对x，y求偏导数，得再以点(12，4，4)1代入得所以z=4为极小值．将点(一12，一4，一4)2代入得所以z=一4为极大值．知识点解析：暂无解析32、设2关于变量x，y具有连续的二阶偏导数，并作变量变换x=eu+v，y=eu-v，请将方程变换成z关于u，v的偏导数的方程．标准答案：按的复合关系计算偏导数，为此，先解出于是有代入原方程左边，原方程化为知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、函数f(χ，y)在(χ0，y0)处偏导数存在，则在该点函数f(χ，y)()．A、有极限B、连续C、可微D、以上结论均不成立标准答案：D知识点解析：取f(χ，y)＝显然f(χ，y)在(0，0)处偏导数存在，但f(χ，y)不存在，所以应选D．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)2、设f(χ，y，z)＝eχχyz2，其中z＝z(χ，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0确定的隐函数，则f′χ(0，1，－1)＝_______．标准答案：1知识点解析：f＝eχyz2＋2eχyz，χ＋y＋z＋χyz＝0两边关于χ求偏导得将χ＝0，y＝1，z＝－1代入得＝0，故f′χ(0，1，－1)＝1．3、已知z＝，则＝_______．标准答案：知识点解析：lnz＝，两边关于χ求偏导得4、设2sin(χ＋2y－3z)＝χ＋2y－3z，则＝_______．标准答案：1知识点解析：暂无解析5、设f(χ，y)可微，f(1，2)＝2，f′χ(1，2)＝3，f′y(1，2)＝4，φ(χ)＝f(χ，f(χ，2χ))，则φ′(1)＝_______．标准答案：47知识点解析：φ′(χ)＝f′χ(χ，f(χ，2χ))＋f′y(χ，f(χ，2χ)).[f′χ(χ，2χ)＋2f′y(χ，2χ)]，则φ′(1)＝f′χ(1，f(1，2))＋f′y(1，f(1，2)).[f′χ(1，2)＋2f′y(1，2)]＝f′χ(1，2)＋f′y(1，2).[f′χ(1，2)＋2f′y(1，2)]＝3＋4(3＋8)＝47．6、设＝2，则2f′χ(0，0)＋f′y(0，0)＝_______．标准答案：－2知识点解析：令得f(χ，y)＝－3χ＋4y＋0(ρ)，由二元函数可全微定义得f′χ(0，0)＝－3，f′y(0，0)＝4，故2f′χ(0，0)＋f′y(0，0)＝－2．7、由χ＝zey+z确定z＝z(χ，y)，则dz｜(e,0)＝_______．标准答案：知识点解析：χ＝e，y＝0时，z＝1．χ＝zey＋z两边关于χ求偏导得χ＝zey＋z两边关于y求偏导得故dz(e，0)＝三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)8、设f(χ，y)＝，试讨论f(χ，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性．标准答案：由f(χ，y)＝0＝f(0，0)得f(χ，y)在(0，0)处连续．由＝0得f′χ(0，0)＝0，由得f′y(0，0)＝，f(χ，y)在(0，0)可偏导．令ρ＝，△χ＝f(χ，y)－f(0，0)＝yarctan，即f(χ，y)在(0，0)处可微．知识点解析：暂无解析9、设二元函数f(χ，y)的二阶偏导数连续，且满足f〞χχ(χ，y)＝f(χ，y)，f〞yy(χ，2χ)＝χ2，f′χ(χ，2χ)＝χ，求f〞χχ(χ，2χ)．标准答案：f(χ，2χ)＝χ2两边关于χ求导得f′χ(χ，2χ)＋2f′y(χ，2χ)＝2χ，由f′χ(χ，2χ)＝χ得f′y(χ，2χ)＝，f′χ(χ，2χ)＝χ两边关于χ求导得f〞χχ(χ，2χ)＋2f〞yy(χ，2χ)＝1，f′y(χ，2χ)＝两边关于χ求导得f〞yχ(χ，2χ)＋2f〞yy(χ，2χ)＝，解得f〞χχ(χ，2χ)＝0．知识点解析：暂无解析10、设z＝arctan，求dz．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设z＝，求dz与标准答案：知识点解析：暂无解析12、设z＝χ2arctan－y2arctan，求dz｜(1,1)，及标准答案：知识点解析：暂无解析13、设z＝f(eχsiny，χ2＋y2)，其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析14、已知u(χ，y)＝，其中f，g具有二阶连续导数，求χu〞χχ＋yu〞yy．标准答案：知识点解析：暂无解析15、z＝f()＋g(eχ，siny)，f的二阶导数连续，g的二阶偏导数连续，求标准答案：知识点解析：暂无解析16、设z＝f(u，χ，y)，u＝χey，其中f具有二阶偏导数，求标准答案：知识点解析：暂无解析17、设z＝f(2z－y，ysinχ)，其中f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求标准答案：＝2f′1＋ycosχf′2，＝2(－f〞11＋sinχf〞12)＋cosχf′2＋ycosχ(－f〞21＋sinχf〞22)＝－2f〞11＋(2sinχ－ycosχ)f〞12＋cosχf′2＋ysinχcosχf〞22知识点解析：暂无解析18、设f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满＝1，又g(χ，y)＝f(χy，)，求标准答案：＝yf′1＋χf′2＝y(yf〞11＋χf〞12)＋f′2＋χ(yf〞21＋χf〞22)＝y2f〞11＋2χyf〞12＋χf〞22＋f′2＝χf′1－yf′2＝χ(χf〞11－yf〞12)－f′2－y(χf〞21－yf〞22)＝χ2f〞11－2χyf〞12＋yf〞22－f′2则＝(χ2＋y2)(f〞11＋f〞12)＝χ2＋y2．知识点解析：暂无解析19、设z＝yf(χ2－y2)，求标准答案：知识点解析：暂无解析20、设z＝z(χ，y)，由方程F()＝0确定(F为可微函数)，求标准答案：F()＝0两边关于χ求偏导得两边关于Y求偏导得知识点解析：暂无解析21、设z＝χf(χ，u，v)，其中，其中f连续可偏导，求标准答案：知识点解析：暂无解析22、设z＝f(χ，y)是由方程z－y－χ＋χeχ－y－z＝0所确定的二元函数，求dz．标准答案：z－y－χ＋χez－y－χ＝0两边关于χ，y求偏导得知识点解析：暂无解析23、设φ(u，v，ω)由一阶连续的偏导数，z＝z(χ，y)是由φ(bz－cy，cχ－az，ay－bχ)＝0确定的函数，求标准答案：φ(bz－cy，cχ－az，ay－bz)＝0两边关于χ求偏导得φ(bz－cy，cχ－az，ay－bχ)＝0两边关于y求偏导得知识点解析：暂无解析24、设z＝z(χ，y)是由f(y－χ，yz)＝0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求标准答案：f(y－χ，yz)＝0两边关于χ求偏导得知识点解析：暂无解析25、设函数z＝z(χ，y)由方程χ2＋y2＋z2＝χyf(χ2)，其中f可微，求的最简表达式．标准答案：χ2＋y2＋z2＝χyf(z2)两边关于χ求偏导得2χ＋2z＝yf(z2)＋2χyzf′(z2)，知识点解析：暂无解析26、设函数z＝z(χ，y)由方程χ＝f(y＋z，y＋χ)所确定，其中f(χ，y)具有二阶连续偏导数，求dz．标准答案：χ＝f(y＋z，y＋χ)两边关于χ求偏导得χ＝f(y＋z，y＋χ)两边关于y水偏导得知识点解析：暂无解析27、若＝χ＋y且满足z(χ，0)＝χ，z(0，y)＝y2，求z(χ，y)．标准答案：由＝χ＋y得，从而z(χ，y)＝＋∫0χφ(χ)dχ＋φ(y)，由z(χ，0)＝χ得∫0χφ(χ)dχ＋φ(0)＝χ，从而φ(χ)＝1，φ(0)＝0；再由z(0，y)＝y2得φ(y)＝y2，故z(χ，y)＝＋χ＋y2．知识点解析：暂无解析28、设z＝f(χ，y)二阶可偏导，＝2，且f(χ，0)＝1，f′y(χ，0)＝χ，求f(χ，y)．标准答案：由＝2得＝2y＋φ(χ)，由f′y(χ，0)＝χ得φ(χ)＝χ，即＝2y＋χ，从而z＝y2＋χy＋φ(χ)，再由f(χ，0)＝1得φ(χ)＝1，故f(χ，y)＝y2＋χy＋1．知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设则f(x，y)在点(0，0)处()A、不连续。B、连续但两个偏导数不存在。C、两个偏导数存在但不可微。D、可微。标准答案：D知识点解析：由可知f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(ρ)(当(x，y)→(0，0)时)，即得f(x，y)一f(0，0)=一2x+y+o(p)，由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微。故选D。2、设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x一y)+其中函数φ具有二阶导数，φ具有一阶导数，则必有()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先分别求出，再进一步比较结果。因为=φ’(x+y)+φ’(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，=φ’(x+y)—φ’(x一y)+ψ(x+y)+ψ(x一y)，于是=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)—φ’’(x一y)+ψ’(x+y)+ψ’(x一y)，=φ’’(x+y)+φ’’(x一y)+ψ’(x+y)一ψ’(x一y)，可见有。故选B。3、设函数z=f(x，y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0，0)()A、不是f(x，y)的连续点。B、不是f(x，y)的极值点。C、是f(x，y)的极大值点。D、是f(x，y)的极小值点。标准答案：D知识点解析：根据dz=xdx+ydy可得，，则又在(0，0)处，，AC—B2=1＞0，根据二元函数极值点的判断方法可知，(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点。故选D。4、设D为单位圆x2+y2≤1，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I1。D、I2＜I3＜I2。标准答案：D知识点解析：由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3是Y的奇函数，则积分区域关y=x对称，从而由轮换对称性可知由于在D内｜x｜≤1，｜y｜≤1，则x6+y6≤x4+y4，则，从而有I1＜I3＜I2。故选D。5、累次积分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02—yf(x，y)dx可写成()A、∫02dx∫x2—xf(x，y)dyB、∫01dy∫02—xf(x，y)dxC、∫01dx∫xx—2f(x，y)dyD、∫01dx∫y2—yf(x，y)dy标准答案：C知识点解析：原积分域为直线y=x，x+y=2与y轴围成的三角形区域。故选C。6、设则=()A、1。B、。C、。D、e一1。标准答案：B知识点解析：积分区域如图所示。交换积分次序=2∫01te—t2dt=—e—t2｜01=1—e—1。故选B。7、设有平面闭区域，D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)｜0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=()A、。B、。C、。D、0。标准答案：A知识点解析：将闭区间D={(x，y)｜一a≤x≤a，x≤y≤a}用直线y=一x将其分成两部分D2和D3，如图所示，其中D2关于y轴对称，D3关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，所以在D2和D3上，均有。而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D3积分值不为零，在D2积分值为零，因此所以故选A。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、设在点(0，0)处连续，则a=______。标准答案：0知识点解析：因为利用夹逼定理知。又知f(0，0)=a，则a=0。9、设z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所确定，则dz=______。标准答案：知识点解析：方程两端对x求偏导整理得同理可得故有10、设函数z=z(x，y)由方程z=e2x—3z+2y确定，则=______。标准答案：2知识点解析：利用全微分公式，得dz=e2x—3z(2dx一3dz)+2dy=2e2x—3zdx+2dy一3e2x—3zdz，所以(1+3e2x—3z)dz=2e2x—3zdx+2dy，因此从而11、设z=z(x，y)是由方程确定的隐函数，则在点(0，一1，1)的全微分dz=______。标准答案：2dx+dy知识点解析：方程两边微分，有将x=0，y=一1，z=1代入上式，得，即有dz=2dx+dy。12、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数z=f(x，xy)，则=______。标准答案：xf’’12+f’2+xyf’’22知识点解析：由题干可知=xf’’12+f’2+xyf’’2213、交换积分次序∫—10dy∫21—yf(x，y)dy=______。标准答案：∫12dx∫01—xf(x，y)dy知识点解析：由累次积分的内外层积分限司确足积分区域D(如图所示)一1≤y≤0，1一y≤x≤2。则有∫—t0dy∫1—y2f(x，y)dx=。交换积分次序∫—10dy∫21—yf(x，y)dx=—∫—10dy∫1—y2f(x，y)dx=—∫12dx∫1—x0f(x，y)dy=∫12dx∫01—xf(x，y)dy。14、已知极坐标系下的累次积分，其中a＞0为常数，则I在直角坐标系下可表示为______。标准答案：知识点解析：先将I表示成，用D的极坐标表示，0≤r≤acosθ，因此可知区域D：。如图所示。如果按照先y后x的积分次序，则有因此可得15、D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=______。标准答案：知识点解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域用极坐标表示为因此三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)16、设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：分别在z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0的两端对x求导，得整理后得解得知识点解析：暂无解析17、设z=f(x2一y2，exy)，其中f具有连续二阶偏导数，求标准答案：因为由已知条件可得=2xf’1+yexyf’2，=—2yf’1+xexyf’2，=2x[f’’11·(一2y)+f’’12·xexy]+exyf’2+xyexyf’2+yexy[f’’21·(一2y)+f’’22·xexy]=—4xyf’’11+2(x2一y2)exyf’’12+xye2xyf’’22+exy(1+xy)f’2。知识点解析：暂无解析18、设z=f(x+y，x一y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与标准答案：由题意=f’1+f’2+yf’3，=f’1一f’2+xf’3，所以=(f’1+f’2+yf’3)dx+(f’1—f’2+xf’3)dy，=f’’11×1+f’’12×(—1)+f’’13·x+f’’21×1+f’’22×(一1)+f’’23·x+f’3+y[f’’31×1+f’’32×(一1)+f’’33·x]=f’3+f’’11一f’’22+xyf’’33+(x+y)f’’13+(x—y)f’’23。知识点解析：暂无解析19、已知函数f(u，v)具有连续的二阶偏导数，f(1，1)=2是f(u，v)的极值，已知z=f[(x+y)，f(x，y)]。求标准答案：因为=f’1[(x+y)，f(x，y)]+f’2[(x+y)，f(x，y)]·f’1(x，y)，所以=f’’11[(x+y)，f(x，y)]+f’’12[(x+y)，f(x，y)]·f’2(x，y)+f’’21[(x+y)，f(x，y)]·f’1(x，y)+f’’22[(x+y)，f(x，y)]·f’2(x，y)·f’1(x，y)+f’2[(x+y)，f(x，y)]·f’’12(x，y)，又因为f(1，1)=2是f(u，v)的极值，故f’1(1，1)=0，f’2(1，1)=0。因此=f’1(2，2)+f’’12(2，2)·f’’2(1，1)+f’’21(2，2)·f’1(1，1)+f’’22(2，2)·f’2(1，1)·f’1(1，1)+f’2(2，2)·f’’12(1，1)=f’’11(2，2)+f’2(2，2)·f’’12(1，1)。知识点解析：暂无解析20、设z=f[xy，yg(x)]，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1，求标准答案：由题意=f’1[xy，yg(x)]y+f’2[xy，yg(x)]yg’(x)，=f’’11[xy，yg(x)]xy+f’’12[xy，yg(x)]yg(x)+f’1[xy，yg(x)]+f’’21[xy，yg(x)]xyg’(x)+f’’22[xy，yg(x)]yg(x)g’(x)+f’2[xy，yg(x)]g’(x)。由g(x)在x=1处取得极值g(1)=1，可知g’(1)=0。故有=f’’11[1，g(1)]+f’’12[1，g(1)]g(1)+f’1[1，g(1)]+f’’21[1，g(1)]g’(1)+f’’22[1，g(1)]g(1)g’(1)+f’2[1，g(1)]g’(1)=f’’11(1，1)+f’’12(1，1)+f’1(1，1)。知识点解析：暂无解析设z=z(x，y)是由方程x2+y2一z=φ(x+y+z)所确定的函数，其中φ具有二阶导数且φ'≠一1。21、求dz；标准答案：对方程两端同时求导得2xdx+2ydy—dz=φ’(x+y+z)·(dx+dy+dz)，整理得(φ’+1)dz=(一φ’+2x)dx+(一φ’+2y)dy，因此(因为φ’≠一1)。知识点解析：暂无解析22、记u(x，y)=求标准答案：由上一题可知，所以因此知识点解析：暂无解析23、设对任意的x和y，有，用变量代换将f(x，y)变换成g(u，v)，试求满足=u2+v2的常数a和b。标准答案：由题意因此，有=a[v2(f’1)2+u2(f’2)2+2uvf’1f’2]一b[u2(f’1)2+v2(f’2)2一2uvf’1f’2]=(av2一bu2)(f’1)2+(au2一bv2)(f’2)2+2uv(a+b)f’1f’2=u2+v2。利用(f’’1)2+(f’’2)2=4，即(f’’2)2=4一(f’’1)2得(a+b)(v2一u2)(f’1)2+2(a+b)uvf’1f’2+4au2一4bv2=u2+v2。因此a+b=0，4a=1，一4b=1，所以知识点解析：暂无解析24、设函数u=f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式确定a，b的值，使等式通过变换ξ=x+ay，η=x+by可化简为标准答案：根据已知有将相关表达式分别代入等式，可得根据题意，令解方程组得根据10ab+12(a+b)+8≠0，舍去因此可知知识点解析：暂无解析25、设函数f(u)具有二阶连续导数，而z=f(e2siny)满足方程=e2xz，求f(u)。标准答案：由题意=f’(u)exsiny，=f’(u)excosy，=f’(u)exsiny+f’’(u)e2xsin2y，=一f’(u)exsiny+f’’(u)e2xcos2y，代入方程=e2xz中，得到f’’(u)一f(u)=0，解得f(u)=C1eu+C2e—u，其中C1，C2为任意常数。知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设u＝f(χ＋y，χz)有二阶连续的偏导数，则＝()．A、f′2＋χf〞11＋(χ＋z)f〞12＋χzf〞22B、χf〞12＋χzf〞22C、f′2＋χf〞12＋χzf〞22D、χzf〞22标准答案：C知识点解析：＝f′1＋zf′2，＝χf〞12＋f′2＋χzf〞22故选C．2、函数z＝f(χ，y)在点(χ0，y0)可偏导是函数z＝f(χ，y)在点(χ0，y0)连续的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设可微函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(χ0，y)在y＝y0处导数为零B、f(χ0，y)在y＝y0处导数大于零C、f(χ0，y)在y＝y0处导数小于零D、f(χ0，y)在y＝y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(χ，y)在点(χ0，y0)处取得极小值，则有f′χ(χ0，y0)＝0，f′y(χ0，y0)＝0，于是．f(χ0，y)在y＝y0处导数为零，选A．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)4、设z＝f(χ2＋y2，)，且f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则＝_______．标准答案：知识点解析：5、设z＝χyf()，其中f(u)可导，则＝_______．标准答案：2z知识点解析：6、设z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)且f一阶连续可偏导，则＝_______．标准答案：知识点解析：z＝f(χ2＋y2＋z2，χyz)两边对χ求偏导得7、设y＝y(χ，z)是由方程eχ＋y＋z＝χ2＋y2＋z2确定的隐函数，则＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设z＝f(χ，y)是由e2yz＋χ＋y2＋z＝确定的函数，则＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析9、设y＝y(χ)由χ－＝0确定，则＝_______．标准答案：e－1知识点解析：暂无解析10、设z＝z(χ，y)由z＋ez＝χy2确定，则dz＝_______．标准答案：知识点解析：z＋ez＝χy2两边求微分得d(z＋ez)＝d(χy2)，即dz＋ezdz＝y2dχ＋2χydy，解得dz＝11、设z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)，其中f连续可偏导，则＝_______．标准答案：知识点解析：z＝f(χ＋y，y＋z，z＋χ)两边求χ求偏导得12、设z＝χy＋χf()，其中f可导，则＝_______．标准答案：z＋χy知识点解析：13、由方程χyz＋确定的隐函数z＝z(χ，y)在点(1，0，－1)处的微分为dz＝_______．标准答案：dχ－dy知识点解析：χyz＋两边求微分得yzdχ＋χzdy＋χydz＋(χdχ＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dχ－dy．14、设f(χ，y，z)＝eχyz2，其中z＝z(χ，y)是由χ＋y＋z＋χyz＝0确定的隐函数，则f′χ(0，1，－1)＝_______．标准答案：1知识点解析：f′χ(χ，y，z)＝y(eχz2＋2zeχ)，χ＋y＋z＋χyz＝0两边对χ求偏导得将χ＝0，y＝1，z＝－1代入得解得f′χ(0，1，－1)＝1．15、设f(χ，y)可微，且f′1(－1，3)＝－2，f′2(－1，3)＝1，令z＝f(2χ－y，)，则dz｜(1，3)＝_______．标准答案：－7dχ＋3dy知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)16、设χy＝χf(z)＋yg(z)，且χf′(z)＋yg′(z)≠0，其中z＝z(χ，y)是χ，y的函数．证明：[χ－g(z)]＝[y－f(z)]标准答案：χy＝χf(χ)＋yg(χ)两边分别对χ，y求偏导，得知识点解析：暂无解析17、设z＝f(χ，y)由方程z－y－χ＋χez－y－χ＝0确定，求dz．标准答案：对z－y－χ＋χez－y－χ＝0两边求微分，得dz－dy－dχ＋ez－y－χdχ＋χez－y－χ(dz－dy－dχ)＝0，解得dz＝dχ＋dy知识点解析：暂无解析18、设u＝f(χ，y，z)有连续的偏导数，y＝y(z)，z＝z(χ)分别由方程eχy－y＝0与ez－χz＝0确定，求标准答案：，方程eχy－y＝0两边对χ求导得方程ez＝χz＝0两边对χ求导得知识点解析：暂无解析19、设y＝y(χ)，z＝z(χ)是由方程z＝χf(χ＋y)和F(χ，y，z)＝0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求标准答案：z＝χf(χ＋y)及F(χ，y，χ)＝0两边对χ求导数，得知识点解析：暂无解析20、(1)设y＝f(χ，t)，其中t是由G(χ，y，t)＝0确定的χ，y的函数，且f(χ，t)，G(χ，y，t)一阶连续可偏导，求(2)设z＝z(χ，y)由方程z＋lnz－＝1确定，求标准答案：(1)将y＝f(χ，t)与G(χ，y，t)＝0两边对χ求导得(2)当χ＝0，y＝0时，z＝1．z＋lnz－＝1两边分别对χ和y求偏导得＝0两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析21、设F(z＋，y＋)＝0且F可微，证明：＝z－χy．标准答案：＝0两边对χ求偏导得＝0两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析22、设变换可把方程＝0，简化为＝0，求常数a．标准答案：将u，v作为中间变量，则函数关系为z＝f(u，v)，则有将上述式子代入方程＝0得(10＋5a)＋(6＋a－a2)＝0，根据题意得解得a＝3．知识点解析：暂无解析23、设z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求标准答案：z＝f[χ＋φ(χ－y)，y]两边关于y求偏导得＝－f′1φ′＋f′2＝－(－f〞11＋f〞12)φ′＋f′1φ〞－f〞21φ′＋f〞22＝f〞11(φ′)2－2f〞12φ′＋f′1φ〞＋f〞22．知识点解析：暂无解析24、(1)设f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2＋，求f(u，v)，并求(2)设z＝f(χ，y)由f(χ＋y，χ－y)＝χ2－y2－χy确定，求dz．标准答案：(1)令从而f(u，v)＝uv＋于是(2)令代入得f(u，v)＝从而z＝f(χ，y)＝χy－，由得dz＝(y－χ)dχ＋(χ＋]y)dy．知识点解析：暂无解析25、(1)求二元函数f(χ，y)＝χ2(2＋y2)＋ylny的极值．(2)求函数f(χ，y)＝(χ2＋2χ＋y)ey的极值．标准答案：(1)二元函数f(χ，y)的定义域为D＝{(χ，y)｜y＞0}，由得(χ，y)＝(0，)，因为AC－B2＞0且A＞0，所以为f(χ，y)的极小点，极小值为．由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(χ，y)＝(－1，0)为f(χ，y)的极小值点，极小值为f(－1，0)＝－1．知识点解析：暂无解析26、求u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值．标准答案：令F＝χ2＋y2＋z2＋λ(－1)，u＝χ2＋y2＋z2在＝1上的最小值为知识点解析：暂无解析27、平面曲线L：绕χ轴旋转所得曲面为S，求曲面S的内接长方体的最大体积．标准答案：曲线L：绕χ轴旋转一周所得的曲面为S：＝1．根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(χ．y．z)，则体积V＝8χyz．令F＝χyz＋λ(－1)，由由实际问题的特性及点的唯一性，当时，内接长方体体积最大，最大体积为V＝ab2．知识点解析：暂无解析28、设z＝f(t2，e2t)二阶连续可偏导，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：＝2tf′1＋2e2tf′2，＝2f′1＋2t(2tf〞11＋2e2ttf〞12)＋4e2tf′2＋2e2t(2tf〞21＋2e2tf〞22)＝2f′1＋4t2f〞11＋8te2tf〞12＋4e2tf′2＋4e4tf〞22．知识点解析：暂无解析29、设z＝f(eχsiny，χy)，其中f二阶连续可偏导，求标准答案：＝eχsiny.f′1＋y.f′2，eχcosy.f′1＋eχsiny.(eχcosy.f〞11＋χf〞12)＋f′2＋y(eχcosy.f〞12＋f′2＋χyf〞22)＝eχcosy.f′1＋e2χsinycosy.f〞11＋eχ(χsiny＋ycosy)f〞12＋f′2＋χyf〞22．知识点解析：暂无解析30、u＝f(χ2，χy，χy2χ)，其中f连续可偏导，求标准答案：＝2χf′1＋yf′2＋y2zf′3，＝χf′2＋2χyzf′3＝χy2f′3知识点解析：暂无解析31、设z＝f(χ，y)在点(1，1)处可微，f(1，1)＝1，f′1(1，1)＝a，f′2(1，1)＝b，又u＝f[χ，f(χ，χ)]，求标准答案：由＝f′1[χ，f(χ，χ)＋f′2[χ，f(χ，χ)].[f′1(χ，χ)＋f′2(χ，χ)]得＝f′1[1，f(1，1)]＋f′2[1，f(1，1)].[f′1(1，1)＋f′2(1，1)]＝a＋b(a＋b)＝a＋ab＋b2．知识点解析：暂无解析32、设z＝，求标准答案：知识点解析：暂无解析33、设y＝y(χ)，z＝z(χ)由确定，求．标准答案：两边对χ求导得知识点解析：暂无解析34、设z＝z(χ，y)是由F(χ＋，y＋)＝0所确定的二元函数，其中F连续可偏导，求标准答案：＝0两边对χ求偏导得＝0两边对y求偏导得知识点解析：暂无解析35、求二元函数f(χ，y)＝χ3－3χ3－9χ＋y2－2y＋2的极值．标准答案：当(χ，y)＝(－1，1)时，A＝－12，B＝0，C＝2，因为AC－B2＝－24＜0，所以(－1，1)不是极值点；当(χ，y)＝(3，1)时，A＝12，B＝0，C＝2，因为AC－B2＝24＞0且A＞0，所以(3，1)为极小点，极小值为f(3，1)＝－26．知识点解析：暂无解析36、求z＝f(χ，y)满足：dz＝2χdχ－4ydy且f(0，0)＝5．(1)求f(χ，y)．(2)求f(χ，y)在区域D＝{(χ，y)｜χ2＋4y2≤4}上的最小值和最大值．标准答案：(1)由dz＝2χdχ－4ydy得dz＝d(χ2－2y2)，从而f(χ，y)＝χ2－2y2＋C，再由f(0，0)＝5得f(χ，y)＝χ2－2y2＋5．(2)当χ2＋4y2＜4时，由f(0，0)＝5；当χ2＋4y2＝4时，令(0≤t≤2π)，z＝4cos2t－2sin2t＋5＝6cos2t＋3，当cost＝0时，fmin＝3；当cost＝±1时，fmax＝9，故最小值为m＝0，最大值M＝9．知识点解析：暂无解析考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，偏导数存在．B、连续，偏导数不存在．C、不连续，偏导数存在．D、不连续，偏导数不存在．标准答案：C知识点解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导．由于f(x，0)=0(∈(-∞，+∞))，则=0．因此(B)，(D)被排除．再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x3，则≠f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故应选(C)．2、下列函数在(0，0)处不连续的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：直接证(C)中f(x，y)在(0，0)不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于(0，0)时因此f(x，y)在(0，0)不连续．故选(C)．3、设z=f(x，y)=，则f(x，y)在点(0．0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：B知识点解析：设△z=f(x，y)-f(0，0)，则可知．这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．因f(x，0)=0()，所以f’x(0，0)=f(x，0)｜x=0=0，同理f’y(0，0)=0．令α=△z-f’x(0，0)△x-f’y(0，0)△y=，当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时即α不是ρ的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)．4、设z=f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、偏导数存在且连续．B、偏导数不存在，但连续．C、偏导数存在，可微．D、偏导数存在，但不可微．标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知这说明f’x(0，0)存在且为0，同理f’y(0，0)存在且为0．又所以f(x，y)在点(0，0)处可微分．故选(C)．二、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)5、求下列极限：标准答案：(Ⅰ)因此(Ⅱ)由x4+y2≥2x2｜y而，因此原极限为0．知识点解析：暂无解析6、证明极限不存在．标准答案：(x，y)沿不同的直线y=kx趋于(0，0)，有再令(x，y)沿抛物线y2=x趋于(0，0)，有由二者不相等可知极限不存在．知识点解析：暂无解析7、(Ⅰ)设f(x，y)=x2+(y-1)arcsin(Ⅱ)设标准答案：(Ⅰ)因f(x，1)=2，故=2x｜x=2=4．又因f(2，y)=4+(y-1)arcsin，故(Ⅱ)按定义类似可求=0(或由x，y的对称性得)．知识点解析：暂无解析8、求下列函数在指定点处的二阶偏导数：标准答案：(Ⅰ)按定义故(Ⅱ)知识点解析：暂无解析9、设z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函数，求复合函数z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏导数标准答案：由复合函数求导法可得=f’1+f’2+f’3=f’1+f’3，=f’1+f’2ψ’(y)．(*)知识点解析：暂无解析10、设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．标准答案：已求得，下面进一步求第一步，先对的表达式用求导的四则运算法则得第二步，再求(f’2)．这里f(u，v)对中间变量u，v的导数f’1=仍然是u，v的函数，而u，v还是x，y的函数，它们的复合仍是x，y的函数，因而还要用复合函数求导法求(f’1)，(f’2)．即第三步，将它们代入(木)式得用类似方法可求得．知识点解析：暂无解析11、设u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定z，t为y的函数，求标准答案：注意z=z(y)，t=t(y)，于是因此，我们还要求，将方程组①两边对y求导得记系数行列式为W=(y-t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则代入②得知识点解析：暂无解析12、设u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下有标准答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得于是即知识点解析：暂无解析13、设z=f(x，y)在区域D有连续偏导数，D内任意两点的连线均属于D．求证：对A(x0，y0)，B(x0+△x，y0+△y)∈D，∈(0，1)，使得f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)标准答案：连接A，B两点的线段属于D：t∈[0，1]，在上f(x，y)变成t的一元函数φ(t)=f(x0+t△x，y0+t△y)，φ(t)在[0，1]可导，由复合函数求导法现在二元函数的增量看成一元函数φ(t)的增量，由一元函数微分中值定理f(x0+△x，y0+△y)-f(x0，y0)=φ(1)-φ(0)=φ’(θ)知识点解析：暂无解析14、设z(x，y)=x3+y3-3xy(Ⅰ)-∞＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，求z(x，y)的驻点与极值点．(Ⅱ)D={(x，y)｜0≤x≤2，-2≤y≤2}，求证：D内的唯一极值点不是z(x，y)在D上的最值点．标准答案：(Ⅰ)解方程组得全部驻点(0，0)与(1，1)．再求考察(0，0)处，AC-B2＜0(0，0)不是极值点．(1，1)处，AC-B2＞0，A＞0(1，1)是极小值点．因此z(x，y)的驻点是(0，0)，(1，1)，极值点是(1，1)且是极小值点．(Ⅱ)D内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)=-1．D的边界点(0，-2)处．z(0，-2)=(-2)3=-8＜z(1，1)因z(x，y)在有界闭区域D上连续，必存在最小值，又z(0，-2)＜z(1，1)，(0，-2)∈Dz(1，1)不是z(x，y)在D的最小值．知识点解析：暂无解析15、求函数z=x2y(4-x-y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．标准答案：区域D如图7．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到．为求D内驻点，先求=2xy(4-x-y)-x2y=xy(8-3x-2y)，=x2(4-x-y)-x2y=x2(4-x-2y)．再解方程组得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6-x代入得z(x，y)=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3-6x2)，则h’(x)=6(x2-4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=-64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为-64．因此，z(x，y)=4，=-64．知识点解析：暂无解析16、已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC-B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．标准答案：椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2-1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2-λ(Ax2+2Bxy+Cy2-1)，解方程组将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得[(1-Aλ)x2-Bλxy]+[-Bλxy+(1-Cλ)y2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F’x=0，F’y=0有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根λ1，λ0，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为知识点解析：暂无解析17、设z(x，y)满足求z(z，y)．标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求积分得z(x，y)=-xsiny-ln｜1-xy｜+φ(y)，其中φ(y)为待定函数．由②式得-siny-ln｜1-y｜+φ(y)=siny，故φ(y)=2siny+ln｜1-y｜．因此，z(x，y)=(2-x)siny+知识点解析：暂无解析18、设f(x，y)=；(Ⅱ)讨论f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求af｜(0,0)．标准答案：(Ⅰ)当(x，y)≠(0，0)时，当(x，y)=(0，0)时，因f(x，0)=0，于是由对称性得当(x，y)≠(0，0)时(Ⅱ)因为，考察f(x，y)在(0，0)是否可微，就是考察下式是否成立即=o(p)(p→0)，亦即当p→0时是否是无穷小量．因为所以