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向量数量积的概念

如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:θ表示力F的方向与位移S的方向的夹角。位移SOAθFFθSW=│F││S│COSθ情景导入一：两个向量的夹角（71页）baOAOB给定两个非零向量a、b，=a，=b.则称[0，π]内的∠AOB称作向量a和向量b的夹角,记作<a，b>.并规定0≤<a，b>≤π

BOA向量的夹角

与

反向OABOA

与

同向OABB记作与

垂直，OAB注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的如果a,b是两个非零向量，那么〈a，b〉=〈b，a〉吗？根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，所以〈a，b〉=〈b，a〉（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；baBOA（2）〈a，b〉=〈b，a〉；（3）范围0≤〈a，b〉≤π；（4）〈a，b〉=0时,a、b同向；〈a，b〉=π时，a、b反向；〈a，b〉=90°时，

a⊥b.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.总结：二、向量的数量积（内积）（72页）定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：a·b

即a·b=

两个非零向量的数量积是一个实数如果向量a,b都是非零向量，那么a·b可以是正数吗？可以是负数吗？可以是零吗？通过数量积的定义可知，a·b符号由cos〈a，b〉的符号所决定；所以a·b可以是正数，可以是负数，可以是零

向量数量积的性质量的数量积为0规定零向量与任意向（3）a与b垂直的充要条件是他们的数量积为0例1已知a,b是两个非零向量.(1)若|a|=5,|b|=4,<a·b>=120°,求a·b;(2)若|a|=3，|b|=2，a·b=3，求<a·b>练一练：三、向量的投影与向量数量积的几何意义如果a,b都是非零向量，且a在b上的投影为，那么向量的方向、长度与<a,b>有什么关联？如图所示，给定平面上的一个非零向量b,设b所在的直线为l,则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影,如图所示.OABbaOABbaθ为锐角时，|a|cosθ＞0θ为钝角时，|a|cosθ＜0θ为直角时，|a|cosθ=0BOAba

当

=0

时，数量为|a|；当

=180

时，数量为

|a|.

一般地,如果a,b都是非零向量,则称|a|cos<a,b>为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量可能是非负数，也可能是负数①两个非零向量a,b的数量积a·b,等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积,这就是两个向量数量积的几何意义.②当e为单位向量时,a·e=|a|cos<a,e>.即任意向量与单位向量的数量积,等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.

．数量积a

b等于a的长度与b在a方向上正射影的数量|b|cos

的乘积.1.做一做:已知|a|=5,|b|=3,

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