1.1数列的概念（5知识点8题型强化训练）

1.1数列的概念课程标准学习目标(1)通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。(1)掌握数列的概念;(2)掌握数列的通项公式的概念，会判断简单数列的通项公式；(3)理解数列的递推公式的概念；(4)理解数列前n项和的概念，掌握通项公式与前n项和的关系，并会利用其求数列通项公式；(难点)(5)理解数列与函数的关系与区别，会判断数列的单调性和求数列的最大项或最小项。(难点)知识点01数列的概念(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1,a解析与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同)②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列1,1,1，而由1,1,1组成的集合是{1}．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如1,3,4与1,4,3代表不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}却是相同的．【即学即练1】判断正误(正确的写正确，错误的写错误)(1)数列1,2,3,4和数列1,2,4,3是同一个数列．()(2)数列中的每一项都与它的序号有关．()(3)an与an(4)有些数列没有通项公式．()【答案】错误正确正确正确【分析】利用数列的概念进行判断正确错误.【详解】对于(1)，按照一定次序排列起来的一列数称为数列，故(1)错误；对于(2)，根据数列的概念，故(2)正确;对于(3)，an表示an的第n项，故(3对于(4)，例如π的不同近似值，根据精确度，可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，则它没有通项公式，故(4)故答案为：①错误；②正确；③正确；④正确.知识点02数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号解析(1)an与{an}是不同的概念，{an(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.(3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，比如数列1,0,1,0，…，其通项公式可以是an=【即学即练2】已知数列1,2,3,4,…，则这个数列的一个通项公式是()A．an=1 B．an=n2C【答案】C知识点03数列的递推公式若已知数列{an}的第一项a1(或前n项)，且任一项an和它的前一项an-1(解析(1)举例：a1(初始条件)，an=2aa1(2)通项公式与递推公式的异同不同点相同点通项公式可根据某项的序号，直接用代入法求出该项都可确定一个数列，都可求出数列的任何一项递推公式可根据第1项或前几项的值，通过一次或多次赋值逐项求出数列的项，直至求出所需的项【即学即练3】已知数列an中，a1=1，a【答案】5【详解】a2=3a知识点04数列的前n项和若Sn为数列an的前n则an解析(1)若已知列an的前n项和Sn，可利用公式an=(2)证明若Sn为数列an的前n项和，根据定义可得，Sn=故当n=1时，an当n≥2时，由1-(2)得S即an【即学即练4】已知数列an的前n项和为Sn=n【答案】8【详解】a4知识点05数列与函数的关系1数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4,….,n无穷数列项数无限的数列1,2,3,4,…,n,….按项的大小递增数列a2,4,8,…,2n,…递减数列a1,常数列每项都相等的数列1,1,1,…摆动数列每项的大小忽大忽小的数列1,-2,3,-4,5,…2数列与函数的关系数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3....n})上的函数f(n)，其图象是一系列有限或无限孤立的点如数列an=nay定义域NR图象增减性递增数列在-∞,0递减，在0,+∞递增最值最小项1，无最大项最小值0，无最大值【即学即练5】数列的通项公式an=【答案】8【详解】方法1an当n≥3时，an+1>an即an在n<3时递减，在n≥3时递增，故最小项方法2an=n函数图象开口方向向上，对称轴为x=3，易得x=3时取到最小值所以最小项为a3【题型一：数列的概念】例1．下列说法中，正确的是(

)A．数列2,4,6,8可表示为集合2,4,6,8B．数列1,2,3,4与数列4,3,2,1是相同的数列C．数列n2+n的第kD．数列0,1,2,3,4,⋯可记为n【答案】C【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.【详解】对于A，由数列的定义易知A错误；对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；对于C，数列n2+n的第k项为k2对于D，因为0∈N，所以n∈N，这与数列的定义不相符，故D故选：C.变式11．下列说法正确的是(

)A．数列1,3,5,7,⋯,2n-1可以表示为1,3,5,7,⋯B．数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C．数列n+1n的第k项为1＋D．数列0,2,4,6,8,⋯可记为2n【答案】C【分析】根据数列的概念求得正确答案.【详解】A选项，数列1,3,5,7,⋯,2n-1和数列1,3,5,7,⋯，前者是有限项，后者是无限项，所以两个数列不一样，A选项错误.B选项，数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1的项的顺序不相同，所以不是相同数列，B选项错误.C选项，n+1n=1+1n，所以数列n+1n的第k项为1＋D选项，数列0,2,4,6,8,⋯可记为2n,n∈N，所以D选项错误故选：C变式12．下列叙述正确的是(

)A．数列nn+1B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为aC．数列0，0，0，1，…是常数列D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列【答案】A【分析】作差即可判断A项；代入检验，即可判断B项；根据常数列以及数列的概念，即可判断C、D.【详解】对于A项，设an则an+1-an=所以，数列nn+1是递增数列.故A对于B项，当n=1时，a1=1与第一项为0不符.故对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误；对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关.所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A.【方法技巧与总结】1理解数列的概念，注意集合与数列的区别；数列具有有序性、确定性、可重复性；2{an}指的是整个数列，而an【题型二：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式】例2．数列35,47,5A．n2n-1 B．n+22n-3 C．n2n+1【答案】D【分析】通过数列的规律总结出数列的第n项即可【详解】设该数列为an则a以此类推可得an故选：D变式21．数列1,31,52,73，⋯的第n项为A．n+1n B．2n+1n-1 C．2n-1【答案】D【分析】分别分析底数和指数的变化规律，得到数列通项.【详解】底数1,3,5,7⋯构成等差数列，第n项为2n-1；指数0,1,2,3⋯构成等差数列，第n项为n-1.所以数列1,31,52,73，⋯的第n故选：D变式22．数列2,-43,65,-A．1615 B．-1615 C．18【答案】B【分析】根据数列的前几项归纳可得其通项公式，从而可得第8项.【详解】由数列2,-4a1=2所以第8项是a8故选：B.【方法技巧与总结】可把项分成几部分(比如符号、分子、分母、指数等等)，先确定每部分的规律写成其第n项，再确定整项的写法.【题型三：数列通项公式的运用】例3．在数列an中，已知an=n2+n-13，A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】B【分析】直接令n2+n-1【详解】令n2+n-13解得n=4或n=-5(舍).故选：B变式31．在数列an中，若an=2n-1,n为奇数A．17 B．23 C．25 D．41【答案】D【分析】利用数列的通项公式求出a5,【详解】aa6故a5故选：D变式32．已知数列an满足an=2n，数列bn满足bn=5n+2n∈NA．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】通过列举数列bn的项的方法，即可求解【详解】bn的前6项依次为7,12,17,22,27,32，因为b6=32=25故选：C变式33．已知数列an满足：对∀n∈N*，an=logn+1(n+2)，设TA．a1>a2 B．a1>【答案】D【解析】A.根据a1=log23>log222=32，a2=log34<【详解】因为a1=log23>log22a7=log8T6=log2T7=T6×log89，因为T故选：D.【点睛】本题主要考查数列项的比较大小和累乘法，还考查了对数的换底公式对数函数的单调性，属于中档题.【方法技巧与总结】数列通项公式an可看成是以n为自变量的函数，如fx=a【题型四：数列的递推公式】例4．在数列an中，若a2=2,anA．1012 B．1013 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用递推公式构造数列ann+2【详解】因为an=n+2an+1所以ann+2是常数列，所以又a2=2，所以故选：B变式41．数列1，3，6，10，15，…的递推公式可以是(

)A．an+1=an+n，n∈N*C．an+1=an+(n+1),n≥2，n∈N*【答案】B【分析】根据题意，得到a2-a1=2，a3-a【详解】设数列1，3，6，10，15，…为{an}，则a2-a1=2，a3-a2=3，a4-a由此可得数列{an}故选：B．变式42．已知数列an满足：a1=3,an+1=A．34 B．42 C．46 D．64【答案】B【分析】由a1=3,a【详解】a1则a2＝3a1+1＝则a1故选：B.变式43．已知数列an满足an+1=1-1an，aA．2 B．12 C．-1 D．【答案】B【分析】由题意确定数列为周期数列，然后求解即可.【详解】由a1=2,an+1=1-所以数列an是以3为周期的一个周期数列所以a2024故选：B.【方法技巧与总结】递推公式是数列的一种表示方法，在求值的过程中注意下标的特点.【题型五：由数列的递推公式求通项公式】例5．(1)已知数列an满足a1=12(2)数列an中，a1=1，an+1an=【答案】(1)a(2)a【分析】(1)利用叠加法，结合裂项相消的知识可得通项公式；(2)利用累乘法求解即可.【详解】(1)因为an+1=a所以an=a综上：an而a1=1(2)因为a1=1，an+1综上：a2022变式51．已知数列an对任意k∈N*满足ak⋅A．21012 B．21013 C．22024【答案】A【分析】由ak⋅ak+1=2【详解】解：由ak⋅a所以ak+2所以a2024a2022⋅又因为a1⋅①②两式相乘，得a1故选：A．变式52．若数列an满足an=an-1+1n2+nA．20222023 B．20232024 C．20242025【答案】C【分析】将数列递推式整理裂项，运用累加法和裂项相消法求和，得到数列通项即得.【详解】由an=a则有，a=1故a2024故选：C.变式53．已知数列an满足a1=1，且an+1=A．145 B．146 C．155【答案】B【分析】根据题意，两边取倒数，然后累加即可得到结果.【详解】∵an+1=annan+1，则1an+1=n故选：B【方法技巧与总结】形如an+1-an=f(n)可采取累加法求通项公式an，形如【题型六：利用数列的前n项和求通项公式】例6．已知数列an的前n项和为Sn(1)求数列an(2)求数列Sn前6【答案】(1)a(2)151【分析】(1)由an与Sn的关系，求数列(2)由Sn=n2+2n+3【详解】(1)数列an的前n项和为Sn=1时，a1n≥2时，ana1不符合a所以an(2)数列Sn前6项和为6+11+18+27+38+51=151变式61．已知数列an的前n项和为Sn，若Sn=n+1A．a1+aC．a1+a【答案】D【分析】利用根据an=S1【详解】∵Sn=n+1，当n≥2时，S当n=1时，S1=2≠a1对于A，a1+a5=3对于B，a1+a5=3对于C，a1+a2=3对于D，a2+a3故选：D变式62．已知数列an满足a1+a2A．3n B．3n-1 C．3n【答案】A【分析】由数列递推式考虑赋值作差，即可求出an，需要检测首项是否符合【详解】由a1+a2当n=1时，a1当n≥2时，a1+a由①-②：an3n-1当n=1时，符合题意，故an故选：A.变式63．已知数列an的前n项和为Sn，且(1)求an(2)记bn=2anan+1【答案】(1)a(2)T【分析】(1)由4Sn=2n+1a(2)求出bn，由裂项相消法可求出数列bn的前n项和【详解】(1)因为4Sn=2n+1a因为4S所以4S两式相减得4a即2n-3a所以an所以a2即an所以当n≥2时，an又a1=1，所以(2)由(1)可得bn所以Tn【方法技巧与总结】1理解an2利用an=S1,n=1Sn【题型七：数列的单调性问题】例7．已知数列an的通项公式为a(1)问14(2)判断数列an【答案】(1)是，第17项；(2)数列an【分析】(1)由nn+51=1(2)计算an+1-【详解】(1)14是这个数列的第17由an=n故14是数列an的项，是第(2)数列an由题知，a==∵n∈N*∴数列an变式71．已知数列an是单调递增数列，an=m2n-1-nA．2,+∞ B．C．32,+∞【答案】C【分析】由数列an为单调递增数列得an+1-an=m⋅2n【详解】由题意可得an=m(2即∀n∈N*，整理得m>2n+1令bn=2n+12n所以数列bn单调递减，故b1=则m的取值范围为32,+∞，故故选：C．变式72．数列an的通项公式是an=n2-kn，若数列【答案】k<3【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案.【详解】由数列an是递增的，则an+1>整理可得2n+1-k>0，由一次函数的单调性且n∈N*，则解得k<3.故答案为：k<3.变式73．已知数列an满足a(1)求a1,a(2)证明：数列an【答案】(1)a1=2，a(2)证明见解析【分析】(1)根据条件，取n=1，即可求出a1=2，再利用an(2)根据(1)中结果，通过证明an+1a【详解】(1)因为a1+2当n=1时，a1当n≥2时，a1+2由①-②得nan=当n=1时，a1=2⋅31-1当n=2时，a2故a1=2，a2(2)由(1)知，an=2⋅3n-1又3nn+1-1=2n-1n+1>0得到an+1>a所以数列an为单调递增数列【方法技巧与总结】判断数列的单调性，可以作差法：比较an+1-an与0的大小，或作商法：比较a【题型八：数列的最值问题】例8．已知数列an的前n项和S(1)求数列an(2)若bn=a【答案】(1)a(2)第7项【分析】(1)根据an(2)根据an得到bn【详解】(1)当n=1时，a1当n≥2时，an故数列an的通项公式为a(2)由已知得b1当n≥2时，bn则bn≥b得2n≥104104≥2n-1所以当n≥2，bn的最大项为第7又b7所以数列bn的最大项是该数列的第7项变式81．数列an前n项和为Sn，且an=33n-13，则关于aA．an，Sn都有最小值 B．an，C．an，Sn都无最小值 D．an，【答案】A【分析】利用数列通项的单调性和正负即可判断出答案．【详解】因为an=33n-13，所以当当n≥5时，an>0，且单调递减，故当n=4时，又因为当n≤4时，an<0；当n≥5时，an综上可知an，S故选：A变式82．已知an=n⋅(45)A．a10 B．a8 C．a6【答案】D【分析】作商探讨数列an的单调性，进而求出最大项即可【详解】数列an中，an=n⋅令45×n+1n>1，解得n<4，则当n<4同理当n>4时，an+1<an，即a5所以数列an的偶数项中最大项为a故选：D变式83．（多选）已知数列an的通项公式为an=n-98n-99，前n项积为A．在数列an中，a10是最大项 B．在数列an中，C．数列Sn单调递减 D．使Sn取得最小值的n【答案】ABD【分析】判断数列an的单调性，由此求得最大项与最小项，进而判断A,B选项，再根据项与1的大小关系判断Sn的单调性及最值判断C，D【详解】an=n-98n-99=1+99-98n-当n≥10时an随着n的增大越来越小且大于1，则前n项中最大项为a10，最小项为故A，B选项正确；当1≤n≤9时，0<当n≥10时，an=1+99-98n-前n项积Sn取得最小值时n为9，故D选项正确故选：ABD.变式84．已知数列an的前n项和为Sn，(1)求数列an的通项公式a(2)若数列bn满足：bn=【答案】(1)a(2)9【分析】(1)根据an(2)求出b1=15，当n≥2时，计算出bn+1bn=12【详解】(1)Sn=2n+3当n≥2时，an其中21-1故a(2)当n=1时，b1当n≥2时，bn则bn+1当n=2时，b3当n≥3时，1n+1≤43，故n≥2时，bn的最大项为b又b3>b1，故数列【方法技巧与总结】要求数列的最大项或最小项，方法1是犹如求函数最值，先分析数列的单调性，再求最大项或最小项；方法2是利用数列与函数之间的关系，了解数列对应函数的性质从而得到数列的最大项或最小项.一、单选题1．下列四个命题中，错误的是(

)A．数列n+1n的第k项为B．已知数列an的通项公式为an=n2C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为aD．数列an的通项公式为an=【答案】C【分析】根据数列的定义由通项公式写出第k项，判断A，令an=-8解出项数n判断B，数列各项减1配出等比数列，求出通项公式判断C，作差an+1【详解】A，数列n+1n的第k出项为1+1kB，令n2-n-50=-8，得n=7或n=-6(舍去)，C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为bn，则其通项公式为bn=2n(n∈N*)，因此数列3，5，9，17D，an=nn+1=1-1n+1故选：C．2.数列-3,54,-79,A．-23121 B．23121 C．-【答案】A【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式，确定数列的第11项.【详解】设该数列的第n项为an由已知a1变形可得a1所以数列an的一个通项公式可以是a则a11故选：A.3.在数列an中，若an=2n-1,n 为奇数A．17 B．23 C．25 D．41【答案】A【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可.【详解】依题意，a4故选：A4.已知数列an满足a1=-1，an+1(an-1)+1=0(n∈A．6 B．92 C．3 D．【答案】B【分析】利用数列递推公式对n进行赋值求出数列的项，判断并运用其周期性即可求得S9【详解】因a1=-1，由an+1则a2=11-a1故数列an是周期为3从而数列an的前9项和为S故选:B.5.已知数列an的前n项和为Sn,Sn+1A．190 B．210 C．380 D．420【答案】B【分析】根据给定的递推公式，结合Sn+1-【详解】数列an中，n∈N*，Sn+1=两式相减得an+1=a因此(n+1)nan=n(n-1)而S2=a2-a1所以1a故选：B6.对于给定的正整数数列an，满足an+1=an+bn，其中bA．如果a1是5的倍数，那么数列an与数列B．如果a1不是5的倍数，那么数列an与数列C．如果a1不是5的倍数，那么数列an与数列D．如果a1不是5的倍数，那么数列an与数列【答案】D【分析】分情况讨论a1的个位数字为0或5，结合数列2n中项的个位数字，即可判断A项；根据推理可知，如果a1不是5的倍数，那么数列an的末位数字只能是2，4，6，8，这与数列2n中项的个位数字相同，即可判断B、【详解】如果a1是5的倍数，则a1的个位数字为0当a1的个位数字为0时，则b1=0，根据an+1=当a1的个位数字为5时，则b1=5，根据an+1=an而数列2n中项的个位数字只能为2，4，6，8所以数列an与数列2n没有相同的项，当a1不是5的倍数时，这个数字加上它的末尾数字，一直加下去，则这个数的末位数字只能是2，4，6，8数列2n中项的个位数字也只能是2，4，6，8，故它们必有相同的项，且有无穷多个相同的项，故B、C不正确，D项正确故选：D.7.已知数列{an}的通项公式为an=9nA．109 B．910 C．99【答案】D【分析】法一：利用作差法求解；法二：设数列an的第n项最大，由an【详解】解：方法一：an+1-an=9n+1n+2当n<8时，an+1-a当n=8时，an+1-a当n>8时，an+1-a所以a1所以数列an有最大项，为第8项和第9项，且a方法二：设数列an的第n项最大，则a即9n解得8≤n≤9，又n∈N*，则n=8或故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8故选：D8.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=A．an<an+1 B．Sn>【答案】D【分析】首先求数列an的解析式，再结合数列的解析式，以及条件，判断数列an和S【详解】由条件可知，Sn当n=1时，a1当n≥2时，an验证，当n=1时，a1所以an当n≥2时，an=43nSn=1-23n当n=1时，a1当n≥2时，an+2S当n=1时，a1当n≥2时，an=43n单调递减，当n=2当n→+∞时，a所以0<an≤4故选：D二、多选题9.数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（

）A．an=(-1)C．an=2|sin【答案】ABC【分析】根据给定条件，逐项验证判断即得.【详解】对于A，a1=2,a对于B，a1=2,a对于C，a1=2,a对于D，a1=0,a2故选：ABC10.若数列an满足，对任意正整数n，恒有an≥a7，则A．an=n2-403n B【答案】ACD【分析】对于A，由an=n2-403n=n-2032-4009，可判断A；对于B，an+1-an=【详解】对于A，an=n2-403对于B，an+1当n≤6，an+1>an，所以对于C，an=2n-112n-15=1+42n-15当n≤7时2n-15<0，an<1，且an随n对于D，an数列an的前7项依次为-12，-12，1，-12该数列是以3为周期的周期数列，故D正确．故选:ACD.11.已知数列an的通项公式为an=92n-9n∈N*A．数列an有最小项，且有最大项 B．使an∈ZC．满足anan+1an+2≤0的n的值共有5个 D【答案】ABD【分析】首先利用作差法判断单调性，列出数列的前几项，再结合各选项一一判断即可.【详解】因为an=9令an+1-an>0又n∈N*，所以当n=4时则当1≤n≤3或n≥5时an+1令an=9所以a1=-9所以数列an有最小项a4=-9，且有最大项a由an∈Z，则92n-9∈Z又n∈N*，所以n=3或n=4或所以使an∈Z的项共有5项，故要使anan+1an+2≤0，又an≠0，所以an所以n=1或n=2或n=4，故满足anan+1an+2≤0的因为n≤4时an<0，n≥5时所以当n为4时Sn取得最小值，故D正确故选：ABD三、填空题12．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为个.(用含n的代数式表示)【答案】9n+3【分析】从图(1)、图(2)、图(3)、…的个数之和找到对应的数字规律.【详解】由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有6+5n-1=5n+1个化学键和4n+2个原子，所以总数为故答案为：9n+313.若数列an满足a1=2,an+1【答案】1【分析】由已知条件找出数列的周期计算即可【详解】∵所以当n=1时，a2当n=2时，a3依此类推，a4因此数列为周期数列，周期T=4，∴a故答案为：1314.已知数列an满足：a1+a22【答案】4,n=1【分析】已知式减去n≥2的递推式可得解.【详解】当n=1时，a1当n≥2时，a1a1两式相减得ann=综上，an故答案为：4,n=13n⋅四、解答题15．已知无穷数列4(1)求出这个数列的一个通项公式；(2)该数