新高考数学二轮复习热点2-5 导数的应用-单调性与极值（8题型 满分技巧 限时检测）（原卷版）

热点2-5导数的应用-单调性与极值导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。【题型1求函数的单调区间或单调性】满分技巧1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。【例1】（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为.【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调增区间．【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间.【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数，.（1）求曲线的平行于直线的切线方程；（2）讨论的单调性.【题型2根据函数的单调性求参数】满分技巧已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【变式2-4】（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．【题型3导函数与函数的图象关系】满分技巧（1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减；（2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致。【例3】（2023·广东湛江·高三校考阶段练习）的图象如图所示，则的图象最有可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的减区间是，B．函数的减区间是，C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点【变式3-2】（2023·新疆喀什·高三统考期中）（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A．在上为减函数B．在处取极大值C．在上为减函数D．在处取极小值【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（）A．B．C．D．【题型4求函数的极值或极值点】满分技巧利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值．③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．【例4】（2023·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（）A．B．C．D．1【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（）A．，B．，C．，D．，【变式4-2】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）函数的极大值是．【变式4-3】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为.【变式4-4】（2024·河南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．【题型5根据函数的极值求参数范围】满分技巧（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍。【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（）A．B．C．D．【变式5-1】（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【变式5-2】（2024上·河南南阳·高三统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【变式5-4】（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（）A．B．C．D．【题型6利用导数求函数的最值】满分技巧函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。【例6】（2023·四川南充·高三南部中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为．【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求的最小值.【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，．讨论函数的最值；【变式6-3】（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设函数，求在区间上的最大值．【变式6-4】（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数．（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．（2）若，求在区间上最大值．【题型7根据函数的最值求参数范围】【例7】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数在处取最大值，则实数（）A．B．1C．D．2【变式7-1】（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【变式7-2】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【变式7-4】（2023·上海·高三上海中学校考期中）已知，函数，．（1）当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；（2）若与有相同的最小值，求实数a．【题型8函数的单调性、极值、最值综合】【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）讨论函数的零点个数．【变式8-2】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数．（1）若时，恒有，求a的取值范围；（2）证明：当时，．【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，且．（1）求的取值范围；（2）求关于的不等式的解集．（建议用时：60分钟）1．（2024·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（）A．B．C．D．2．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）设函数，则（）A．在单调递增B．在上存在最大值C．在定义域内存在最值D．在上存在最小值3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（）A．的极大值为，无极小值B．的极小值为，无极大值C．的极大值为，无极小值D．的极小值为，无极大值4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列中的，是函数的极值点，则（）A．B．C．3D．5．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（）A．B．C．D．7．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数有最小值B．函数有最大值C．函数有且仅有三个零点D．函数有且仅有两个极值点8．（2023·天津西青·高三校考开学考试）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）A．B．C．D．9．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）（多选）已知函数，则（）A．有两个极值点B．有两个零点C．点是曲线的对称中心D．过点可作曲线的两条切线10．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）（多选）对于函数，则下列结论正确的是（）A．是的一个周期B．在上有3个零点C．的最大值为D．在上是增函数11．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）函数的值域为.12．（2023·上海·高三校考期中）函数的极