新高考数学二轮复习重难点7-2 圆锥曲线综合应用（7题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）

重难点7-2圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围、证明及存在性问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。【题型1圆锥曲线的定值问题】满分技巧1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：或、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。【例1】（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【变式1-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于M，N两点，设点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和SKIPIF1<0为定值，并求出定值.【变式1-2】（2023·山东·实验中学校考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P到点SKIPIF1<0的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：SKIPIF1<0于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若SKIPIF1<0为定值，求实数λ的值．【变式1-3】（2023·上海·高三进才中学校考期中）双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上．（1）求双曲线SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线交双曲线SKIPIF1<0于两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的长度；（3）设圆SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0处的切线交双曲线SKIPIF1<0于两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【题型2圆锥曲线的定点问题】满分技巧1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。【例2】（2023·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.（1）求椭圆的方程；（2）设直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，求证：线段SKIPIF1<0的中垂线恒过定点SKIPIF1<0.【变式2-1】（2023·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0，长轴长为4，离心率是SKIPIF1<0（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为SKIPIF1<0且不过原点的直线SKIPIF1<0交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线SKIPIF1<0于点D.若SKIPIF1<0证明：直线SKIPIF1<0经过定点，并求出定点坐标.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）设动点P到定点SKIPIF1<0的距离与到定直线l：SKIPIF1<0的距离之比为2．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若Q为l上的动点，A，B为E与x轴的交点，且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M，QB与E的另一个交点为N，求证：直线MN过定点．【变式2-3】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线分别与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，且在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0面积的最大值；（2）证明：SKIPIF1<0的外接圆经过异于点SKIPIF1<0的定点．【题型3圆锥曲线的定直线问题】满分技巧解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。【例3】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知过点SKIPIF1<0的双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0.（1）求C的方程；（2）已知A，B是C的实轴端点，过点SKIPIF1<0的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点P，证明：点P在一条定直线上.【变式3-1】（2023·吉林长春·统考一模）过抛物线SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）过焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在定直线上.【变式3-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与它到直线SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.（1）求曲线SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧），在线段SKIPIF1<0上取异于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，证明：点SKIPIF1<0恒在一条直线上.【题型4圆锥曲线的最值问题】满分技巧圆锥曲线最值问题的解题步骤：1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x（或y）的一元二次方程；3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。【例4】（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面积的最大值．【变式4-1】（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点到准线间的距离为2，且点SKIPIF1<0抛物线C上．（1）求m的值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0，求DQ的最大值．【变式4-2】（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）A是SKIPIF1<0的下顶点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率小于0，SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，求直线SKIPIF1<0斜率的最大值.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点SKIPIF1<0，它的两条渐近线分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左､右焦点分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求SKIPIF1<0周长的最小值.【题型5圆锥曲线的取值范围问题】满分技巧1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【例5】（2023·云南楚雄·高三统考期中）已知动圆P过点SKIPIF1<0，且在圆B：SKIPIF1<0的内部与其相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直线MN的斜率k的取值范围.【变式5-1】（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点F到双曲线SKIPIF1<0的渐近线的距离是SKIPIF1<0．（1）求p的值；（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段SKIPIF1<0的中垂线与E的准线l交于点P，且线段SKIPIF1<0的中点为M，设SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【变式5-2】（2023·上海·高三同济大学第一附属中学校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.SKIPIF1<0为坐标原点，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有两个不同的交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若以SKIPIF1<0为直径的圆经过坐标原点，求直线SKIPIF1<0的方程；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【变式5-3】（2023·四川攀枝花·统考二模）已知抛物线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的渐近线在第一象限的交点为P，且点P的横坐标为3．（1）求抛物线E的标准方程；（2）点A、B是第一象限内抛物线E上的两个动点，点SKIPIF1<0为x轴上的动点，若SKIPIF1<0为等边三角形，求实数t的取值范围．【题型6圆锥曲线的证明问题】满分技巧圆锥曲线几何证明问题的解题策略：1、圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如某点在某直线上、某直线经过某点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等与不等）；（2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明。【例6】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）在平面直角坐标系中，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0相切.（1）求SKIPIF1<0的值；（2）若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的焦点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的准线上一点.过点SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0相切，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【变式6-1】（2023·内蒙古·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，交椭圆于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，记SKIPIF1<0，并设直线SKIPIF1<0、直线SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.【变式6-2】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两焦点，过点SKIPIF1<0作直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）椭圆SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，下顶点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线.【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上一动点，SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上的射影，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．（1）求曲线SKIPIF1<0的方程；（2）若SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上异于坐标原点SKIPIF1<0的两点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【题型7圆锥曲线的存在性问题】满分技巧存在性问题的解题技巧：1、特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立；2、假设法：先假设存在，推证满足条件的结论。若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在。【例7】（2023·北京·高三景山学校校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的任意直线与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不同于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）两点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.试问是否存在常数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若O为坐标原点，过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于M，N两点，椭圆C上是否存在点Q，使得直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0分别交于点A，B，且点A，B关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0的顶点为坐标原点SKIPIF1<0，焦点为SKIPIF1<0．椭圆SKIPIF1<0的中心为SKIPIF1<0，左焦点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，右顶点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0和椭圆SKIPIF1<0的标准方程．（2）设直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点．记SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，是否存在直线SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由．【变式7-3】（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知双曲线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与该双曲线的左、右两支分别交于点SKIPIF1<0．（1）当直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0；（2）是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：60分钟）1．（2023·安徽阜阳·临泉第一中学校考三模）已知双曲线C：SKIPIF1<0，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为SKIPIF1<0.（1）求C的方程；（2）设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.2．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程.（2）已知过右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，在SKIPIF1<0轴上是否存在一个定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0？若存在，求出定点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点．当SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的标准方程；（2）设SKIPIF1<0