2025年中考数学一轮复习：48道压轴题汇编（较难含答案）

2025年中考数学一轮复习：48道压轴题精选汇编

温馨提示:

1.本卷共48题，题目均选自2024年广东省各地市三模试题。

2.本卷解答题留有足够答题空间，试题部分可直接打印出来练习。

3,本卷难度较大，适合基础较好的同学。

第一部分一次函数和反比例函数

1.（2024.广东省广州市三模）已知直线丫=-"+8与％轴、y轴分别交于点4和点B,M是OB上的一点，若将

△48M沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点8,处，则直线AM的函数解析式是（）

1111

A.y=--x+8B,y=--x+8C.y=--x+3D.y=--x+3

2.（2024•广东省中山市.三模）如图是某台阶的一部分，每一级台阶的宽度和高度之比为2：1,在如图所示的

平面直角坐标系中，点力的坐标是若直线同时经过点力，B,C,D,E,贝心与b的乘积为（）

y..

E

D1-

CI

BI

A|

O

A.-3B.3C.-5D.5

3.（2024.广东省中山市.三模）如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，菱形。ABC的顶点B正好在反比

例函数y=5的图象上，点”的坐标为（3,4）,则々的值为（）

A.12B.16C.24D.32

4.（2024.广东省汕头市.三模）如图所示，在RM40B中，^AOB=90°,2OB=3。4,点4在反比例函数y=|

的图象上，若点B在反比例函数y=勺勺图象上，贝味的值为（）

9Q

A.3B.-3C.--D.--

42

5.（2024.广东省佛山市.三模）如图，己知一次函数y=1%+4图象与反比例函数y=g的图象相交于2,B两点,

若AZB。的面积等于8,贝丸的值是.

6.（2024.广东省深圳市.三模）如图，正比例函数y=ax（a>0）的图象与反比例函数y=《（k>0）的图象交于4,

B两点，过点4的直线分别与K轴、y轴交于C,。两点.当&C=24。，SABCD=18时，则/c=.

7.(2024.广东省汕头市.三模)【问题背景】

新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达

到保护环境的目的.

【实验操作】

为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两

组实验.

实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系，数据记录如表1：

电池充电状态

时间t(分钟)0103060

增加的电量y(%)0103060

实验二：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示电量e(%)与行驶里程s(千米)的关系，数据记

录如表2：

汽车行驶过程

已行驶里程S(千米)0160200280

显示电量e(%)100605030

【建立模型】

(1)观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，求出y关于t的函数表达式及e关于s的函

数表达式；

【解决问题】

(2)某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点460千米处的目的地,若电动汽车行驶240千米后,

在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后继续行驶，且到达目的地后电动汽车仪表盘显示电量为20%,

则电动汽车在服务区充电多长时间？

8.（2024.广东省东莞市.三模）如图，已知一次函数为=|尤-3的图象与反比例函数先=（第一象限内的图象

相交于点4（4,几），与x轴相交于点

（1）求n和k的值；

（2）如图，以48为边作菱形4BCD,使点C在久轴正半轴上，点。在第一象限，双曲线交CD于点E,连接4E、

BE,求SMBE•

9.(2024.广东省珠海市.三模)如图，点4是反比例函数y=0)位于第二象限的图象上的一个动点，过

点4作4C1X轴于点C；M为是线段4C的中点，过点M作AC的垂线，与反比例函数的图象及y轴分别交于B、

D两点.顺次连接4、B、C、D,设点4的横坐标为儿

(1)求点B的坐标(用含有小、71的代数式表示)；

(2)求证：四边形ABCD是菱形；

(3)若AABM的面积为2,当四边形4BCD是正方形时，求直线2B的函数表达式.

第二部分二次函数

10.（2024•广东省广州市•三模）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”

例如点（1,一1）,（-^2,72）...,都是“相反点”，若二次函数'=。/+3乂+戊。#0）的图象上有且只有一

个"相反点”（2,-2）,当一lWxMm时，二次函数丫=a/+3x+c（a大0）的最小值为一8,最大值为一:,

则小的取值范围为（）

333

A.—1<m<4B.—1<m<-C.-<m<4D.-<m<5

IL（2024•广东省揭阳市•三模）如图,抛物线y=。/+板+c（aH0）交汇轴于A,B两点,交y轴于点C,若点

/的坐标为（-4,0）,对称轴为直线式=-1,则下列结论错误的为（）

A.b2-4ac>0B.点B（2,0）C.a+b+c<0D.二次函数的最大值为a-b+c

12.（2024广东省深圳市•三模）我们定义一种新函数：形如y=\ax2+b%+c|（aW0且庐—4ac>0）的函数叫

做“绝对值”函数.小明同学画出了“绝对值”函数y=|/—以-5］的图象（如图所示），并写出下列五个结

论：

①图象与坐标轴的交点为（一1,0）,（5,0）和（0,5）；

②图象具有对称性，对称轴是直线久=2；

③当一1<%<2或％之5时，函数值y随久的增大而减小；

④当％<-1或%>5时，函数的最小值是9；

⑤当y=%+b与y=|x2-4x-5］的图象恰好有3个公共点时b=1或b=y

A.2B.3C.4D.5

13.(2024•广东省中山市.三模)如图，抛物线y=-%2+3久+4与y轴交于点4,交x轴正半轴于B,直线Z过4B,

M是抛物线第一象限内一点，过点M作MN〃刀轴交直线/于点N,则MN的最大值为.

14.(2024•湖南省益阳市.三模)如图，己知抛物线、=%2+以+(；与无轴交于4(3,0),B(—1,0)两点，且与y轴

交于点C,M为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)P为直线AC下方的抛物线上一点，过点P作PElx轴交2C于点G,垂足为E,PF1AC,垂足为F,求出

△PFG周长的最大值；

(3)抛物线上是否存在点Q,使得乙4CQ=NC4M,若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

备用图

15.(2024•广东省深圳市.三模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+6K+C的图象与轴交于4,B

点，与y轴交于点C(0,3),点B的坐标为(3,0),点P是抛物线上一个动点.

(1)求二次函数解析式；

(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，ABPC的面积最大？请求出点P的坐标和ABPC面积的

最大值；

(3)连接PO,PC,并把APOC沿C。翻折，那么是否存在点P,使四边形POP'C为菱形；若不存在，请说明理

由.

16.(2024•广东省珠海市.三模)如图，二次函数图象的顶点为坐标原点。，且经过点4(3,3),一次函数的图象

经过点4和点B(6,0),一次函数图象与y轴相交于点C.

(1)求二次函数与一次函数的解析式；

(2)如果点D在线段"上(不与4、C重合)，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E/CD。=4JED,

求点。的坐标；

(3)当点。在直线4C上的一个动点时，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E,以点。、C、D、E为

顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由.

17.(2024•广东省东莞市.三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(2,0)和点

C(一1,0),。为第一象限的抛物线上一点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求△ADB面积的最大值；

(3)过点D作。E1AB,垂足为点E,求线段DE长的取值范围；

(4)若点F为(0,2),G分别为线段4B上一点，且四边形4FGD是平行四边形，直接写出。的坐标.

18.(2024•广东省揭阳市.三模)如图1,抛物线y=/+6%+c与x轴交于4、8两点，B点的坐标为(3,0),与y

轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的关系式；

(2)M是第四象限抛物线上一点，当四边形4BMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形的最大面积;

(3)如图2,在抛物线的对称轴上是否存在点P,使APBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

19.（2024•广东省佛山市.三模）【问题背景】

水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂.图1是

某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭.

【实验操作】

为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离双单位：m）与飞

行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：久=3t.同时也收集了飞行高度y（单位：爪）与飞行时间t（

单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系.数据如表所示：

飞行时间t/s02468

飞行高度y/爪010161816

【建立模型】

任务1：求y关于t的函数表达式.

【反思优化】

图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ）,当

弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段4B为水火箭回收区域，已知力P=42m,

AB=（18V2-24）m.

任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0爪）时，求水火箭飞行的水平距离.

任务3：当水火箭落到4B内（包括端点力，B）,求发射台高度PQ的取值范围.

20.（2024•广东省深圳市•三模）

第三部分圆和扇形

21.（2024•广东省深圳市.三模）如图所示，扇形40B的圆心角是直角，半径为30，C为。4边上一点，将△BOC

沿BC边折叠，圆心。恰好落在弧力B上的点。处，则阴影部分的面积为.

22.（2024•广东省广州市.三模）如图，在矩形4BCD中，AB=4,BC=4，耳，以点B为圆心，AB为半径画弧,

交AC于点E,交BC于点尸，则图中阴影部分的面积为_____.

23.（2024•广东省汕头市.三模）如图，四边形A8CD内接于以为直径的。。，C4平分/BCD,AELAC,AE

交CD的延长线于点E,若四边形ABCD的面积是10皿2,耻4c=cm.

24.(2024•广东省汕头市•三模)如图，AB,8尸分别是。。的直径和弦，且CD1&B于点E,CD与相交于点

G,延长DC至I］点H,连接HF,ffiWF=HG.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若sin/HGF=工BF=3,连接4尸，求4F的长.

4

25.(2024•广东省珠海市•三模)如图，4D是。。的直径，P力与0。相切于点力，连接。P,过点4作力B1OP,

垂足为C,交。。于点B,连接P8并延长交2。的延长线于点E,连接BD.

(1)求证：PB是。。的切线；

(2)若BD=6,AB=8,求sinE.

26.(2024•广东省深圳市•三模)如图，在RtAABC中，NC=90。，力。平分NB2C交BC于点。，。为48上一点,

经过点4、。的。。分别交4B、AC于点E、F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若BE=8,sinB=为求O。的半径;

(3)在(2)的条件下，求2。的长.

27.(2024•广东省东莞市.三模)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”.小明决定研究

一下圆，如图，4B是。。的直径，点C是。。上的一点，延长4B至点D,连接AC、BC、CD,且“AB=乙BCD,

过点C作CE12。于点£

(1)求证：CD是。。的切线；

(2)若OB=BD,求证：点E是。B的中点；

(3)在(2)的条件下，若点F是O。上一点(不与4、B、C重合)，求黑的值.

Ur

28.(2024•广东省中山市.三模)已知在平面直角坐标系xOy中，直线人分别交支轴和y轴于点4(-3,0),5(0,3).

(1)如图1,已知OP经过点。，且与直线人相切于点B,求OP的直径长；

(2)如图2,已知直线6：y=3X-3分别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线片上的一个动点,以Q为圆心，

2瓶为半径画圆.当点Q与点C重合时，求证：直线。与OQ相切；

(3)设OQ与直线"相交于M,N两点,连结QM,QN.问：是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角三角

形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

29.(2024•广东省揭阳市.三模)如图，四边形力BCD是。。的内接正方形，AB=4,PC、是。。的两条切

线，C、。为切点.

(1)如图1,求。。的半径；

(2)如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；

(3)如图2,若点M是8c边上任意一点(不含8、C),以点M为直角顶点，在BC的上方作乙4MN=90。，交直

线CP于点N,求证：AM=MN.

30.(2024•广东省汕头市•三模)如图1,4C为口28CD的对角线，△A8C的外接圆O。交CD于点E,连接BE.

(1)求证：ABAC=AABE；

(2)如图2,当4B=4C时，连接。4、OB,延长4。交BE于点G,求证：AGOBS^GBA；

⑶如图3,在(2)的条件下，记力C、BE的交点为点F,连接4E、OF.当意时，求sin/EAG的值.

第四部分三角形和四边形

31.（2024•广东省深圳市•三模）如图，在四边形48ao中，AB=BC,^ABC=60°,点。是对角线BD的中点,

将ABCD绕点。旋转180。得到ADEB,DE交边力B于点尸，若4A+NE=165。，AD=10,CD=7<2,则线

段BC的长为（）

B.1172C.1272D.13/1

32.（2024•广东省汕头市.三模）如图，菱形4BCD的边长为6,AB=120。，点P是对角线4c上一点（不与端点4

)

C.372D.6

33.（2024•广东省东莞市.三模）如图，已知一个矩形纸片04CB,将该纸片放置在平面直角坐标系中，点4（10,0）,

点B（0,6）,点P为BC边上的动点，将aONP沿。P折叠得至！］AOPD,连接CD、4D,则下列结论中：①当NBOP=

45。时，四边形。BPD为正方形；②当N80P=30。时，△。力。的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最

小值为2巾一6;④当。D14D时，BP=2.其中结论正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

34.（2024•广东省揭阳市•三模）如图，在△ABC中，乙4BC=90°,AB=8,BC=12,。为4C边上的一个动点,

连接8D,£为BD上的一个动点，连接2E,CE,当/ABD=NBCE时，线段4E的最小值是

c

35.（2024•广东省深圳市三模）如图，在矩形4BCD中，E是2B的中点，过点E作ED的垂线交BC于点F,对角

线4C分别交DE，DF于点G,H,当时，则皆的值为

36.（2024•广东省珠海市•三模）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展

开铺平后得到图⑤，其中FM、GN是折痕，若正方形EFG”与五边形MCNGF面积相等，则黑的值是

37.（2024•广东省深圳市三模）如图，在正方形4BCD中，AB=M为对角线BD上任意一点（不与B、。重

合），连接CM,过点M作MN1CM,交线段4B于点N.连接NC交BD于点G.若8G：MG=3：5,则NG•CG的

38.（2024•广东省广州市.三模）如图，4为x轴上一动点，将线段AB绕点4顺时针旋转90。得AC,连接

OC,则当。C取最小值时，4点的坐标是

39.(2024•广东省汕头市•三模)综合运用

如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，4(10,0),C(0,5),以。4OC为邻边构造矩形ZBC。，以点4为

旋转中心，顺时针旋转矩形ABC。(旋转角为a,0<a<360。)，得到矩形2DEF,点B,C,。的对应点分别

为点、D,E,F,连接CE,BE,BF.

(1)当点F在线段BC上时，求N4FB的度数；

(2)当点B在直线CE上时，求点尸的坐标；

(3)当CE与矩形力DEF的任意一条边垂直时，求仆BEF的面积.

40.(2024•广东省深圳市•三模)在△ABC中，4B=AC,点。为边上一动点，乙CDE=/.BAC=a,CD=ED,

连接BE,EC.

(1)问题发现：如图1,.若a=60。，则NEBA=,AD：EB=

(2)类比探究:

如图②，当a=90。时，请写出NEB4的度数及4。与EB的数量关系并说明理由;

(3)拓展应用：如图3,点E为正方形ABCD的边4B上的三等分点,以DE为边在DE上方作正方形OEFG,点。

为正方形DEFG的中心，若。4=，^，请直接写出线段EF的长.

图1图3

41.（2024•广东省揭阳市.三模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有

一位同学操作过程如下：

操作一：对折正方形纸片使力。与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；

操作二：在4D上选一点P,沿BP折叠，使点力落在正方形内部点”处,把纸片展平，连接PM、BM,延长PM

交CD于点Q,连接BQ.

（1）如图1,当点M在E尸上时，乙EMB=______度；

（2）如图2,改变点P在2。上的位置（点P不与点4。重合）.

①判断NMBQ与NCBQ的数量关系，并说明理由；

②若力B=8,FQ=1（点Q在EF下方），贝U4P的长为______.

|:

:L

图1做

42.(2024•广东省广州市•三模)在△ABC中，ABAC=90°,AB=AC,线段4B绕点4逆时针旋转至40(4。不

与4C重合)，旋转角记为a,ND4c的平分线ZE与射线BD相交于点E,连接EC.

(1)如图①，当a=20。时，乙4EB的度数是；

(2)如图②，当0。＜戊＜90。时，求证：BD+2CE=-J1.AE-,

(3)当0。＜a＜180。，4E=2CE时，请直接写出黑的值.

图①图②备用图

43.(2024•广东省汕头市.三模)如图①，在正方形力BCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C

备用图

(2)如图②，在(1)的条件下，延长BF交力。于点H.

①求证：HG=HF；

②若黑=$CE=9,求线段DE的长.

(3)将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连接CF,延长CF,BF交直线4D于G,H两点,若繁=匕HD_4

而=『

则冷.(用含k的代数式表示).

44.（2024•广东省深圳市.三模）综合与实践：

【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1,在矩形2BCD中，E是边力B上一点，DFLCE

于点尸，GDIDF,AGIDG,AG=CF,试猜想四边形的形状，并说明理由；

【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2,在正方形力BCD中，E是边4B上一

点，。尸1。9于点尸，于点H,GD1DF交AH于点G,可以用等式表示线段FH,AH,CF的数量关

系，请你思考并解答这个问题；

【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形A8CD中，

E是边4B上一点，4”1CE于点口，点M在上，且4”=连接AM,BH,可以用等式表示线段CM,

45.(2024•广东省广州市.三模)已知正方形48CD的边长为1,点E是射线BC上的动点，以4E为直角边在直线

BC的上方作等腰直角三角形4EF,AAEF=90°,设BE=m.

(1)如图1,若点E在线段BC上运动，EF交CD于点、P,连结CF.

①当山弓时，求线段CF的长；

②设CP=n,请求出频与小的关系式；

(2)如图2,4F交CD于点Q,在APQE中，设边QE上的高为九，求人的最大值.

46.(2024•广东省广州市.三模)抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)与x轴交于4(-1,0),8(3,0)两点，与y轴交于

点C.

(1)求a,6满足的关系式；

(2)当a=-1时，P(n,m)为抛物线在第二象限内一点，点P到直线BC的距离为d,贝Ud与n的函数表达式为

(3)过7(0")(其中-1<t<2)且垂直y轴的直线1与抛物线交于M,N两点.若对于满足条件的任意t值，线段

MN的长都不小于2,结合函数图象，求a的取值范围.

47.（2024•广东省中山市.三模）综合与实践

问题情境：如图1，正方形纸片A8CD和EFGB有公共顶点B,其中4B=4，5，BE=4,将正方形E8GF绕点

B按顺时针方向旋转a.

观察发现：（1）如图2,当a<90。时，连接4E,CG,小组成员发现AE与CG存在一定的关系，其数量关系是

，位置关系是

探索研究：（2）当4,E,F三点共线时，请在图3中画出图形，并直接写出此时DE的长度.

拓展延伸：（3）猜想图3中CF与FG的数量关系并证明.

备用图

48.(2024•广东省佛山市.三模)如图①，在正方形力BCD中，点E,F分别在边4B、BC上,DF1CE于点0,

点G,“分别在边AD、BC上，GH1CE.

(1)问题解决：①写出。尸与CE的数量关系：；

②器的值为;

(2)类比探究，如图②，在矩形4BCD中，笨=k(k为常数),将矩形4BCD沿G”折叠，使点C落在边上的

点E处，得到四边形EFGH交4。于点P,连接CE交GH于点。.试探究GH与CE之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用，如图③，四边形A8CD中，/.BAD=90°,AB=BC=6,AD=CD=4,BF1CE,点E、F分

别在边48、4。上，求器的值.

参考答案

1.【答案】c

【解析】解：当x=0时，y=—gx+8=8,即8(0,8),OB=8,

当y=0时，x—6,即4(6,0),OA—6,

•••由勾股定理得48=AB'=10,

B'O=AB'-AO=10-6=4,

设。M=x,则B'M=BM=BO-MO=8-x,

x2+42=(8—%)2,解得x=3,

.­.M(0,3),

设直线4M的解析式为y=kx+b,

把4(6,0),M(0,3)代入得：=°,

i

k=-2，b=3,

二直线AM的解析式为y=-|x+3.

故选：C.

本题考查图形的翻折变换，运用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，解

题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不

变.先求出4B两点坐标，根据勾股定理求出AB=4B'=10,得出8'。=4,设OM=乃则B'M=8M=

BO-MO=8-x,再由勾股定理列方程得出％=3,求出M点的坐标，然后运用待定系数法即可求解.

2.【答案】B

【解析】解：如图所示，设〉=kx+b(k40)与x,y轴的交点分别为G,F,BHLAH于点H,

依题意，MiHGO,BH//FO,

•••4BAH=乙FGO,乙AHB=乙GOF=90°

ABHs〉GOF

・•・每一级台阶的宽度和高度之比为2：1,

GOAHr

•••而=丽=1'

1=-=2＞即k=：，

bk4

・,・直线解析式为y=+b,

将点/(-10,1)代入得，l=1x(-10)+/7,

解得b=6,

1

kb=-X6=3.

故选：B.

设丫=kx+6(k力0)与x,y轴的交点分别为G,F,BHJ.AH于点H,则F(0,6),G(—q0),根据每一级台

阶的宽度和高度之比为2：1,得出k=g,将点4(-10,1)代入待定系数法求解析式即可求解.

本题考查了一次函数的应用，相似三角形的性质与判定，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握相似三

角形的性质与判定是解题的关键.

3.【答案】D

【解析】解：如图，过点4点B部分作工轴的垂线，垂足分别为M、N,

•••点2(3,4),

OM=3,AM=4,

OA=VOM2+AM2=5，

•.•四边形。ABC是菱形，

OA=AB=BC=CO=5,

AB/IOC,

AM=BN=4,

RtAAOM^Rt△BCN(HL),

•••OM=CN=3,

•••ON=5+3=8,

.♦•点B(8,4),

•・•点B(8,4)在反比例函数y=(的图象上,

••・k=8x4=32,

故选：D.

根据菱形的性质以及勾股定理可求出点B的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可.

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，掌握菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标

特征是正确解答的前提.

4.【答案】D

【解析】解：过点4作4clx轴于点C,过点8作BD1久轴于点。，如图所示.

•••乙BOD+乙OBD=90°,乙BOD+AAOC=90°,

•••Z.OBD=Z.AOC.

•••Z-BDO=Z-OCA,

OBDs〉AOC,

.OP_BD_OB_3

''~AC~~OC~AO~2f

33

OD=%c，BD=^oc.

•・•点4在反比例函数y=5的图象上，点B在反比例函数y=（的图象上,

OC-AC=2,OD•BD=-k,

解得：k=—

故选：D.

过点力作力CJ.x轴于点C,过点B作BD轴于点D,由同角的余角相等可得出4。"=乙4OC,结合NBDO=

△oca可证出△OBDSAAOC,根据相似三角形的性质可得出。。=|ac、BD=^OC,再根据反比例函数图

象上点的坐标特征可得出。C=2、OD-BD=-k,代入oo=|ac、8。=|。。可求出卜值.

本题考查了相似三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据相似三角形的性质找出

OD=|ac、BD=|oc是解题的关键.

5.【答案】-6

【解析】解：如图，直线4B交x轴于点D,交y轴于点C,作BFly轴,

垂足为F，作&E1CD,垂足为点E,连接EF,

易得四边形BDEF和C4EF都是平行四边形，

DE=BF,AE=CF,

在△4£7)和4CF8中,

DE=BF

Z.AED=乙CFB,

AE=CF

•••△4EO^2XCFB(S/S),

•••AD—BC,

在直线y=+4中，令％=0,则y=4；令y=0,则久=—8,

・・・C(0,4),。(-8,0),

1

48

-XX-

**,S〉COD216

，•^LADO=S^BOC~%

VSAAOC=”C•|4I=12,

|x4x|%^|=12,解得巧!=-6(舍去+6),

-1-1

,*,S“DO=5xODx—4,即x8X-4,触得以=1,

・•・/(-6,1),

•••点4(—6,1)在反比例函数y=勺勺图象上，

•••k=-6.

故答案为：-6.

根据辅助线可得四边形BOEF和C4EF都是平行四边形继而得到△AEDgACFB(SAS)导出2D=BC,依据面

积故选计算出点4的纵横坐标即可得到k值.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求得力点坐标是解答本题的关键.

6.【答案】4

【解析】解：如图，作力F1无轴，垂足为F,AEly轴，垂足为E,

•・,正比例函数y=ax(a>0)的图象与反比例函数y=+(k>0)的图象交于4

8两点，

OA=OB,

**•^LAOD=S^BOD'S^BOC=S^AOC'

AC=2AD,S^BCD=18,

•4•S^ABD~5s△BCO=§x18=6,S△ABC=QS^BCD=目x18=12,

**•^LAOD~S^BOD~S^BOC~Su。。=6,

*',S>coD=3+6=9,

..S&ADE_(AD\2—1SMFC_(空)2_4

f

*S^C0D-W-9S^OD-l五)-I

•••^LADE=LSMFC=%

•••S矩形0F4E=S^COD—S^ADE—S^AFE=9-1-4=4

•・•反比例函数图象在第一象限，

・•・k=4.

故答案为：4.

作/尸1%轴，垂足为F,/Ely轴，垂足为E,根据题意可知。4=。8,贝!JS-。。=S"。。，$.℃=S^AOC，

根据AC=2ZO,S^BCD=18,可得SUB。=6,利用比例关系得到△ZED和△AFC面积，最后S矩形。尸然=

S^COD—S—OE—S—FE代入数据计算即可•

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式.

7.【答案】解：(1)根据题意，两个函数均为一次函数，设y=4t+瓦，e=a2s+b2,

将(10,10),(30,30)代入丫=的£+瓦得｛黑；非；?0,解得假二:，

••・函数解析式为：y=t,

解得忙正

将(160.60),(200,50)代入e=a2s+历得｛祟f”靠

^Z.UUU.2r。2—DU

・•・函数解析式为：e=-^s+100.

q

(2)由题意得，先在满电的情况下行走了Wi=240fcm,

11

当S1=240时，e=-7S1+100=一；x240+100=40,

t44

二未充电前电量显示为40%,

假设充电充了t分钟，应增加电量：62=%=3

出发时电量为03=et+e2=40+t,走完剩余路程*=460-240=220km,

11

切应耗电量为：e=-7^+100=-4x220+100=45,应耗电量为45%,据此可得:

4424

20=e3—e4=40+t—55,解得t=35,

答：电动汽车在服务区充电35分钟.

【解析】(1)根据表格数据，待定系数法求出两个函数解析式即可；

(2)先计算行驶240/cm后的电量,假设充电充了t分钟，应增加电量：切==3出发时电量为％=+e2=

40+3走完剩余路程吻=460-240=220/OTI,%应耗电量为：=一；吻+100=一；X220+100=45,

44

应耗电量为45%,据此可得：20=e3—e4=40+t—45,解得t=25即可.

本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键.

8.【答案】解：(1)把4点坐标代入一次函数解析式可得：

3

n=|x4-3=3,

2(4,3),

•••4点在反比例函数图象上，

/c=3X4=12；

(2)过4点作4H1BC垂足为“，连接2C,

,•,一■次函数为=|x-3的图象与x轴相交于点8,

.••点B的坐标为(2,0),

AB=J(4-2,+(3—0)2:713,

•••四边形4BCD是菱形，

AB=BC=AA13,AB11CD,

•••S-BE=S-BC=713x3=

【解析】(1)把2点坐标代入一次函数解析式可求得n,则可求得力点坐标，代入反比例函数解析式则可求得k

的值；

(2)根据自变量与函数值的对应关系，可得B点坐标，根据两点间距离公式，可得4B,根据菱形的性质，可

得BC的长，根据平行线间的距离相等，可得S“BE=S,BC-

本题考查了反比例函数综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用平行线间的距离都相等得出

SAABE=S&4BC是解题关键•

9.【答案】解：(1)当x=n时，y=:，

m

由题意知，BD是AC的中垂线，

.••点B的纵坐标为

.,・把y=累弋入y=:得％=2荏，

m

.•.B(2nR

(2)证明：•；BD1AC,AClx轴，

BDly轴，由(1)知，B(2n,\),A(n,^),

••・"。，即，M(n,景

.・.BM=MD=-n,

•・•AM=CM,

••・四边形4BCD是平行四边形.

又••・BD1AC,

・•.平行四边形A8CD是菱形.

(3)当四边形力BCD是正方形时，△力BM为等腰直角三角形.

AM=BM,

的面积为2,

1Q

*',^LABM~2AM=2,

AM=BM=2.

・•.AC=2AM=4,BD=2BM=4,

・・・/(-2,4),8(—4,2).

设直线的解析式为y=kx+b,

(—2k+b=4

t—4fc+5=2'

.fk=1

tb=6，

・,・直线AB的函数表达式为y=%+6.

【解析】(1)由点/在双曲线上，确定出A坐标，进而得出点8的纵坐标，即可得出结论；

(2)由(1)得到的点8,D,M的坐标判断出MB=MD,结合AM=MC,得出四边形/BCD是平行四边形，再

由1ZC即可得出结论；

(3)由(2)结合AM=BM求出点8,A坐标，利用待定系数法求解即可.

此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的判定，正方形的性质，等腰三角形的性质，三

角形的面积公式，解题关键是用ZH,71表示出点/,B,D,M的坐标.

10.【答案】C

【解析】解：•.,点(2,-2)是二次函数y=a/+3%+c(a。0)的“相反点”，

•••一2=4a+6+c,

・•・c=-4a—8,

••・二次函数y=ax2+3%+c(aW0)的图象上有且只有一个“相反点”，

••・ax2+3%+c=—%(即a/+4%+c=0)有且只有一个根，

•••4=16-4ac=0,

・•・16—4a(—4a—8)=0,

解得，a=-1,

c=-4x(―1)—8=-4

37

•••y=—x7+3x—4=—(x--)7z-

二次函数图象的对称轴为直线久=口，函数的最大值为-J,

当y=-8时，—/+3%—4=-8,

解得，%i=-1,x2=4,

当号时，函数的最大值为一；，最小值为一8.

故选：C.

把(2,-2)代入y=a/+3x+c,求出a、c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反点”，结合

4=b2—4ac求出a、c的值,得出y=—/+3%-4,化为顶点式,可得出该二次函数的最值,再根据当y=-8

时，求出久的值即可.

本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函

数的最值，等知识.解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“相反

点”，结合/=b2-4ac求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答.

11.【答案】C

【解析】解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此炉-4ac>0,故选项A不符合题意；

抛物线y=ax2+bx+c过点4(一4,0),对称轴为直线x=-1,

则抛物线与无轴的另一个交点B为(2,0),故选项8不符合题意；

当》=!.时，y=a+b+c>0,因此选项C符合题意；

当％=-1时，丫=£1一6+17的值最大，选项。不符合题意；

故选：C.

根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点以及过特殊点时相应的系数a、b、c满足的

关系进行综合判断即可.

本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的位置与系数a、b、c的关系是正确判断的前提.

12.【答案】B

【解析】解：•・•(一1,0),(5,0)和(0,5)满足函数、=|比2一4%—5|,

结论①正确；

观察函数的图象可知：函数具有对称性，对称轴为直线x=-^=2,

故结论②正确；

•••函数与x轴的两个交点坐标为(5,0),且对称轴为直线尤=2,

・•・当一1<X<2或］>5时，函数值y随工值的增大而增大，

故结论③不正确；

•.•当汽=-1或5时，y=0,

.,・当％<一1或％>5时，函数的最小值是0.

故结论④不正确；

•.・函数y=\x2-4x-5|与％轴的两个交点为(一1,0),(5,0),

又...y=%+b与y=%平行，

・•・当y=x+b与y=|%2-4x-5］的图象恰好有3个公共点时，有以下两种情况：

①y=%+b经过点(一1,0),此时b=1,

②当y=x+b与函数y=-(%2-4%+5)只有一个交点时，

则方程％+b=-(x2-4%+5)有两个相等的实数根，

将％+b=—(%2—4%+5)整理得：7—3%+力—5=0,

・•・判别式4=(-3)2-4(6-5)=0,

解得：b=^.

故结论⑤正确，

综上所述：正确的结论是①②⑤.

故选:B.

将点(-1,0),(5,0)和(0,5)分别代入y=|久2一4%-5|即可对结论①进行判断；观察函数的图象可知函数具

有对称性，然后求出函数的对称轴即可对结论②进行判断；根据函数的图象和增减性即可对结论③进行判

断；根据函数与无轴有两个交点，且这两个交点是函数图象的最低点，几次可对结论④进行判断；根据函数

y=|久2一4万一5|与久轴的两个交点，y=x+b与y=x平行可分两种情况进行讨论：①丫=x+b经过点

(-1,0),②y=x+b与函数y=~(x2-4x+5)只有一个交点，分别求出6的值即可对结论⑤进行判断.

本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴、y轴的交点坐标

以及增减性，解答此题的关键是正确理解函数y=|%2-4%-5|与函数y=/一4久—5、y=-(%2-4%-5)

之间的关系.

13.【答案】4

【解析】解：当y=0时，久=4或一1,

.••点B的坐标为(4,0),

点力的坐标为(0,4),

・•・直线4B的解析式为：y=-刀+4,

设点M的坐标为(a,-a?+3a+4),

MN〃x轴，

二点N的坐标为(a?-3a,—a2+3a+4),

•・•点M在第一象限，

二线段MN=a—(a2—3a)=~a2+4a,

当&=一二^=2时，MN有最大值为4.

故答案为：4.

先由二次函数的解析式求出点4点B的坐标，然后求出直线4B的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质

表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可.

本题是二次函数中典型的求最值问题，根据题意建立函数模型是解题的关键.

14.【答案】解：(1)由题意得：y=(久—3)(x+l)=/-2%-3；

(2)由抛物线的表达式知，点C(0,-3),

则直线24c的表达式为：y=x-3,

则乙4。。=45°=乙EPF,

贝1JEG=EP=^PG，

设点G(x,x—3),则点P(x,/—2%—3),贝i」GP=-7+3x,

则4PFG周长=GP+EG+EP={1+72)GP=(1+/2)(-x2+