新高考数学二轮复习热点2-5 导数的应用-单调性与极值（8题型 满分技巧 限时检测）（解析版）

热点2-5导数的应用-单调性与极值导数与函数是高中数学的核心内容，高考中经常在函数、导数与不等式等模块的知识交汇处命题，形成层次丰富的各类题型，常涉及的问题有利用导数解决函数的单调性、极值和最值；与不等式、数列、方程的根（或函数的零点），三角函数等问题。此类问题体现了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想，重点考查学生的数形结合能力，处理综合性问题的能力和运算求解能力。本题考试难度大，除了方法与技巧的训练，考生在复习中要注意强化基础题型的解题步骤，提高解题熟练度。【题型1求函数的单调区间或单调性】满分技巧1、求函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求（通分合并、因式分解）；（3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间．2、含参函数单调性讨论依据：（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；（3）导函数多个零点时大小的讨论。【例1】（2023·广西·模拟预测）函数的单调递增区间为．【答案】【解析】函数的定义域为，，由得或（因为，故舍去），所以在区间上单调递增．【变式1-1】（2023·北京西城·高三北师大实验中学校考阶段练习）函数在上的单调递减区间为.【答案】【解析】由题意知，.即，，因为，所以，所以在中，，所以在上的单调递减区间为.【变式1-2】（2023·山东淄博·高三统考期中）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调增区间．【答案】（1）；（2）和【解析】（1），定义域为，，，，故切线方程为，即；（2）函数定义域为，，设，，，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递减；故，恒成立，即在上恒成立，函数在和上单调递增.则函数单调增区间为和.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，求函数的单调区间.【答案】增区间为和，减区间为【解析】当时，，该函数的定义域为，，由可得，由可得或，故当时，函数的增区间为和，减区间为.【变式1-4】（2023·山西大同·高三统考期末）已知函数，.（1）求曲线的平行于直线的切线方程；（2）讨论的单调性.【答案】（1）（2）在上单调递增，在上单调递减【解析】（1）由已知得，直线的斜率为1，令，得，设，则在上恒成立，所以在上单调递增，而，所以方程有唯一解，此时，故曲线的平行于直线的切线只有一条，即在点处的切线；（2），而，因此的正负与的正负一致，由知，当时，，所以单调递增，所以等价于，等价于，由函数和知，当时，，即，当时，，即，故在上单调递增，在上单调递减.【题型2根据函数的单调性求参数】满分技巧已知函数的单调性求参数（1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立；（2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立；（3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点（4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点【例2】（2024·海南海口·高三海南中学校考阶段练习）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上为减函数，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，所以，所以在上单调递减，所以，故，所以的取值范围是，故选：D.【变式2-1】（2023·福建泉州·高三泉州第一中学校考阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上存在单调递增区间，所以存在，使成立，即存在，使成立，令，，变形得，因为，所以，所以当，即时，，所以，故选：D．【变式2-2】（2023·广东汕头·高三统考期中）设，若函数在递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数在递增，所以在上恒成立，则，即在上恒成立，由函数单调递增得，又，所以，所以，所以即，解得，所以的取值范围是，故选：B【变式2-3】（2023·福建三明·高三校联考期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，令，因为在上不单调，在上有变号零点，即在上有变号零点，当时，，不成立；当时，只需，即，解得或，所以在上不单调的充要条件是或，所以在上不单调的一个充分不必要条件是，故选：B【变式2-4】（2023·山东枣庄·高三枣庄市第三中学校考阶段练习）若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】所以时递减，时，递增，是极值点，因为函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，所以，即，故选：B.【题型3导函数与函数的图象关系】满分技巧（1）对于原函数，要注意图象在哪个区间内单调递增，在哪个内单调递减；（2）对于导函数，则要注意函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，同时还要注意这些区间与原函数的单调性的一致。【例3】（2023·广东湛江·高三校考阶段练习）的图象如图所示，则的图象最有可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.所以，函数的增区间为和，减区间为，所以，函数的图象为C选项中的图象，故选：C.【变式3-1】（2024上·江西景德镇·高三景德镇一中校考阶段练习）（多选）已知函数的定义域为R且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（）A．函数的减区间是，B．函数的减区间是，C．是函数的极小值点D．是函数的极小值点【答案】BC【解析】观察图象，由，得或，显然当时，，当，，由，得或，显然当时，，当时，，因此函数在上单调递减，在上单调递增，A错误，B正确；函数在处取得极小值，在处取得极大值，C正确，D错误.故选：BC【变式3-2】（2023·新疆喀什·高三统考期中）（多选）已知函数，其导函数的图象如图所示，则（）A．在上为减函数B．在处取极大值C．在上为减函数D．在处取极小值【答案】BCD【解析】由图像得：当，，单调递增，当，，单调递减，当，，单调递增，当，，单调递减，当时取得极大值，当时取得极小值.故选：BCD【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解法一：因为在和上，在和上，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减，观察各选项知，只有D符合题意.解法二：由题图知，在的左侧大于、右侧小于，所以函数在处取得极大值，观察各选项知，只有D符合题意.故选：D.【变式3-4】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由的图象知，当时，，故，单调递增；当时，，故，当，，故，等号仅有可能在x＝0处取得，所以时，单调递减；当时，，故，单调递增，结合选项只有C符合.故选：C.【题型4求函数的极值或极值点】满分技巧利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数；（2）求方程的所有实数根；（3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化．①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值．③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点．【例4】（2023·湖南·高三邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知函数（为自然对数的底数），则函数的极小值为（）A．B．C．D．1【答案】D【解析】因为，，所以.当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，，故选：D.【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）函数在区间的极大值、极小值分别为（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】由题意，得，当时，，；当时，，．所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．当时，取得极小值，为；当时，取得极大值，为．故选：D．【变式4-2】（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）函数的极大值是．【答案】【解析】由，则，令，解得或，则当，时，，则单调递增；当时，，则单调递减；则当时，函数取得极大值，.【变式4-3】（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数，则函数的极小值为.【答案】【解析】，设，因为，所以.令，所以.令，则或.因为在上，在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，即的极小值为.【变式4-4】（2024·河南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线与直线垂直．（1）求；（2）求的单调区间和极值．【答案】（1）（2）单调递增区间为、，单调递减区间为，极大值，极小值【解析】（1），则，由题意可得，解得；（2）由，故，则，，故当时，，当时，，当时，，故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，故有极大值，有极小值.【题型5根据函数的极值求参数范围】满分技巧（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍。【例5】（2024·全国·模拟预测）已知三次函数的极小值点为，极大值点为，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，得，关于x的一元二次方程的两根为b，2b，又极小值点为，极大值点为，所以，即，由韦达定理得到，所以，，得到．故选：A．【变式5-1】（2024上·广东潮州·高三统考期末）若函数在上有极值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域为，，要函数在上有极值，则在上有零点，即在上有实数根.令，则，当且仅当时等号成立，所以.当时，，函数单调递增，则函数在上没有极值，故.故选:D.【变式5-2】（2024上·河南南阳·高三统考期末）若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得有两个变号零点，令，定义域为R，则，当时，恒成立，在R上单调递增，不会有两个零点，舍去，当时，令得，，令得，，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也是最小值，则，即，令，，则，令得，令得，在上单调递增，在单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，又，故的解集为，此时当趋向于负无穷时，趋向于正无穷，当趋向于正无穷时，趋向于正无穷，满足有2个变号零点.，故选：C【变式5-3】（2023·广东广州·统考模拟预测）若函数在区间上存在极小值点，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，的开口向上，对称轴为，与轴的交点为，当时，在区间上，，单调递增，没有极值点，所以，要使在区间上存在极小值点，则在有两个不等的正根，则需，解得，所以的取值范围是，故选：A【变式5-4】（2023·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中）若函数既有极大值也有极小值，则错误的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的定义域为，由，得，因为函数既有极大值也有极小值，所以函数在上有两个变号零点，而，所以方程有两个不等的正根，所以，所以，所以，即．故BCD正确，A错误．故选：A．【题型6利用导数求函数的最值】满分技巧函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为：（1）求函数在区间上的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。【例6】（2023·四川南充·高三南部中学校考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为．【答案】【解析】，则．令，解得(舍去)，或．所以故在单调递增，在单调递减，，又，所以．【变式6-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求的最小值.【答案】0【解析】由已知可得，定义域为，且.当时，有，所以函数在上单调递增；当时，，所以函数在上单调递减.所以，在处取得唯一极小值，也是最小值.【变式6-2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，．讨论函数的最值；【答案】答案见解析【解析】由函数，可得其定义域为，且，当时，可得，在上单调递增，无最值；当时，令，可得，所以在上单调递减；令，可得，所以在单调递增，所以的最小值为，无最大值．综上可得：当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．【变式6-3】（2024上·北京顺义·高三统考期末）已知函数．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设函数，求在区间上的最大值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）设的最小正周期为，显然，令，解得.（2）由已知得，，当时，令，，令，，故在上单调递增，在上单调递减，则最大值是.【变式6-4】（2023·山东青岛·高三统考期中）已知函数．（1）若是函数的极值点，求在处的切线方程．（2）若，求在区间上最大值．【答案】（1）；（2）答案见解析【解析】（1），又是函数的极值点，∴，即∴，∴，在处的切线方程为，即，所以在处的切线方程是（2），令，得，∴在单调递减，在单调递增而，①当，即时，②当，即时，综上，当时，；当时，【题型7根据函数的最值求参数范围】【例7】（2022·广西桂林·高三校考阶段练习）已知函数在处取最大值，则实数（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】由题意得，，当时，在上恒成立，此时单调递增，不符合题意，当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故当时，函数取极大值也是最大值，故，故选：C．【变式7-1】（2023·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当或时，，令得或，当时，恒成立，故表格如下：0+0极小值极大值故在上取得极小值，且，，要想在区间上的最小值为，则要，变形得到，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且，，故的解集为，时，令可得，当时，，令得，故在上单调递减，故在处取得最小值，最小值为，满足要求，当时，恒成立，故表格如下：+00+极大值极小值故在上取得极小值，且，，要想在区间上的最小值为，则要，变形得到，令，，时，，单调递增，又，故上，无解，综上：实数a的取值范围是.故选：C【变式7-2】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上存在最大值，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，令，得，令，是，或，所以在上单调递减，在和上单调递增，故.令，得，解得，，所以，所以要使在上存在最大值，则有,解得.故选：B.【变式7-3】（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）已知函数，若在内存在最小值，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，令，解得或，所以在，内单调递增，在内单调递减，所以极小值为．令，则，所以，由题意得，所以a的取值范围为.故选:C．【变式7-4】（2023·上海·高三上海中学校考期中）已知，函数，．（1）当时，若斜率为0的直线l是的一条切线，求切点的坐标；（2）若与有相同的最小值，求实数a．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由题意，，由得，此时，所以切点为；（2），时，，在上是增函数，无最小值，所以，，时，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值，，，，，递减，时，，递增，所以有唯一的极小值也是最小值为，由题意，，设，则，设，则，时，，递增，时，，递减，所以，所以，即，是减函数，又，因此是的唯一零点，所以由得．【题型8函数的单调性、极值、最值综合】【例8】（2024·河南·模拟预测）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.【答案】（1）答案见解析；；（2）证明见解析.【解析】（1）函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，由，得，函数在上单调递减，由，得，函数在上单调递增，所以当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，则，令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，则，于是，有，当时，则，因此，所以.【变式8-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．（1）若，求在上的最大值和最小值；（2）讨论函数的零点个数．【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）答案见解析.【解析】（1）当时，，，则，设，则，易知在上单调递增，，故即在上单调递增，，故在上单调递增，在上的最小值为，最大值为．（2）由可得．①当时，，又，，恰有1个零点；②当时，由得，由得，在上单调递减，在上单调递增，的最小值，又，当时，，故有2个零点；③当时，由得或，由得，在上单调递增，在上单调递减，的极小值，极大值，又当时，，有1个零点；④当时，由可得或，由可得，在上单调递增，在上单调递减，的极大值，极小值，又当时，，有1个零点；⑤当时，，，单调递增，，有1个零点．综上可知，当时，有2个零点；当时，有1个零点．【变式8-2】（2024上·山东淄博·高三统考期末）已知函数．（1）若时，恒有，求a的取值范围；（2）证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】（1）由若时，恒有，所以当时，恒成立，设，则令，则，显然在单调递增，故当时，，当时，，则对恒成立，则在单调递增，从而当时，，即在单调递增，所以当时，，符合题意；当时，，又因为，所以存在，使得，所以当时，，单调递减，，则单调递减，此时，不符合题意.综上所述，a的取值范围为（2）要证当时，，即证，设，则，令，则单调递增，所以当时，，则单调递增，所以当时，，则当时，，即单调递增，所以当时，，原式得证【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，且．（1）求的取值范围；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意知．因为函数有两个极值点，所以在上有两个变号零点．设，，则.①当时，，则在上单调递增，至多一个零点，不符合题意；②当时，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．因为在上有两个变号零点，即在上有两个变号零点，所以，解得，此时.因为，，所以在上存在一个零点．因为，由，则.设，则，所以在上单调递减．因为，所以．所以，且，则，又，所以在上存在一个零点．由两个极值点，满足，则.故当时，在上有两个变号零点.综上所述，a的取值范围为；（2）由（1）可知，当时，，在单调递减，在单调递增．又，所以，且当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.由，得，所以．所以．设，则，所以在上单调递减，其中，①当时，，即，所以，因为在上单调递增，所以，故不等式无解；②当时，，即，所以，所以，符合题意；③当时，，即，所以，因为在上单调递减，所以，故此时不等式也无解．综上所述，不等式的解集为．（建议用时：60分钟）1．（2024·北京昌平·高三统考期末）下列函数中，在区间上为减函数的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A选项，在上单调递增，不合要求，错误；B选项，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；C选项，在上恒成立，故在上单调递增，C错误；D选项，令得，，在上单调递增，而在上单调递减，由复合函数单调性可知，在上单调递减，D正确.故选：D2．（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）设函数，则（）A．在单调递增B．在上存在最大值C．在定义域内存在最值D．在上存在最小值【答案】D【解析】，则，令，则在上单调递增，且，所以存在使得，则时单调递减；当时单调递增，故A错误当时，在上不存在最大值，故B错误；，所以的周期为，定义域关于原点对称，，所以为奇函数，当时单调递减，时单调递增，即当时，，有最小值，无最大值；由奇偶性得时，，故在定义域内不存在最值，故C错误对D：结果前面分析知存在使得，且所以，所以，故D正确.故选：D3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，为的导函数，，则（）A．的极大值为，无极小值B．的极小值为，无极大值C．的极大值为，无极小值D．的极小值为，无极大值【答案】C【解析】的定义域为，，所以，求导得，令，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，且当时，取得极大值，无极小值．故选：C．4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列中的，是函数的极值点，则（）A．B．C．3D．【答案】A【解析】由求导得：，有，即有两个不等实根，显然是的变号零点，即函数的两个极值点，依题意，，在等差数列中，，所以，故选：A5．（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以，当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B6．（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期末）若为函数的极值点，则函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为是函数的极值点，所以，则，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以．故选：C7．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数有最小值B．函数有最大值C．函数有且仅有三个零点D．函数有且仅有两个极值点【答案】A【解析】由函数图象可知、的变化情况如下表所示：由上表可知在和上分别单调递减，在和上分别单调递增，函数的极小值分别为、，其极大值为.对于A选项：由以上分析可知，即函数有最小值，故A选项正确；对于B选项：由图可知当，有，即增加得越来越快，因此当，有，所以函数没有最大值，故B选项错误；对于C选项：若有，则由零点存在定理可知函数有四个零点，故C选项错误；对于D选项：由上表及以上分析可知函数共有3个极值点，故D选项错误.故选：A.8．（2023·天津西青·高三校考开学考试）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为的图像经过与两点，即，，由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故AD错误；由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增，又在上越来越大，在上越来越小，所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故C错误，B正确.故选：B.9．（2024·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考期末）（多选）已知函数，则（）A．有两个极值点B．有两个零点C．点是曲线的对称中心D．过点可作曲线的两条切线【答案】AC【解析】由题意，在中，．令，得或，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是极值点，A正确．由的单调性且极大值，极小值，又，，所以函数在定义域上有3个零点，B错误．令，因为，则是奇函数，所以是图象的对称中心，将的图象向上移动1个单位长度得到的图象，所以点是曲线的对称中心，C正确．设切点为，则切线的方程为，代入，可得，解得．所以过点的切线有1条，D错误．故选：AC．10．（2023·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）（多选）对于函数，则下列结论正确的是（）A．是的一个周期B．在上有3个零点C．的最大值为D．在上是增函数【答案】ABC【解析】对于A，因为，所以是的一个周期，A正确；对于B，当，时，，即，即或，解得或或，所以在上有个零点，故B正确；对于C，由A可知，只需考虑求在上的最大值即可.，则，令，求得或，所以当或时，，此时，则在上单调递增，当时，，此时，但不恒为0，则在上单调递减，则当时，函数取得最大