新高考数学二轮复习解答题培优练习专题09 数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)（解析版）

专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、典型题型 1题型一：通项含绝对值 1题型二：通项含取整函数 3题型三：通项含自定义符号 4二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练 5一、典型题型题型一：通项含绝对值如：求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0例题1．（2023·福建宁德·校考二模）已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前15项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0的前15项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例题2．（2023春·广东深圳·高二深圳第三高中校考期中）设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0有最小值.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0及前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因SKIPIF1<0为等差数列，故SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0有最大值，无最小值不符合题意舍去，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，有最小值满足题意，SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0题型二：通项含取整函数如：求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0例题1．（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，且SKIPIF1<0记SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超过x的最大整数，如SKIPIF1<0.（Ⅰ）求SKIPIF1<0；（Ⅱ）求数列SKIPIF1<0的前1000项和.【答案】（Ⅰ）SKIPIF1<0（Ⅱ）1893.试题解析：（Ⅰ）设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，据已知有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0（Ⅱ）因为SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0例题2．（2023·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）已知正项数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数），求数列SKIPIF1<0的前100项的和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)147【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0为正项数列,所以SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式验证显然适合，所以SKIPIF1<0.（2）已知SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.题型三：通项含自定义符号如：记SKIPIF1<0表示x的个位数字，如SKIPIF1<0求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0例题1．（2020秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期中）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0.数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的个位数字，如SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前30项的和.【答案】（1）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【详解】解：（1）SKIPIF1<0.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合上式.∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为等比数列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的个位数，因此SKIPIF1<0均为周期数列，且周期为5.将数列SKIPIF1<0中每5个一组，前30项和可分为6组，其前30项的和SKIPIF1<0为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例题2．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0的个位数字，如SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前20项和.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0也满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首项为3，公差为2的等差数列，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前5项依次为1，3，5，7，9.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前5项依次为3，5，7，9，1.易知，数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的周期均为5，SKIPIF1<0的前20项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.二、专题09数列求和（通项含绝对值数列求和）专项训练一、单选题1．（2023秋·江苏·高二专题练习）设数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0＝（

）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是等差数列，首项为4，公差为2．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0.故选：B．2．（2023·全国·高三专题练习）正项数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若前三项构成等比数列且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0的值为（

）（SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数）.A．4040 B．4041 C．5384 D．5385【答案】C【详解】依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.依题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C二、填空题3．（2023·全国·高三对口高考）已知SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此式不满足SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，根据通项公式知，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.三、双空题4．（2023·全国·高三专题练习）对于数列SKIPIF1<0，如果存在最小的一个常数SKIPIF1<0，使得对任意的正整数恒有SKIPIF1<0成立，则称数列SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期数列.设SKIPIF1<0，数列前SKIPIF1<0项的和分别记为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0三者的关系式；已知数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，那么满足SKIPIF1<0的正整数SKIPIF1<0=.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】(1)因为数列SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期数列，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.(2)因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0；满足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.而SKIPIF1<0，(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0不是整数，舍去.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.四、解答题5．（2023·河南·校联考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0是首项为1的等差数列，数列SKIPIF1<0是公比为2的等比数列，且SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数（如：SKIPIF1<0），求集合SKIPIF1<0中元素的个数．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)36【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，依次类推，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素，所以集合SKIPIF1<0中元素的个数为SKIPIF1<0个．6．（2023·全国·高二专题练习）从条件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，_____________.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，记SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)若选①或②，SKIPIF1<0,；选③，SKIPIF1<0(2)若选①或②，SKIPIF1<0；选③，SKIPIF1<0【详解】（1）若选①：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为常数列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若选②：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式相减SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0；若选③：由SKIPIF1<0，变形得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等差数列，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，也满足上式，所以SKIPIF1<0.（2）若选①或②：由题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.若选③：由题意，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.7．（2023·全国·高三专题练习）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的等比中项，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知SKIPIF1<0为公差不为零的等差数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0为等比数列，其前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0，（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）令SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，求SKIPIF1<0的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【详解】若选SKIPIF1<0：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0通项SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若选SKIPIF1<0：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，通项SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.不妨设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若选SKIPIF1<0：SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0通项SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.8．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0中，公差SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中项；（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等比中项，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上得：SKIPIF1<0.9．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0.（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0【详解】解：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，满足上式，所以SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<010．（2023秋·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0是单调递增的等差数列，设其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式：(2)定义SKIPIF1<0为不大于SKIPIF1<0的最大整数，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)SKIPIF1<0【详解】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，由题意可知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），所以SKIPIF1<0，（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，……当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.11．（2023春·广西北海·高二统考期末）已知函数SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0为等比数列，并求SKIPIF1<0；(2)对于实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)证明见解析，SKIPIF1<0(2)610【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，所以SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．（2023春·河南·高二校联考期末）已知等比数列SKIPIF1<0是递减数列，设其前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)定义SKIPIF1<0为不大于x的最大整数，若等差数列SKIPIF1<0的首项为SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0的公比，求数列SKIPIF1<0的前15项和.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)34【详解】（1）设等比数列SKIPIF1<0的公比为q，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0①.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0②.②－①得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，