离散型随机变量的方差说课稿-教案

离散型随机变量的方差教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(复习旧知))1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为ξ的数学期望．2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知))已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18910P0.20.60.2ξ28910P0.40.20.4试比较两名射手的射击水平高低．提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．设计意图：展示错解，引出课题活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．教师指出：初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．在一组数据x1，x2，…，xn中，S2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]叫做这组数据的方差．类似于这个概念，我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)1．方差：对于离散型随机变量X，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xi，…xn，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pi，…pn，那么，D(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn称为随机变量X的方差，式中的E(X)是随机变量X的均值．标准差：D(X)的算术平方根eq\r(DX)叫做随机变量X的标准差，记作σ(X)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))(1)随机变量X的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量X的方差、标准差也是随机变量X的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．对“探究”的再思考(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？(2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0.8，∴甲射击水平更稳定．若对手在8环左右，派甲参赛，易赢．若对手在9环左右，则派乙参赛，可能超常发挥．提出问题：前面我们知道若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的方差为a2s2.离散型随机变量X的方差是否也有类似性质？活动结果：同样具有．2．方差的性质：D(aX＋b)＝a2D(X)；其他：D(X)＝E(X2)－(E(X))2(了解)；3．若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知))例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解：抛掷骰子所得点数X的分布列为X123456Peq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)eq\f(1,6)从而E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,6)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋6×eq\f(1,6)＝3.5；D(X)＝(1－3.5)2×eq\f(1,6)＋(2－3.5)2×eq\f(1,6)＋(3－3.5)2×eq\f(1,6)＋(4－3.5)2×eq\f(1,6)＋(5－3.5)2×eq\f(1,6)＋(6－3.5)2×eq\f(1,6)≈2.92，eq\r(D(X))≈1.71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1200×0.4＋1400×0.3＋1600×0.2＋1800×0.1＝1400，D(X1)＝(1200－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1600－1400)2×0.2＋(1800－1400)2×0.1＝40000；E(X2)＝1000×0.4＋1400×0.3＋1800×0.2＋2200×0.1＝1400，D(X2)＝(1000－1400)2×0.4＋(1400－1400)2×0.3＋(1800－1400)2×0.2＋(2200－1400)2×0.1＝160000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．【变练演编】设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ－101Peq\f(1,2)1－2qq2剖析：应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，,0≤1－2p≤1，,q2≤1，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2).于是，ξ的分布列为ξ－101Peq\f(1,2)eq\r(2)－1eq\f(3,2)－eq\r(2)所以Eξ＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×(eq\r(2)－1)＋1×(eq\f(3,2)－eq\r(2))＝1－eq\r(2)，Dξ＝[－1－(1－eq\r(2))]2×eq\f(1,2)＋(1－eq\r(2))2×(eq\r(2)－1)＋[1－(1－eq\r(2))]2×(eq\f(3,2)－eq\r(2))＝eq\r(2)－1.教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－eq\f(1,2).另外既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，发展逆向思维．变式：若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝x1)＝eq\f(3,5)，P(ξ＝x2)＝eq\f(2,5)，且x1<x2，又知Eξ＝eq\f(7,5)，Dξ＝eq\f(6,25)，求ξ的分布列．解：依题意ξ只取2个值x1与x2，于是有Eξ＝eq\f(3,5)x1＋eq\f(2,5)x2＝eq\f(7,5)，Dξ＝eq\f(3,5)xeq\o\al(2,1)＋eq\f(2,5)xeq\o\al(2,2)－Eξ2＝eq\f(6,25)，从而得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\