高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.9圆锥曲线中定值模型(精练)(原卷版+解析)

8.9圆锥曲线中定值模型【题型解读】【题型一斜率为定值】1.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.2.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于eq\f(1,2)，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8eq\r(3)y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2，3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为eq\f(1,2)，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．3.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(5),5)，△OAB的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．【题型二距离为定值】1.(2023·青岛高三模拟）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．(1)当时，求；(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．2.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.【题型三面积为定值】1.(2023·全国高三专题练习）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq\r(6)＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)．求证：△AOB的面积为定值．2.(2023·山西太原五中高三期末）如图，点F是抛物线Г：x2＝2py(p＞0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．(1)求抛物线Г的方程；(2)若k2－k1＝2，点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．【题型四数量积为定值】1.(2023·湖北模拟）椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(1)当|CD|＝eq\f(3eq\r(2),2)时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值．2.(2023·德阳三模）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为(－eq\r(2)，0)，离心率为e＝eq\f(\r(2),2)．(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1，0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【题型五角度为定值】1.(2023·湖北模拟）已知点F1为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P(－1，eq\f(eq\r(2),2))在椭圆上，PF1⊥x轴．(1)求椭圆的方程：(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3)，∠AOB的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．2.(2023·德阳三模）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为eq\f(2,3)，短轴长为eq\f(1,2)，直线与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与圆O：x2＋y2＝eq\f(1,25)相切，证明：∠MON为定值．【题型六参数为定值】1.(2023·湖北模拟）已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于eq\f(2\r(5),5)，且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若eq\o(MA,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝λ2eq\o(BF,\s\up6(→))，求证：λ1＋λ2为定值．2.(2023·德阳三模）已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上的任意一点，．(1)求的最大值；(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点．若，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．8.9圆锥曲线中定值模型【题型解读】【题型一斜率为定值】1.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.（2）设，则.①设过点与椭圆相切的直线方程为，联立得，则，整理得.②由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.又因为，所以，所以为定值．2.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于eq\f(1,2)，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2＝8eq\r(3)y的焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，已知P(2，3)，Q(2，－3)是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为eq\f(1,2)，求四边形APBQ面积的最大值；②当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．【解析】(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵抛物线的焦点为(0，2eq\r(3))．∴b＝2eq\r(3)．由eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a2＝c2＋b2，得a＝4，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．①设直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x＋t，代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得x2＋tx＋t2－12＝0，由Δ>0，解得－4<t<4，∴x1＋x2＝－t，x1x2＝t2－12，∴|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(t2－4(t2－12))＝eq\r(48－3t2)．∴四边形APBQ的面积S＝eq\f(1,2)×6×|x1－x2|＝3eq\r(48－3t2)．∴当t＝0时，S取得最大值，且Smax＝12eq\r(3)．②若∠APQ＝∠BPQ，则直线PA，PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为－k，直线PA的方程为y－3＝k(x－2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－3＝k(x－2)，,\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1))消去y，得(3＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－48＝0，∴x1＋2＝eq\f(8k(2k－3),3＋4k2)，将k换成－k可得x2＋2＝eq\f(－8k(－2k－3),3＋4k2)＝eq\f(8k(2k＋3),3＋4k2)，∴x1＋x2＝eq\f(16k2－12,3＋4k2)，x1－x2＝eq\f(－48k,3＋4k2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(k(x1－2)＋3＋k(x2－2)－3,x1－x2)＝eq\f(k(x1＋x2)－4k,x1－x2)＝eq\f(1,2)，∴直线AB的斜率为定值eq\f(1,2)．3.已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(5),5)，△OAB的面积为1．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l∥直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．【解析】(1)直线AB的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋ay－ab＝0，则eq\f(ab,\r(a2＋b2))＝eq\f(2\r(5),5)，因为△OAB的面积为1，所以eq\f(1,2)ab＝1，即ab＝2．解得a＝2，b＝1，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2)直线AB的斜率为－eq\f(1,2)，设直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)x＋t，C(x1，y1)，D(x2，y2)，代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，得2y2－2ty＋t2－1＝0，依题意得，Δ>0，则y1＋y2＝t，y1y2＝eq\f(t2－1,2)，所以k1k2＝eq\f(y1,x1－2)·eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(y1y2－y1,x1x2－2x2)，因为x1x2－2x2＝4(t－y1)(t－y2)－4(t－y2)＝4[t2－t(y1＋y2)＋y1y2－t＋y2]＝4[(y1＋y2)2－(y1＋y2)(y1＋y2)＋y1y2－(y1＋y2)＋y2]＝4(y1y2－y1)，所以k1k2＝eq\f(1,4)为定值．【题型二距离为定值】1.(2023·青岛高三模拟）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．(1)当时，求；(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以所以，代入直线方程，求得，因为Q为三条中垂线的交点，所以，有，直线方程为.令，所以.由椭圆可得右焦点，故．（2）设，中点M坐标为．相减得，.又Q为的外心，故，所以，直线方程为，令，所以而,所以，，同理，，，所以当t变化时，为定值．2.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值.【解析】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上，可得，解得，所以双曲线的方程为.（2）由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，整理得，则且，设，则，直线的方程为，令，可得，即,同理可得，因为为的中点，所以，即，可得，即，所以或，若，则直线方程为，即，此时直线过点，不合题意；若时，则直线方程为，恒过定点，所以为定值，又由为直角三角形，且为斜边，所以当为的中点时，.【题型三面积为定值】1.(2023·全国高三专题练习）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2)，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋eq\r(6)＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)．求证：△AOB的面积为定值．【解析(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(c,a)＝eq\f(1,2),b＝eq\f(|0－0＋eq\r(6)|,eq\r(2)),a2＝c2＋b2))，∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1,y＝kx＋m))，消去y化简得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，x1＋x2＝－eq\f(8km,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4m2－12,3＋4k2)，由Δ＞0，得m24k2－m2＋3>0，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝k2eq\f(4m2－12,3＋4k2)＋km(－eq\f(8km,3＋4k2))＋m2＝eq\f(3m2－12k2,3＋4k2)．∵kOA·kOB＝－eq\f(b2,a2)＝－eq\f(3,4)，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－eq\f(3,4)，即y1y2＝－eq\f(3,4)x1x2，∴eq\f(3m2－12k2,3＋4k2)＝－eq\f(3,4)·eq\f(4m2－12,3＋4k2)．即2m2－4k2＝3|MN|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－8km,3＋4k2)))\s\up8(2)－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m2－12,3＋4k2))))＝eq\r(eq\f(24(1＋k2),3＋4k2))．又由点O到直线y＝kx＋m的距离d＝eq\f(|m|,eq\r(1＋k2))，所以S△MON＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\f(|m|,eq\r(1＋k2))·eq\r(eq\f(24(1＋k2),3＋4k2))＝eq\f(1,2)·eq\r(eq\f(m2,1＋k2)·eq\f(24(1＋k2),3＋4k2))＝eq\f(1,2)·eq\r(eq\f(3＋4k2,2)·eq\f(24,3＋4k2))＝eq\r(3)为定值．2.(2023·山西太原五中高三期末）如图，点F是抛物线Г：x2＝2py(p＞0)的焦点，点A是抛物线上的定点，且eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，0)，点B，C是抛物线上的动点，直线AB，AC的斜率分别为k1，k2．(1)求抛物线Г的方程；(2)若k2－k1＝2，点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S，证明S为定值．【解析】(1)设A(x0，y0)，由题知F(0，eq\f(p,2))，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－x0，eq\f(p,2)－y0)＝(2，0)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝\f(p,2)))，代入x2＝2py(p＞0)，得4＝p2，得p＝2，所以抛物线的方程是x2＝4y．(2)过D作y轴的平行线交BC于点E，并设B(x1，eq\f(x\o\al(2,1),4))，C(x2，eq\f(x\o\al(2,2),4))，由(1)知A(－2，1)，所以k2－k1＝eq\f(\f(x\o\al(2,2),4)－1,x2＋2)－eq\f(\f(x\o\al(2,1),4)－1,x1＋2)＝eq\f(x2－x1,4)，又k2－k1＝2，所以x2－x1＝8．直线BD：y＝eq\f(x1,2)x－eq\f(x\o\al(2,1),4)，直线CD：y＝eq\f(x2,2)x－eq\f(x\o\al(2,2),4)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xD＝\f(x1＋x2,2)，,yD＝\f(x1x2,4).))因直线BC的方程为y－eq\f(x\o\al(2,1),4)＝eq\f(x1＋x2,4)(x－x1)，将xD代入得yE＝eq\f(x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2),8)，所以S＝eq\f(1,2)|DE|(x2－x1)＝eq\f(1,2)(yE－yD)(x2－x1)＝eq\f(1,2)·eq\f(x2－x12,8)(x2－x1)＝32．【题型四数量积为定值】1.(2023·湖北模拟）椭圆有两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(1)当|CD|＝eq\f(3eq\r(2),2)时，求直线l的方程；(2)当点P异于A，B两点时，求证：eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值．【解析】(1)因椭圆焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由已知得b＝1，c＝1，所以a＝eq\r(2)，椭圆方程为为eq\f(y2,2)＋x2＝1．直线l垂直于x轴时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1，将其代入椭圆方程化简得，(k2＋2)x2＋2kx－1＝0．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则∴x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)，|CD|＝eq\r(1＋k2)·|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2k,2＋k2)))2－4·\f(－1,2＋k2))＝eq\f(2eq\r(2)(1＋k2),2＋k2)＝eq\f(3eq\r(2),2)，解得k＝±eq\r(2)．所以直线l的方程为y＝eq\r(2)x＋1或y＝－eq\r(2)x＋1．(2)直线l与x轴垂直时与题意不符．设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0且k≠±1)，所以P点坐标为(－eq\f(1,k)，0)．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由(1)知x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2)，直线AC的方程为y＝eq\f(y1,x1＋1)(x＋1)，直线BD的方程为y＝eq\f(y2,x2＋1)(x－1)，将两直线方程联立，消去y得eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(y2(x1＋1),y1(x2－1))，因为－1＜x1，x2＜1，所以eq\f(x＋1,x－1)与eq\f(y2,y1)异号．(eq\f(x＋1,x－1))2＝eq\f(y22(x1＋1)2,y12(x2－1)2)＝eq\f(2－x22,2－x12)·eq\f((x1＋1)2,(x2－1)2)＝eq\f((1＋x1)(1＋x2),(1－x1)(1－x2))＝eq\f(1＋eq\f(－2k,k2＋2)＋eq\f(－1,k2＋2),1－eq\f(－2k,k2＋2)＋eq\f(－1,k2＋2))＝(eq\f(k－1,k＋1))2．又y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(2(1－k)(1＋k),k2＋2)＝－eq\f(2(1＋k)2,k2＋2)·eq\f(k－1,k＋1)∴eq\f(k－1,k＋1)与y1y2异号，eq\f(x＋1,x－1)与eq\f(k－1,k＋1)同号，eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(k－1,k＋1)，解得x＝－k，因此Q点坐标为(－k，y0)．eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(－eq\f(1,k)，0)(－k，y0)＝1，故eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值．2.(2023·德阳三模）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆的左顶点坐标为(－eq\r(2)，0)，离心率为e＝eq\f(\r(2),2)．(1)求椭圆E的方程；(2)过点(1，0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－c＝eq\r(2)－1，,eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，))解得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝eq\r(2)，,c＝1，))所以b2＝1．所以椭圆E的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1．(2)假设存在符合条件的点M(m，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x1－m，y1)，eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x2－m，y2)，eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2，①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，联立椭圆方程eq\f(x2,2)＋y2＝1，化为(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，则x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－2,2k2＋1)．∴y1y2＝k2[－(x1＋x2)＋x1x2＋1]＝－eq\f(k2,2k2＋1)，eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(k2(2m2－4m＋1)＋m2－2,2k2＋1)．对于任意的k值，上式为定值，故2m2－4m＋1＝2(m2－2)，解得，m＝eq\f(5,4)，此时，eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝m2－2＝－eq\f(7,16)为定值；②当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝1，x1x2＝1，x1＋x2＝2，y1y2＝－eq\f(1,2)，由，m＝eq\f(5,4)，得eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝1－2×eq\f(5,4)＋eq\f(25,16)－eq\f(1,2)＝－eq\f(7,16)为定值，综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为(eq\f(5,4)，0)．【题型五角度为定值】1.(2023·湖北模拟）已知点F1为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P(－1，eq\f(eq\r(2),2))在椭圆上，PF1⊥x轴．(1)求椭圆的方程：(2)已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3)，∠AOB的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．【解析】(1)因为PF1⊥x轴，又P(－1，eq\f(eq\r(2),2))在椭圆上，可得F1(－1，0)，所以c＝1，eq\f(1,a2)＋eq\f(1,2b2)＝1，a2＝c2＋b2，解得a2＝2，b2＝1，所以椭圆的方程为：eq\f(x2,2)＋y2＝1；(2)当直线l的斜率不存在时，由原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3)，可得直线l的方程为：x＝±eq\f(eq\r(6),3)，代入椭圆可得A(eq\f(eq\r(6),3)，eq\f(eq\r(6),3))，B(eq\f(eq\r(6),3)，－eq\f(eq\r(6),3))或A(－eq\f(eq\r(6),3)，eq\f(eq\r(6),3))，B(－eq\f(eq\r(6),3)，eq\f(eq\r(6),3))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以∠AOB＝eq\f(π,2)；当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y＝kx＋m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3)，可得eq\f(eq\r(6),3)＝eq\f(|m|,eq\r(1＋k2))，可得3m2＝2(1＋k2)，①直线与椭圆联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，))整理可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，将①代入Δ中可得Δ＝16m2＋8>0，x1＋x2＝eq\f(－4km,1＋2k2)，x1x2＝eq\f(2m2－1,1＋2k2)，y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝eq\f(k2(2m2－2),1＋2k2)＋eq\f(4k2m2,1＋2k2)＋m2＝eq\f(m2－2k2,1＋2k2)，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝eq\f(2m2－2,1＋2k2)＋eq\f(m2－2k2,1＋2k2)＝eq\f(3m2－2k2－2,1＋2k2)，将①代入可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，所以∠AOB＝eq\f(π,2)；综上所述∠AOB＝eq\f(π,2)恒成立．2.(2023·德阳三模）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为eq\f(2,3)，短轴长为eq\f(1,2)，直线与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线与圆O：x2＋y2＝eq\f(1,25)相切，证明：∠MON为定值．【解析】(1)由题意得，2a＝eq\f(2,3)，2b＝eq\f(1,2)，所以a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(1,4)，所以9x2＋16y2＝1．(2)当直线l⊥x轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为x＝±eq\f(1,5)．当l：x＝eq\f(1,5)时，得M、N两点坐标分别为(eq\f(1,5)，eq\f(1,5))，(eq\f(1,5)，－eq\f(1,5))，所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝0，所以∠MON＝eq\f(π,2)．当l：x＝－eq\f(1,5)时，同理∠MON＝eq\f(π,2)．当与x轴不垂直时，设l：y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2，y2)，由d＝eq\f(|m|,eq\r(1＋k2))＝eq\f(1,5)，所以25m2＝1＋k2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9x2＋16y2＝1，,y＝kx＋m，))得(16k2＋9)x2＋32kmx＋16m2－1＝0．Δ＝(32km)2－4(16k2＋9)(16m2－1)>0，∴x1＋x2＝－eq\f(32km,9＋16k2)，x1x2＝eq\f(16m2－1,9＋16k2)．∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(O