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文档简介
8.9圆锥曲线中定值模型【题型解读】【题型一斜率为定值】1.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆:的右焦点为,圆:,过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.(1)求的方程;(2)过圆上一点(不在坐标轴上)作的两条切线,,记,的斜率分别为,,直线的斜率为,证明:为定值.2.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于eq\f(1,2),它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8eq\r(3)y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.①若直线AB的斜率为eq\f(1,2),求四边形APBQ面积的最大值;②当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.3.已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(5),5),△OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥直线AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.【题型二距离为定值】1.(2023·青岛高三模拟)已知椭圆为右焦点,直线与椭圆C相交于A,B两点,取A点关于x轴的对称点S,设线段与线段的中垂线交于点Q.(1)当时,求;(2)当时,求是否为定值?若为定值,则求出定值;若不为定值,则说明理由.2.已知双曲线的离心率为,点在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)点,在双曲线上,直线,与轴分别相交于两点,点在直线上,若坐标原点为线段的中点,,证明:存在定点,使得为定值.【题型三面积为定值】1.(2023·全国高三专题练习)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2),以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+eq\r(6)=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且kOA·kOB=-eq\f(b2,a2).求证:△AOB的面积为定值.2.(2023·山西太原五中高三期末)如图,点F是抛物线Г:x2=2py(p>0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且eq\o(AF,\s\up6(→))=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线Г的方程;(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记△BCD的面积为S,证明S为定值.【题型四数量积为定值】1.(2023·湖北模拟)椭圆有两顶点A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|=eq\f(3eq\r(2),2)时,求直线l的方程;(2)当点P异于A,B两点时,求证:eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值.2.(2023·德阳三模)已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的左顶点坐标为(-eq\r(2),0),离心率为e=eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆E的方程;(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.【题型五角度为定值】1.(2023·湖北模拟)已知点F1为椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点,P(-1,eq\f(eq\r(2),2))在椭圆上,PF1⊥x轴.(1)求椭圆的方程:(2)已知直线l与椭圆交于A,B两点,且坐标原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3),∠AOB的大小是否为定值?若是,求出该定值:若不是,请说明理由.2.(2023·德阳三模)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为eq\f(2,3),短轴长为eq\f(1,2),直线与椭圆C交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线与圆O:x2+y2=eq\f(1,25)相切,证明:∠MON为定值.【题型六参数为定值】1.(2023·湖北模拟)已知椭圆C的焦点在x轴上,离心率等于eq\f(2\r(5),5),且过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(2\r(5),5))).(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A,B两点,交y轴于M点,若eq\o(MA,\s\up6(→))=λ1eq\o(AF,\s\up6(→)),eq\o(MB,\s\up6(→))=λ2eq\o(BF,\s\up6(→)),求证:λ1+λ2为定值.2.(2023·德阳三模)已知点是椭圆的左焦点,是椭圆上的任意一点,.(1)求的最大值;(2)过点的直线与椭圆相交于两点,与轴相交于点.若,,试问是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.8.9圆锥曲线中定值模型【题型解读】【题型一斜率为定值】1.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆:的右焦点为,圆:,过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.(1)求的方程;(2)过圆上一点(不在坐标轴上)作的两条切线,,记,的斜率分别为,,直线的斜率为,证明:为定值.【解析】(1)设椭圆的半焦距为,过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为,则;过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为,则,又,解得,所以的方程为.(2)设,则.①设过点与椭圆相切的直线方程为,联立得,则,整理得.②由题意知,为方程②的两根,由根与系数的关系及①可得.又因为,所以,所以为定值.2.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C的中心在原点,离心率等于eq\f(1,2),它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8eq\r(3)y的焦点.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P(2,3),Q(2,-3)是椭圆上的两点,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.①若直线AB的斜率为eq\f(1,2),求四边形APBQ面积的最大值;②当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.【解析】(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),∵抛物线的焦点为(0,2eq\r(3)).∴b=2eq\r(3).由eq\f(c,a)=eq\f(1,2),a2=c2+b2,得a=4,∴椭圆C的方程为eq\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).①设直线AB的方程为y=eq\f(1,2)x+t,代入eq\f(x2,16)+eq\f(y2,12)=1,得x2+tx+t2-12=0,由Δ>0,解得-4<t<4,∴x1+x2=-t,x1x2=t2-12,∴|x1-x2|=eq\r((x1+x2)2-4x1x2)=eq\r(t2-4(t2-12))=eq\r(48-3t2).∴四边形APBQ的面积S=eq\f(1,2)×6×|x1-x2|=3eq\r(48-3t2).∴当t=0时,S取得最大值,且Smax=12eq\r(3).②若∠APQ=∠BPQ,则直线PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k,直线PA的方程为y-3=k(x-2),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y-3=k(x-2),,\f(x2,16)+\f(y2,12)=1))消去y,得(3+4k2)x2+8k(3-2k)x+4(3-2k)2-48=0,∴x1+2=eq\f(8k(2k-3),3+4k2),将k换成-k可得x2+2=eq\f(-8k(-2k-3),3+4k2)=eq\f(8k(2k+3),3+4k2),∴x1+x2=eq\f(16k2-12,3+4k2),x1-x2=eq\f(-48k,3+4k2),∴kAB=eq\f(y1-y2,x1-x2)=eq\f(k(x1-2)+3+k(x2-2)-3,x1-x2)=eq\f(k(x1+x2)-4k,x1-x2)=eq\f(1,2),∴直线AB的斜率为定值eq\f(1,2).3.已知椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点O到直线AB的距离为eq\f(2\r(5),5),△OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l与椭圆交于C,D两点,若直线l∥直线AB,设直线AC,BD的斜率分别为k1,k2,证明:k1·k2为定值.【解析】(1)直线AB的方程为eq\f(x,a)+eq\f(y,b)=1,即bx+ay-ab=0,则eq\f(ab,\r(a2+b2))=eq\f(2\r(5),5),因为△OAB的面积为1,所以eq\f(1,2)ab=1,即ab=2.解得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)+y2=1.(2)直线AB的斜率为-eq\f(1,2),设直线l的方程为y=-eq\f(1,2)x+t,C(x1,y1),D(x2,y2),代入eq\f(x2,4)+y2=1,得2y2-2ty+t2-1=0,依题意得,Δ>0,则y1+y2=t,y1y2=eq\f(t2-1,2),所以k1k2=eq\f(y1,x1-2)·eq\f(y2-1,x2)=eq\f(y1y2-y1,x1x2-2x2),因为x1x2-2x2=4(t-y1)(t-y2)-4(t-y2)=4[t2-t(y1+y2)+y1y2-t+y2]=4[(y1+y2)2-(y1+y2)(y1+y2)+y1y2-(y1+y2)+y2]=4(y1y2-y1),所以k1k2=eq\f(1,4)为定值.【题型二距离为定值】1.(2023·青岛高三模拟)已知椭圆为右焦点,直线与椭圆C相交于A,B两点,取A点关于x轴的对称点S,设线段与线段的中垂线交于点Q.(1)当时,求;(2)当时,求是否为定值?若为定值,则求出定值;若不为定值,则说明理由.【解析】(1)设,线段的中点M坐标为,联立得消去y可得:,所以所以,代入直线方程,求得,因为Q为三条中垂线的交点,所以,有,直线方程为.令,所以.由椭圆可得右焦点,故.(2)设,中点M坐标为.相减得,.又Q为的外心,故,所以,直线方程为,令,所以而,所以,,同理,,,所以当t变化时,为定值.2.已知双曲线的离心率为,点在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)点,在双曲线上,直线,与轴分别相交于两点,点在直线上,若坐标原点为线段的中点,,证明:存在定点,使得为定值.【解析】(1)由题意,双曲线的离心率为,且在双曲线上,可得,解得,所以双曲线的方程为.(2)由题意知,直线的的斜率存在,设直线的方程为,联立方程组,整理得,则且,设,则,直线的方程为,令,可得,即,同理可得,因为为的中点,所以,即,可得,即,所以或,若,则直线方程为,即,此时直线过点,不合题意;若时,则直线方程为,恒过定点,所以为定值,又由为直角三角形,且为斜边,所以当为的中点时,.【题型三面积为定值】1.(2023·全国高三专题练习)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq\f(1,2),以原点O为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+eq\r(6)=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,且kOA·kOB=-eq\f(b2,a2).求证:△AOB的面积为定值.【解析(1)由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(c,a)=eq\f(1,2),b=eq\f(|0-0+eq\r(6)|,eq\r(2)),a2=c2+b2)),∴a2=4,b2=3,∴椭圆的方程为eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B的坐标满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1,y=kx+m)),消去y化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,x1+x2=-eq\f(8km,3+4k2),x1x2=eq\f(4m2-12,3+4k2),由Δ>0,得m24k2-m2+3>0,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2eq\f(4m2-12,3+4k2)+km(-eq\f(8km,3+4k2))+m2=eq\f(3m2-12k2,3+4k2).∵kOA·kOB=-eq\f(b2,a2)=-eq\f(3,4),∴eq\f(y1y2,x1x2)=-eq\f(3,4),即y1y2=-eq\f(3,4)x1x2,∴eq\f(3m2-12k2,3+4k2)=-eq\f(3,4)·eq\f(4m2-12,3+4k2).即2m2-4k2=3|MN|=eq\r(1+k2)·|x1-x2|=eq\r(1+k2)·eq\r((x1+x2)2-4x1x2)=eq\r(1+k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-8km,3+4k2)))\s\up8(2)-4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4m2-12,3+4k2))))=eq\r(eq\f(24(1+k2),3+4k2)).又由点O到直线y=kx+m的距离d=eq\f(|m|,eq\r(1+k2)),所以S△MON=eq\f(1,2)|AB|·d=eq\f(1,2)eq\f(|m|,eq\r(1+k2))·eq\r(eq\f(24(1+k2),3+4k2))=eq\f(1,2)·eq\r(eq\f(m2,1+k2)·eq\f(24(1+k2),3+4k2))=eq\f(1,2)·eq\r(eq\f(3+4k2,2)·eq\f(24,3+4k2))=eq\r(3)为定值.2.(2023·山西太原五中高三期末)如图,点F是抛物线Г:x2=2py(p>0)的焦点,点A是抛物线上的定点,且eq\o(AF,\s\up6(→))=(2,0),点B,C是抛物线上的动点,直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.(1)求抛物线Г的方程;(2)若k2-k1=2,点D是抛物线在点B,C处切线的交点,记△BCD的面积为S,证明S为定值.【解析】(1)设A(x0,y0),由题知F(0,eq\f(p,2)),所以eq\o(AF,\s\up6(→))=(-x0,eq\f(p,2)-y0)=(2,0),所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0=-2,,y0=\f(p,2))),代入x2=2py(p>0),得4=p2,得p=2,所以抛物线的方程是x2=4y.(2)过D作y轴的平行线交BC于点E,并设B(x1,eq\f(x\o\al(2,1),4)),C(x2,eq\f(x\o\al(2,2),4)),由(1)知A(-2,1),所以k2-k1=eq\f(\f(x\o\al(2,2),4)-1,x2+2)-eq\f(\f(x\o\al(2,1),4)-1,x1+2)=eq\f(x2-x1,4),又k2-k1=2,所以x2-x1=8.直线BD:y=eq\f(x1,2)x-eq\f(x\o\al(2,1),4),直线CD:y=eq\f(x2,2)x-eq\f(x\o\al(2,2),4),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xD=\f(x1+x2,2),,yD=\f(x1x2,4).))因直线BC的方程为y-eq\f(x\o\al(2,1),4)=eq\f(x1+x2,4)(x-x1),将xD代入得yE=eq\f(x\o\al(2,1)+x\o\al(2,2),8),所以S=eq\f(1,2)|DE|(x2-x1)=eq\f(1,2)(yE-yD)(x2-x1)=eq\f(1,2)·eq\f(x2-x12,8)(x2-x1)=32.【题型四数量积为定值】1.(2023·湖北模拟)椭圆有两顶点A(-1,0),B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C,D两点,并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.(1)当|CD|=eq\f(3eq\r(2),2)时,求直线l的方程;(2)当点P异于A,B两点时,求证:eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值.【解析】(1)因椭圆焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),由已知得b=1,c=1,所以a=eq\r(2),椭圆方程为为eq\f(y2,2)+x2=1.直线l垂直于x轴时与题意不符.设直线l的方程为y=kx+1,将其代入椭圆方程化简得,(k2+2)x2+2kx-1=0.设C(x1,y1),D(x2,y2),则∴x1+x2=-eq\f(2k,k2+2),x1x2=-eq\f(1,k2+2),|CD|=eq\r(1+k2)·|x1-x2|=eq\r(1+k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(-2k,2+k2)))2-4·\f(-1,2+k2))=eq\f(2eq\r(2)(1+k2),2+k2)=eq\f(3eq\r(2),2),解得k=±eq\r(2).所以直线l的方程为y=eq\r(2)x+1或y=-eq\r(2)x+1.(2)直线l与x轴垂直时与题意不符.设直线l的方程为y=kx+1(k≠0且k≠±1),所以P点坐标为(-eq\f(1,k),0).设C(x1,y1),D(x2,y2),由(1)知x1+x2=-eq\f(2k,k2+2),x1x2=-eq\f(1,k2+2),直线AC的方程为y=eq\f(y1,x1+1)(x+1),直线BD的方程为y=eq\f(y2,x2+1)(x-1),将两直线方程联立,消去y得eq\f(x+1,x-1)=eq\f(y2(x1+1),y1(x2-1)),因为-1<x1,x2<1,所以eq\f(x+1,x-1)与eq\f(y2,y1)异号.(eq\f(x+1,x-1))2=eq\f(y22(x1+1)2,y12(x2-1)2)=eq\f(2-x22,2-x12)·eq\f((x1+1)2,(x2-1)2)=eq\f((1+x1)(1+x2),(1-x1)(1-x2))=eq\f(1+eq\f(-2k,k2+2)+eq\f(-1,k2+2),1-eq\f(-2k,k2+2)+eq\f(-1,k2+2))=(eq\f(k-1,k+1))2.又y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1=eq\f(2(1-k)(1+k),k2+2)=-eq\f(2(1+k)2,k2+2)·eq\f(k-1,k+1)∴eq\f(k-1,k+1)与y1y2异号,eq\f(x+1,x-1)与eq\f(k-1,k+1)同号,eq\f(x+1,x-1)=eq\f(k-1,k+1),解得x=-k,因此Q点坐标为(-k,y0).eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))=(-eq\f(1,k),0)(-k,y0)=1,故eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))为定值.2.(2023·德阳三模)已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆的左顶点坐标为(-eq\r(2),0),离心率为e=eq\f(\r(2),2).(1)求椭圆E的方程;(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0),由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a-c=eq\r(2)-1,,eq\f(c,a)=eq\f(\r(2),2),))解得,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=eq\r(2),,c=1,))所以b2=1.所以椭圆E的方程为eq\f(x2,2)+y2=1.(2)假设存在符合条件的点M(m,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则eq\o(MP,\s\up6(→))=(x1-m,y1),eq\o(MQ,\s\up6(→))=(x2-m,y2),eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2,①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),联立椭圆方程eq\f(x2,2)+y2=1,化为(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,则x1+x2=eq\f(4k2,2k2+1),x1x2=eq\f(2k2-2,2k2+1).∴y1y2=k2[-(x1+x2)+x1x2+1]=-eq\f(k2,2k2+1),eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))=eq\f(k2(2m2-4m+1)+m2-2,2k2+1).对于任意的k值,上式为定值,故2m2-4m+1=2(m2-2),解得,m=eq\f(5,4),此时,eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))=m2-2=-eq\f(7,16)为定值;②当直线l的斜率不存在时,直线l:x=1,x1x2=1,x1+x2=2,y1y2=-eq\f(1,2),由,m=eq\f(5,4),得eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))=1-2×eq\f(5,4)+eq\f(25,16)-eq\f(1,2)=-eq\f(7,16)为定值,综合①②知,符合条件的点M存在,其坐标为(eq\f(5,4),0).【题型五角度为定值】1.(2023·湖北模拟)已知点F1为椭圆eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左焦点,P(-1,eq\f(eq\r(2),2))在椭圆上,PF1⊥x轴.(1)求椭圆的方程:(2)已知直线l与椭圆交于A,B两点,且坐标原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3),∠AOB的大小是否为定值?若是,求出该定值:若不是,请说明理由.【解析】(1)因为PF1⊥x轴,又P(-1,eq\f(eq\r(2),2))在椭圆上,可得F1(-1,0),所以c=1,eq\f(1,a2)+eq\f(1,2b2)=1,a2=c2+b2,解得a2=2,b2=1,所以椭圆的方程为:eq\f(x2,2)+y2=1;(2)当直线l的斜率不存在时,由原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3),可得直线l的方程为:x=±eq\f(eq\r(6),3),代入椭圆可得A(eq\f(eq\r(6),3),eq\f(eq\r(6),3)),B(eq\f(eq\r(6),3),-eq\f(eq\r(6),3))或A(-eq\f(eq\r(6),3),eq\f(eq\r(6),3)),B(-eq\f(eq\r(6),3),eq\f(eq\r(6),3)),可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=0,所以∠AOB=eq\f(π,2);当直线l的斜率存在时,设直线的方程为:y=kx+m,设A(x1,y1),B(x2,y2),由原点O到直线l的距离为eq\f(eq\r(6),3),可得eq\f(eq\r(6),3)=eq\f(|m|,eq\r(1+k2)),可得3m2=2(1+k2),①直线与椭圆联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=kx+m,,\f(x2,2)+y2=1,))整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0,将①代入Δ中可得Δ=16m2+8>0,x1+x2=eq\f(-4km,1+2k2),x1x2=eq\f(2m2-1,1+2k2),y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=eq\f(k2(2m2-2),1+2k2)+eq\f(4k2m2,1+2k2)+m2=eq\f(m2-2k2,1+2k2),所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=x1x2+y1y2=eq\f(2m2-2,1+2k2)+eq\f(m2-2k2,1+2k2)=eq\f(3m2-2k2-2,1+2k2),将①代入可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=0,所以∠AOB=eq\f(π,2);综上所述∠AOB=eq\f(π,2)恒成立.2.(2023·德阳三模)已知椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)上的点到两个焦点的距离之和为eq\f(2,3),短轴长为eq\f(1,2),直线与椭圆C交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线与圆O:x2+y2=eq\f(1,25)相切,证明:∠MON为定值.【解析】(1)由题意得,2a=eq\f(2,3),2b=eq\f(1,2),所以a=eq\f(1,3),b=eq\f(1,4),所以9x2+16y2=1.(2)当直线l⊥x轴时,因为直线与圆相切,所以直线方程为x=±eq\f(1,5).当l:x=eq\f(1,5)时,得M、N两点坐标分别为(eq\f(1,5),eq\f(1,5)),(eq\f(1,5),-eq\f(1,5)),所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))=0,所以∠MON=eq\f(π,2).当l:x=-eq\f(1,5)时,同理∠MON=eq\f(π,2).当与x轴不垂直时,设l:y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),由d=eq\f(|m|,eq\r(1+k2))=eq\f(1,5),所以25m2=1+k2,联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(9x2+16y2=1,,y=kx+m,))得(16k2+9)x2+32kmx+16m2-1=0.Δ=(32km)2-4(16k2+9)(16m2-1)>0,∴x1+x2=-eq\f(32km,9+16k2),x1x2=eq\f(16m2-1,9+16k2).∴eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(O
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