高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第02讲平面向量的加、减法运算(原卷版+解析)

第2讲平面向量的加、减法运算知识点1向量的加法向量的加法运算向量运算定义法则(或几何意义)加法求两个向量和的运算向量加法的三角形法则：如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.向量加法的平行四边形法则：如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．www-2-向量加法的三角形法则：（类比位移）记忆口诀：首尾相接首尾连平行四边形法则：（类比力的合成）记忆口诀：共起点，连对角向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．向量加法的运算律：交换律：；结合律：．和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有．当与共线且同向时，；当与共线且异向时，；当与不共线时，．知识点2向量的减法1、相反向量(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.2、向量的减法运算向量运算定义法则(或几何意义)减法向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．向量减法的三角形法则：如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．向量减法的平行四边形法则：如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．考点一向量的加法运算解题方略（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．向量的加法法则已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图．【例1】如图，已知向量，，求作向量．变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．向量的加法运算在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.【例2】化简：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).变式1：向量﹒化简后等于（）A. B.0 C. D.变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（）A．B．C． D．【例3】已知正六边形，则（）A． B． C． D．变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.变式2：如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（）A． B．C． D．变式3：如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）A． B． C． D．变式4：已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A． B．C． D．变式5：如图，在中，为的中点，为上一点，则（）A． B． C． D．变式6：已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（）A． B．C． D．变式7：在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形【例4】在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（）A． B． C．12 D．6变式1：如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23向量加法的应用要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.【例5】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．向量加法的实际应用向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：1将应用问题中的量抽象成向量；2化归为向量问题，进行向量运算；3将向量问题还原为实际问题.【例6】某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？变式1：一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

考点二向量的减法运算相反向量【例7】若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A． B． C． D．变式1：向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（）A． B．为实数0 C．与方向相同 D．变式2：如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（）A．与 B．与 C．与 D．与向量的减法法则1.作两向量的差的步骤eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起点)↓eq\x(连)—eq\x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)2．求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．【例8】如图，在各小题中，已知，分别求作．变式1：如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．向量的减法运算1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.【例9】化简eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0变式1：化简：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).变式2：化简下列各式：①；②；③；④.其中结果为的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4变式3：下列四式不能化简为的是（）A．B．C．D．【例10】在正方形中，（）A． B． C． D．变式1：在五边形中（如图），（）A． B． C． D．变式2：在五边形中（如图），下列运算结果为的是（）A． B．C． D．变式3：如右图，，，分别是的边，，的中点，则（）A． B．C． D．（三）向量减法的应用【例11】已知正方形的边长为1，，，，则等于（）A．0 B．1 C． D．2【例12】在中，若，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形变式1：已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．变式2：已知非零向量a，b满足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为．第四关第四关巩固练习识梳理巩固练习识梳理练习一向量的加法运算1、如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.2、化简(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(5)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).3、向量化简后等于（）A． B． C． D．4、向量化简后等于（）A． B． C． D．5、向量化简后等于（）A． B． C． D．6、在平行四边形中，等于（）A． B． C． D．7、如图所示,点O是正六边形的中心,则()A. B.0 C. D.8、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).9、已知正方形的边长为，设，，，则等于（）．A． B． C． D．10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．练习二向量的减法运算1、如图，已知向量，，求作向量．2、化简（1）(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．3、化简得（）A．B．C． D．4、在△ABC中，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a，eq\o(CA,\s\up7(→))＝b，则eq\o(AB,\s\up7(→))等于()A．a＋bB．－a＋(－b)C．a－b D．b－a5、在平行四边形ABCD中，（）A． B． C． D．6、(多选)若a，b为非零向量，则下列命题正确的是()A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同7、在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(CA,\s\up7(→))|＝1，则|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(BC,\s\up7(→))|＝________.第2讲平面向量的加、减法运算知识点1向量的加法向量的加法运算向量运算定义法则(或几何意义)加法求两个向量和的运算向量加法的三角形法则：如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和(或和向量)，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则．21·世纪*对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝0＋a＝a.向量加法的平行四边形法则：如图所示，已知两个不共线向量a，b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则O、A、B三点不共线，以OA，OB为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线上的向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b，这个法则叫做两个向量加法的平行四边形法则．www-2-向量加法的三角形法则：（类比位移）记忆口诀：首尾相接首尾连平行四边形法则：（类比力的合成）记忆口诀：共起点，连对角向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系．区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；(2)三角形法则适用于任意两个非零向量求和（当两个向量共线时，三角形法则同样适用），而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．向量加法的运算律：交换律：；结合律：．和向量的模与原向量之间的关系：一般地，我们有．当与共线且同向时，；当与共线且异向时，；当与不共线时，．知识点2向量的减法1、相反向量(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.(2)－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.若，互为相反向量，则，，0(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0＝－0.2、向量的减法运算向量运算定义法则(或几何意义)减法向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法．向量减法的三角形法则：如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量．向量减法的平行四边形法则：如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，则，这种作差向量的方法实质上是利用向量减法的定义．向量减法的三角形法则：记忆口诀：首同尾连指被减向量的加法和减法的运算问题关于向量的加法和减法运算问题，一种解法就是依据三角形法则通过作图来解决，另一种解法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决．具体地说，在一个用有向线段表示向量的运算式子中，将式子中的“−”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可．如“”改为“”．解用几个基本向量表示某向量问题的基本技巧是，第一步：观察各向量位置；第二步：寻找（或作）相应的平行四边形或三角形：第三步：运用法则找关系；第四步：化简结果．考点一向量的加法运算解题方略（1）平行四边形法则的应用前提：两个向量是从同一点出发的不共线向量．三角形法则应用的前提：两个向量“首尾相接”．当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边形法则实质是一样的．三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半．但当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用．向量的加法法则已知向量a与向量b，要作出和向量a＋b，关键是准确规范地依据向量的三角形法则和平行四边形法则作图．【例1】如图，已知向量，，求作向量．【解析】（1）平移，使其起点与起点重合，再应用平行四边形法则，作出，如下图示：（2）平移，使其终点与起点重合，再以的起点为起点，的终点为终点作，如下图示：变式1：如图，在下列各小题中，已知向量、，分别用两种方法求作向量．【解析】将的起点移到的终点，再首尾相接，可得；将两个向量的起点移到点，利用平行四边形法则，以、为邻边，作出平行四边形，则过点的对角线为向量.如图所示，．（1）；（2）；（3）；（4）.向量的加法运算在向量的加法运算中，通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过加法的结合律调整向量相加的顺序，可以省去画图步骤，加快解题速度.【例2】化简：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＝0.(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0.变式1：向量﹒化简后等于（）A. B.0 C. D.【解析】,故选D.变式2：化简下列各式：①；②；③；④．其中结果为的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】对于①：，对于②：，对于③：，对于④：，所以结果为的个数是，故选：B变式3：已知、是不平行的向量，若，，，则下列关系中正确的是（）A．B．C． D．【解析】＝＋＋＝＝＝2．故选：C【例3】已知正六边形，则（）A． B． C． D．【解析】因为正六边形，所以，所以.故选：C变式1：如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝________；(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))＝________；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝________；(4)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝________.【解析】(1)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)eq\o(AO,\s\up6(→))(3)eq\o(AD,\s\up6(→))(4)变式2：如图，在中，D为BC的中点，下列结论中正确的是（）A． B．C． D．【解析】对于A，大小不相等，分向不相同，故不是相等向量，故A错误；对于B，大小不相等，分向相反，是相反向量，故B错误；对于C，利用三角形法则知，故C错误；对于D，利用三角形法则知，故D正确；故选：D变式3：如图，四边形ABCD是平行四边形，则（）A． B． C． D．【解析】如图，设交于点，则.故选：D变式4：已知点O是的两条对角线的交点，则下面结论中正确的是（）．A． B．C． D．【解析】对于A：，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：，故D错误；故选：B变式5：如图，在中，为的中点，为上一点，则（）A． B． C． D．【解析】因为为的中点，所以.故选：A变式6：已知点D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列等式中错误的（）A． B．C． D．【解析】由题意，根据向量的加法运算法则，可得，故A正确；由，故B正确；根据平行四边形法则，可得，故C正确，D不正确.故选：D.变式7：在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则()A．ABCD一定是矩形B．ABCD一定是菱形C．ABCD一定是正方形D．ABCD一定是平行四边形【解析】由eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形．【例4】在矩形ABCD中，，，则向量的长度为（）A． B． C．12 D．6【解析】因为，所以的长度为的模的2倍．又，所以向量的长度为故选：B变式1：如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|AB+FE+CDA.1 B.2 C.3 D.23【解析】由题,可知FE=BC,所以|AB+FE+CD|=|AB+向量加法的应用要证四边形是平行四边形，只需证一组对边平行且相等.根据向量相等的意义，只需证其一组对边对应的向量相等即可.【例5】用向量方法证明对角线互相平分的四边形是平行四边形．证明：如图，根据向量加法的三角形法则有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).又∵eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴AB∥DC且AB＝DC，即AB与DC平行且相等．∴四边形ABCD是平行四边形．向量加法的实际应用向量应用题要首先画出图形.解决的步骤是：1将应用问题中的量抽象成向量；2化归为向量问题，进行向量运算；3将向量问题还原为实际问题.【例6】某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？【解析】如图，设此人的实际速度为eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度为eq\o(OA,\s\up6(→))，游速为eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，则|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆着水流且与河岸所成夹角的余弦值为eq\f(\r(3),3))，实际前进的速度大小为4eq\r(2)千米/小时．变式1：一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【解析】如图所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示水流速度，eq\o(OB,\s\up6(→))表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，eq\o(OC,\s\up6(→))表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝5..∵四边形OACB为矩形，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))|,tan30°)＝5eq\r(3)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))|,sin30°)＝10，∴水流速度大小为5eq\r(3)km/h，船实际速度为10km/h.

考点二向量的减法运算相反向量【例7】若非零向量和互为相反向量，则下列说法中错误的是（）．A． B． C． D．【解析】由平行向量的定义可知项正确；因为和的方向相反，所以，故项正确；由相反向量的定义可知，故选项正确；由相反向量的定义知，故项错误；故选：C．变式1：向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（）A． B．为实数0 C．与方向相同 D．【解析】向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.故选：D.变式2：如图，在四边形中，与交于点，若，则下面互为相反向量的是（）A．与 B．与 C．与 D．与【解析】因为，所以四边形是平行四边形，所以，互相平分，所以，即与为相反向量.故选：B向量的减法法则1.作两向量的差的步骤eq\x(移)—eq\x(平移向量使之共起点)↓eq\x(连)—eq\x(连接两向量的终点，方向指向被减向量.)2．求两个向量的减法的注意点(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后用加法a＋(－b)即可．(2)向量减法的三角形法则对共线向量也适用．【例8】如图，在各小题中，已知，分别求作．【解析】将的起点移到同一点，再首尾相接，方向指向被减向量，如图，，(1)(2)(3)(4)变式1：如图，已知向量a，b，c，求作a－b－c．【解析】如图，以A为起点分别作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝B．连接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))，再以点C为起点作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c．连接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→)).则向量eq\o(DB,\s\up6(→))即为所求作的向量a－b－c．向量的减法运算1首尾相接且为和；2起点相同且为差.,做题时要注意观察是否有这两种形式.同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用.【例9】化简eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．0【解析】(1)解法一：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．解法二：eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0．变式1：化简：(1)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)).【解析】(1)解法一：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→)))＋(eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))－eq\o(MO,\s\up6(→)))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)解法一：原式＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).解法二：原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))－(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).变式2：化简下列各式：①；②；③；④.其中结果为的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】①；②；③；④；以上各式化简后结果均为,故选:D变式3：下列四式不能化简为的是（）A．B．C．D．【解析】A项中，；B项中，；C项中，；D项中，.故选：D.【例10】在正方形中，（）A． B． C． D．【解析】.故选：C.变式1：在五边形中（如图），（）A． B． C． D．【解析】.故选：B变式2：在五边形中（如图），下列运算结果为的是（）A． B．C． D．【解析】A，，正确；B，，不正确；C，，不正确；D，，不正确.故选：A.变式3：如右图，，，分别是的边，，的中点，则（）A． B．C． D．【解析】，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误.故选：A.（三）向量减法的应用【例11】已知正方形的边长为1，，，，则等于（）A．0 B．1 C． D．2【解析】因为，，，所以．故选：A．【例12】在中，若，则的形状为（）A．等边三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【解析】因为，，所以，所以为等边三角形．故选：A．变式1：已知△OAB中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．【解析】由已知得|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝|eq\o(OB,\s\up7(→))|，以eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，且eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，则OA＝OB＝BA，∴△OAB为正三角形，∴|a＋b|＝|eq\o(OC,\s\up7(→))|＝2×eq\r(3)＝2eq\r(3)，S△OAB＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3).变式2：已知非零向量a，b满足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|的值为．【解析】如图，令eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|．以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42.故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形．根据矩形的对角线相等有|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4．第四关第四关巩固练习识梳理巩固练习识梳理练习一向量的加法运算1、如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.【解析】在平面内任取一点O(如下图)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，以OA、OB为邻边做▱OACB，连接OC，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.22、化简(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))；(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))；(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→)).(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))；(5)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)).【解析】(1)eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(2)eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→)).(3)eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))＋eq\o(FA,\s\up10(→))＝0.(4)eq\o(DB,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DB,\s\up10(→))＝0.(5)方法一(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋(eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＝eq\o(AO,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法二(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋(eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→)))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋0＝eq\o(AB,\s\up10(→)).方法三(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→)))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BO,\s\up10(→))＋eq\o(OM,\s\up10(→)))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AM,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→)).3、向量化简后等于（）A． B． C． D．【解析】由,故选：A4、向量化简后等于（）A． B． C． D．【解析】故选：C.5、向量化简后等于（）A． B． C． D．【解析】.故选：C.6、在平行四边形中，等于（）A． B． C． D．【解析】画出图形，如图所示：.故选：A.7、如图所示,点O是正六边形的中心,则()A. B.0 C. D.【解析】∵,∴,故选A.8、如图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))；②eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))；③eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)).【解析】①由题图知，OAFE为平行四边形，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))；②由题图知，OABC为平行四边形，∴eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))；③由题图知，AEDB为平行四边形，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→)).9、已知正方形的边长为，设，，，则等于（）．A． B． C． D．【解析】因为正方形的边长为，，，，所以．故选：D10、在四川5·12大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．【解析】如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分别是直升飞机两次位移，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示两次位移的合位移，即eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2)＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30°，且距离A地40eq\r(3)km处．练习二向量的减法运算1、如图，已知向量，，求作向量．【解析】(1)如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；(2)如图，将向量的起点平移到向量的起点，以向量的终点为起点，向量的终点为终点的向量即为向量；2、化简（1）(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))(2)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))；(3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))．【解析】（1）方法一(统一成加法)(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＋eq\o(DC,\s\up10(→))＋eq\o(CA,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0.方法二(利用eq\o(OA,\s\up10(→))－eq\o(OB,\s\up10(→))＝eq\o(BA,\s\up10(→)))(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→)))－(eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(BD,\s\up10(→)))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝(eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AC,\s\up10(→)))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(BD,\s\up10(→))＝eq\o(DB,\s\up10(→