新高考数学二轮复习培优专题训练专题13 运用空间向量研究立体几何问题（2）（原卷版）

专题13运用空间向量研究立体几何问题（2）1、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，D为棱SKIPIF1<0上的点．SKIPIF1<0（1）证明：SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为何值时，面SKIPIF1<0与面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?题组一、运用向量解决几何体中的距离问题1-1、（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如图，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，D，E分别为AC，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0平面BDE；(2)求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；(3)求点D到平面ABE的距离．1-2、（2023·安徽黄山·统考三模）如图，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，对角线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一动点（不含端点）(1)当点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点时，证明：SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0成SKIPIF1<0角，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．1-3、（2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模）如图，四棱柱SKIPIF1<0的侧棱SKIPIF1<0⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点.

(1)证明：SKIPIF1<0四点共面；(2)若SKIPIF1<0，求点A到平面SKIPIF1<0的距离.题组二、最值问题2-1、（2022·江苏扬州·高三期末）如图，在三棱台ABC－A1B1C1中，底面△ABC是等腰三角形，且BC＝8，AB＝AC＝5，O为BC的中点．侧面BCC1B1为等腰梯形，且B1C1＝CC1＝4，M为B1C1中点．（1）证明：平面ABC⊥平面AOM；（2）记二面角A－BC－B1的大小为θ，当θ∈[SKIPIF1<0，SKIPIF1<0]时，求直线BB1平面AA1C1C所成角的正弦的最大值．2-2、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是边长为2等边三角形，SKIPIF1<0，点E为CD的中点，点M为PE上一点（与点P，E不重合）．（1）证明：AM⊥BD；（2）当AM为何值时，直线AM与平面BDM所成的角最大？2-3、（南京市2023届高三年级学情调研）（本小题满分12分）如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径，母线，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形.（1）设平面平面，证明：；（2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长.题组三、探索性问题3-1、（2023·云南玉溪·统考一模）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分别是线段AB，PC的中点．(1)求证：MNSKIPIF1<0平面PAD；(2)在线段CD上是否存在一点Q，使得直线NQ与平面DMN所成角的正弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由．3-2、（2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的等边三角形，底面SKIPIF1<0为直角梯形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；(2)线段SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0夹角的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，请说明理由.3-3、（2023·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）如图，三棱柱SKIPIF1<0的侧棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是棱SKIPIF1<0上的动点，F是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点时，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）在棱SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由．3-4、（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图SKIPIF1<0，菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，得到如图SKIPIF1<0所示得三棱锥SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0；若不存在，请说明理由.1、（2021·山东济宁市·高三二模）（多选题）如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法止确的是（）A．四面体的体积是定值B．的取值范围是C．若与平面所成的角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为，则2、（2021·山东滨州市·高三二模）在正方体中，M是棱的中点，P是底面ABCD内(包括边界)的一个动点，若平面，则异面直线MP与所成角的取值范围是（）A． B． C． D．3、（2022·山东青岛·高三期末）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为2的菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.（1）求证：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求点A到平面SKIPIF1<0的距离.4、（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D为BC中点．(1)求二面角SKIPIF1<0的余弦值；(2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为SKIPIF1<0，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．5、（2023·吉林·统考三模）如图，在多面体SKIPIF1<0中，四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0均是等腰梯形，底面SKIPIF1<0为矩形，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，S