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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.2.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.3.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知复数满足,(为虚数单位),则()A. B. C. D.35.函数的图象大致是()A. B.C. D.6.在中,,,,点,分别在线段,上,且,,则().A. B. C.4 D.97.过直线上一点作圆的两条切线,,,为切点,当直线,关于直线对称时,()A. B. C. D.8.下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递增的是()A. B. C. D.9.甲乙丙丁四人中,甲说:我年纪最大,乙说:我年纪最大,丙说:乙年纪最大,丁说:我不是年纪最大的,若这四人中只有一个人说的是真话,则年纪最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数,如果为偶数就除以2,如果是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的()A.6 B.7 C.8 D.911.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣12二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记数列的前项和为,已知,且.若,则实数的取值范围为________.14.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.15.已知函数为奇函数,则______.16.曲线f(x)=(x2+x)lnx在点(1,f(1))处的切线方程为____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在中,,的角平分线与交于点,.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面积.18.(12分)已知三棱锥中,为等腰直角三角形,,设点为中点,点为中点,点为上一点,且.(1)证明:平面;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)某商场为改进服务质量,随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后,就顾客“购物体验”的满意度统计如下:满意不满意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关?(2)为答谢顾客,该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计,在此期间顾客购买该商品的支付情况如下:支付方式现金支付购物卡支付APP支付频率10%30%60%优惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顾客按4折支付,1/2的顾客按6折支付,1/6的顾客按8折支付将上述频率作为相应事件发生的概率,记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为,求的分布列和数学期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)如图,焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点,中心都在坐标原点,且椭圆与的离心率均为.(Ⅰ)求椭圆与椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点M的互相垂直的两直线分别与,交于点A,B(点A、B不同于点M),当的面积取最大值时,求两直线MA,MB斜率的比值.21.(12分)已知函数.(1)若函数的图象与轴有且只有一个公共点,求实数的取值范围;(2)若对任意成立,求实数的取值范围.22.(10分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形(如图所示),其中.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池边长的范围;(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.2.B【解析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.3.B【解析】
或,从而明确充分性与必要性.【详解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题.4.A【解析】,故,故选A.5.C【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项;结合特殊值,即可排除D选项.【详解】∵,,∴函数为奇函数,∴排除选项A,B;又∵当时,,故选:C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象,注意奇偶性及特殊值的用法,属于基础题.6.B【解析】
根据题意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得结果.【详解】根据题意,,则在中,又,则则则则故选:B【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算,掌握基本概念和公式即可解决,属于简单题目.7.C【解析】
判断圆心与直线的关系,确定直线,关于直线对称的充要条件是与直线垂直,从而等于到直线的距离,由切线性质求出,得,从而得.【详解】如图,设圆的圆心为,半径为,点不在直线上,要满足直线,关于直线对称,则必垂直于直线,∴,设,则,,∴,.故选:C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,考查直线的对称性,解题关键是由圆的两条切线关于直线对称,得出与直线垂直,从而得就是圆心到直线的距离,这样在直角三角形中可求得角.8.C【解析】
结合基本初等函数的奇偶性及单调性,结合各选项进行判断即可.【详解】A:为非奇非偶函数,不符合题意;B:在上不单调,不符合题意;C:为偶函数,且在上单调递增,符合题意;D:为非奇非偶函数,不符合题意.故选:C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,属于基础题.9.C【解析】
分别假设甲乙丙丁说的是真话,结合其他人的说法,看是否只有一个说的是真话,即可求得年纪最大者,即可求得答案.【详解】①假设甲说的是真话,则年纪最大的是甲,那么乙说谎,丙也说谎,而丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故甲说的不是真话,年纪最大的不是甲;②假设乙说的是真话,则年纪最大的是乙,那么甲说谎,丙说真话,丁也说真话,而已知只有一个人说的是真话,故乙说谎,年纪最大的也不是乙;③假设丙说的是真话,则年纪最大的是乙,所以乙说真话,甲说谎,丁说的是真话,而已知只有一个人说的是真话,故丙在说谎,年纪最大的也不是乙;④假设丁说的是真话,则年纪最大的不是丁,而已知只有一个人说的是真话,那么甲也说谎,说明甲也不是年纪最大的,同时乙也说谎,说明乙也不是年纪最大的,年纪最大的只有一人,所以只有丙才是年纪最大的,故假设成立,年纪最大的是丙.综上所述,年纪最大的是丙故选:C.【点睛】本题考查合情推理,解题时可从一种情形出发,推理出矛盾的结论,说明这种情形不会发生,考查了分析能力和推理能力,属于中档题.10.B【解析】
模拟程序运行,观察变量值可得结论.【详解】循环前,循环时:,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,不满足条件;,满足条件,退出循环,输出.故选:B.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,从而得出结论.11.C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).12.D【解析】
分别联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理,可得,,然后计算,可得结果.【详解】设,联立则,因为直线经过C的焦点,所以.同理可得,所以故选:D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题,运用抛物线的焦点弦求参数,属基础题。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据递推公式,以及之间的关系,即可容易求得,再根据数列的单调性,求得其最大值,则参数的范围可求.【详解】当时,,解得.所以.因为,则,两式相减,可得,即,则.两式相减,可得.所以数列是首项为3,公差为2的等差数列,所以,则.令,则.当时,,数列单调递减,而,,,故,即实数的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式,涉及数列单调性的判断,属综合困难题.14.(或写成)【解析】
设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.【点睛】本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.15.【解析】
利用奇函数的定义得出,结合对数的运算性质可求得实数的值.【详解】由于函数为奇函数,则,即,,整理得,解得.当时,真数,不合乎题意;当时,,解不等式,解得或,此时函数的定义域为,定义域关于原点对称,合乎题意.综上所述,.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参数,考查了函数奇偶性的定义和对数运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.16.【解析】
求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出切线方程.【详解】解:∵,
∴,
则,
又,即切点坐标为(1,0),
则函数在点(1,f(1))处的切线方程为,
即,
故答案为:.【点睛】本题主要考查导数的几何意义,根据导数和切线斜率之间的关系是解决本题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,进而得,在中,由正弦定理得,所以的面积即可得解.试题解析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,所以,由正弦定理得,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知.在中,.在中,由正弦定理得,所以.所以的面积.18.(1)证明见解析;(2)【解析】
(1)连接交于点,连接,通过证,并说明平面,来证明平面(2)采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,分别表示出对应的点坐标,设平面的一个法向量为,结合直线对应的和法向量,利用向量夹角的余弦公式进行求解即可【详解】证明:如图,连接交于点,连接,点为的中点,点为的中点,点为的重心,则,,,又平面,平面,平面;,,,,,,可得,又,则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系,则,,,,,,.设平面的一个法向量为,由,取,得.设直线与平面所成角为,则.直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用,利用建系法来求解线面夹角问题,整体难度不大,本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛,需要识记19.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关;(2)67元,见解析.【解析】
(1)根据表格数据代入公式,结合临界值即得解;(2)的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率,列出分布列,求数学期望即可.【详解】(1)由题得,所以,有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.(2)由题意可知的可能取值为40,60,80,1.,,,.则的分布列为4060801所以,(元).【点睛】本题考查了统计和概率综合,考查了列联表,随机变量的分布列和数学期望等知识点,考查了学生数据处理,综合分析,数学运算的能力,属于中档题.20.(1),(2)【解析】分析:(1)根据题的条件,得到对应的椭圆的上顶点,即可以求得椭圆中相应的参数,结合椭圆的离心率的大小,求得相应的参数,从而求得椭圆的方程;(2)设出一条直线的方程,与椭圆的方程联立,消元,利用求根公式求得对应点的坐标,进一步求得向量的坐标,将S表示为关于k的函数关系,从眼角函数的角度去求最值,从而求得结果.详解:(Ⅰ)依题意得对:,,得:;同理:.(Ⅱ)设直线的斜率分别为,则MA:,与椭圆方程联立得:,得,得,,所以同理可得.所以,从而可以求得因为,所以,不妨设,所以当最大时,,此时两直线MA,MB斜率的比值.点睛:该题考查的是有关椭圆与直线的综合题,在解题的过程中,注意椭圆的对称性,以及其特殊性,与y轴的交点即为椭圆的上顶点,结合椭圆焦点所在轴,得到相应的参数的值,再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系,在研究直线与椭圆相交的问题时,首先设出直线的方程,与椭圆的方程联立,求得结果,注意从函数的角度研究问题.21.(1)(2)【解析】
(1)求出及其导函数,利用研究的单调性和最值,根据零点存在定理和零点定义可得的范围.(2)令,题意说明时,恒成立.同样求出导函数,由研究的单调性,通过分类讨论可得的单调性得出结论.【详解】解(1)函数所以讨论:①当时,无零点;②当时,,所以在上单调递增.取,则又,所以,此时函数有且只有一个零点;③当时,令,解得(舍)或当时,,所以在上单调递减;当时,所以在上单调递增.据
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