2020年江苏省盐城(初三学业水平考试)中考数学真题试卷含详解

江苏省盐城市二。二。年初中毕业与升学考试

数学试卷

注意事项:

1.本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分，考试形式为闭卷.

2.本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题.

3.所有试卷必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分.

4.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.2020的相反数是（）

A.2020B.-2020

2.下列图形中，属于中心对称图形的是：（）

A

3.下列运算正确的是：（）

3225

A.2。一。二2B.o1•C.a^-a=aD.（2a）=6a

4.实数在数轴上表示位置如图所示，则（）

A▲A

。Oh

A.a>0B.a>bc.a<bD.\a\<\b\

5.如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：（）

0

6.2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为4(XXXX)万平方米,将数据4(X)(X)0用科学记数法表示应为：()

A.0.4xlO6B.4xl09C.40xl04D.4xl05

7.把1-9这9个数填入3x3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个

“九宫格”.它源于我国古代的“洛善”(图①)，是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”,

则其中x的值为：()

A.1B.3C.4D.6

8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、3。相交于点O,H为3C中点，AC=6,8D=8.则线段。”的长为:

()

125_.

A.—B.-C.3D.5

52

二、填空题(每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上)

9.如图，直线。力被直线。所截，ci//b,/l=60.那么N2=

1

2

b

10.一组数据1,4,7,-4,2的平均数为

11.因式分解：％2-y2

Y—1

12.分式方程——=0的解为X

x

13.一个不透明的袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率

是

14.如图，在)0中，点A在BC上，/8。。=10()°,则/34。=

Ap

15.如图，6C7/OE,且8C<O£,A£)=BC=4,AB+DE=10,则一的值为

AC

16.如图，已知点A(5,2),3(5,4),C(8,1),直线/J_X轴，垂足为点M(m,0),其中,若VA'B'C'与"A5c关

k

于直线/对称，且VA9C有两个顶点在函数丁二一(左。0)的图像上，则攵的值为：

x

三、解答题(本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.计算:23-4+震-P壬♦

上21

18.解不等式组：〈3

4x-5<3x4-2

19.先化简，再求值：其中加=一2.

m"-9Im-3J

20.如图，在A6C中，NC=90°,tanA=lNABC的平分线8。交AC于点DCr>=G.求的长？

3

21.如图，点。是正方形，A3CD的中心.

(1)用直尺和圆规在正方形内部作一点E(异于点O),使得破=EC;(保留作图痕迹，不写作法)

(2)连接EB、EC、EO,求证：NBEO=/CEO.

22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图①为A地区累计确诊人数的条形统

计图，图②为3地区新增确诊人数的折线统计图.

(1)根据图①中数据，A地区星期三累计确诊人数为一，新增确诊人数为；

(2)已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图.

(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？

23.生活在数字时代我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对

每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂器

色或不涂色可表示两个不同的信息.

(1)用树状图或列表格方法，求图③可表示不同信息的总个数：(图中标号1,2表示两个不同位置的小方格，下

同)

(2)图④为2x2的网格图.它可表示不同信息的总个数为

(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用〃x〃的网格图来表示各人身份信息,

若该校师生共492人，则〃的最小值为；

24.如图，。是ABC的外接圆，4?是。。的直径，ZDCA=ZB.

(1)求证：CO是小？的切线；

(2)若垂足为七,。£交AC与点；求证：ZXT是等腰三角形.

25.若二次函数y=O?+云+C的图像与X轴有两个交点M(X1,0),N(w，0)(0<x,<x2),且经过点A(0,2),过点

A的直线/与x轴交于点C,与该函数的图像交于点3(异于点A).满足“可是等腰直角三角形，记一AMN的

面积为5,NBMN的面积为S2,且邑=gH.

入

A-

O^

(1)抛物线的开口方向(填“上”或“下”);

(2)求直线/相应的函数表达式；

(3)求该二次函数的表达式.

26.木门常常需要雕刻美丽的图案.

(1)图①为某矩形木门示意图，其中AB长为200厘米，AO长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形

雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点p处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示,

求图案的周长；

(2)如图②，对于(1)中的木门，当模具换成边长为306厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P

处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点

重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此

雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

4

图②

A1------------k-

27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1〜4.

(1)在RfA3C中，NC=9()o,AB=20,在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下

表：(单位：厘米)

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

(2)根据学习函数的经验，选取上表中8C和AC+BC的数据进行分析；

①设BC=x,AC+8C=y,以(x,y)为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；

②连线；

观察思考

(3)结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=时，y最大；

(4)进一步C猜想：若拓中，ZC=90°,斜边A3=2a(a常数，。＞0),则BC=时,

AC+3C最大.

推理证明

（5）对（4）中的猜想进行证明.

问题1,在图①中完善（2）的描点过程，并依次连线；

问题2.补全观察思考中的两个猜想：⑶（4）

问题3.证明上述（5）中的猜想：

问题4.图②中折线B—E—E—G—A是一个感光元件的截面设计草图，其中点A,8间的距离是4厘米，

AG=B£=1厘米，NE=NF=NG=90°,平行光线从A3区域射入，NBNE=60°,线段外公RV为感光区城,

当所的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值.

6|一4.........丧示平行入射此纯

------我小小透光村村

Ml,//0M力帆米

W

E

江苏省盐城市二。二O年初中毕业与升学考试

数学试卷

注意事项：

1.本次考试时间为120分钟，卷面总分为150分，考试形式为闭卷.

2.本试卷共6页，在检查是否有漏印、重印或错印后再开始答题.

3.所有试卷必须作答在答题卡上规定的区域内，注意题号必须对应，否则不给分.

4.答题前，务必将姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上.

一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.2020的相反数是()

11

A.2020B.-2020-------D.

2020-------------------------------2020

【答案】B

【分析】

直接利用相反数的定义得出答案.

【详解】解：2020的相反数是：-2020.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键.

2.下列图形中，属于中心对称图形的是：()

A

【答案】B

【分析】

根据中心对称图形的概念即图形旋转180。后与原图重合即可求解.

【详解】解：解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；

B、是中心对称图形，故此选项正确；

C、不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是中心对称图形，故此选项错误，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重

合.

3.下列运算正确的是：（）

A.2a—a=2B.a3-a2=abC.a3-^a=a2D.（2"）=6。'

【答案】c

【分析】

根据整式的加减与募的运算法则即可判断.

【详解】A.2a—a=a,故错误；

325

B.a-a=a,故错误；

C.a3a=a2>正确；

D.（2a2）3=8a6,故错误；

故选C.

【点睛】此题主要考查整式与鬲的运算，解题的关键是熟知其运算法则.

4.实数。力在数轴上表示的位置如图所示，则（）

aOb

A.a>0B.a>bC.a<bD.|«|<|^|

【答案】c

【分析】

根据数轴的特点即可求解.

【详解】由图可得a<0<。，可<同

故选C.

【点睛】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是熟知数轴的性质.

5.如图是由4个小正方体组合成的几何体，该几何体的俯视图是：（）

A.B0

c丑

【答案】A

【分析】

俯视图是指从上面往下面看得到的图形，根据此定义即可求解.

【详解】解：由题意知，该几何体从上往下看时，能看到三个并排放着的小正方体的上面，故其俯视图如选项A所

示，

故选：A.

【点睛】本题考查了几何体的三视图，主视图是指从前面往后面看所得到的图形，俯视图是指从上面往下面看得到

的图形，左视图是指从左边往右边看得到的图形.

6.2019年7月盐城黄海湿地中遗成功，它的面积约为400000万平方米,将数据400000用科学记数法表示应为：()

A.().4xio6B.4xio9c.40X104D.4xl05

【答案】D

【分析】

科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点

移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于1时，n是正数；当原数的绝对值小

于1时，n是负数.

【详解】解：由题意可知，将4(XXXX)用科学记数法表示为：400000=4x105,

故选：D.

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数，

表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

7.把1-9这9个数填入3x3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个

“九宫格”.它源于我国古代的“洛善”(图①)，是世界上最早的“幻方”.图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，

则其中X的值为：()

A.1D.6

【答案】A

【分析】

根据题意求出“九宫格”中的y,再求出X即可求解.

【详解】如图，依题意可得2+5+8=2+7+y

解得y=6

，8+x+6=2+5+8

解得x=l

故选A.

【点睛】此题主要考查一元一次方程应用，解题的关键是根据题意得到方程求解.

8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、80相交于点0,“为中点，AC=6,BD=S.则线段OH的长为：

()

125c.

A.—B.-C.3D.5

52

【答案】B

【分析】

因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有AC_LBO,AO=OC=3,BO=OD=4,又因为“为BC中点，

借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答.

【详解】解：：四边形A8CD是菱形

AAC±BD,AO=OC=3,BO=OD=4

△BOC是直角三角形

BO2+0C2=BC2

：.BC=5

为8c中点

OH=-BC=-

22

故最后答案为工.

2

【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的性质，对

角线互相垂直且平分是解题的关键.

二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）

9.如图，直线〃被直线c所截，。//dNl=60.那么/2=0.

【分析】

根据平行线的性质即可求解.

【详解】：a//仇Nl=60

N2=N1=60

故答案为：60.

【点睛】此题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等.

10.一组数据1,4,7,-4,2的平均数为

【答案】2

【分析】

根据平均数的定义，将这组数据分别相加，再除以这组数据的个数，即可得到这组数据的平均数.

【详解】由题意知，数据1,4,7,-4,2的平均数为：

x=1(l+4+7-4+2)=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查平均数，按照平均数的定义进行求解即可.平均数反映一组数据的平均水平，它能代表一组数据

的集中趋势.

11.因式分解：/一产=

【答案】(x+y)(x-y)；

试卷分析：直接利用平方差公式分解：x2—y2=(x+y)(x—y).

故答案为(x+y)(x-y).

x—1

12.分式方程——二0的解为X=.

x

【答案】1

【分析】

方程两边同时乘X化成整式方程，进而求出X的值，最后再检验即可.

【详解】解：方程两边同时乘X得：

1—0,

解得：X=1,

检验，当X=1时分母不为0,

故原分式方程的解为X=1.

故答案为：I.

【点睛】本题考查分式方程的解法，先方程两边同时乘以最简公分母化成整式方程，然后求解，最后要记得检验.

13.一个不透明的袋中装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外都相同，从这个袋中任意摸出一个球为白球的概率

是______.

2

【答案】p

【分析】

根据概率的求法，找准两点：①全部的情况数；②符合条件的情况数；二者的比值就是其发生的概率

【详解】解：根据题意可得：不透明的袋子里共有将5个球，其中2个白球，

2

.••任意摸出一个球为白球的概率是：y,

2

故答案为

【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.

14.如图，在OO中，点A在BC上，/3。。=100°,则/34。=。

【答案】130°

【分析】

画出BC的圆周角/6OC交。。于点。，构造出。的内接四边形；根据圆周角定理求出NBDC的度数，再根

据圆内接四边形的性质，即可得出ZR4c的度数.

【详解】如图，画出BC的圆周角N6OC交，。于点。，则四边形A8OC为。的内接四边形，

•.•圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，

ZBDC=-ZBOC=1x100°=50°,

22

•.•四边形A6OC为。的内接四边形，

ZBZ)C+ZBAC=180°,

Za4C=180°-ZBZ)C=180°-50°=130°.

故答案为：130°.

【点睛】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数

的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键.

15.如图，BC//DE,S.BC<DE,AD=BC=4,AB+DE=H),则——的值为_________________.

AC

BC

【答案】2

【分析】

设AB=a,根据8C/ADE,得到△ABC-AADE,得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即可求解

【详解】•.•5C//OE,

△ABC0°AADE,

.ABBC

**AD-DE

设AB=a，贝IJDE=10-a

410-a

角军得ai=2,a2=8

BC<DE

.*.AB=2,

故空AD

AC~AB

故答案为：2.

【点睛】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例.

16.如图，已知点A(5,2),3(5,4),C(8,1),直线轴，垂足为点加(加，0),其中〃?＜，若VA'B'C与，A3C关

k

于直线/对称，且VA7TC有两个顶点在函数y=-(ZwO)的图像上，则攵的值为：

x

【分析】

因为VA'B'C'与ABC关于直线/对称，且直线轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为2〃?，利用

k

等量关系计算出，〃的值，又由于V4UC有两个顶点在函数y=—（女。0）,从而进行分情况讨论是哪两个点在函数

x

上，求出％的值.

【详解】解：与A3C关于直线/对称，直线轴，垂足为点”（加，0）,加＜|

AA（2AM-5,2）,3（2加一5,4）,C'（2m-8,1）

k

・・・VA夕C有两个顶点在函数y=—（左。0）

x

k

（1）设A（2机—5,2）,8（2加一5,4）在直线y=—（女。0）上，

x

代入有（2加一5）x2=（2机一5）x4,m=』不符合机＜*故不成立；

22

k

（2）设A'（2m一5,2）,C'（2加一8,1）在直线丁=一（左。0）上，

x

有（2m—5）x2=（2加—8）x1,m=l,4（—3,2）,C（-6,l）,代入方程后&=-6；

k

（3）设5（2加一5,4）,C'（2加一8,1）在直线y=—（攵。0）上，

x

有（2机-5）x4=（2m-8）xl,加=2,B（-1,4）,C（-4,1）,代入方程后有G-4；

综上所述，k-6或k=-4；

故答案为：-6或-4.

【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为

对称轴横坐标的2倍是解题的关键.

三、解答题（本大题共11小题，共102分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.计算：23-V4+^-pj.

【答案】7

【分析】

根据乘方，二次根式和零指数黑的运算法则化简，然后再计算即可.

【详解】解：原式=8-2+1

=7.

【点睛】本题主要考查了乘方，二次根式和零指数塞的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2a-1>1

18.解不等式组：J3一

4x-5<3x+2

【答案】2Kx<7

【分析】

分别求出不等式组中两不等式解集，表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集.

【详解】解：由题意知：43-

4x-5<3x+2②

解不等式①：去分母得：2%-123,

移项得：2x24,

系数化为1得：x»2,

解不等式②，得x<7,

在数轴上表示不等式①、②的解集如图：

二不等式组的解集为2Kx<7.

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式组的解集，其中不等式组的解集取法为：

同大取大，同小取小，大大小小无解，大小小大取中间.

19.先化简，再求值：其中加=一2.

m'-9Im-3)

【答案】—1

"7+3

【分析】

根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将加=-2代入求解即可.

mm-33

【详解】解：原式二门-----------1-----------

m-3m-3

mm

m"-9m-3

----------m-----------m------3-

(m+3)(m-3)m

1

m+3

当加=一2时代入，

故答案为：1.

【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌握运算法

则及运算顺序是解决此类题的关键.

向

20.如图，在「ABC中，NC=90°,tanA=2jNABC的平分线8。交AC于点0.8=6.求A3的长？

3

【答案】6

【分析】

由相加4=YI求出乙4=30。，进而得出NABC=60。，由8力是NABC的平分线得出NC8D=30。，进而求出BC的长,

3

最后用sinZA即可求出AB的长.

【详解】解：在《一ABC中，ZC=90°,tertA=—

3

ZA=30°,ZABC=60°,

Q8D是NA3C的平分线,

:.ACBD^ZABD^30°,

又QCO=3

・2品=3,

在放_ABC中，NC=90°,ZA=30°,

"人篇=6.

故答案为：6.

【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键.

21.如图，点。是正方形，ABCD的中心.

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点0）,使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）

⑵连接EB、EC、E0,求证：ZBEO=ZCEO.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）作BC垂直平分线即可求解；

（2）根据题意证明VEBOMVECO即可求解.

【详解】（1）如图所示，点E即为所求.

（2）连接QB、0C

由（1）得：EB=EC

O是正方形ABQ9中心,

OB=OC,

，在△E80和..ECO中,

EB=EC

<EO=EO

OB=OC

:NEBOAZECO(SSS),

：.NBEO=NCEO

【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的

判定与性质.

22.在某次疫情发生后，根据疾控部门发布的统计数据，绘制出如下统计图：图①为A地区累计确诊人数的条形统

计图，图②为3地区新增确诊人数的折线统计图.

(1)根据图①中的数据，A地区星期三累计确诊人数为一新增确诊人数为；

(2)已知A地区星期一新增确诊人数为14人，在图②中画出表示A地区新增确诊人数的折线统计图.

(3)你对这两个地区的疫情做怎样的分析，推断？

【答案】(1)41,13；(2)见解析；(3)见解析(答案不唯一)

【分析】

(1)根据图①的条形统计图即可求解；

(2)根据图①中的数据即可画出折线统计图；

(3)根据折线统计图，言之有理即可.

【详解】(1)A地区星期三累计确诊人数为41；新增确诊人数为41-28=13,

故答案为：41；13；

(2)如图所示：

(3)A地区累计确诊人数可能会持续增加，3地区新增人数有减少趋势，疫情控制情况较好(答案不唯一).

【点睛】此题主要考查统计图的应用，解题的关键是根据题意作出折线统计图.

23.生活在数字时代的我们，很多场合用二维码(如图①)来表示不同的信息，类似地，可通过在矩形网格中，对

每一个小方格涂加色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格，如图②，通过涂器

色或不涂色可表示两个不同的信息.

(1)用树状图或列表格的方法，求图③可表示不同信息的总个数：(图中标号L2表示两个不同位置的小方格，下

同)

7

(2)图④为2x2的网格图.它可表示不同信息的总个数为

(3)某校需要给每位师生制作一张“校园出入证”，准备在证件的右下角采用"X"的网格图来表示各人身份信息,

若该校师生共492人，则n的最小值为；

【答案】(1)见解析；(2)16；(3)3

【分析】

(1)根据题意画出树状图即可求解；

(2)根据题意画出树状图即可求解；

(3)根据(1)(2)得到规律即可求出n的值.

【详解】(1)解：画树状图如图所示：

决•次第二次所白可能的结果

2国色(1黑色，2黑色)

1黑色

(1黑色，2不涂色)

2不涂色

2黑色(1不涂色，2黑色)

1不涂色

、2不涂色

(1不涂色，2不涂色)

二图③的网格可以表示不同信息的总数个数有4个.

(2)画树状图如图所示：

，图④2X2的网格图可以表示不同信息的总数个数有16=24个,

故答案为：16.

身次城：次第三次第四次

椒色

不涂色

国色

不涂色

出色

色

<不涂色

黑色

不涂色

<不涂色

嶷色

国色

不涂色

黑色

不涂色

不涂色

国色

黑色

不涂色

黑色

不涂色

不涂色

(3)依题意可得3X3网格图表示不同信息的总数个数有29=512>492.

故则〃的最小值为3,

故答案为：3.

【点睛】此题主要考查画树状图与找规律，解题的关键是根据题意画出树状图.

24.如图，。是ABC的外接圆，是。。的直径，ZDCA=ZB.

(1)求证：CO是0。的切线；

(2)若垂足为七,。£交AC与点；求证：ZXT是等腰三角形.

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【分析】

(1)连接0C,由AB是圆。的直径得到NBCA=90。，进一步得到/A+/B=90。，再根据已知条件NQC4=,且

ZA=ZACO即可证明/OCD=90。进而求解；

⑵证明NA+"C4=90°,再由DE_LAB,得到/A+NAFE=90。，进而得到/DCA=NAFE=NDFC,得到DC=DF,

进而得到^DFC为等腰三角形.

【详解】解：⑴证明：连接0C,

QOC=OA,

N0C4=ZA,

QA8为圆。的直径，

ZBC4=90°,

.•.NA+N8=90°,

又QNDCA=NB,

ZOCA+NDCA=NOCD=90",

OC±CD,

又点。在圆。上，

.•.CD是。的切线.

(2)QNOC4+ZDCA=90°,

ZOC4=ZA,

.­.ZA+ZZ)C4=90o,

DELAB,

：.ZA+ZEFA=9Q°,

：.ZDCA=ZEFA,

又Q/EFA=/DFC,

ZDCA^ZDFC,

.•._OCE是等腰三角形.

【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决

此类题的关键.

25.若二次函数y=ax2+bx+c的图像与%轴有两个交点M(玉,0),N(%,0)(0＜玉＜W)，且经过点A(0,2),过点

A的直线/与x轴交于点C与该函数的图像交于点8(异于点A).满足“(M是等腰直角三角形，记./VWN的

面积为5,NBMN的面积为S2,且邑=g.

y.

A-

ONX

(1)抛物线的开口方向(填“上”或“下”);

(2)求直线/相应的函数表达式；

(3)求该二次函数的表达式.

【答案】(1)上;(2)y=x+2;(3)y=2x2-5x+2

【分析】

(1)由抛物线经过点M、N、A点即可确定开口向上；

(2)根据zMCN是等腰直角三角形分三种情况讨论，只能是NC4N=90°,此时

ZACN=ZANC=45。,AO=CO=NO=2,由此算出C点坐标，进而求解；

(3)过B点作BHLx轴，由S2=gy得到QA=|B”，由OA的长求出BH的长，再将B点纵坐标代入直线/中求

出B点坐标，最后将A、B、N三点坐标代入二次函数解析式中求解即可.

【详解】解：(I)：•抛物线经过点M、N、A,且M、N点在x轴正半轴上，A点在y轴正半轴上，

抛物线开口向上，

故答案为：上.

⑵①若ZACN=90"，

则C与。重合，直线/与二次函数图像交于A点

•.•直线与该函数的图像交于点3(异于点A)

.♦•不合符题意，舍去；

②若N/WC=90°,则C在x轴下方，

•.•点C在x轴上，

...不合符题意，舍去；

③若NC4N=90°

则ZACN=ZANC=45°,AO=CO=NO=2

C(-2,O),7V(2,O)

设直线/：y=依+。

将A(0,2),C(—2,0)代入：

2=bk=\

』2k+b,解得

0=2

，直线/：y=x+2.

故答案为：y=x+2.

(3)过3点作轴，垂足为H,

又Q§2=]S],

OA=-BH,

2

又3=2,

：.BH=5,

即3点纵坐标为5,

又(2)中直线/经过B点，

将y=5代入y=x+2中，得x=3,

・•・8(3,5),

将A、B、N三点坐标代入y=ar?+fer+c中，得

c-2

<4a+2b+2=0,

9。+3。+2=5

a—2

解得卜=-5,

c=2

抛物线解析式为y=2f-5x+2.

故答案为：y=2x2-5x+2.

【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数和一次函数的交点坐标，等腰直角三角形分类讨论的思想，

熟练掌握二次函数的图形及性质是解决此类题的关键.

26.木门常常需要雕刻美丽的图案.

(1)图①为某矩形木门示意图，其中45长为200厘米，A。长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形

雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点p处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示,

求图案的周长；

I囚

图⑴

tr----------------'c

(2)如图②，对于(1)中的木门，当模具换成边长为30百厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点P

处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶点

重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此

雕刻一周，请在图②中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.

图②

----------------

【答案】⑴480cm；(2)雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为(600-1206+207卜机

【分析】

(1)过点P作PE_LC2求出PE,进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答；

(2)如图，过P作PQLCD于Q,连接PG先利用等边三角形的性质求出PQ、PG及/PGE,当移动到点P时，

求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得所得图案的周

长•

【详解】(1)如图，过点尸作PE，CQ,垂足为£

P是边长为30cm的正方形模具的中心,

PE=15cm,

同理：A'8'与AB之间的距离为15c加,

A'O'与AZ）之间的距离为15cm,

B'C与BC之间的距离为15cm,

A'B'=C'D'=200-15-15=110cm,

B'C=A'D'=100-15-15=70cm,

勿,BCD,=(170+70)x2=480cm.

答：图案的周长为480。〃.

（2）如图，连接PE、PF、PG,过点尸作PQ_LCD,垂足为。

P是边长为30cm的等边三角形模具的中心,

PE=PG=PF,ZPGF=30°

QPQ1GF,

GQ-QF-15y/3cm,

PQ-CQtan3Q°=15cm,

PG=CQ=30cm.

cas30°

当三角形EFG向上平移至点G与点。重合时,

由题意可得：VE'F'G绕点。顺时针旋转30,

使得£'G'与AD边重合

.•・。户绕点。顺时针旋转30至DP”,

30，・30

=57tcm.

180

同理可得其余三个角均为弧长为5兀cm的圆弧,

图中的虚线即为所画的草图，

30•400

AC=(200-30V3+100-30A/3)X2+x4

180

=(600-1206+20万卜加.

答：雕刻所得图案的草图的周长为卜00—1206+20旬C根.

【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30°角的直角三角形、图形的周长等知识，解答

的关键是熟练掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和计算.

27.以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1〜4.

(1)在RLABC中，NC=9()o,A3=20,在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到，组数据如下

表：(单位：厘米)

AC2.82.72.62.321.50.4

BC0.40.81.21.622.42.8

AC+BC3.23.53.83.943.93.2

(2)根据学习函数的经验，选取上表中8C和AC+BC的数据进行分析；

①设8。=%,4。+8。=》,以。,)')为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点；

②连线；

以

4-,••・

3-

一9-

I

~~or~~5~ix

图①

观察思考

（3）结合表中的数据以及所面的图像，猜想.当x=时，y最大；

（4）进一步C猜想：若Rj.MBC中，ZC=90°,斜边AB=2a（。为常数，。〉0）,则BC=时,

AC+BC最大.

推理证明

（5）对（4）中的猜想进行证明.

问题1.在图①中完善（2）的描点过程，并依次连线；

问题2.补全观察思考中的两个猜想：（3）（4）

问题3.证明上述（5）中的猜想：

问题4.图②中折线5—E—E—G—A是一个感光元件截面设计草图，其中点A5间的距离是4厘米，

AG=8E=1厘米，/£=//=/6=90",平行光线从48区域射入，NBNE=60",线