大学物理下册复习资料

第八章振动

教学基本要求

一掌握振动的三要素（振幅，频率，相位）；

二掌握旋转矢量法和图线表示法；

三能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的条件写出简谐振动的运动方

程；

四理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成

的特点；

五阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律。

重点：振动的三要素，简谐振动方程，同方向、同频率简谐振动的合成。

难点：旋转矢量法求相位。

8-1简谐振动

一简谐振动的方程、速度、加速度

振动：任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动;

机械振动：物体围绕一固定位置往复运动;

周期和非周期振动：时间上具有重复性或往复性;

简谐振动最简单、最基本的振动;

简谐振动合成（分解）复杂振动

谐振子作简谐振动的物体。

弹簧振子n___.__

平衡位置：合力为零的位置

x

F=-kx=ma,4

in

a=-co2x—简谐振动的定义

d/2

x=Acos3+。）一简谐振动的运动方程

x-t图：振动曲线

dx▲./、

v=——=sm(w+(p)

dr

a==-AOD2cos(3+(p)

常数A和＜p的确定

vQ=-a)As\n(p

x0=Acos/

tan(p=——-

二简谐振动三要素

1.振幅(A)

简谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。

2.周期(T)、频率”)

周期：作一次全振动所经历的时间。

八里

(0

频率：单位时间内物体所作的完全振动的次数。

10)

V=—=--

T2兀

角频率：

co=2nv=—

T

3.相位(相位)和初相位

相位：d+0

明初相位

x=Acos(cot+(p())

u=-a)Asm(cot+(p0)

勿+*0决定谐振动物体的运动状态

4.相位差两振动相位之差

△。=。2-仍

当丽二2ki,k=0,±l,±2…，两振动步调相同,称同相

当A。=(2k+l)^,k=0,±l,±2…两振动步调相反,称反相

振动2超前振动1或振动1滞后振动2b(p

三旋转矢量

1.旋转矢量

A：旋转矢量

A矢端在ox轴上的投影点运动方程为

X=ACQS(pJt+(P)

4=-幺6)2COS(6X+夕)|

注意

1旋转矢量逆时针转动；

2卯是旋转矢量和ox正方向的夹角。

2.应用

(1)画振动曲线

x=4cos(&+cp)

(2)用旋转矢量表示相位关系

振动2比振动1超前同相

谐振动的位移、速度、加速度之间的相位关系

x=ACOS(G£+00)

u=-A0sin(<y/+%)=%cos&f+%+

例1

如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数4=0.72N/,〃，物体的

质量m=20go

(1)把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐振动方程;

(2)求物体从初位置运动到第一次经过A/2处时的速度；

(3)如果物体在x=().05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速度

v0=0.30m/s,求其运动方程。

解：x/m

(1)O0-05

co==6.0⑸

A==x0=0.05(m)

夕=0

x=Acos3+°)

x=Acos("+叫=0.05cos(6.0Z)(7/i)

⑵

n

a)t=—

3

v=-Aa)sincot

=-0.26(/ns-/)

=0.0707m

tan^=*=T

（pr=一川4

x=Acos(dX+0)=0.0707cos(6.0Z--)(m)

4

例2

一质量为0.01kg的物体作简谐振动，其振幅为0.08m,周期为4s,起始时刻

物体在x=0.04m处向ox轴负方向运动（如图）。试求

（1）£=l.0s时，物体所处的位置和所受的力;

（2）由起始位置运动到x=-0.04m处所需要的最短时间。

v----

iii.ix/m

解:-0.08-0.04°0.040.08

n-l7T

(1)A=0.08/w.co=$，0=W

2J

x=0.08cos(—t+—)(m)

23

x(ls)=—0.069/n

F=-kx=-ma)2x=1.70x10-3(N)

(2)£===—=0.667⑸

CD3

作业:(P30)8-1,8-2

8.1.4单摆和复摆

-单摆

2d2。八

M=—mglsin87—mglO=ml

7^转动

力y正向

d26>2

——=-CO~0rX

d/2

co」

I

；\m

、-3―中

8=COS(创+9)

。1

7=2兀廊

p

二复摆J=ml2

M=-tnglsin。=-mgl0=J-

d20z

dr

0=0mcos(初+(p)

*兀麻:p

（。点为质心）

三简谐振动的描述

1.力学描述F=-kx,平衡位置：x=O,F=O.

2.微分描述=-co2x

dr2

3.运动学描述无=Acos@f+°),v=-Acos\n(a)t+cp)

4.加速度描述ci=—(o^x＞弹簧振子：CD=yjk/ni,单摆co=yfg/l,复摆co=不叫%

8.1.5简谐振动的能量

Ek=-^mv2=^mco2A2sin2(dX+^)

Ep=；k£=gM2cos2(cot+(p)

co2=k!m

E…综小

任何简谐振动EocA?

简谐运动系统机械能守恒

由起始能量求振幅

E=-M2

2

例质量为m=0.1kg的物体，以振幅A=1.0X10-22,求:

（1）振动的周期；

（2）通过平衡位置的动能；

（3）总能量；

（4）物体在何处其动能和势能相等？

⑴〃2A)MJ誓=20(rad/s)

271

T=—=0.314(s)

co

⑵"max=；"喙x=；tnco2A2=2.0x103J

⑶E=42=2.0x10-3J

3222

(4)Ep=1.0xl0-J,Ep=^x=^ma)x,x=iO.707cm.

作业(P30)8-3,8-5

8.2简谐运动的合成

-两个同方向同频率简谐运动的合成

芭=A】cos(twf+%)

x2=A2cos(cot+外)

x=xi+x2=Acos(a)t+(p)

A=JA：+否+2A]A2cos纳-例)

Asine+A2sin(p2

Acos/+A2cos/

相位差：

2无几,同相,A=At+&，夕=9i=02

△。二。2一%="(2Z+D肛反相,A=\A]-A2\,Ai>ANP=(P\,A\<A2,(P=(P2

其它,|4-4|<A<A+A2

补充：

三角函数计算

x=xy+x2=Acos@f+8])+&cos@f+%)

=A(cos^X)cos(^1)-sin3)sinS))+4(cos@Z)cos@2)一sin(6jr)sin(^2))

=(Acos@])+A2COS@2))COS(M)-(Asin(e)+A2sin(^>2))sin(函)

令

A=4(A】cos@[)+&COSS?)?+(Asin(@)+4sin(仍了

=JAJ+A??+2A]&(cosS])cos@2)+sin(01)sin”2))

=JAJ+42+2A]A2COS@2-9I)

令

cos()=ACOSS)+4COS@2),sin(o)=Asin@)+4sin"?)

AA

x=Acos@f+e)

例8-5已知两个同方向同频率简谐振动的振动方程分别为

37r

X]=0.05cosCOr+—)(m)

jr

w

x2=0.06cosGOr+y)()

(1)求其合振动的振幅及初相位；

(2)设另一同方向同频率简谐振动的振动方程为

3=0.07cos(10r+03)(㈤，问仍为何值时xl+4的振幅最大?%为何值时xl+

x3的振幅最小？

解：

(1)

A=JA：+A；+2AtA2COS@2-(pj

=QSOS?+0062+2x0.05x0.06cos仔)

=8.92x1CT?(加)

A.sin®+A?sing入「

tan(p=—!——匕——=——丝-=2.5

A]COSQ14-A2COS02

8=68.2°

(2)

△9=(py=2k兀、k=0,±l,±2

(p3=2^+—,Z:=0,±l,±2,N+x3的振幅最大

3万

Zp=/----=(2k+1)4，左=0,±1,±2

93=(22+1)=+—,)=0,±1,±2,x\+x3的振幅最小

二多个同方向同频率简谐运动的合成

%)=4cos(w+6)

x2=A2cos(由+外)

Xn=A〃cos(w+。”)

X=X+工2+…+怎

AQ=Ai=A2=...=Att

..(Nk(p

sm(---)

A=4——r~

sin憧)

2ht(k=0,±l,±2,•••),A=AMo

卜(p=«

2〃7t/N(无=0,±l,±2,…),A=0

三两个同方向不同频率简谐运动的合成

X]=Acos691r=Acos2兀匕f

x2=A2COS%=A?cos2兀修

■

x=(2ACOS2TC-—-r)cos2;i——~t

22

振动频率

i/=(匕+V2)/2

振幅

A=2A1cos27c22'f

拍频展/一匕

四两个相互垂直的同频率简谐运动的合成

x=Acos(tat+(p\),y=A2cos(6X+(p2)

质点运动轨迹

29

-2xy

厂I十上yI—cos(02-/i)=sin2(%-%)(椭圆方程)

A；A；A4

1.(p2~<P\-0或27r

4

y=

A

2.(p2.6=n

A,

y--x

A

3.(p2-(pK=±7t/2

9o

三+J

吊A；

五两相互垂直不同频率的简谐运动的合成□

X=ACOS(0J+%)B

COS

y=A2(6>2/+(p2)

comQ

x=■1

@n

曾二Q利«0n/8

8.3阻尼振动受迫振动共振

-阻尼振动

阻力Fr=-yu

-kx-"=ma

x阻尼振动位移时间曲线

A

2

dxdr.八

m—r+/----FKX=0

dr2dr

o

dxccdjv八

7r+26qy+g2x=°

dt~d/

A

g=A，P=r/2w

x-Ae-伏cos(切4-(p)

加二J就一12

T=—=2兀/4①;-p2

CD

<g,欠阻尼

A>g,过阻尼

=g，临界阻尼

例有一单摆在空气（室温为20℃）中来回摆动.其摆线长/=1.0m,摆锤是一

半径rxlO-3m的铅球.求（1）摆动周期；（2）振幅减小10%所需的时间；（3）

能量减小10%所需的时间；（4）从以上所得结果说明空气的粘性对单摆周期、

振幅和能量的影响.（已知铅球密度为pxlO3kg/m3,20℃时空气的粘度n=1.78

xIO”pa.s）。

解：

-1

(1)coQ=4g/l=3.13s

Fr=-bitrrjv=-yu

p-y12tn=——=6.04>10-4s-1

2(§"3p)

2兀、生。2s

:.T

比-夕①o

(2)0.9A=Ae-肉

1nIn9

t.=/U»=i74s

'P

(3)

0.9=—=(—)2=e-2四

EA

…Ti2=87s

2〃

二受迫振动

机粤+心+h="cospr

d厂dr

+2/牛+就x=/zcospt

邛=y/m

h=H/m

-Z&共振频率

x=Aoecos(eyr+6)+Acos(pt+(p)

Ah一2例

A=]-----------=■，tgW=22

J(就一〃2)2+4「2〃2%-p-

三共振

A、—/h

"(就")2+4夕2〃2

更二。

dp

共振频率：3r=5/就-2仍

共振振幅：4=—,h

2闵就一22

作业：(P33)8-17,8-19

习题课

1一立方木块浮于静水中，其浸入部分的高度为a,今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，

使其浸入部分的高度为b,然后放手任其运动。若不计木块的粘滞阻力，试证明木块作简

谐运动，并写出振动方程。

解：

F=G-f=pgas-pg(x+d)s=-pgsx

a=F/m=-pgsx/pgsa

=-x!a=-co2x

T=17r4a

A=b-a

x=(b-a)cos

2某振动质点的x・t曲线如图所示，试求:

(1)运动方程；

(2)点P对应的相位；

(3)到达P相应位置所需时间。

解：

A=0.1

设振动方程为

x=0.1cos(创+0)

X=0.1COS(6^-y)

.7171

469----=-

32

5%

(0=——

24

(1)运动方程

x=0.1cos(^-r--)

243

(2)点P对应的相位0

(3)到达P相应位置所需时间

t=1.6s

3一质点的振动方程为：x=0.2cosQ加+乃/3),则在t=0.3(s)时：(D)

(A)质点在平衡位置右方，沿X轴负向运动。

(B)质点在平衡位置左方，沿X轴正向运动。

(C)质点在平衡位置右方，沿X轴正向运动。

(D)质点在平衡位置左方，沿X轴负向运动。

4作简谐振动的物体经过下列路程所需的最短时间各为周期的几分之几?

(I)由平衡位置到最大位移处；1/4

(2)由平衡位置到处；1/12

(3)由处到最大位移处。1/6

5两个同周期简谐振动曲线如图所示xl的相位比x2的相位：(B)

(A)落后；r/2。

(B)超前乃/2。

0x

(C)落后乃。

(D)超前乃。

、，“1>8

6把单摆从平衡位置拉开，使摆线与竖直方向成角，然后放手任其振动，试判断图中五

种运动状态所对应的相位。

7一长为/的均匀细棒悬于其一端的光滑水平固定轴上，作成一复摆。已知细棒绕通过其

一端的轴的转动惯量此摆作微小振动的周期为(C)

3

8已知某简谐振动的速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。

解：

V（E）

设速度振动方程为

v=31.4cos((iX+(p)(cmls)

-15.7

-31.4

2)

r

v=31.4cosfe^+^-)cm/s

2TT5〃

(O+——=——，0)=7T

33

兀J/b

U=-A69cos3+“+耳)=31.4cos⑺+-^-)c6/s

A==10(cw)

3.14

，乃

中=飞

x-1Ocos(加+—)(cni)

6

9一弹簧振子作简谐振动。当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的：((D)

(A)1/4(B)1/2

(C)1/V2(D)3/4

(E)V3/2

10弹簧振子作简谐振动时的总能量为E,如果振幅增大为原来的两倍，振动质量减少为原

来的一半，则总能量E'为：(C)

(A)E=E(B)E=2E

(C)E=4E(D)E'

11一物体同时参与同一直线上的两个简谐振动：

X1=0.03cos(4nr--7u)(SI),x2=0.04cos(47tr+-n)(SI)

3~6

合成振动的振幅为_m.

第9章教学要求

一掌握波长、周期、频率、波速；

二掌握平面简谐波的波函数的求法.理解波函数的物理意义.了解波的能量传

播特征及能流、能流密度概念.

三了解惠更斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用相位差和波程

差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件；

四理解驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；

五了解机械波的多普勒效应及其产生的原因。在波源或观察者沿二者连线运动

的情况下，能计算多普勒频移。

重点：波函数，波的干涉。

逑点：求波函数，已知波函数求质点运动状态；确定两相干波交叠区域质点的振

幅。

9.1机械波的几个概念

波动一振动在空间的传播过程

波源一产生最初振动的物体

机械波一机械振动在弹性介质中的传播

-机械波的形成

机械波一机械振动在弹性介质中的传播

产生条件：

1）波源

2）弹性介质

波是运动状态的传播，介质的质点并不随波传播

二横波与纵波

横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直的波

纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行的波

三波长波的周期和频率波速

波速u：波动过程中，某一振动状态（即振动相位）单位时间内所传播的距离（相

速）

横波〃=患，G：固体切变模量

纵波〃=Y：固体杨氏弹性模量

弦中横波句=0T为弦中张力，〃为弦的线密度

纵波〃=信B：液、气体容变弹性模量

周期T：波前进一个波长的距离所需要的时间

频率I）：周期的倒数，即单位时间内波动所传播的完整波的数目

v=l/T

波长Q沿波的传播方向，两个相邻的、相位差

为2兀的振动质点之间的距离，即一个完整波形

的长度

v

四波线波面波前

波线一沿传播方向带箭头的线

波面一不同波线上相位相同点联成的面

波前一波源最初振动状态传到的各点所连成的面

例1在室温下，己知空气中的声速UI为340m/s,水中的声速112为1450m/s,

求频率为200Hz和2000Hz的声波在空气中和水中的波长各为多少？

解:

9.2平面简谐波的波函数

一平面简谐波的波函数

波函数：y=)，(x"),x：质点坐标，y：x处质点相对其平衡位置的位移。

简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波

平面简谐波：波面为平面的简谐波

设。点的振动方程为：

yP=Acoscot

振动传到P点需时间tO=x/u

t-x/u时刻点0的运动=t时刻点P的运动

点P振动方程

y=Acosco(t——)一波函数

Pu

yo=Acos(训+0)

y=Acos\co(t——)+例u沿x轴正向

u

y=Acos[®(f+-)+°]u沿x轴负向

u

波动方程的其它形式

tX

yU0=Acos[2n(---)+^]

y(xj)=AcosQf-京+⑼，；27t/2,角波数

质点的振动速度，加速度

dy4.「/i

v=—=-ajAs]n[co(t—)+(p\

dtu

2

dy，Ar.x.,

—彳=-CD~Acos\co(t——)+勿

dtu

二波函数的物理意义

1当x固定时，波函数表示该点的简谐振动方程

该点与点O振动的相位差

xX

卜（P=一8一二-2兀一

u2

y(x,t)=y(x,t+T)

2当t一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此刻的

波形

y(x/)=y(x+Zl)

“=3«』)+9=2兀(/一争+夕

U1A

0=C0(t--)+(p=2n(---)+^?

uT2

X-X

△Ae2=9|_外=O2兀「2-^l=O2兀M一

XX

AX2I=x2-xy：波程差

A^?=2n—

3若切均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）

°(r,x)=。。+Az,x+Ax)

r+Arx+^x

2叫)=2兀(.)

T2

A/_zlr

T=T

相速：-=-=u

2T

三波动方程求法

1.求坐标原点的振动方程

y=Acos3+°)

X

3.写出波动方程

xtX

y=4cos[ty（，干一）+夕]=4cos[2兀（一干一）+°]

uT2

例1一平面简谐波沿Ox轴正方向传播，已知振幅A=1.0m,T=2,0sA=2.0m.

在t=0时坐标原点处的质点位于平衡位置沿Oy轴正方向运动.求

1）波动方程

2）求t=1.0s时波形图。

9.3波的能量

一波动能量的传播

波动方程

y=4cost——)+勿

u

1.振动动能

2

dWk=g(dm州2=l(pdV)u

dy，.「/x、i

v=—=-coAsm[co[t——)+(p]

dtu

振动动能

222

6Wk=-pdVA^sin[co(t--)+(p]

2u

2.弹性势能

d%=/(由，)2

2

s/x

口ESA,

F=—j-2

o69i；——Qx

,SEyy+dy

k=——

dx

dWp=g&(d»=^ESdx\

2

dWp=—pu

CO./X、、

=——A4|rsmco(t——)+(p\

dxu

振动势能：dW=-pdVA1^2sin2[a)(t--)+(p]=dW

p2uk

3.体积元的总机械能

dW=dW4-dW；=pdVAWsin2[^r--)+^]

kw

注意

(a)动能、势能、总机械能变化相位相同；

(b)平衡位置处动能、势能和总机械能均最大;

(c)最大位移处动能、势能和总机械能均为零;

(d)任一体积元的机械能不守恒。

4能量密度：单位体积介质中的波动能量

dW.22,2r/X、i

w=-----=pAcosin[co(t——)+夕]

dVu

5.平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值

_1rT122

w=—\wdt=—pcoA

TJo2

二波的能流和能流密度

1能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量。

2平均能流

P=wuS

3能流密度(波强)

I=-pA2a)2u

例1证明球面波的振幅与离开其波源的距离成反比，并求球面简谐波的波函数。

解：

可“A=w2uS2

—p412<y2w4n^2=gpA1co2u4Ttry

A=i

4r\

y=COSG"--)

ru

作业：(P70)9-9

9.6多普勒效应

接收频率一单位时间内观测者接收到的振动次数或完整波数。

只有波源与观察者相对静止时才等于波源频率C

-波源不动，观察者相对介质以速度〃运动

观察者向波源运动

U

二观察者不动，波源相对介质以速度人运动

波源向观察者运动

7,_4一幺74)

/=------=---

UU

,1UU

V=—=---------=-------V

T2-vsT〃-q

波源远离观察者

V=-------V

U+vs

三波源与观察者同时相对介质运动

用观察者向波源运动+,远离一，吆波源向观察者运动一，

u+vK

远离+o

冲击波：当匕》〃时，所有波前将聚集在一个圆锥面

上，波的能量高度集中形成冲击波或激波，如核爆炸、

超音速飞行等.

多普勒效应的应用

例1A、B为两个汽笛，其频率皆为500Hz,A静止，B以60m/s的速率向

右运动.在两个汽笛之间有一观察者O,以30m/s的速度也向右运动.已

知空气中的声速为330m/s,求:

1）观察者听到来自A的频率

2）观察者听到来自B的频率

3）观察者听到的拍频

aB-

v'=X500Hz=454.5Hz

330■---•--------•

”330+30_

v*=-------x500Hz=461.5HTzTAOB

330+60

=7Hz

例2利用多普勒效应监测车速，固定波源发出频率为〃=lOOkH的超声波，

当汽车向波源行驶时，与波源安装在一起的接收器接收到从汽车反射回来

的波的频率为。'=UOkH.已知空气中的声速为u=330m/s,求车速

商*WWV^

u

,,W,%+〃

V=---V=---v

〃一q"一q

Vv-V

vr=vs=-i-t.-u=56.8km-h-

v4-v

作业：（P72）9-14,9-15

9.4惠更斯原理波的衍射和干涉

-惠更斯原理

介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子

波的波源，而在其后的任意时刻，这些子波的

包络就是新的波前。

二波的衍射

波在传播过程中遇到障碍物时，能绕过障碍物的边缘,

在障碍物的阴影区内继续传播。当障碍物的尺寸和波

长相比拟时衍射现象显著。

三波的叠加原理

1.几列波相遇之后，仍然保持它们各自原有的特征（频率、波长、振幅、振动

方向等）不变，并按照原来的方向继续前进，好象没有遇到过其他波一样；（独

立性原理）

2.在相遇区域内任一点的振动，为各列波单独存在时在该点所引起的振动位移

的矢量和。（相干性原理）

四波的干涉

频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方

振动始终加强，而使另一些地方振动始终减弱的现象，称为波的干涉现象。

波的相干条件

1）频率相同；

2）振动方向平行；

3）相位相同或相位差恒定。

波源振动

必=ACOS（"+夕］）

y2=A2cos（6rf+%）

点P的两个分振动

yip=+e-2吟）

y=Acos（tzx+（p2~）

2p2A.

）'〃=%P+%「=ACOS（GZ+。）

A=dA：+A；+2AA2COSA。

Zp=g_2兀「2一。

2

±2knk=0,1,2,•••,A=+A2

b(p=<±(22+1)兀^=0,1,2,---^=|^,-A2|

其它JA-A?|<4vA+A2

例1如图所示，A、B两点为同一介质中两相干波源.其振幅皆为5cm,频率皆

为100Hz,但当点A为波峰时，点B适为波谷.设波速为10m/s,试写出由A、

B发出的两列波传到点P时干涉的结果。

解：

BP=V152+202m=25mT

15m

2=—=^-m=0.10m

v100

A--------------•B

A(p=(p-(p-2n亚”…丝小—99兀20m-------1

BA0.1

A=|A1—A2|=o

9.5驻波

-驻波的产生

振幅、频率、传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠

加而形成的一种特殊的干涉现象。

二驻波方程:

必=ACOS2TT(I4--J)

\x

y2=Acos2n(vr+-^-)

)'=M+%

=Acos2兀(w-1)+Acos2兀(vr+1

驻波方程v=2Acos2n—cos2nvr

2

1.振幅分布

X

1,271—=±火兀A=0,1,2,…

_X4

cos2n-=

20,2兀±=±(2攵+1)巴k=0,1,2,…

土弓2=0,1,…4max=2A

A=5

2

±(2%+1)工&=0,1,…4而

相邻波腹（节）间距=2/2

相邻波腹和波节间距=2/4

2.相位分布

相邻两波节之间质点振动同相位,

的相位跃变。

三相位跃变（半波损失）

当波从波疏介质垂直入射到波密介质，被反射到波疏介质时形成波节.入射波与

反射波在此处的相位时时相反，即反射波在分界处产生71的相位跃变，相当于出

现了半个波长的波程差，称半波损失。

当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射到波密介质时形成波腹.入射波与

反射波在此处的相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变,无半波损失。

四驻波的能量

驻波的能量在相邻的波腹和波节间往复变化，在相邻的波节间发生动能和势能间

的转换，动能主要集中在波腹，势能主要集中在波节，但无长距离的能量传播。

五振动的简正模式

1.两端固定的弦线，两端形成波节

l=n^-

2

=

vn〃=12…简正模式

2.一端固定一端自由的弦，一端形成波节,另一端形成波腹

作业:(P71)9・10,9-12

第9章1・3习题课

例1如图为沿x轴负方向传播的平面简谐波在774时刻的波形图，角频率3,振幅

4,波速求波动方程。

解：

设

X

y=Acos⑷(，+—)+夕]

u

T3

CO--\-(p=一冗

42

(p=兀

•V

y=Acos[tw(z+二)+%]

u

例2图示为平面简谐波在t=0时的波形图，设此简谐波的频率为250Hz,且此时

图中点P的运动方向向上。求：（1）该波的波动方程；（2）在距原点为7.5m处质点

的运动方程与t=0时该点的振动速度。

解：

(p=冗13

Y

y=().1cosR4(2507+去)+万/引

75

y{x=7.5)=0.1cos[2^(2501+—)+^/3]

=0.1cos(500加+13/12^-)=0.1cos(500-11/12%)(M

v=-50^sin(500M-11/12^-)

v(t=0,x=7.5/n)=-50^sin(-11/12^)=13(m/s)«

例3如图示为一平面简谐波在t=0时刻的波形图，求:⑴该波的波动方程;（2）P质

点的运动方程。

解：

A=0.04(m);

T=2/w=0.4/0.08=5(5)

(p=一乃/2

y=0.04cos[2^-(^-言)一4/2]

y(x=0.2)

to2

=0.04cos[2^-(--^-)-^/2]

=0.04cos(—r-3/2^-)

y=0.04cos(-y^t+4/2)(加)

例4一平面简谐波，波长为12m,沿x轴负向传播，图示为x=1.0米处质点的振

动曲线，求此波的波动方程。y/m

解：

X

y=0.04cos[6^+2万宣+如

M+27r—+(p=-7r/3

12

O=一万/2

y=0.04cos|<yr+2乃另一乃/2]

6y5+2%,一九/2=〃/2

12

8=几16

y=().04cos《胡+2乃^一乃/2](m)

例5图中⑴是t=o时的波形图，(H)是1=0.1时的波形图,已知T>0.ls,写出波

动方程的表达式。

解：

A=0.1(m)

入=2(m)

(P=冗12

y=0.lcos[d^-2^--+^/2]

<y0.1-2乃&+乃/2=万

2

8=571

Y

y=().1cos»m—24j+7/2](m)

例6—平面简谐波沿x轴正向传播，其振幅和角频率分别为A和w,波速为〃,

设，二0时的波形曲线如图所示。

(1)写出此波的表达式。

(2)求距。点分别为4/8和34/8两处质点的振动方程。

(3)求距。点分别为4/8和34/8两处质点在，=0时的振动速度。

解：

(P=7T/2

(l)y=Acos[ty(/--)+^/2];

u

2/Q

(2)y(x=2/8)=Acos[69(/----)+4/2]

u

=ACOS[6X+^/4]

y(x=32/8)=Acos[69(f------)+^/2]

u

=Acos•一万/4]

叵

(3)v(x=2/8,r=0)=-Asin[6X)+^-/4]=----Aco

2

v(x=32/8,f=0)=-A<ysin[6t?0-^/4]=^-Aco

第十章光学

教学基本要求

-光的干涉

1理解相干光条件，获得相干光的分振幅、分波阵面法；

2掌握光程及光程差和相位差的关系，理解反射光的相位跃变情况；

3掌握杨氏双缝干涉、薄膜等厚干涉条纹分布；

4了解迈克耳孙干涉仪的工作原理。

二光的衍射

1了解惠更斯一菲涅耳原理及它对光的衍射现象的定性解释；

2理解用半波带法分析单缝的夫琅禾费衍射条纹分布，会分析缝宽及波长对衍射

条纹分布的影响；

3理解光栅衍射公式，会确定光栅衍射谱线的位置，会分析光栅常数及波长对

光栅衍射谱线分布的影响；

4了解*■学仪器的分辨率•

5了解x射线的衍射现象和布拉格公式的物理意义。

三光的偏振

1理解自然光与偏振光的区别；

2理解布儒斯特定律和马吕斯定律；

3了解双折射现象；

4了解线偏振光的获得方法和检验方法。

重点：双缝干涉，薄膜等厚干涉，单缝衍射，光栅衍射条纹的确定。薄膜干涉

明暗的确定。儒斯特定律和马吕斯定律的应用。

难点：薄膜干涉中半波损失的确定，双缝干涉中光程差的计算，单缝衍射的半

波带法，光栅衍射的缺级。

10.1光的相干性

—光的本质

方是光矢量，它在引起人眼视觉和底片感光上起主要作用

真空中的光速c=

可见光的范围

2:400-760nm（4000~7600A）

二相干光

1）普通光源的发光机制

普通光源发光特点：原子发光是断续

的，每次发光形成一长度有限的波列，

各原子各次发光相互独立，各波列互不基态―1____但?辐射4:10-8~10%

相干。

2）相干光的产生原子能级及发光跃迁

a）振幅分割法（薄膜干涉）。

b）波阵面分割法（双逢干涉）。

振幅分割为波阵面分割法

*

*0务/豆

S

三光程和光程差

1.光程

E伍")=E[cosfcot+%一21/r力

真空中光的波长2=~

v

介质中光的波长£=巴，〃=£,r=-,〃为介质的折射率。

vnn

光在介质中传播几何路程为八相应的位相变化为

Cr24

2乃——=nr

£2

.2〃/、

△夕=---（nr一〃力）

X22

光程=

光程表示在相同的时间内光在真空中通过的路程

2.光程差B

5=（乙弓一〃力）

相位差

△夕二手5

若两相干光源不是同位相的

两相干光源同0位相，干涉条件

±U,力叫虽（明）

6=«

±（22+1）巴J，减弱（暗）

2

实

验

10.2分波面干涉装

置

一杨氏双缝干涉实验

波程差△/*=n-1]=dsin6

sin«tan=x/D

,x

Ar=d—

注意：

1）K=0,1,2…的明纹为中央零级明纹，一级明纹，二级明纹

2）白光照射，中央零级明纹为白光，其它明纹由紫到红的彩色条纹

3）条纹间距—二半

d

二双缝干涉光强分布

/='+右+3TTcosQzi)

..2,△人［4,0,Ar=±kZ

=4Z0cos-(7t—)=^

AU,Ar=±(2A:+1)2/2

三双镜

四劳埃德镜

半波损失：光从光速较大的介质(光疏介质)射向光速较小的介质(光密介质)时反

射光的相位较之入射光的相位跃变了心相当于反射光与入射光之间附加了半个

波长的波程差，称为半波损失

例1以单色光照射到相距为0.2mm的双缝上，双缝与屏幕的垂直距离为1m。

(1)从第一级明纹到同侧的第四级明纹的距离为7.5mm,求单色光的波长；

(2)若入射光的波长为60()nm,求相邻两明纹间的距离。

解：

x=±—kA,k=0,1,2,•…

kd

=彳4一内=2(4—1)4

d

dAX0.2X10-3X7.5X10_3__/、

2=-----1-4=------------------=5x10in7(m)

D33

Av=—X=3.0mm

d

例2如图所示，将折射率为n=1.58的薄云母片覆盖

在杨氏干涉实验中的一条狭缝S1上，这时屏幕上的零

级明纹上移到原来的第七级明纹的位置上，如果入射光

波长为550nm,试求此云母片的厚度。

解：

6=GTo+(〃T)d)

=±女几，

-(〃-V)d—±k2

x=土后54+今(〃-l)d

7--A=—V)d

drd'

d=2—=6.6x10-6(⑼

n-1

作业：(P131)10-3,10-4

10章习题课

例1如图所示，折射率m3Um,用入二600nm的单色光垂直照射油膜。求(1)油

膜周边是暗环还是明环?(2)整个油膜可以看见几个完整暗环？

解：

。％=0,1,2,明

2〃、d=<(2A+1)。,左=0,1,2,暗

2

(1)油膜周边是明环。

(2)%=^LO.5=3.9

A

k『3

4个。

例2已知：S2缝上覆盖

的介质厚度为h,折射率为n,设入射光的波长

为入O

问：

原来的零级条纹移至何处？

若移至原来的第k级明条纹处，其厚度h为多少？

解：

\=(n-X)h+—x=kA>明

k=0

D....

x=-—(n-\)h

0a

(n-l)/z+—(-—U)=0

Dd

,U

h=-----o

n—\

例3一束波长为人=5000A的平行光垂直照射在一个单缝上。

⑴己知单缝衍射的第一暗纹的衍射角例=30",求该单缝的宽度b=?。

(2)如果所用的单缝的宽度b=0.5mm,缝后紧挨着的薄透镜焦距f=lm,求：(a)

中央明条纹的角宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c)第一级与第二级暗纹的距离；

解：

(1)

Z?sin(。)=+kA

2_5OOOxlQ-10

=10-6(/n)

"sin(<9,)"sin300

jsoonxio_10

(2)△夕=2«/-sin—=2*tzrsin:......——=2.0x10~3(r«J)

b0.5x10-3

22

Ar=—/=2.0X10~3(W)；

b

-3

(3)AXI2=-7=1.0xl0(m)

b

例4一束波长为入=5000A的平行光垂直照射在一个单缝上。，f=Im。如果

在屏幕上离中央亮纹中心为处的P点为一亮纹，

试求

该P处亮纹的级数；

从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分割成几个半波带？

解：

bsin0=±(2攵+1)—

bj=(2k+l)^

X

k=b--0.5=3

以

7个

例5波长为6000A的单色光垂直入射在一光栅上，第二级明纹出现在

sin夕2=02处，第4级为第一个缺级。求

(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？

(2)狭缝可能的最小宽度是多少？

(3)按上述选定的a、b值，实际上能观察到的全部明纹数是多少？

解：

(1)

(Z?+^)sin6>=±U

(/?+/?/)*0.2=22

(Z?+/?/)=102=6X10-6(W)

(2)

ib+b