第六章 平面向量及其应用综合测评（人教A版2019必修第二册）（含答案解析）

第六章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知向量M=(2,1),b=(x,-2),若商应,则日+坂=()

A.(-2,-1)B.(2,1)

C.(3,-1)D.(-3,1)

【答案】A

【解析】

【分析】由向量平行的坐标表示可求得x,再由向量坐标的线性运算可得答案.

【详解】解：•.,出区，，2x(-2)-x=0,，x=T.

Aa+b=(2,1)+(-4,-2)=(-2,-1).

故选：A.

2.在AABC中，若A=60。，BC=45AC=4及，则角3的大小为()

A.30°B.45°

C.135°D.45°或135°

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值、以及大边对大角进行求解即可.

【详解】由正弦定理，得警=等，

sinAsinB

.cACsin44\/2sin60?V2

贝sinB-----------=--------k——=——

BC2

因为

所以A>B,而4=60。，

所以B=45°.

故选：B

(2018全国〃高考)

3.已知向量联工满足|前=1，a-b=-V则嬴2，办）=（）

A.4B.3

C.2D.0

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用平面向量的数量积运算计算得解.

2

【详解】解：a\2a-b）=2a-a.2=2xl2-（-l）=3-

故选：B.

4.在AABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且+—c?=4,

C=120°,则的面积为（）

A.立B.9C.也D.26

33

【答案】C

【解析】

【分析】

利用余弦定理可求时的值，从而可求三角形的面积.

【详解】因为C=120。，c2=a2+b~-2«Z?cos120°=a2+b2+ab，

而(a+b)2-c2=4,故c2="+b2+2ab-4=a2+b2+ab，

故aA=4,故三角形的面积为Lx"xsinl2（）o=Nx4=\/^,

24

故选：C.

5.在"BC中，若其面积为S,且福•前=2QS,则角A的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【解析】

【分析】由数量积的定义，结合条件即可求解.

muuumuunuuti

【详解】因为S=^|AB|.|Ac|-sinA

而AB-AC=AB-AC-cosA,所以

|AB|.|AC|-cosA=2^xlx|AB|.|AC|-sinA,所以tanA=f,故A=30°.

故选：A

（2018全国/高考）

6.在△ABC中，AO为8C边上的中线，E为的中点，则丽=

3—1一1一3一

A.-AB一一ACB.-AB--AC

4444

3—1—1—3—

C.-AB+-ACD,-AB+-AC

4444

【答案】A

【解析】

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得

BE=^-BA+^-BC,之后应用向量的加法运算法则——三角形法则，得到

22

一3一1一

BC^BA+AC^之后将其合并，得到8E=：84+：AC，下一步应用相反向量，求

44

__3__1__

得丽=:通-;而，从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-（BA+AC]

222424V>

1一1一1—3-1—

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

__3__1__

所以=——AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角

形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在

解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

7.在AABC中，1ABmAC=2,若O为AABC内部的一点，且满足

OA+OB+OC^6>则=

A.—B.-C.-D.-

2534

【答案】C

【解析】

【详解】因为次+而+反=6,所以。是AABC的重心；所以AO=1(AC+AB);

y.BC=AC-AB,:.AOBC=^(AC+AB)(AC-AB)=|(|AC|2一画?)=；故选

C

8.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,h,c,已知

sin(5-A)+sin(B+A)=3sin2A,且c=J7，C=y,则^ABC的面积是

(❷♦)

3x/3口7右721八367百

AA.-----.------rk_z.-----U.-----5V------

46346

【答案】D

【解析】

【详解】分析：由题意得sinBcosA=3sinAcosA,分cosA=0和cosAR0两种情况求

解，然后结合三角形面积公式可得结果.

详解：Vsin^B—Aj+sin^B+A)-3sin2A,

sinBcosA=3sinAcosA.

TT

①当cosA=0时，△ABC为直角三角形，且4=彳.

2

qLbc'x叵义不=毡.

^♦ABC

2236

②当cosAw0时，则有sinB=3sinA，

由正弦定理得人=3a.

由余弦定理得c'2=a?+》2-2必cosC，

,I

即7=/+（3a）--2a"吐耳，

解得a=l.

.<?1,.1,Q.乃36

••S.=—absmC=—xlx3x$z〃一=----.

♦AABuCr2234

综上可得AABC的面积是逑或友.

46

故选D.

点睛：在判断三角形的形状时，对于形如577小°0571=35讥4。。5>4的式子，当需要在

等式的两边约去casA时，必须要考虑casA是否为0,否则会丢掉一种情况.

,视频门

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项

中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得

0分）

9.下列说法错误的是（）

A.而〃丽就是通所在的直线平行于诟所在的直线

B.长度相等的向量叫相等向量

C.零向量的长度等于0

D.共线向量是在同一条直线上的向量

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据平行（共线）向量、相等向量、零向量的定义判断.

【详解】对于A：向量而〃丽时，而所在的直线与丽所在的直线可能重合，

故A不正确；

对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故B不正确；

对于C：按定义，零向量的长度等于0,C正确；

对于D：非零的共线向量是方向相同或相反的向量，可以在同一直线上，也可不在

同一直线上，故D不正确；

故选：ABD.

（2019山东济南高一期末）

io.对于任意的平面向量£,及2下列说法错误的是（）

A.若Z//B且B/不，则£//工

B.^a+b^-c=a-c+b-c

C.若=a.c,且ah6,则石=c

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A,注意B=。；对于B,根据平面向量数乘的分配律即可判断；对于

C,若£和石，£都垂直即可判断；对于D,根据数量积定义即可判断.

【详解】对于A,命题不成立；

对于B,这是平面向量数乘的分配律，显然成立；

对于c,若£和石，2都垂直，显然5，2至少在模的方面没有特定关系，所以命题

不成立；对于D,与分别是一个和屋£共线的向量，显然命题

rrrrrr

（a心）-c=a•（/?•<?）不一定成立.

故选：ACD.

（2019福建厦门外国语学校高一月考）

11.已知AABC的内角所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的命题

是（）

A.若工=一二='不，则AABC一定是等边三角形

cosAcosBcosC

B.若acosA=/>cos8,则AABC一定是等腰三角形

C.^bcosC+ccosB=b,则AAfiC一定是等腰三角形

D.若。2+/_。2>0,则AABC一定是锐角三角形

【答案】AC

【解析】

■八4•亡.ATA工।m十五』TH—r'曰sinAsinBsinC

【分析】对于A：利用正弦定理可得-----=——-=——-，n即n

cosAcosBcosC

tanA-tanB-tanC,A=B=C,可判断；

对于B：由正弦定理可得sinAcosA=sin3cos3=>sin2A=sin23,2A=23或

2A+2B=7r9可判断；

对于C：由正弦定理可得sin3cosc+sinCeos3=sin5,即

sin(B+C)=sinB,sinA=sinB,可判断；

^2,22

对于D：由余弦定理可得cosC=一〉0,角C为锐角，角45不一定是锐

2ab

角，可判断.

【详解】因为AABC的内角A,B,C,所以0<A<»,0<3<肛0<C<»,

,abc/IE-r4APEr,口sinAsinBsinC口,，

由一~=--=一利用正弦定理可得一7=--即

cosAcosBcosCcosAcosBcosC

tanA=tanB=tanC,A=8=C,△ABC是等边三角形，A正确；

由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB=>sin2A=sin25,2A=2B或

2A-^-2B=7r,

△ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；

由正弦定理可得sinBcosC4-sinCcosB=sinB,即

sin(B+C)=sin氏sinA=sin3,

则A=ABC等腰三角形，C正确；

由余弦定理可得cosC=c->0,角。为锐角，角A6不一定是锐角，D不

2ab

正确，

故选：AC.

【点睛】本题考查将已知条件运用正弦定理，余弦定理进行边角互化，判断三角形

的形状，属于中档题.

(2019山东烟台高一期末)

12.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且

(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:ll,则下列结论正确的是()

A.sinA:sin3:sinC=4:5:6B.A48c是钝角三角形

C.的最大内角是最小内角的2倍D.若。=6,则AABC外接圆半径为场

7

【答案】ACD

【解析】

【分析】不妨设a+b=9x,Q+C=10X,Z?+c=llx,解得。=4x,b=5x,c=6x,对

四个选项一一验证：

由正弦定理可判断A；

^2>2_2

由C为最大边，结合余弦定理cosC=""一。可判断B；

2ab

由余弦定理和二倍角公式验证cos2A=2cos2A-l=cosC可判断C；

由正弦定理2R=—J可判断D.

sinC

【详解】不妨设a+人=9x,a+c=\Gx,匕+c=llx,解得。=4%,b=5xfc=6x

(x>0),

根据正弦定理可知sinA:sinB:sinC=4:5:6,选项A描述准确；

由。为最大边，故C为最大角，

222

「a+b-c16/+25x2—36/1

cosC=--------------=------------------------=—>0n,

2ab2-4x-5x8

即。为锐角，选项B描述不准确；

由题意，A为最小角，。为最大角

“b2+c2-a225X2+36X2-16X23

cosA=-------------=-----------------------=—,

2bc2-5x-6x4

91

cos2A=2cos9A-l=2x----1=—=cosC,

168

由2A,Ce(0,7r),可得2A=C,选项C描述准确;

C=6_16V7

若c=6,可得一面7一丁〒一〒，

△ABC外接圆半径为辿，选项D描述准确.

7

故选：ACD.

三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.

（2019全国加高考）

13.已知方石为单位向量，且限5=0,若5=-®，则cos<H>=

2

【答案】

【解析】

【分析】根据归F结合向量夹角公式求出忆|,进一步求出结果.

【详解】因为2=a-h=0

所以41=2a2*6一\[5a•5=2,

|c|2=4|a|2-4舟・5+5出|2=9,所以|大=3,

a-c22

所以3<痴>=丽=诟=相

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想

象素养.使用转化思想得出答案.

14.已知AABC中，角A,B,C的对边分别为a,h,c,若a=4,c=2,B=60。，则

b=__，C=___.

【答案】①.26②.30°##^

6

【解析】

【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可

【详解】在AABC中，因为。=4,c=2,8=60。，

由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosS=42+22-2x4x2cos60°=12,

所以6=26,

、、，csinB2sin60°\_

又由正弦定理,得勤。=丁=

2百2

又由c<。，所以C<8,所以C=30。.

故答案为：26；30°

15.如图，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上B,D两点，测出四边形

ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且A,B,C,D四点

共圆，则AC的长为km.

【答案】7

【解析】

【分析】利用余弦定理，结合NB+ND=n,即可求出AC的长.

【详解】VAB、a。四点共圆，圆内接四边形的对角和为万.

,.ZB+ZD-7T,

...由余弦定理可得AC?=52+32—2・5・3・COS£>=34-30COS。，

222

/AC=5+8-2-5-8-cosB=89-SOcosB，;NB+ND=TT,即COS3=-CQS£>，

.34-AC289-AC2

••—，

3080

可解得4c=7.

故答案为7

【点睛】本题考查余弦定理，考查三角函数知识，正确运用余弦定理是关键，属于

基本知识的考查.

BC->J3BD

16.在四边形ABC。中，丽=丽=(1,1),且网+国=下可,则四边形ABC。的

面积为.

【答案】V3

【解析】

【详解】试题分析：因为而=反，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为

向丽卡向前倘而,所以平行四边形ABCD为菱形，且NABC=120。，因

此^ABCD=x^2xsin120°=V3.

考点：向量加法平行四边形法则

’而视频门

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤）

17.已知a=（1,2）,^=（-3,1）

⑴求；-2力；

（2）设£,B的夹角为。，求cos。的值；

（3）若向量£+口与互相垂直，求攵的值

【答案】（1）（7,0）；

【解析】

【分析】（1）利用线性运算的坐标表示即可求解；

（2）利用向量夹角的坐标表示即可求解；

（3）求出向量1+量与£-与的坐标,利用坐标表示（£+防）•（£-防）=。即可求

解.

【小问1详解】

因为）=（1,2）,^=（-3,1）,所以=（1,2）-2（—3,1）=（7,0）.

【小问2详解】

因为。・目・cose,

a-b1x(—3)+2x1—1yp2

所以c°s*衲二后f而西r及旃:一方・

【小问3详解】

由。=(1,2),5=(—3,1)可得3+花=(1,2)+4(一3,1)=(1—3人,2+4),

£—女加=(1,2)—左(一3,1)=(1+3%,2—4)，

因为向量a+口与a-比互相垂直，

所以（Z+kB）・（£—%石）=（1-3攵）（1+3左）+（2+k）（2—"）=0,

即2公=1,解得：2=±也.

2

18.设向量满足。1*=Mr=1,且13a-2q=77.

（1）求公与B的夹角；

（2）求悔+3q的大小.

【答案】（1）?；（2）V19

【解析】

【分析】（1）由已知得2行『=7,展开求得75=；,结合夹角公式即可求解;

（2）由忸+3q=J（2l+3B『=J/+1273+9片化简即可求解.

【详解】（1）设£与石的夹角为。

由已知得恒—2甲=7,即9/-12£石+4片=7,因此9一127坂+4=7，

一一1/ICl'b1jrTT

得a-b=2,于是C°S8=WW=5,故。=H，即£与石的夹角为彳；

（2）由悔+34=J（2£+3M=^4a'+I2a-b+9b=>4+6+9=V19•

n4____j_LLrU」八…口■COSACOSBSIHC

19.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且----+=----.

abc

（I）证明：sinAsinB=sinC；

（II）若〃-a?=4"c,求tanB.

【答案】（I）证明详见解析；（II）4.

【解析】

【详解】试题分析：（I）将已知等式通分后利用两角和的正弦函数公式整理，利用

正弦定理，即可证明.（II）由余弦定理求出A的余弦函数值，利用（I）的条件,

求解B的正切函数值即可

试题解析:（1）根据正弦定理,设嘉=熹=丘=k（k>0）.

则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.

小、cosAcosBsinCcosAcosBsinC

代入----+^—=-----中,有----------1----------=---------变形可得

abc&sinAZ:sinBAsinC

sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).

在△ABC中，由A+B+C=it,有sin(A+B)=sin(兀-C)=,'sinHC,

所以sinAsinB=sinC.

(2)由已知，b2+c2-a2=9bc,根据余弦定理，有cosA=也+c——£_=-

52bc5

________4

所以sinA=71-cos2A=~

443

由(I),sinAsinB=nsin,*AcosB+cosAsinB,所以二sinB二=cosB+《sinB,

..sinB

故tanB=-------=4.

cosB

考点：余弦定理的应用；正弦定理；余弦定理

’■n视频「

20.AABC的内角A,3,C的对边分别为8,c,已知asin-------=bsinA.

2

（1）求8；

（2）若AABC为锐角三角形，且c=l,求AABC面积的取值范围.

【答案】（1）8=2；（2）（4,日）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理化简题中等式，得到关于B的三角方程，最后根据A,B,C

JII

均为三角形内角解得6=§.（2）根据三角形面积公式S.ABc=5ac-sin6,又根据正弦

定理和c=l得到S.ABC关于C的函数，由于AABC是锐角三角形，所以利用三个内角

TT

都小于5来计算c的定义域，最后求解S.ABC（C）的值域.

A-L-C44-C

【详解】(1)根据题意asin-------=bsinA,由正弦定理得sinAsin-------=sinBsinA,

22

因为0<A<»,故sinA>0,消去sinA得sin-------=sinB.

2

0<B<71,0<—〈万因为故一=B或者一^+8=»，而根据题意

222

4+「A-\-C

A+B+C=〃，故-----+B=万不成立，所以——-=B,又因为A+B+C=〃,

22

代入得33="，所以8=2TT.

JI2

（2）因为AABC是锐角三角形，由（1）知5=§,A+B+C=〃得到A+C=§»,

0<C<-

2

故，、，解得g<C<g.

0<--C<-62

32

a

又应用正弦定理~~,c=l,

sinAsinC

由三角形面积公式有:

gsin停一C)

1.12。.D1sinA

q=­ac^mBD=—c—smB=—c2-------sin3=

22c2sinC4sinC

2%>24.

rsin——cosC-cos——sinC也？兀、?兀

31

-------------------------------------=-----(sin----------cos—)----------F

4sinC43tanC38tanC8

又映〈。吟tanC>*，故（31G73

<----------F——<——，

8tanC82

故由<SABC卫

8"A8c2

故S,BC的取值范围是（中，中）

【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此

题也可以用余弦定理求解），最后考查AABC是锐角三角形这个条件的利用.考查

的很全面，是一道很好的考题.

21.如图，已知正方形A6CD中,JF分别是C£),AO的中点交于点P.求证:

(1)BELCF;

(2)AP=AB.

【答案】(1)见试题解析；(2)见试题解析

【解析】

【分析】(1)如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点，不妨设AB=2,则

A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1),再求出而和丽的坐标，再计算得配?飞］=0即证

BELCF.(2)设P(x,y),再根据已知求出再求+(|)=4=

AB2-即证明AP=AB.

【详解】如图建立平面直角坐标系xOy,其中A为原点,不妨设AB=2,

则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(DBE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2),

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2>(-2,-1),

,•*BE?C]=(-l)x(-2)+2x(-l)=0,

BE±CF,WBE±CF.