第6章空间向量与立体几何【过关测试】-2021-2022学年高二数学单元复习（苏教版2019选择性必修第二册）（解析版）

2021-2022学年高二数学单元复习过过过【过关测试】

第6章空间向量与立体几何

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知a=(i,-3,2)平行的一个向量的坐标为()

A.(1,3,2)B.(-1,—3,2)C.(-1,3,-2)D.(1,-3,-2)

【答案】C

【解析】设与1=(1,-3,2)平行的一个向量为5,则由共线定理得足日=4G.

所以当彳=-1时，5=(-1,3,-2).

故选C.

2.已知Afii=(2,—1,3),AC=(-1,4,-2),<40=(5,-6,A),若A,B,C,。四点共面，则实

数；1为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】-.-A,B,C，。四点共面，

.•.存在实数W,n,使得而=心丽+〃正,

2m-n=5m=2

〈—m+4〃=—6,解得<〃=-1,

3777-2n=A2=8

故选D.

3.已知三棱锥O—/WC,点、M,N分别为43,OC的中点，且砺=4,OB=b,OC=c,用2,b,c

表示丽，则MM等于()

1-111

A.—(b+c—3)B.—(5+h—c)C.—(a—b+c)D.—(c—u—b)

2222

【答案】D

【解析】由题意知=

1—.1—.—.

=-OC——(OA+OB)

22

OA=a,OB=b,OC=c

——•1-

MN=-(c-b-c)

故选D.

4.在正四面体ZMfiC中，点O是AABC的中心，DO=xDA+yDB+zDC,贝lj()

A.x=y=z=—B.x=y=z=—C.x=y=z=—D.x=y=z=1

432

【答案】B

【解析】当O,A,B，C四点共面时，DO=xDA+yDB+zDC,

满足的充要条件：x+y+z=l：

当X=y=Z=，时，满足!+』+!=1,所以砺+J丽+'0。，

3333333

故选B.

5.设x,ysR,向量M=(x,1,1),6=(1,y,1),c=(2,-4,2),ELal.c,bile,贝！Jx+y的值

为()

A.一1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】va±c,

=2x-4+2=0»解得x=l.

•/b//cf

1=22

/.b=Ac9*y=-42,解得2=—,y=—2.

1=22

:.x+y=-1.

故选A.

6.已知向量a=(1,0,1),6=(2,0,-2),若(%+■)•(4+防)=2,贝必等于()

321

A.1B.-C.-D.-

555

【答案】D

【解析】向量4=(1,0,1),5=(2,。,—2),

所以以+B=(2+2,0,k-2),1+防=(22+1,0,一2左+1),

又(ka+加•("+kb)=2,

所以(人+2)(2左+1)+伏一2)(—2%+1)=2,

解得左=1.

5

故选D.

7.如图，在平行六面体A8C£>-AB|G〃中，己知=AD=b,4A；=dS则用向量b,1可表示

【答案】D

【解析】BD^=BA+AD+DD^=-a+b+c,

故选D.

8.如图，4?是OO的直径，R4垂直于OO所在平面，C是圆周上不同于A,3两点的任意一点，且他=2,

PA=BCf,则二面角A-3C-尸的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【解析】:他是©O的直径，R4垂直于0O所在平面，C是圆周上不同于A,8两点的任意一点，

且他=2,PA=BC=6

AC^BC,AC=4AB'-BC-=\，

以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

P(0,0,也),B5,1,0),C(0,1,0),

方=(百/，-扬，PC=(O,1,-V3),

设平面PBC的法向量/i=(x,y,z),

,,,[n»PB=y/3x+y-y/3z=0,厂

则＜_J,取z=l,得力=(0,61),

n»PC=y-v3z=0

平面ABC的法向量而=(0,0,1),

设二面角A—8C—尸的平面角为。，

则cos，=""""=J_,...6=60。，

\m\^n\2

，二面角A—8C—P的大小为60。，

故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线/的一个方向向量为d=(%J,3),平面a的一个法向量为5=(-2,〃[)，则()

A.若///a,则一〃=3B.若/J_a,则2〃?一〃=3

C.若〃/a,贝！|〃zn+2=0D.若/_La,贝!|»in+2=0

【答案】AD

【解析】若/〃a,则&JLB,即有小B=0,即—2〃?+〃+3=0,

即有2M一”=3,故A正确，C错误；

若/_La，则方//5,即有石=

可得—2=A,m，n=A>1=3/1-

解得2=4，"=—6，n=—,

33

则〃曲+2=-2+2=0,故5错误，。正确.

故选AD.

10.正方体48C£)-AB|GA中，E、F、G、”分别为CQ、BC、CD、8片的中点，则下列结论正确

的是()

(|

«>

A.Bfi1BCB.平面AEFC平面A41A£>=A"

C.AH"面AEFD.二面角E-AF—C的大小为工

【答案】BC

【解析】以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

设正方体棱长为1,则A(l,0,0),E(0,1,；),P(g,1,0).B«,1,1),G(0,g,0),

H(l,1,：),A«,0,1),8(1,1,0),C(0,1,0),

...不7=(0,I,_1),AF=(-1,I,0),FE=(-1,0,I),AD'=(-1,0,1),BC=(-1,0,0),

——1

B]G=(-1♦——,—1),

AD^=2FEfAD,//EF,

平面4户与平面ADD^A,的交线为ADt,故5正确；

■,BtGBC=l^0.BQ与8c不垂直，故A错误；

m-AF=Q

设平面AE77的法向量为沅=(x,y,z),则，

庆•而=0

1c

——x+y=0

2,令y=l可得加=(2,1,2),

---x+—z=0

22

A”，•玩=o+i-i=o,.•.4”//平面越尸，故c正确;

平面AfiCZ)的一个法向量为为=(0,0,1),

m-n22

/.cos<rn.ii>=

所II利3^13

7

设二面角七—AF—C的大小为e,贝l」cos，=—,故O错误.

3

故选BC.

11.在空间四边形。48c中，E、F分别是。4、8c的中点，P为线段砂上一点，且=设丽=d,

OB=b,OC=c,则下列等式成立的是（）

11111

B+

A.2-2-6-6-6-

11111

.

c.a++Dar

=一

a3-3-3-3-6-c

【解析】•:E、I分别是。4、的中点,

•1.OF=-{OB+OC)=-OB+-OC=-~b+-~c,故A正确，

22222

EF=OF-OE=-T>+-~c--a,

222

•;PF=2EP，

:.EP=-EF.FP=-EF,

33

即EP-—EF=—(—b+—c——a)=—■-a+—Z?+—c,故5正确,

33222666

FP=--EF=--(-fe+-c--J)=-ci--fe--c,故C错误，

33222333

OP=OE+EP=-a--a+-~b+-~c=-a+-l>+-~c,故£)正确.

2666366

故选ABD.

12.空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0,0),8(1,2,0),C(0,0,1),,0,1),£(5,

6,-4),则()

A.AE=4AB-3AC

B.A,B,C,£四点共面

C.向量。方是平面反C的法向量

D.OE与平面ABE所成角的余弦值为运

154

【答案】BC

【解析】时于A，因为荏=(4,6,-4),而=(0,2,0),而=(-1,0,1),4醺-3/=(3,8,-3),

所以A错；

对于5,因为荏=3通-4；记，所以说、AB,而共面，所以A、B、C、E四点共面，所以5对：

对于C,因为历=(1,0,1),ABOD=0,ACOD=0,所以而是平面ABC的法向量，所以C对;

对于。，山A知福i=(0,2,0),AE=(4,6,-4),OE=(5,6,-4),令欢=(1,0,1),

因为A而戊=0,ABm=0,所以庆是平面⑷阳的法向量,

|反•所|11

所以OE与平面ABE所成角的正弦值为

[国.|向一岳.血一V154

所以OE与平面ME所成角的余弦值为‘仁工叵，所以。错.

VV154154

故选BC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量1=(1,1,0),5=(-1,0,2),且%+5与2a互相垂直，则A=

【答案】-

5

【解析】••,向量M=(1,1,0),b=(-1,0,2),

.,.妨+5=(&-1,k,2),

2a-b=[3,2,-2),

ka+b2d-b互相垂直,

..(%+b)・(2值一切=3(左一1)+2左一4=0,

解得人=2.

5

故答案为：--

5

14.已知向量方=(0,-1,1),6=(4,1,0),|而+昨回且>1>0,则；1=

【答案】3

(解析】•.=(0,-1,1),b=(4,1,0),.,.而+方=(4,1-A.2),

.-.16+(2-1)2+/12=29(2>0),

.,.A=3,

故答案为：3.

15.已知两点A(l,2,3),8(2,1,2),P(l,1,2)点。在直线OP上运动，则当说;。豆取得最小值时,

。点的坐标.

【答案】4tJ)

333

【解析】设。。，y,z)

•/Ad,2,3),(2,1,2),尸(1,1,2).

则由点0在直线OP上可得存在实数；I使得丽=2丽=(2,A,22)

则Q。，A,22)

QA=(l-A,2-2,3-22),QB=(2-A,1-2,2-22)

QA-QB=(1-2)(2-A)+(2-2)(1-2)+(3-22)(2-22)=2(322—82+5)

根据二次函数的性质可得当几=3时，取得最小值-2此时。点的坐标为：

33333

故答案为：(士士。)

333

16.给出下列命题:

①直线/的方向向量为a=(l,-1,2),直线加的方向向量方=(2,1,-1),则/与加垂直;

②直线/的方向向量1=(0,1,-1),平面夕的法向量万=(1,-1,-1),WiJ/±«；

③平面a、尸的法向量分别为4=(0,1,3),%=(1,0,2),则a//£；

④平面a经过三点A(l,0,-1),B(0,1,0),C(-l,2,0),向量万=(1,",f)是平面a的法向量,

则“+1=1.

其中真命题的是—.(把你认为正确命题的序号都填上)

【答案】①④

【解析】对于①，"=(1,-1,2),b=(2,1,-1),

=1x2-lxl+2x(-1)=0.

a.Lb

・•・直线/与根垂直，①正确；

对于②，a=(0,1,-1),n=(y,-1,-1),

.o.M•万=0x1+1x(-1)+(-1)x(-1)=0,

/.a±n1:.lIla或lua,②错误；

对于③，马=(0,1,3),n2=(1,0,2),

/.I与〃2.不共线，

/.a///不成立，③错误；

对于④，・・•点A(l,0,-1),8(0,1,0),C(-l,2,0),

=1,1),BC=(-1,1,0),

向量为=(1,〃，f)是平面a的法向量，

卜•福二0

U.5C=0

则〃+看=1,④正确.

综上，以上真命题的序号是①④.

故答案为：①④.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知：a=(%,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),allb,bLc,求:

(1)a»6,c;

(2)&+C与5+d所成角的余弦值.

【答案】(1)Va//h,

x41

—=—=一，

-2y-1

解得x=2,y=-4,

故1=(2,4,1),5=(-2,-4,-1),

又因为5_L^,所以5吃=0,即—6+8—z=0,解得z=2,

故C=(3,-2,2)；

(2)由(1)可得&+^=(5,2,3),b+c=(\,-6,1),

设向量1+^与5+E所成的角为6,

5-12+32

则cose=

X/38-738

18.如图，四棱柱ABCD-A与CQ的底面的8为正方形，OR1■平面AB8，AAt=4,AB=2,点、E

在CG上，且GE=3EC.

（I）求证：A.C1DE；

（II）求直线CQ与平面瓦）E所成角的正弦值；

（III）求平面与平面A3D夹角的余弦值.

【答案】（I）证明：以。为原点，D4QCOA所在的直线为初轴的正方向建立空间直角坐标系,

4B

则8(2,2,0),E(0,2,I),0(0,0,0),A/2,0,4),C(0,2,0),

所以诙=(0,2,1),BE=(-2,0,1),^C=(-2,2,-4),

设平面£>3E的一个法向量为元=(x,y,z),

,.,,DE­n=0,(2y+z=0.,

所r以4__.>即ai>令z=2,则nx=l,y=—l,

BEn=0[?2x+z=0

所以为=(1,-1,2),所以卒=(-2,2,-4)=-2(1,-1,2)=-2fi,

所以ACL平面3£)E，DEu平面BDE,所以AC_LOE.

(II)解：0.(0,0,4),所以西=(0,0,4),

由⑴平面OBE的一个法向量为元=(1,-1,2),

L

设直线DDtj平面BDE所成角的为6，

所以直线DD,与平面型所成角的正弦值sin0=|cos</7,西〉|=潟।=品泻.

(III)解：由己知Db\为平面ABD的一个法向量，目.力瓦=(0,0,4),

由(I)平面。跖的一个法向量为元=(1,-1,2),

所以cos〈£)R,>i〉=8广=-^>

4763

IlI图可得平面BDE与平面ABD夹角的余弦值为—•

3

19.如图，平面A8CD_L平面4)£尸，其中A3。为矩形，ADEF为梯形，AF//DE,AFYFE,

AF=AD=2DE=2.

(I)求证：瓦'_L平面84F;

(II)若二面角的平面角的余弦值为Y-,求AB的长.

【答案】(I)证明：•.•平面ABCD_L平面且ABCD为矩形，

.•.R4_L平面

又£Fu平面:.BALEF,

又AF_L£F且AF0|BA=A,

二。_1平面曲下：

(n)解：设AB=t-

以尸为原点，AF,尸E所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系尸-早z.

则尸(0,0,0),A(-2,0,0),E(0,石，0),。(-1,上,0),8(-2,0,t),

DF=(1,-B0),BF=(2,0,-t).

平面ASb,.•.平面钻产的法向量可取而=(0,1,0).

设法=(x,y,z)为平面的法向量，

则2e=X-回=0,取y=l,可得元=(GI,雪.

n»BF=2x-tz=0t

*:cos<m,n>=加"=—,得t=6,

\m\^n\4

/.AB=y/3.

c

20.如图所示，在三棱柱中，CC|_L平面48C,ACA.BC,AC=BC=2,CC,=3,点。,

E分别在棱A4,和棱CG上，且4)=1，CE=2,点M为棱44的中点.

(1)求证：£///平面。B|E；

(2)求直线与平面力与E所成角的正弦值.

【答案】(1)证明：建系如图，C(0，0,0),4(2,0,0),8(0,2,0),G(°，。，3),

4(2,0,3),B,(0,2,3),0(2,0,I),E(0,0,2),M(1,1,3),

啊=(1,1,0),丽=(2,-2,-2),ED=(2,0,-1),

令为=(1,—1,2),

因为丽♦为=0,EDn=0,

所以力=(1,-1,2)为平面DB.E的法向量，

因为却0・克=0,GM仁平面DB|E，

所以£M//平面

(2)解：由(1)知通=(-2,2,0),万=(1,-1,2)为平面OB|E的一个法向量,

设AS与平面力8避所成角为。，

所以sin。=|cos<AB,ri>|=',

\AB\-\n\3

所以直线旗与平面叫E所成角的正弦值为冬

21.如图，在三棱锥中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.

(1)证明：POJ.平面ABC；

(2)若点M在棱上，且二面角M-A4-C为30。，求PC与平面小”所成角的正弦值.

【答案】（1）证明：连接80,

・：AB=BC=2^,O是AC的中点,

.-.BOA.AC,且30=2,

又PA=PC=PB=AC=4,

:.PO^AC,PO=24,

贝UPB1=PO2+BO2,

则PO工OB,

平面MC；

(2)建立以O坐标原点，OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:

A(0,-2.0),P(0,0,273),C(0,2,0),8(2,0,0),

BC=(-2,2,0),

设AA/=；IBC=(-2/1,22.0),0<2<l

则汹=加-丽=(-2/l,22,0)-(-2,-2.0)=(2-2/l,24+2,0),

则平面的法向量为丽=(1,0,0),

设平面MR4的法向量为万=(x,y,z),

贝ij而=(O,-2,-2扬，

则为•丽=-2y-2Gz=0,ii-AM=(2-2A)x+(2A+2)y=0

令z=l,则尸-百，x=('+D&，

1-2

即”=(.+1)6,—百，1),

1-2

•・•二面角M—R4—C为30。，

m-n

.-.COS30°=1

IIInI邛

(7+1)百

即]-4

2

.回2+1+3.]

解得4=，或2=3(舍)，

3

则平血MPA的法向量M=(2g,-6，1)，

PC=(0,2,-2我，

-26-26,4也上

PC与平面PAM所成角的正弦值sin0=|cos<PC,n>|=|----------1=-----