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文档简介
一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业53抛物线〖基础达标〗一、选择题1.〖2021·吉林辽源市田家炳中学调研〗以直线x=1为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x2.〖2021·惠州市高三调研考试试题〗若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是()A.6B.8C.9D.103.〖2021·长沙市四校高三年级模拟考试〗已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l过点F与抛物线交于A,B两点,过A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为C,D两点,M为线段AB的中点,则△CDM是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4.〖2020·全国卷Ⅲ〗设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0))C.(1,0)D.(2,0)5.〖2021·山东菏泽检测〗已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点.若线段MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,O是坐标原点,则()A.抛物线C的方程是y2=8xB.抛物线C的准线方程是y=2C.直线l的方程是x-y+2=0D.△MON的面积是8eq\r(2)二、填空题6.〖2021·沈阳质量检测〗已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上,则△AOB的边长是________.7.〖2021·合肥市高三教学质量检测〗直线l过抛物线C:y2=12x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,若弦AB的长为16,则直线l的倾斜角等于________.8.〖2021·湖北省部分重点中学高三起点考试〗已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|:|MN|=1:2,则实数a的值为________.三、解答题9.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3eq\r(5),求此抛物线方程.
10.〖2021·江西南昌重点中学段考〗已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.〖能力挑战〗11.〖2021·黄冈中学、华师附中等八校联考〗已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,而且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=2(O为坐标原点),若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2,则S1+4S2的最小值是()A.eq\f(7\r(3),2)B.6C.2eq\r(3)D.4eq\r(3)12.〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗已知抛物线y2=4x的焦点为F,斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,交准线于点P,且eq\o(PA,\s\up6(→))=eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→)),则该直线在y轴上的截距为________,|AF|+|BF|=________.13.〖2021·河北省九校高三联考试题〗已知抛物线C:x2=8y的准线与y轴交于点A,焦点为F,点P是抛物线C上任意一点,令t=eq\f(|PA|,|PF|),当t取得最大值时,直线PA的斜率是________.课时作业531.〖解析〗易知以直线x=1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上,且抛物线开口向左,所以y2=-4x,故选D.〖答案〗D2.〖解析〗抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M的横坐标xM=9,即点M到y轴的距离是9,选C.〖答案〗C3.〖解析〗四边形ABDC为直角梯形,取CD的中点为N,连接MN,则MN为梯形ABDC的中位线,所以|MN|=eq\f(1,2)(|AC|+|BD|),且MN⊥CD.由抛物线的定义得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|=|AB|,所以|MN|=eq\f(1,2)|AB|.设直线AB的倾斜角为α,则tanα=eq\f(\r(2),2),所以sinα=eq\f(\r(3),3),所以|CD|=|AB|sinα=eq\f(\r(3),3)|AB|,则|CN|=|DN|=eq\f(\r(3),6)|AB|,所以|MC|=|MD|=eq\r(|MN|2+|CN|2)=eq\f(\r(3),3)|AB|,所以|MC|=|MD|=|CD|,则△CDM为等边三角形.故选C.〖答案〗C4.〖解析〗由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y2=2px))得D(2,2eq\r(p)),E(2,-2eq\r(p)),∵OD⊥OE,∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0)),故选B.〖答案〗B5.〖解析〗设M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义,知|MN|=-(x1+x2)+p=16.又MN的中点到y轴的距离为6,∴-eq\f(x1+x2,2)=6,∴x1+x2=-12,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=-8x,故A错误;抛物线C的准线方程是x=2,故B错误;设直线l的方程是x=my-2,联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=-8x,,x=my-2,))消去x得y2+8my-16=0,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1+y2=-8m,,y1·y2=-16))∴x1+x2=-8m2-4=-12,解得m=±1,故直线l的方程是x-y+2=0或x+y+2=0,故C错误;抛物线C的焦点为F(-2,0),S△MON=eq\f(1,2)|OF|·|y1-y2|=eq\f(1,2)×2eq\r(y1+y22-4y1y2)=eq\r(64+64)=8eq\r(2),故D正确.故选D.〖答案〗D6.〖解析〗如图,设△AOB的边长为a,则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a,\f(1,2)a)),因为点A在抛物线y2=3x上,所以eq\f(1,4)a2=3×eq\f(\r(3),2)a,所以a=6eq\r(3).〖答案〗6eq\r(3)7.〖解析〗抛物线C:y2=12x的焦点为(3,0),当直线l的斜率不存在时,弦长为12,不合题意,故直线l的斜率存在,设为k,则直线l:y=k(x-3),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=12x,y=kx-3)),得k2x2-(6k2+12)x+9k2=0,Δ=(6k2+12)2-4k2×9k2=144(k2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=eq\f(6k2+12,k2),|AB|=x1+x2+p=eq\f(6k2+12,k2)+6=16,∴k2=3,k=±eq\r(3),∴直线l的倾斜角等于eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).〖答案〗eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)8.〖解析〗解法一依题意得抛物线的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0)),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|:|MN|=1:2,所以|KN|:|KM|=eq\r(3):1,又kFN=eq\f(0-1,\f(a,4)-0)=-eq\f(4,a),kFN=-eq\f(|KN|,|KM|)=-eq\r(3),所以-eq\f(4,a)=-eq\r(3),解得a=eq\f(4\r(3),3).解法二因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0)),准线方程为x=-eq\f(a,4),所以AF的方程为4x+ay-a=0,所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,4),2)).因为|FM|:|MN|=1:2,所以|FM|=eq\f(1,3)|FN|,所以xM=eq\f(a,12),yM=eq\f(2,3).因为(xM,yM)在抛物线上,所以eq\f(4,9)=eq\f(a2,12),得a=eq\f(4\r(3),3).〖答案〗eq\f(4\r(3),3)9.〖解析〗设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,得4x2-(a+16)x+16=0,由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.又x1+x2=eq\f(a+16,4),x1x2=4,所以|AB|=eq\r(1+22[x1+x22-4x1x2])=eq\r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+16,4)))2-16)))=3eq\r(5)所以5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+16,4)))2-16))=45,所以a=4或a=-36.故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.10.〖解析〗设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.①(1)由x2=2py得y′=eq\f(x,p),则A,B处的切线斜率的乘积为eq\f(x1x2,p2)=-eq\f(2,p),∵点N在以AB为直径的圆上,∴AN⊥BN,∴-eq\f(2,p)=-1,∴p=2.(2)易得直线AN:y-y1=eq\f(x1,p)(x-x1),直线BN:y-y2=eq\f(x2,p)(x-x2),联立,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y-y1=\f(x1,p)x-x1,,y-y2=\f(x2,p)x-x2,))结合①式,解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=pk,,y=-1,))即N(pk,-1).|AB|=eq\r(1+k2)|x2-x1|=eq\r(1+k2)eq\r(x1+x22-4x1x2)=eq\r(1+k2)·eq\r(4p2k2+8p),点N到直线AB的距离d=eq\f(|kxN+1-yN|,\r(1+k2))=eq\f(|pk2+2|,\r(1+k2)),则S△ABN=eq\f(1,2)·|AB|·d=eq\r(ppk2+23)≥2eq\r(2p),当且仅当k=0时,取等号,∵△ABN的面积的最小值为4,∴2eq\r(2p)=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.11.〖解析〗依题意,设直线AB的方程为x=ty+m,联立直线与抛物线方程,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=ty+m,y2=x)),消去x,得y2-ty-m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-m,因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=2,所以x1x2+y1y2=2,即(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点A,B位于x轴的两侧,所以y1y2<0,解得y1y2=-2,所以m=2,所以直线AB过点(2,0),不妨设点A在x轴的上方,则y1>0,因为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0)),所以S1+4S2=eq\f(1,2)×2×(y1-y2)+4×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1=eq\f(3y1,2)+eq\f(2,y1)≥2eq\r(3),当且仅当eq\f(3y1,2)=eq\f(2,y1)且y1>0,即y1=eq\f(2\r(3),3)时等号成立.〖答案〗C12.〖解析〗设斜率为2的直线方程为y=2x+b,代入y2=4x,得4x2+(4b-4)x+b2=0,Δ=(4b-4)2-16b2>0,即b<eq\f(1,2).设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1-b,x1x2=eq\f(b2,4).由eq\o(PA,\s\up6(→))=eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→)),得eq\f(|PB|,|PA|)=eq\f(2,5).如图,分别过点A,B作准线的垂线,交准线于点C,D,则eq\f(|BD|,|AC|)=eq\f(2,5),易得|AC|=x1+1,|BD|=x2+1,所以eq\f(x2+1,x1+1)=eq\f(2,5),根据x1+x2=1-b,得x1=eq\f(8-5b,7),x2=eq\f(-1-2b,7),代入x1x2=eq\f(b2,4),得9b2+44b+32=0,解得b=-4或b=-eq\f(8,9),则x1+x2=5或eq\f(17,9).又|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2,所以|AF|+|BF|的值为7或eq\f(35,9).〖答案〗-4或-eq\f(8,9)7或eq\f(35,9)13.〖解析〗通解由题意知A(0,-2),F(0,2),过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线),垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|=|PB|.令∠PAB=α,则t=eq\f(|PA|,|PF|)=eq\f(|PA|,|PB|)=eq\f(1,sinα),当sinα最小时,t最大.当直线PA与抛物线x2=8y相切时,sinα最小,即t最大.设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0,\f(x\o\al(2,0),8))),由于y′=eq\f(x,4),所以在点P处切线的斜率k=eq\f(x0,4),所以在点P处的切线方程为y-eq\f(x\o\al(2,0),8)=eq\f(x0,4)(x-x0),又切线过A(0,-2),所以-2-eq\f(x\o\al(2,0),8)=-eq\f(x\o\al(2,0),4),解得x0=±4,所以当t取得最大值时,直线PA的斜率为±1.优解由题意知A(0,-2),F(0,2),过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线),垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|=|PB|.令∠PAB=α,则t=eq\f(|PA|,|PF|)=eq\f(|PA|,|PB|)=eq\f(1,sinα),当sinα最小时,t最大.当直线PA与抛物线x2=8y相切时,sinα最小,即t最大.根据过准线上任一点作抛物线的两条切线互相垂直,知过点A(0,-2)作抛物线的两切线关于y轴对称,且互相垂直,即两切线的斜率为±1,所以当t取得最大值时,直线PA的斜率为±1.〖答案〗±1课时作业53抛物线〖基础达标〗一、选择题1.〖2021·吉林辽源市田家炳中学调研〗以直线x=1为准线的抛物线的标准方程为()A.y2=2xB.y2=-2xC.y2=4xD.y2=-4x2.〖2021·惠州市高三调研考试试题〗若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是()A.6B.8C.9D.103.〖2021·长沙市四校高三年级模拟考试〗已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l过点F与抛物线交于A,B两点,过A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为C,D两点,M为线段AB的中点,则△CDM是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形4.〖2020·全国卷Ⅲ〗设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0))C.(1,0)D.(2,0)5.〖2021·山东菏泽检测〗已知直线l过抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点,且与该抛物线交于M,N两点.若线段MN的长是16,MN的中点到y轴的距离是6,O是坐标原点,则()A.抛物线C的方程是y2=8xB.抛物线C的准线方程是y=2C.直线l的方程是x-y+2=0D.△MON的面积是8eq\r(2)二、填空题6.〖2021·沈阳质量检测〗已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上,则△AOB的边长是________.7.〖2021·合肥市高三教学质量检测〗直线l过抛物线C:y2=12x的焦点,且与抛物线C交于A,B两点,若弦AB的长为16,则直线l的倾斜角等于________.8.〖2021·湖北省部分重点中学高三起点考试〗已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|:|MN|=1:2,则实数a的值为________.三、解答题9.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得的弦长|AB|=3eq\r(5),求此抛物线方程.
10.〖2021·江西南昌重点中学段考〗已知抛物线C:x2=2py(p>0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若△ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.〖能力挑战〗11.〖2021·黄冈中学、华师附中等八校联考〗已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,而且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=2(O为坐标原点),若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2,则S1+4S2的最小值是()A.eq\f(7\r(3),2)B.6C.2eq\r(3)D.4eq\r(3)12.〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗已知抛物线y2=4x的焦点为F,斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,交准线于点P,且eq\o(PA,\s\up6(→))=eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→)),则该直线在y轴上的截距为________,|AF|+|BF|=________.13.〖2021·河北省九校高三联考试题〗已知抛物线C:x2=8y的准线与y轴交于点A,焦点为F,点P是抛物线C上任意一点,令t=eq\f(|PA|,|PF|),当t取得最大值时,直线PA的斜率是________.课时作业531.〖解析〗易知以直线x=1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上,且抛物线开口向左,所以y2=-4x,故选D.〖答案〗D2.〖解析〗抛物线y2=4x的准线方程为x=-1.抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M的横坐标xM=9,即点M到y轴的距离是9,选C.〖答案〗C3.〖解析〗四边形ABDC为直角梯形,取CD的中点为N,连接MN,则MN为梯形ABDC的中位线,所以|MN|=eq\f(1,2)(|AC|+|BD|),且MN⊥CD.由抛物线的定义得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|=|AB|,所以|MN|=eq\f(1,2)|AB|.设直线AB的倾斜角为α,则tanα=eq\f(\r(2),2),所以sinα=eq\f(\r(3),3),所以|CD|=|AB|sinα=eq\f(\r(3),3)|AB|,则|CN|=|DN|=eq\f(\r(3),6)|AB|,所以|MC|=|MD|=eq\r(|MN|2+|CN|2)=eq\f(\r(3),3)|AB|,所以|MC|=|MD|=|CD|,则△CDM为等边三角形.故选C.〖答案〗C4.〖解析〗由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=2,,y2=2px))得D(2,2eq\r(p)),E(2,-2eq\r(p)),∵OD⊥OE,∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))=4-4p=0,∴p=1,∴C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),0)),故选B.〖答案〗B5.〖解析〗设M(x1,y1),N(x2,y2),根据抛物线的定义,知|MN|=-(x1+x2)+p=16.又MN的中点到y轴的距离为6,∴-eq\f(x1+x2,2)=6,∴x1+x2=-12,∴p=4,∴抛物线C的方程为y2=-8x,故A错误;抛物线C的准线方程是x=2,故B错误;设直线l的方程是x=my-2,联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=-8x,,x=my-2,))消去x得y2+8my-16=0,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1+y2=-8m,,y1·y2=-16))∴x1+x2=-8m2-4=-12,解得m=±1,故直线l的方程是x-y+2=0或x+y+2=0,故C错误;抛物线C的焦点为F(-2,0),S△MON=eq\f(1,2)|OF|·|y1-y2|=eq\f(1,2)×2eq\r(y1+y22-4y1y2)=eq\r(64+64)=8eq\r(2),故D正确.故选D.〖答案〗D6.〖解析〗如图,设△AOB的边长为a,则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a,\f(1,2)a)),因为点A在抛物线y2=3x上,所以eq\f(1,4)a2=3×eq\f(\r(3),2)a,所以a=6eq\r(3).〖答案〗6eq\r(3)7.〖解析〗抛物线C:y2=12x的焦点为(3,0),当直线l的斜率不存在时,弦长为12,不合题意,故直线l的斜率存在,设为k,则直线l:y=k(x-3),由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2=12x,y=kx-3)),得k2x2-(6k2+12)x+9k2=0,Δ=(6k2+12)2-4k2×9k2=144(k2+1)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=eq\f(6k2+12,k2),|AB|=x1+x2+p=eq\f(6k2+12,k2)+6=16,∴k2=3,k=±eq\r(3),∴直线l的倾斜角等于eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).〖答案〗eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)8.〖解析〗解法一依题意得抛物线的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0)),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|:|MN|=1:2,所以|KN|:|KM|=eq\r(3):1,又kFN=eq\f(0-1,\f(a,4)-0)=-eq\f(4,a),kFN=-eq\f(|KN|,|KM|)=-eq\r(3),所以-eq\f(4,a)=-eq\r(3),解得a=eq\f(4\r(3),3).解法二因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4),0)),准线方程为x=-eq\f(a,4),所以AF的方程为4x+ay-a=0,所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(a,4),2)).因为|FM|:|MN|=1:2,所以|FM|=eq\f(1,3)|FN|,所以xM=eq\f(a,12),yM=eq\f(2,3).因为(xM,yM)在抛物线上,所以eq\f(4,9)=eq\f(a2,12),得a=eq\f(4\r(3),3).〖答案〗eq\f(4\r(3),3)9.〖解析〗设所求的抛物线方程为y2=ax(a≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线y=2x-4代入y2=ax,得4x2-(a+16)x+16=0,由Δ=(a+16)2-256>0,得a>0或a<-32.又x1+x2=eq\f(a+16,4),x1x2=4,所以|AB|=eq\r(1+22[x1+x22-4x1x2])=eq\r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+16,4)))2-16)))=3eq\r(5)所以5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+16,4)))2-16))=45,所以a=4或a=-36.故所求的抛物线方程为y2=4x或y2=-36x.10.〖解析〗设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.①(1)由x2=2py得y′=eq\f(x,p),则A,B处的切线斜率的乘积为eq\f(x1x2,p2)=-eq\f(2,p),∵点N在以AB为直径的圆上,∴AN⊥BN,∴-eq\f(2,p)=-1,∴p=2.(2)易得直线AN:y-y1=eq\f(x1,p)(x-x1),直线BN:y-y2=eq\f(x2,p)(x-x2),联立,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y-y1=\f(x1,p)x-x1,,y-y2=\f(x2,p)x-x2,))结合①式,解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=pk,,y=-1,))即N(pk,-1).|AB|=eq\r(1+k2)|x2-x1|=eq\r(1+k2)eq\r(x1+x22-4x1x2)=eq\r(1+k2)·eq\r(4p2k2+8p),点N到直线AB的距离d=eq\f(|kxN+1-yN|,\r(1+k2))=eq\f(|pk2+2|,\r(1+k2)),则S△ABN=eq\f(1,2)·|AB|·d=eq\r(ppk2+23)≥2eq\r(2p),当且仅当k=0时,取等号,∵△ABN的面积的最小值为4,∴2eq\r(2p)=4,∴p=2,故抛物线C的方程为x2=4y.11.〖解析〗依题意,设直线AB的方程为x=ty+m,联立直线与抛物线方程,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=ty+m,y2=x)),消去x,得y2-ty-m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-m,因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))=2,所以x1x2+y1y2=2,即(y1y2)2+y1y2-2=0,因为点A,B位于x轴的两侧,所以y1y2<0,解得y1y2=-2,所以m=2,所以直线AB过点(2,0),不妨设点A在x轴的上方,则y1>0,因为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4),0)),所以S1+4S2=eq\f(1,2)×2×(y1-y2)+4×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1=
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