统考版高考数学一轮复习第九章9.7抛物线课时作业理含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业53抛物线〖基础达标〗一、选择题1．〖2021·吉林辽源市田家炳中学调研〗以直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x2．〖2021·惠州市高三调研考试试题〗若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是()A．6B．8C．9D．103．〖2021·长沙市四校高三年级模拟考试〗已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l过点F与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D两点，M为线段AB的中点，则△CDM是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．〖2020·全国卷Ⅲ〗设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)5．〖2021·山东菏泽检测〗已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则()A．抛物线C的方程是y2＝8xB．抛物线C的准线方程是y＝2C．直线l的方程是x－y＋2＝0D．△MON的面积是8eq\r(2)二、填空题6．〖2021·沈阳质量检测〗已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．7．〖2021·合肥市高三教学质量检测〗直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于________．8．〖2021·湖北省部分重点中学高三起点考试〗已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|:|MN|＝1:2，则实数a的值为________．三、解答题9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3eq\r(5)，求此抛物线方程．

10.〖2021·江西南昌重点中学段考〗已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．〖能力挑战〗11．〖2021·黄冈中学、华师附中等八校联考〗已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1＋4S2的最小值是()A.eq\f(7\r(3),2)B．6C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)12．〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗已知抛物线y2＝4x的焦点为F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，则该直线在y轴上的截距为________，|AF|＋|BF|＝________.13．〖2021·河北省九校高三联考试题〗已知抛物线C：x2＝8y的准线与y轴交于点A，焦点为F，点P是抛物线C上任意一点，令t＝eq\f(|PA|,|PF|)，当t取得最大值时，直线PA的斜率是________．课时作业531．〖解析〗易知以直线x＝1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所以y2＝－4x，故选D.〖答案〗D2．〖解析〗抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M的横坐标xM＝9，即点M到y轴的距离是9，选C.〖答案〗C3．〖解析〗四边形ABDC为直角梯形，取CD的中点为N，连接MN，则MN为梯形ABDC的中位线，所以|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)，且MN⊥CD.由抛物线的定义得|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|MN|＝eq\f(1,2)|AB|.设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(2),2)，所以sinα＝eq\f(\r(3),3)，所以|CD|＝|AB|sinα＝eq\f(\r(3),3)|AB|，则|CN|＝|DN|＝eq\f(\r(3),6)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝eq\r(|MN|2＋|CN|2)＝eq\f(\r(3),3)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝|CD|，则△CDM为等边三角形．故选C.〖答案〗C4．〖解析〗由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y2＝2px))得D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，∵OD⊥OE，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故选B.〖答案〗B5．〖解析〗设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中点到y轴的距离为6，∴－eq\f(x1＋x2,2)＝6，∴x1＋x2＝－12，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝－8x，故A错误；抛物线C的准线方程是x＝2，故B错误；设直线l的方程是x＝my－2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－8x，,x＝my－2，))消去x得y2＋8my－16＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－8m，,y1·y2＝－16))∴x1＋x2＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1，故直线l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C错误；抛物线C的焦点为F(－2,0)，S△MON＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(64＋64)＝8eq\r(2)，故D正确．故选D.〖答案〗D6．〖解析〗如图，设△AOB的边长为a，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a))，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以eq\f(1,4)a2＝3×eq\f(\r(3),2)a，所以a＝6eq\r(3).〖答案〗6eq\r(3)7．〖解析〗抛物线C：y2＝12x的焦点为(3,0)，当直线l的斜率不存在时，弦长为12，不合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l：y＝k(x－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝12x,y＝kx－3))，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6k2＋12,k2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(6k2＋12,k2)＋6＝16，∴k2＝3，k＝±eq\r(3)，∴直线l的倾斜角等于eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).〖答案〗eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)8．〖解析〗解法一依题意得抛物线的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|:|MN|＝1:2，所以|KN|:|KM|＝eq\r(3):1，又kFN＝eq\f(0－1,\f(a,4)－0)＝－eq\f(4,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－eq\r(3)，所以－eq\f(4,a)＝－eq\r(3)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).解法二因为A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4)，所以AF的方程为4x＋ay－a＝0，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，2)).因为|FM|:|MN|＝1:2，所以|FM|＝eq\f(1,3)|FN|，所以xM＝eq\f(a,12)，yM＝eq\f(2,3).因为(xM，yM)在抛物线上，所以eq\f(4,9)＝eq\f(a2,12)，得a＝eq\f(4\r(3),3).〖答案〗eq\f(4\r(3),3)9．〖解析〗设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.又x1＋x2＝eq\f(a＋16,4)，x1x2＝4，所以|AB|＝eq\r(1＋22[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16)))＝3eq\r(5)所以5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16))＝45，所以a＝4或a＝－36.故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.10．〖解析〗设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝eq\f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq\f(x1x2,p2)＝－eq\f(2,p)，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－eq\f(2,p)＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝eq\f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq\f(x2,p)(x－x2)，联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))结合①式，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4p2k2＋8p)，点N到直线AB的距离d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，则S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r(2p)，当且仅当k＝0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2eq\r(2p)＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.11．〖解析〗依题意，设直线AB的方程为x＝ty＋m，联立直线与抛物线方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋m,y2＝x))，消去x，得y2－ty－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－m，因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＜0，解得y1y2＝－2，所以m＝2，所以直线AB过点(2,0)，不妨设点A在x轴的上方，则y1＞0，因为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以S1＋4S2＝eq\f(1,2)×2×(y1－y2)＋4×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1＝eq\f(3y1,2)＋eq\f(2,y1)≥2eq\r(3)，当且仅当eq\f(3y1,2)＝eq\f(2,y1)且y1>0，即y1＝eq\f(2\r(3),3)时等号成立．〖答案〗C12．〖解析〗设斜率为2的直线方程为y＝2x＋b，代入y2＝4x，得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0，Δ＝(4b－4)2－16b2＞0，即b＜eq\f(1,2).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4).由eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，得eq\f(|PB|,|PA|)＝eq\f(2,5).如图，分别过点A，B作准线的垂线，交准线于点C，D，则eq\f(|BD|,|AC|)＝eq\f(2,5)，易得|AC|＝x1＋1，|BD|＝x2＋1，所以eq\f(x2＋1,x1＋1)＝eq\f(2,5)，根据x1＋x2＝1－b，得x1＝eq\f(8－5b,7)，x2＝eq\f(－1－2b,7)，代入x1x2＝eq\f(b2,4)，得9b2＋44b＋32＝0，解得b＝－4或b＝－eq\f(8,9)，则x1＋x2＝5或eq\f(17,9).又|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2，所以|AF|＋|BF|的值为7或eq\f(35,9).〖答案〗－4或－eq\f(8,9)7或eq\f(35,9)13．〖解析〗通解由题意知A(0，－2)，F(0,2)，过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线)，垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，则t＝eq\f(|PA|,|PF|)＝eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,sinα)，当sinα最小时，t最大．当直线PA与抛物线x2＝8y相切时，sinα最小，即t最大．设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(x\o\al(2,0),8)))，由于y′＝eq\f(x,4)，所以在点P处切线的斜率k＝eq\f(x0,4)，所以在点P处的切线方程为y－eq\f(x\o\al(2,0),8)＝eq\f(x0,4)(x－x0)，又切线过A(0，－2)，所以－2－eq\f(x\o\al(2,0),8)＝－eq\f(x\o\al(2,0),4)，解得x0＝±4，所以当t取得最大值时，直线PA的斜率为±1.优解由题意知A(0，－2)，F(0,2)，过点P作PB⊥l(l为抛物线的准线)，垂足为B.由抛物线的定义可知|PF|＝|PB|.令∠PAB＝α，则t＝eq\f(|PA|,|PF|)＝eq\f(|PA|,|PB|)＝eq\f(1,sinα)，当sinα最小时，t最大．当直线PA与抛物线x2＝8y相切时，sinα最小，即t最大．根据过准线上任一点作抛物线的两条切线互相垂直，知过点A(0，－2)作抛物线的两切线关于y轴对称，且互相垂直，即两切线的斜率为±1，所以当t取得最大值时，直线PA的斜率为±1.〖答案〗±1课时作业53抛物线〖基础达标〗一、选择题1．〖2021·吉林辽源市田家炳中学调研〗以直线x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x2．〖2021·惠州市高三调研考试试题〗若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M到y轴的距离是()A．6B．8C．9D．103．〖2021·长沙市四校高三年级模拟考试〗已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为eq\f(\r(2),2)的直线l过点F与抛物线交于A，B两点，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D两点，M为线段AB的中点，则△CDM是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形4．〖2020·全国卷Ⅲ〗设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．(1,0)D．(2,0)5．〖2021·山东菏泽检测〗已知直线l过抛物线C：y2＝－2px(p＞0)的焦点，且与该抛物线交于M，N两点．若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则()A．抛物线C的方程是y2＝8xB．抛物线C的准线方程是y＝2C．直线l的方程是x－y＋2＝0D．△MON的面积是8eq\r(2)二、填空题6．〖2021·沈阳质量检测〗已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A，B在抛物线y2＝3x上，则△AOB的边长是________．7．〖2021·合肥市高三教学质量检测〗直线l过抛物线C：y2＝12x的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，若弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于________．8．〖2021·湖北省部分重点中学高三起点考试〗已知点A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|:|MN|＝1:2，则实数a的值为________．三、解答题9．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长|AB|＝3eq\r(5)，求此抛物线方程．

10.〖2021·江西南昌重点中学段考〗已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．〖能力挑战〗11．〖2021·黄冈中学、华师附中等八校联考〗已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，而且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2(O为坐标原点)，若△ABO与△AFO的面积分别为S1和S2，则S1＋4S2的最小值是()A.eq\f(7\r(3),2)B．6C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)12．〖2021·山西省六校高三阶段性测试〗已知抛物线y2＝4x的焦点为F，斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，交准线于点P，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(5,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，则该直线在y轴上的截距为________，|AF|＋|BF|＝________.13．〖2021·河北省九校高三联考试题〗已知抛物线C：x2＝8y的准线与y轴交于点A，焦点为F，点P是抛物线C上任意一点，令t＝eq\f(|PA|,|PF|)，当t取得最大值时，直线PA的斜率是________．课时作业531．〖解析〗易知以直线x＝1为准线的抛物线焦点在x轴的负半轴上，且抛物线开口向左，所以y2＝－4x，故选D.〖答案〗D2．〖解析〗抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1.抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则点M的横坐标xM＝9，即点M到y轴的距离是9，选C.〖答案〗C3．〖解析〗四边形ABDC为直角梯形，取CD的中点为N，连接MN，则MN为梯形ABDC的中位线，所以|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)，且MN⊥CD.由抛物线的定义得|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，所以|MN|＝eq\f(1,2)|AB|.设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝eq\f(\r(2),2)，所以sinα＝eq\f(\r(3),3)，所以|CD|＝|AB|sinα＝eq\f(\r(3),3)|AB|，则|CN|＝|DN|＝eq\f(\r(3),6)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝eq\r(|MN|2＋|CN|2)＝eq\f(\r(3),3)|AB|，所以|MC|＝|MD|＝|CD|，则△CDM为等边三角形．故选C.〖答案〗C4．〖解析〗由抛物线的对称性不妨设D在x轴上方、E在x轴下方．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y2＝2px))得D(2，2eq\r(p))，E(2，－2eq\r(p))，∵OD⊥OE，∴eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－4p＝0，∴p＝1，∴C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，故选B.〖答案〗B5．〖解析〗设M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据抛物线的定义，知|MN|＝－(x1＋x2)＋p＝16.又MN的中点到y轴的距离为6，∴－eq\f(x1＋x2,2)＝6，∴x1＋x2＝－12，∴p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝－8x，故A错误；抛物线C的准线方程是x＝2，故B错误；设直线l的方程是x＝my－2，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－8x，,x＝my－2，))消去x得y2＋8my－16＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－8m，,y1·y2＝－16))∴x1＋x2＝－8m2－4＝－12，解得m＝±1，故直线l的方程是x－y＋2＝0或x＋y＋2＝0，故C错误；抛物线C的焦点为F(－2,0)，S△MON＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)×2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(64＋64)＝8eq\r(2)，故D正确．故选D.〖答案〗D6．〖解析〗如图，设△AOB的边长为a，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a))，因为点A在抛物线y2＝3x上，所以eq\f(1,4)a2＝3×eq\f(\r(3),2)a，所以a＝6eq\r(3).〖答案〗6eq\r(3)7．〖解析〗抛物线C：y2＝12x的焦点为(3,0)，当直线l的斜率不存在时，弦长为12，不合题意，故直线l的斜率存在，设为k，则直线l：y＝k(x－3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝12x,y＝kx－3))，得k2x2－(6k2＋12)x＋9k2＝0，Δ＝(6k2＋12)2－4k2×9k2＝144(k2＋1)＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6k2＋12,k2)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(6k2＋12,k2)＋6＝16，∴k2＝3，k＝±eq\r(3)，∴直线l的倾斜角等于eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).〖答案〗eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)8．〖解析〗解法一依题意得抛物线的焦点F的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|.因为|FM|:|MN|＝1:2，所以|KN|:|KM|＝eq\r(3):1，又kFN＝eq\f(0－1,\f(a,4)－0)＝－eq\f(4,a)，kFN＝－eq\f(|KN|,|KM|)＝－eq\r(3)，所以－eq\f(4,a)＝－eq\r(3)，解得a＝eq\f(4\r(3),3).解法二因为A(0,1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(a,4)，所以AF的方程为4x＋ay－a＝0，所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)，2)).因为|FM|:|MN|＝1:2，所以|FM|＝eq\f(1,3)|FN|，所以xM＝eq\f(a,12)，yM＝eq\f(2,3).因为(xM，yM)在抛物线上，所以eq\f(4,9)＝eq\f(a2,12)，得a＝eq\f(4\r(3),3).〖答案〗eq\f(4\r(3),3)9．〖解析〗设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256＞0，得a＞0或a＜－32.又x1＋x2＝eq\f(a＋16,4)，x1x2＝4，所以|AB|＝eq\r(1＋22[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(5\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16)))＝3eq\r(5)所以5eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋16,4)))2－16))＝45，所以a＝4或a＝－36.故所求的抛物线方程为y2＝4x或y2＝－36x.10．〖解析〗设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①(1)由x2＝2py得y′＝eq\f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq\f(x1x2,p2)＝－eq\f(2,p)，∵点N在以AB为直径的圆上，∴AN⊥BN，∴－eq\f(2,p)＝－1，∴p＝2.(2)易得直线AN：y－y1＝eq\f(x1,p)(x－x1)，直线BN：y－y2＝eq\f(x2,p)(x－x2)，联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))结合①式，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，－1)．|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|＝eq\r(1＋k2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4p2k2＋8p)，点N到直线AB的距离d＝eq\f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq\f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，则S△ABN＝eq\f(1,2)·|AB|·d＝eq\r(ppk2＋23)≥2eq\r(2p)，当且仅当k＝0时，取等号，∵△ABN的面积的最小值为4，∴2eq\r(2p)＝4，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.11．〖解析〗依题意，设直线AB的方程为x＝ty＋m，联立直线与抛物线方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋m,y2＝x))，消去x，得y2－ty－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－m，因为eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，所以x1x2＋y1y2＝2，即(y1y2)2＋y1y2－2＝0，因为点A，B位于x轴的两侧，所以y1y2＜0，解得y1y2＝－2，所以m＝2，所以直线AB过点(2,0)，不妨设点A在x轴的上方，则y1＞0，因为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以S1＋4S2＝eq\f(1,2)×2×(y1－y2)＋4×eq\f(1,2)×eq\f(1,4)y1＝