高考物理一轮 （考纲自主研读+命题探究+高考全程解密） 第1讲机械振动（含解析） 新人教版选修34

选修3－4机械振动机械波光电磁波相对论简介第1讲机械振动eq\f(对应学生,用书P210)简谐运动Ⅰ(考纲要求)【思维驱动】(单选)如图1－1－1所示，弹簧振子在B、C间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5cm，若振子从B到C的运动时间是1s，则下列说法正确的是()．图1－1－1A．振子从B经O到C完成一次全振动B．振动周期是1s，振幅是10cmC．经过两次全振动，振子通过的路程是20cmD．从B开始经过3s，振子通过的路程是30cm解析振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1s＝2s，振幅A＝BO＝5cm.弹簧振子在一次全振动过程中通过的路程为4A＝20cm，所以两次全振动中通过路程为40cm，3s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30cm.答案D【知识存盘】1．简谐运动(1)定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动．(2)简谐运动的特征①动力学特征：F回＝－kx．②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)．③能量特征：系统的机械能守恒，振幅A不变．2．简谐运动的两种模型模型弹簧振子单摆示意图续表简谐运动条件(1)弹簧质量可忽略(2)无摩擦等阻力(3)在弹簧弹性限度内(1)摆线为不可伸缩的轻细线(2)无空气等阻力(3)最大摆角小于10°回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直(即切向)方向的分力平衡位置弹簧处于原长处最低点周期与振幅无关T＝2πeq\r(\f(L,g))能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒1．五个概念(1)回复力：使振动物体返回平衡位置的力．(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置．(3)位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段，是矢量．(4)振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量．(5)周期T和频率f：表示振动快慢的物理量．2．三个特征(1)受力特征：F＝－kx.(2)运动特征：a＝－eq\f(k,m)x.(3)能量特征：系统机械能守恒．简谐运动的表达式和图象Ⅰ(考纲要求)【思维驱动】如图1－1－2所示为一弹簧振子的振动图象，求：图1－1－2(1)该振子简谐运动的表达式．(2)在第2s末到第3s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？(3)该振子在前100s的总位移是多少？路程是多少？解析(1)由振动图象可得：A＝5cm，T＝4s，φ＝0则ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,2)rad/s故该振子做简谐运动的表达式为：x＝5sineq\f(π,2)t(cm)．(2)由题图可知，在t＝2s时振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．(3)振子经过一个周期位移为零，路程为5×4cm＝20cm，前100s刚好经过了25个周期，所以前100s振子位移x＝0，振子路程s＝20×25cm＝500cm＝5m.答案(1)x＝5sineq\f(π,2)tcm(2)见解析(3)05m【知识存盘】1．简谐运动的表达式(1)动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反．(2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中A代表振幅，ω＝2πf表示简谐运动的快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相．2．简谐运动的图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，图象如图1－1－3甲所示．图1－1－3(2)从最大位移处开始计时，函数表达式为x＝Acosωt，图象如图乙所示．简谐运动的对称性(1)瞬时量的对称性(2)过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如tBC＝tB′C′，如图1－1－4所示．图1－1－4受迫振动和共振Ⅰ(考纲要求)【思维驱动】一砝码和一轻弹簧构成弹簧振子，如图1－1－5甲所示，该装置可用于研究弹簧振子的受迫振动．匀速转动把手时，曲杆给弹簧振子以驱动力，使振子做受迫振动．把手匀速转动的周期就是驱动力的周期，改变把手匀速转动的速度就可以改变驱动力的周期．若保持把手不动，给砝码一向下的初速度，砝码便做简谐运动，振动图线如图乙所示．当把手以某一速度匀速运动，受迫振动达到稳定时，砝码的振动图象如图丙所示．若用T0表示弹簧振子的固有周期，T表示驱动力的周期，r表示受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅，则：图1－1－5(1)稳定后，物体振动的频率f＝________Hz.(2)欲使物体的振动能量最大，需满足什么条件？答：_____________________________________________________________.(3)利用上述所涉及的知识，请分析某同学所提问题的物理依据．“某同学考虑，我国火车第六次大提速时，需尽可能的增加铁轨单节长度，或者是铁轨无接头”．答：_______________________________________________________________.解析(1)由题目中丙图可知，f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,4)Hz＝0.25Hz.(2)物体的振动能量最大时，振幅最大，故应发生共振，所以应有T＝T0＝4s.(3)若单节车轨非常长，或无接头，则驱动力周期非常大，从而远离火车的固有周期，使火车的振幅较小，以便来提高火车的车速．答案(1)0.25(2)、(3)见解析【知识存盘】1．自由振动、受迫振动和共振的比较振动类形项目自由振动受迫振动共振受力情况仅受回复力周期性驱动力作用周期性驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱T驱＝T固或f驱＝f固振动能量振动物体的机械能不变由产生驱动力的物体提供，机械能不守恒振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(摆角θ<10°)机械工作时底座发生的振动共振筛、转速计等2.共振曲线图1－1－6如图1－1－6所示，横坐标为驱动力频率f驱，纵坐标为振幅A.它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，由图可知，f驱与f固越接近，振幅A越大，当f驱＝f固时，振幅A最大．实验：探究单摆的周期与摆长的关系Ⅰ(考纲要求)【思维驱动】某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中；(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图1－1－7所示，则该摆球的直径为________cm.图1－1－7(2)(单选)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．(填选项前的字母)A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为eq\f(t,100)C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析(1)游标卡尺读数为0.9cm＋7×0.1mm＝0.97cm.(2)单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过10°，并从平衡位置计时，故A错误；若第一次过平衡位置计为“0”则周期T＝eq\f(t,50)，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝eq\f(t,49.5)，B错误；由T＝2πeq\r(\f(L,g))得g＝eq\f(4π2L,T2)，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D错误．答案(1)0.97(0.96、0.98均可)(2)C【知识存盘】注意事项1．悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定．2．强调在同一平面内振动且摆角小于10°.3．选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数．4．小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r，则摆长L＝l＋r.5．选用一米左右的细线．eq\f(对应学生,用书P212)考点一简谐运动的规律【典例1】(单选)如图1－1－8所示，图1－1－8弹簧振子在振动过程中，振子从a到b历时0.2s，振子经a、b两点时速度相同，若它从b再回到a的最短时间为0.4s，则该振子的振动频率为()．A．1HzB．1.25HzC．2HzD．2.5Hz解析由简谐运动的对称性可知，tOb＝0.1s，tbc＝0.1s，故eq\f(T,4)＝0.2s，解得T＝0.8s，频率f＝eq\f(1,T)＝1.25Hz.选项B正确．答案B【变式跟踪1】弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动，B、C相距20cm.某时刻振子处于B点，经过0.5s，振子首次到达C点，则该振动的周期和频率分别为________、________；振子在5s内通过的路程及5s末的位移大小分别为________、________．解析设振幅为A，由题意BC＝2A＝20cm，所以A＝10cm，振子从B到C所用时间t＝0.5s，为周期T的一半，所以T＝1.0s，f＝eq\f(1,T)＝1.0Hz；振子在一个周期内通过的路程为4A，故在t′＝5s＝5T内通过的路程s＝eq\f(t′,T)×4A＝200cm；5s内振子振动了5个周期，5s末振子仍处在B点，所以它偏离平衡位置的位移大小为10cm.答案1.0s1.0Hz200cm10cm,借题发挥1．简谐运动的对称性(1)如图1－1－9所示，振子经过关于平衡位置O对称(OP＝OP′)的两点P、P′时，速度的大小、动能、势能相等．相对于平衡位置的位移大小相等．图1－1－9(2)振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tOP＝tOP′.(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO.2．能量特征系统动能Ek与势能Ep相互转化，系统的机械能守恒．考点二简谐运动的表达式和图象【典例2】一质点做简谐运动，图1－1－10其位移和时间关系如图1－1－10所示．(1)求t＝0.25×10－2s时的位移；(2)在t＝1.5×10－2s到2×10－2s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？(3)在t＝0到8.5×10－2s时间内，质点的路程、位移各多大？解析(1)由题图可知A＝2cm，T＝2×10－2s，振动方程为x＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt－\f(π,2)))＝－Acosωt＝－2coseq\f(2π,2×10－2)tcm＝－2cos100πtcm当t＝0.25×10－2s时，x＝－2coseq\f(π,4)cm＝－eq\r(2)cm.(2)由图可知在1.5×10－2s～2×10－2s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．(3)从t＝0至8.5×10－2s时间内为eq\f(17,4)个周期，质点的路程为s＝17A＝34cm，位移为2cm.答案(1)－eq\r(2)cm(2)变大变大变小变小变大(3)34cm2cm【变式跟踪2】一质点做简谐运动的振动图象图1－1－11如图1－1－11所示，(1)该质点振动的振幅是________cm，周期是________s，初相是________．(2)写出该质点做简谐运动的表达式，并求出当t＝1s时质点的位移．答案(1)80.2eq\f(π,2)(2)x＝8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10πt＋\f(π,2)))8cm,借题发挥1．简谐运动问题的求解思路(1)应用简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)解决简谐运动问题(2)求解简谐运动问题的有效方法就是紧紧抓住一个模型——水平方向振动的弹簧振子，熟练掌握振子的振动过程以及振子振动过程中各量的变化规律，遇到简谐运动问题，头脑中立即呈现出一幅弹簧振子振动的图景，再把问题一一对应、分析求解．2．从简谐运动的图象上获得的信息(1)确定振动物体在任一时刻的位移(2)确定振动的振幅(3)确定振动的周期和频率(4)确定各质点的振动方向(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向

考点三探究单摆的周期与摆长的关系【典例3】有两个同学利用假期分别去参观北大和南大的物理实验室，各自利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换了实验数据，并由计算机绘制了T2－L图象，如图1－1－12甲所示．去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比eq\f(LA,LB)＝________．图1－1－12解析由T＝2πeq\r(\f(L,g))得，T2＝eq\f(4π2,g)L，根据图甲可知eq\f(4π2,gA)>eq\f(4π2,gB)，即gA<gB，因北大更靠近北极，其所在地的重力加速度更大些，应选B；根据图甲可知eq\f(gA,gB)＝eq\f(gA,4π2)·eq\f(4π2,gB)＝eq\f(kB,kA)＝eq\f(8,9)，由图乙可得eq\f(TA,TB)＝eq\f(3,2)，由T2＝eq\f(4π2,g)L得，eq\f(LA,LB)＝eq\f(Teq\o\al(2,A)gA,Teq\o\al(2,B)gB)＝2.答案B2【变式跟踪3】某同学在做“用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为101.00cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为101.5s．则(1)他测得的重力加速度g＝________m/s2.(2)(单选)他测得的g值偏小，可能的原因是________．(填选项前面的字母)A．测摆线长时摆线拉得过紧B．摆线上端未牢固地系于悬点，振动中出现松动，使摆线长度增加了C．开始计时，秒表过迟按下D．实验中误将49.5次全振动数为50次解析(1)单摆的摆长为：L＝l线＋eq\f(d,2)＝1.02m，单摆运动的周期为：T＝eq\f(t,n)＝eq\f(101.5,50)s＝2.03s，根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，代入数据解得重力加速度为：g＝9.76m/s2.(2)由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，解得重力加速度为：g＝eq\f(4π2L,T2)＝eq\f(4π2n2L,t2)，测得的g值偏小，可能是n、L测量偏小，也可能是t测量偏大造成的，可能的原因是B.答案(1)9.76(2)B,借题发挥对用单摆测重力加速度的理解本实验是用秒表测出周期和用刻度尺测出摆长，然后利用做简谐振动的单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，算出重力加速度的值，或测出一系列不同摆长对应的周期值，作出L－T2图象(或T2－L图象)为一条过原点的直线，求出斜率，即可进一步求出重力加速度．eq\f(对应学生,用书P214)一、简谐运动的特点1．(单选)关于振幅的各种说法中，正确的是()．A．振幅是振子离开平衡位置的最大距离B．位移是矢量，振幅是标量，位移的大小等于振幅C．振幅等于振子运动轨迹的长度D．振幅越大，表示振动越强，周期越长解析振幅是振子离开平衡位置的最大距离，它是表示振动强弱的物理量，振幅越大，振动越强，但振幅的大小与周期无关．答案A2．(单选)有一个单摆，在竖直平面内做小摆角振动，周期为2s．如果从单摆向右运动通过平衡位置时开始计时，在t＝1.4s至t＝1.5s的过程中，摆球的()．A．速度向右在增大，加速度向右在减小B．速度向左在增大，加速度向左也在增大C．速度向左在减小，加速度向右在增大D．速度向右在减小，加速度向左也在减小解析在t＝1.4s至t＝1.5s的过程中，摆球在向左从平衡位置到最大位移处运动的过程中，所以速度向左在减小，加速度向右在增大，C项正确．答案C二、简谐运动的表达式和图象3．(多选)一质点做简谐运动的位移x与时间的关系如图1－1－13所示，由图可知()．图1－1－13A．频率是2HzB．振幅是5cmC．t＝1.7s时的加速度为正，速度为负D．t＝0.5s时质点所受的合外力为零解析由图象可知，质点振动的周期为2.0s，经计算得频率为0.5Hz.振幅为5m，所以A、B选项错误．t＝1.7s时的位移为负，加速度为正，速度为负，因此C选项正确．t＝0.5s时质点在平衡位置，所受的合外力为零，D选项正确．答案CD4．(单选)(·北京卷，17)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移x与时间t关系的图象是()．解析根据F＝－kx及牛顿第二定律得a＝eq\f(F,m)＝－eq\f(k,m)x，当振子具有沿x轴正方向的最大加速度时，具有沿x轴负方向的最大位移，故选项A正确，选项B、C、D错误．答案A5．(单选)有一弹簧振子，振幅为0.8cm，周期为0.5s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是()．A．x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))mB．x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt－\f(π,2)))mC．x＝8×10－1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(3π,2)))mD．x＝8×10－1sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)t＋\f(π,2)))m解析振幅A＝0.8cm＝8×10－3m；角频率ω＝eq\f(2π,T)＝4πrad/s.由题知初始时振子在正向最大位移处，即sinφ0＝1，得φ0＝eq\f(π,2)，故振子做简谐运动的方程为：x＝8×10－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4πt＋\f(π,2)))m，选项A正确．答案A6．(单选)(·重庆卷，14)图1－1－14装有砂粒的试管竖直静浮于水面，如图1－1－14所示．将试管竖