高考数学一轮复习 第九篇 解析几何1（考点梳理+考点自测+失分警示+专题集训）理 新人教A版

第九篇解析几何第1讲直线方程和两直线的位置关系【年高考会这样考】1．考查倾斜角的概念、倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式．2．考查由两条直线的斜率判定两直线平行与垂直．3．考查点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及求解等．eq\f(对应学生,131)考点梳理1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.②倾斜角的范围是[0，π)．(2)直线的斜率①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ；②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x轴的直线斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用3.两直线平行与垂直对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.4．距离公式(1)平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离为d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).【助学·微博】一条规律与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0.两点提醒(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑．(2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式．考点自测1．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()．A．[0，π)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析设直线的倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1,1]，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)≤θ<π.故选B.答案B2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()．A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)解析依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋7＝2，,b＋1＝－2，))解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为eq\f(－3－1,7＋5)＝－eq\f(1,3)，选B.答案B3．(·广州调研)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是()．A．1B．－1C．－2或－1D．－2或1解析代入验证可得a＝1或－2.答案D4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是()．A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为－3x－2y＋c＝0，将点(－1,2)代入－3x－2y＋c＝0，解得c＝1，故直线方程为3x＋2y－1＝0.答案A5．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．解析直线l2的方程变为：3x＋4y＋eq\f(1,2)＝0，则直线l1与直线l2的距离为eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋7)),\r(32＋42))＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)eq\f(对应学生,132)考向一求直线的方程【例1】►(1)已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________；(2)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l过点(1,1)且倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的方程为________．[审题视点](1)设截距均为a，分a＝0或a≠0求解；(2)由两角和的正切公式求斜率，再由点斜式求解．解析(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，∵l过点(3,2)，∴eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)kAB＝eq\f(－2＋5,3＋1)＝eq\f(3,4).设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ＝eq\f(3,4)，这时直线l的倾斜角为2θ，其斜率为tan2θ＝eq\f(2tanθ,1－tan2θ)＝eq\f(24,7).由点斜式得：y－1＝eq\f(24,7)(x－1)，即24x－7y－17＝0.答案(1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0(2)24x－7y－17＝0在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．【训练1】(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直线方程；(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－eq\f(1,2)，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－eq\f(2,5)，直线方程为y＝－eq\f(2,5)x，即2x＋5y＝0，综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.考向二两条直线的平行与垂直问题【例2】►(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________；(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数[审题视点]由两直线平行或垂直的充要条件求解．解析(1)若a＝0或a＝1，则两直线不平行，不符合题意，舍去．若a≠0且a≠1，则两直线的斜率分别是－eq\f(a,2)，eq\f(1,1－a)，由两直线平行的充要条件可得－eq\f(a,2)＝eq\f(1,1－a)且a＋1≠－3，解得a＝2或a＝－1.经检验知符合题意．(2)若a＝0，B＝(1,0)，Q(0,0)，此时l1⊥l2；若a≠0，kl1＝eq\f(3a－0,1＋2)＝a，kl2＝eq\f(－2a＋1,a－0)＝eq\f(1－2a,a)，则l1⊥l2⇔kl1·kl2＝a×eq\f(1－2a,a)＝－1，解得a＝1.综上，a＝0或1.答案(1)2或－1(2)0或1由两直线平行或垂直的关系求直线的方程，或求方程中的参数，首先需要考虑两直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率相等或斜率乘积为－1求解；若斜率不存在，则需要注意特殊情形．【训练2】(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)由题意知两直线的斜率都存在，故直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)且－eq\f(1,a)≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要不充分条件．答案(1)－1(2)C考向三距离公式的应用问题【例3】►已知点A(2，－1)，(1)求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点A且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[审题视点](1)对直线l的斜率分存在与不存在两种情况，再利用距离公式求解；(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A且与AO垂直的直线；(3)利用此距离与过点A与原点的最大距离比较大小确定结论．解(1)过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为(2，－1)．当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由已知得eq\f(|－2k－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此时直线l的方程为3x－4y－10＝0，综上可知：直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.(2)过点A与原点O距离最大的直线是过点A与AO垂直的直线，由l⊥AO，得klkOA＝－1，所以kl＝－eq\f(1,kOA)＝2，由直线的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).(3)不存在．由(2)可知，过点A不存在到原点距离超过eq\r(5)的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线．若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．【训练3】已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线的方程．解法一设所求直线为l，由于l过点A且与点P1，P2距离相等，所以有两种情况，如图所示．当P1，P2在l同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝eq\f(5－3,－4－2)(x＋1)，即x＋3y－5＝0；当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2的中点(－1,4)，此时l的方程为x＝－1.综上，所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.法二需要讨论过点A的直线的斜率是否存在．当过点A的直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，由点P1，P2到直线的距离相等得：eq\f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq\f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，解得k＝－eq\f(1,3).故所求直线的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当过点A的直线的斜率不存在时，由点A的坐标为(－1,2)知，过点A的直线为x＝－1.易得P1，P2到直线x＝－1的距离相等，故x＝－1符合题意．综上，所求直线的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.eq\f(对应学生,133)热点突破20——高考中两直线的平行与垂直问题【命题研究】通过近三年的高考试题分析，对两直线位置关系的考查主要是给定直线方程，研究两条直线平行、垂直、交点、距离等问题，有时结合充分必要条件来考查，题型为选择题或填空题，难度不大．【真题探究】►(·浙江)设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[教你审题]第1步抓住两直线平行的条件；第2步根据充分必要定义解题．[解法]当a＝1时，直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行；反之由l1∥l2可得a＝1或a＝－2，故选A.[答案]A[反思]对于求解两直线平行时所含参数的取值，必须首先判断直线的斜率是否存在，否则容易造成漏解；然后结合判断直线平行的充要条件求解，注意要对求得的结果进行验证，判断两直线的截距是否相等，防止增解．【试一试】已知两直线l1：ax＋2y＋6＝0和l2：x＋(a＋1)y＋(a2＋1)＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________．解析法一由直线l1的方程知其斜率为－eq\f(a,2)，当a＝－1时，直线l2的斜率不存在，l1与l2不垂直；当a≠－1时，直线l2的斜率为－eq\f(1,a＋1).由－eq\f(a,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a＋1)))＝－1⇒a＝－eq\f(2,3).故所求实数a的值为－eq\f(2,3).法二直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的等价条件是A1A2＋B1B2＝0.由所给直线方程可得：a·1＋2·(a＋1)＝0⇒a＝－eq\f(2,3).故所求实数a的值为－eq\f(2,3).答案－eq\f(2,3)eq\f(对应学生,307)A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．直线2x－my＋1－3m＝0，当m变化时，所有直线都过定点 A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－3)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－3))解析原方程可化为(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,y＋3＝0，))解得x＝－eq\f(1,2)，y＝－3，故所有直线都过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－3)).答案D2．若直线l：y＝kx－eq\r(3)与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ()．A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))解析如图，直线l：y＝kx－eq\r(3)，过定点P(0，－eq\r(3))，又A(3,0)，∴kPA＝eq\f(\r(3),3)，则直线PA的倾斜角为eq\f(π,6)，满足条件的直线l的倾斜角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).答案B3．(·泰安一模)过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()．A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0解析由题意可设所求直线方程为：x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.答案A4．(·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的必要条件．答案C二、填空题(每小题5分，共10分)5．一条直线经过点A(－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解析设所求直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，∵A(－2,2)在直线上，∴－eq\f(2,a)＋eq\f(2,b)＝1. ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴eq\f(1,2)|a|·|b|＝1. ②由①②可得(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,ab＝2))或(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,ab＝－2.))由(1)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，))方程组(2)无解．故所求的直线方程为eq\f(x,2)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,－1)＋eq\f(y,－2)＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0为所求直线的方程．答案x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝06．(·东北三校二模)已知直线l1：ax＋3y－1＝0与直线l2：2x＋(a－1)y＋1＝0垂直，则实数a＝________.解析由两直线垂直的条件得2a＋3(a－1)＝0，解得a＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)三、解答题(共25分)7．(12分)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq\f(4,b)＝b.故a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.8．(13分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)点A(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值．解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3.解得λ＝2或λ＝eq\f(1,2).∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2,1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝ ()． A．4 B．6 C.eq\f(34,5) D.eq\f(36,5)解析由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5).))故m＋n＝eq\f(34,5).答案C2．(·长沙模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为 ()．A．3eq\r(2) B．2eq\r(2) C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得eq\f(|m＋7|,\r(2))＝eq\f(|m＋5|,\r(2))⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).答案A二、填空题(每小题5分，共10分)3．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为eq\f(2\r(13),13)，则eq\f(c＋2,a)的值为________．解析由题意得，eq\f(3,6)＝eq\f(－2,a)≠eq\f(－1,c)，∴a＝－4且c≠－2，则6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋eq\f(c,2)＝0，由两平行线间的距离，得eq\f(2\r(13),13)＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)＋1)),\r(13))，解得c＝2或c＝－6，所以eq\f(c＋2,a)＝±1.答案±14．(·盐城检测)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．解析直线方程可化为eq\f(x,2)＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)，由于0≤b≤1，故当b＝eq\f(1,2)时，ab取得最大值eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)三、解答题(共25分)5．(12分)已知直线l过点P(2,3)，且被两条平行直线l1：3x＋4y－7＝0，l2：3x＋4y＋8＝0截得的线段长为d.(1)求d的最小值；(2)当直线l与x轴平行，试求d的值．解(1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P在两条平行直线l1，l2外．过P点作直线l，使l⊥l1，则l⊥l2，设垂足分别为G，H，则|GH|就是所求的d的最小值．由两平行线间的距离公式，得d的最小值为|GH|＝eq\f(|8－－7|,\r(32＋42))＝3.(2)当直线l与x轴平行时，l的方程为y＝3，设直线l与直线l1，l2分别交于点A(x1,3)，B(x2,3)，则3x1＋12－7＝0,3x2＋12＋8＝0，所以3(x1－x2)＝15，即x1－x2＝5，所以d＝|AB|＝|x1－x2|＝5.6．(13分)已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程．解法一因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l，l2与l间的距离相等．由两平行直线间的距离公式得eq\f(|3－－1|,\r(2))＝eq\f(|m－－1|,\r(2))，解得m＝－5或m＝3(舍去)．所以直线l2的方程为x－y－5＝0.法二由题意知l1∥l2，设直线l2：x－y＋m＝0(m≠3，m≠－1)．在直线l1上取点M(0,3)，设点M关于直线l的对称点为M′(a，b)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－3,a)×1＝－1，,\f(a＋0,2)－\f(b＋3,2)－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－1，))即M′(4，－1)．把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第2讲圆的方程【年高考会这样考】1．考查圆的标准方程、一般方程及其应用．2．考查两圆的公共弦及与圆有关的交汇性问题等．eq\f(对应学生,134)考点梳理1．圆的标准方程(1)确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．(2)圆的标准方程①方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．②特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4).故有：(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆；(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))；(3)当D2＋E2－4F3．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)．(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.【助学·微博】一种方法确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．两点提醒(1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方程都要列出关于系数的三个独立方程．(2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况．三个常用性质确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．考点自测1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()．A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)解析圆方程可化为：(x－2)2＋(y＋3)2＝13，故圆心为(2，－3)．答案D2．(·大连模拟)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()．A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案A3．(·揭阳模拟)若a∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，1，\f(3,4)))，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为()．A．0B．1C．2D．3解析要使方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则应有：a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3)，∴符合条件的a只有一个，a＝0，∴原方程只能表示一个圆．答案B4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是()．A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析由题意得，AB的中垂线方程为y＝x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴圆心C的坐标为(1,1)，r2＝|AC|2＝(1－1)2＋(1＋1)2＝4，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案C5．如果三角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为________．解析因为三角形AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝eq\f(|OA|＋|OB|－|AB|,2)＝eq\f(15＋8－17,2)＝3，圆心坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝9.答案(x＋3)2＋(y－3)2＝9eq\f(对应学生,134)考向一求圆的方程【例1】►(1)已知圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．(2)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2eq\r(2)，则圆C的标准方程为________．[审题视点](1)设圆心坐标，由直线与圆相切可求；(2)设圆心坐标，由圆的性质可求．解析(1)设圆心为(a,0)(a<0)，则eq\f(|a|,\r(2))＝eq\r(5)，∴a＝－eq\r(10)，∴圆O的方程为(x＋eq\r(10))2＋y2＝5.(2)由题意，设圆心坐标为(a,0)，则由直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2eq\r(2)，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或－1.又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a＝3，故圆心坐标为(3,0)，又已知圆C过点(1,0)，所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.答案(1)(x＋eq\r(10))2＋y2＝5(2)(x－3)2＋y2＝4求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解．【训练1】(1)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________．(2)(·南昌质检)已知点P(2,1)在圆C：x2＋y2＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________．解析(1)设圆心C(a，b)(a>0，b>0)，由题意可得b＝1.又圆心C到直线4x－3y＝0的距离d＝eq\f(|4a－3|,5)＝1，解得a＝2或a＝－eq\f(1,2)(舍)．所以该圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.(2)因为点P关于直线x＋y－1＝0的对称点也在圆上，所以该直线过圆心，即圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，1))满足方程x＋y－1＝0，所以－eq\f(a,2)＋1－1＝0，解得a＝0，所以圆心坐标为(0,1)．答案(1)(x－2)2＋(y－1)2＝1(2)(0,1)考向二与圆有关的最值问题【例2】►已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求y－x的最大值和最小值；(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[审题视点]根据代数式的几何意义(斜率、直线、圆)，借助平面几何知识，数形结合求解．解原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq\r(3)为半径的圆．(1)eq\f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq\f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq\f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)(如图①)．所以eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，最小值为－eq\r(3).(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq\r(3)，解得b＝－2±eq\r(6)(如图②)．所以y－x的最大值为－2＋eq\r(6)，最小值为－2－eq\r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③)．又圆心到原点的距离为eq\r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．【训练2】已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解(1)由C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq\r(2).又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2).∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)可知eq\f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则eq\f(n－3,m＋2)＝k.由直线MQ与圆C有交点，所以eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2).可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，所以eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).考向三与圆有关的轨迹问题【例3】►已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程．[审题视点]可以先画出草图，结合三角形有关知识寻找动点与定点之间的关系，然后列式化简即可，切记动点与定点之间的约束条件．解(1)法一设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，且kAC·kBC＝－1，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．法二设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝eq\f(x0＋3,2)(x≠3且x≠1)，y＝eq\f(y0＋0,2)，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．与圆有关的轨迹问题主要是求动点的轨迹方程，其求解的一般步骤是：建系、设点、列式、化简、求解．要灵活运用图形的几何性质．对于“双动点”问题，即已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程，通常用代入法．【训练3】设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，线段MN的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0－3,2)，\f(y0＋4,2))).由于平行四边形的对角线互相平分，故eq\f(x,2)＝eq\f(x0－3,2)，eq\f(y,2)＝eq\f(y0＋4,2).从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x＋3，,y0＝y－4.))N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(12,5)))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(21,5)，\f(28,5)))(点P在直线OM上时的情况)．eq\f(对应学生,136)方法优化12——巧设坐标求圆的方程【命题研究】通过近三年的高考试题分析，单独考查求圆的方程的题目较少，多数考查直线与圆的位置关系问题．题型多数是选择题、填空题，题目难度为中等．【真题探究】►(·辽宁)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．[教你审题]思路1设圆的一般方程，列方程组求解；思路2设圆心坐标，利用|CA|＝|CB|求解．[一般解法]设圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(E,2)＝0，,52＋12＋5D＋E＋F＝0，,12＋32＋D＋3E＋F＝0，))解得D＝－4，E＝0，F＝－6.故圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[优美解法]设圆心C(x,0)，由|CA|＝|CB|，得eq\r(x－52＋1)＝eq\r(x－12＋9)，解得：x＝2，半径r＝|CA|＝eq\r(10).故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.[答案](x－2)2＋y2＝10[反思]分析题目中的条件，选择适当的方程形式，利用圆的有关性质解题，往往方便快捷．【试一试】已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．解析设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝eq\f(|4×0－3×1－2|,\r(42＋－32))＝1，则R2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10.答案x2＋(y－1)2＝10eq\f(对应学生,309)A级基础演练(时间：30分钟满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(·济宁一中月考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为 ()．A．－1 B．1 C．3 D．－3解析化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)．∵直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.答案B2．(·太原质检)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是 ()．A．原点在圆上 B．原点在圆外C．原点在圆内 D．不确定解析将圆的一般方程化为标准方程(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，所以原点在圆外．答案B3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为 ()．A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5解析由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.答案D4．(·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为 ()．A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16解析设P(x，y)，则由题意可得：2eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(x－82＋y2)，化简整理得x2＋y2＝16，故选B.答案B二、填空题(每小题5分，共10分)5．以A(1,3)和B(3,5)为直径两端点的圆的标准方程为________．解析由中点坐标公式得AB的中点即圆的圆心坐标为(2,4)，再由两点间的距离公式得圆的半径为eq\r(4－32＋2－12)＝eq\r(2)，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝2.答案(x－2)2＋(y－4)2＝26．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．解析由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即eq\f(|1－1＋4|,\r(2))－eq\r(2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)三、解答题(共25分)7．(12分)求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．解(1)法一设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－4a，,3－a2＋－2－b2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))解得a＝1，b＝－4，r＝2eq\r(2).∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.法二过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．∴半径r＝eq\r(1－32＋－4＋22)＝2eq\r(2)，∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(2)法一设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.法二由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB＝－eq\f(1,3)，则AB的垂直平分线方程为3x－y－1＝0.同理得AC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－y－1＝0，,x＋y－3＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))即圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq\r(1－12＋2－122)＝10.∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.8．(13分)已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程．解(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)，∴直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0. ①又直径|CD|＝4eq\r(10)，∴|PA|＝2eq\r(10)，∴(a＋1)2＋b2＝40， ②由①②解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)，∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(·东莞调研)已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为 ()．A．8 B．－4 C．6 D．无法确定解析圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，则x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，0))，即－eq\f(m,2)＋3＝0，∴m＝6.答案C2．圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))的圆与直线l：x＋2y－3＝0交于P，Q两点，O为坐标原点，且满足eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，则圆C的方程为 ()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(5,2) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋(y＋3)2＝eq\f(5,2)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y＋3)2＝eq\f(25,4)解析法一∵圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，∴设圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝r2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由圆方程与直线l的方程联立得：5x2＋10x＋10－4r2＝0，∴x1＋x2＝－2，x1x2＝eq\f(10－4r2,5).由eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即：eq\f(5,4)x1x2－eq\f(3,4)(x1＋x2)＋eq\f(9,4)＝eq\f(10－4r2,4)＋eq\f(15,4)＝0，解得r2＝eq\f(25,4)，经检验满足判别式Δ>0.故圆C的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4).法二∵圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))，∴设圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝r2，在所给的四个选项中只有一个方程所写的圆心是正确的，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4)，故选C.答案C二、填空题(每小题5分，共10分)3．已知平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．解析由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，又△OPQ为直角三角形，故其圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径为eq\f(|PQ|,2)＝eq\r(5)，∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案(x－2)2＋(y－1)2＝54．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上的动点，则d＝|PA|2＋|PB|2的最大值为________，最小值为________．解析设点P(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＋(x0－1)2＋yeq\o\al(2,0)＝2(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＋2，欲求d的最值，只需求u＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)的最值，即求圆C上的点到原点的距离平方的最值．圆C上的点到原点的距离的最大值为6，最小值为4，故d的最大值为74，最小值为34.答案7434三、解答题(共25分)5．(12分)(·大连模拟)已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．(1)求圆M的方程；(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．解(1)设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，根据题意得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解得a＝b＝1，r＝2，故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.(2)因为四边形PAMB的面积S＝S△PAM＋S△PBM＝eq\f(1,2)|AM|·|PA|＋eq\f(1,2)|BM|·|PB|，又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，而|PA|＝eq\r(|PM|2－|AM|2)＝eq\r(|PM|2－4)，即S＝2eq\r(|PM|2－4).因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以|PM|min＝eq\f(|3×1＋4×1＋8|,\r(32＋42))＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2eq\r(|PM|\o\al(2,min)－4)＝2eq\r(32－4)＝2eq\r(5).6．(13分)(·南昌模拟)已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)关于直线x＋y＋2＝0对称．(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值．解(1)设圆心C(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a－2,2)＋\f(b－2,2)＋2＝0，,\f(b＋2,a＋2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0，))则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.(2)设Q(x，y)，则x2＋y2＝2，且eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2，令x＝eq\r(2)cosθ，y＝eq\r(2)sinθ，∴eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝x＋y－2＝eq\r(2)(sinθ＋cosθ)－2＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－2，所以eq\o(PQ,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值为－4.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.第3讲直线与圆、圆与圆的位置关系【年高考会这样考】1．考查直线与圆的相交、相切、相离和弦长问题．2．考查圆与圆的位置关系．eq\f(对应学生,136)考点梳理1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：eq\a\vs4\al(1代数法)eq\o(→,\s\up7(判别式),\s\do5(Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交⇒弦长|AB|＝\r(1＋k2)|x1－x2|，,Δ＝0⇔相切，,Δ＜0⇔相离.))(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d＜r⇔相交⇒弦长＝2eq\r(r2－d2)，d＝r⇔相切，d＞r⇔相离．2．圆与圆的位置关系设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1＞0)，⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2＞0)，则有：|C1C2|＞r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相离|C1C2|＝r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2外切|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2⇔⊙C1与⊙C2相交|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔⊙C1与⊙C2内切|C1C2|＜|r1－r2|⇔⊙C1与⊙C2【助学·微博】一法巧解“相交”直线与圆相交时，适当使用垂径定理(半径、半弦、弦心距满足勾股定理)，可以减少运算量．两个重要结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含时：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．考点自测1．(·陕西)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()．A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析圆C的方程是(x－2)2＋y2＝4，∴点P到圆心C(2,0)的距离d＝1<2，∴点P在圆C内部，∴直线l与圆C相交．答案A2．将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()．A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0解析圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0可化为标准方程(x－1)2＋(y－2)2＝4，要使直线平分此圆，则直线需过圆心(1,2)．因此可通过代入法，看哪一条直线过圆心(1,2)即可．经检验，选项C满足条件．故选C.答案C3．(·山东)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()．A．内切B．相交C．外切D．相离解析两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．答案B4．(·天津)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是()．A．[1－eq\r(3)，1＋eq\r(3)]B．(－∞，1－eq\r(3)，]∪[1＋eq\r(3)，＋∞)C．[2－2eq\r(2)，2＋2eq\r(2)]D．(－∞，2－2eq\r(2)]∪[2＋2eq\r(2)，＋∞)解析根据直线与圆相切建立m与n的关系，再由基本不等式求解m＋n的取值范围．由题意可得eq\f(|m＋n|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，化简得mn＝m＋n＋1≤eq\f(m＋n2,4)，解得m＋n≤2－2eq\r(2)或m＋n≥2＋2eq\r(2)，故选择D.答案D5．若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．解析将圆x2＋y2－2x＋4y＋4＝0化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心坐标为(1，－2)，半径为1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即d＝eq\f(|3×1＋4×－2＋m|,\r(32＋42))＝eq\f(|m－5|,5)>1，∴m<0或m>10.答案(－∞，0)∪(10，＋∞)eq\f(对应学生,137)考向一直线与圆的位置关系的判定及应用【例1】►(1)(·重庆)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是()．A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心(2)(·江西)过直线x＋y－2eq\r(2)＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．[审题视点](1)由几何法或代数法判断；(2)思路1：由数与形结合分析，得|OP|＝2，从而确定P为CD中点，然后求得点P.思路2：由思路1知|OP|＝2，建立方程组求解．解析(1)因为直线y＝kx＋1过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)，故选C.(2)法一如图所示，|OP|＝eq\f(|OA|,sin∠OPA)＝2，易得P为CD中点，故P(eq\r(2)，eq\r(2))．法二设P(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x2＋y2)＝2，,x＋y－2\r(2)＝0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝\r(2)，))故P(eq\r(2)，eq\r(2))．答案(1)C(2)(eq\r(2)，eq\r(2))(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．(2)解决直线与圆的位置关系的应用问题，常常借助几何性质结合数形结合思想解题．【训练1】(1)(·东莞模拟)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．(2)(·湖北)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为eq\r(2)，则直线l的斜率为________．解析(1)设直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，则：eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))≤1.解得：k2≤eq\f(1,3)，即－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).(2)将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为eq\r(2)得弦心距为eq\f(\r(2),2).设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴eq\f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝eq\f(17,7).答案(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))(2)1或eq\f(17,7)考向二圆与圆的位置关系的判定及应用【例2】►a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.(1)外切；(2)相交；(3)外离；(4)内切．[审题视点](1)分别表示出两圆的圆心坐标和半径；(2)利用两圆心之间的长度与两圆半径的关系求解．解将两圆方程写成标准方程．C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2，设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或(2)当1<d<5，即1<2a2＋6a＋5<25时，两圆相交，此时－5<a<－2或－1<(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，此时a>2或(4)当d＝1，即2a2＋6a＋5＝1时，两圆内切，此时a＝－1或(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【训练2】若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2eq\r(3)，则a＝________.解析两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4⇒y＝eq\f(1,a)，又a＞0，结合图象，再利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1⇒a＝1.答案1考向三直线与圆的综合问题【例3】►如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2eq\r(19)时，求直线l的方程．[审题视点](1)利用点到直线的距离公式求半径；(2)应分斜率存在与不存在情况．解(1)设圆A的半径为R.由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝eq\f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq\r(5).∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝2eq\r(19)，∴|AQ|＝eq\r(20－19)＝1，则由|AQ|＝eq\f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq\f(3,4).∴直线l：3x－4y＋6＝0.故直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.在解决直线与圆的综合问题时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，这样解决问题往往简便快捷．【训练3】在平面直