材料力学知识点及测试题

材料力学知识点

第一章绪论

教学学时2学时

基本内容材料力学的任务；变形固体的基本假设；外力及其分类；内力、截面法和应力

的概念；变形与应变；杆件变形的基本形式

教学目标1、掌握构件强度、刚度和稳定性的概念，明确材料力学这门课的基本任务和

学习目的。2、深入理解变形固体基本假设的内涵和意义。3、准确理解内力、

截面法、应力、变形和应变的概念。4、掌握杆件四种基本变形的受力和变形

特点。

重点、难点重点：1、强度、刚体、稳定性的概念。2、变形固体的基本假设。3、分布内

力应满足的静力平衡关系。

难点：1、分布内力应满足的静力平衡关系。2、静力学原理与概念在材料力学

中的可用性与限制性。

教学手段课堂讲授；实例说明

§1.1材料力学的任务

1.材料力学的任务

在满足强度、刚度、稳定性的要求下，为设计既经济又安全的杆件，提供必要的理论基

础和计算方法。

2.强度、刚度、稳定性的概念

强度是指构件在载荷作用下抵抗破坏的能力。

刚度是指构件在载荷作用下抵抗变形的能力。

稳定性是指构件在载荷作用下保持原有平衡形态的能力。

§1.2变形固体的基本假设

1.连续性假设

物体的结构是密实、无空隙的，因而其力学性能是连续的。

2.均匀性假设

物体内各点材料均匀分布，其力学性能是均匀一致的。

3.各向同性假设

物体内任一点处沿各个方向的力学性能都相同。

4.小变形假设

材料力学研究的问题，仅限于变形的大小远小于构件的原始尺寸的情况。在小变形条件

下，研究构件的平衡和运动时，可以忽略构件的变形，而按构件变形前的原始尺寸进行分析

计算。

符合假设1、2、3的构件称为理想变形体，符合小变形假设的理想变形体称为理想弹性

体。这就是材料力学的研究对象。

§1.3外力及其分类

外力是外部物体对构件的作用力，包括外加载荷和约束反力。

1.按外力的作用方式分为：体积力和表面力

1）体积力：连续分布于物体内部各点上的力，如物体的自重和惯性力。

2）表面力：作用于物体表面上的力，又可分为分布力和集中力。分布力是连续作用于

物体表面的力，如作用于船体上的水压力等；集中力是作用于一点的力，如火车轮对钢轨的

压力等。

2.按外力的性质分为：静载荷和动载荷

1）静载荷：载荷缓慢地由零增加到某一定值后，不再随时间变化，保持不变或变动很

不显著，称为静载荷。

2）动载荷：载荷随时间而变化。动载荷可分为使构件具有较大加速度的载荷、交变载

荷和冲击载荷三种情况。

交变载荷是随时间作周期性变化的载荷;冲击载荷是物体的运动在瞬时内发生急剧变化

所引起的载荷。

§1.4内力、截面法和应力的概念

1.内力

指构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作

用而引起的附加相互作用力，称为'‘附加内力"，简称‘'内力构件的内力随外力增加而增

大，但增加到某一限度时，构件将发生破坏，所以内力是有限度的，这一限度与构件强度密

切相关。使用截面法求解内力。

2.截面法

（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面假想把构件切开成两部分，弃去任一

部分，保留另一部分作为研究对象。

（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。

（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上内力的合力。

n

NPdP

'即为分布内力系在上点的集度，称为截面〃一〃上忆点的应力。,是个矢量。垂直于

截面的应力称为“正应力”，位于截面内的应力称为“切应力”。

应力的单位是牛/米"称为帕斯卡或简称帕（"）。

§1.5变形与应变

设物体内MN方向线段长/s变形后M川长ds+4u

线应变：

「du

£=lim7=丁

A.y->0Zds

剪应变：单元体的各棱边除可能有长度变化外，还可能发生相互垂直的两棱边之间的直

角的改变。其改变量？称为剪应变，也是无量纲量，常用弧度来度量。

Y=hm\--ZLMN

ML—01

§1.6杆件变形的基本形式

杆件受力有各种情况，相应的变形就有各种形式，在工程结构中，杆件的基本变形只有

以下四种：

1.拉伸和压缩：变形形式是由大小相等、方向相反、作用线与杆件轴线重合的一对力

引起的，表现为杆件长度的伸长或缩短。如托架的拉杆和压杆受力后的变形。

拉伸压缩

2.剪切：变形形式是由大小相等己।抖的，表现为受剪

杆件的两部分沿外力作用方向发生相，J后的变形。

剪切

3.扭转：变形形式是由大小相等、转向相反、作用面都垂直于杆轴的一对力偶引起的,

表现为杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。如机器中的传动轴受力后的变形。

扭转

4.弯曲：变形形式是由垂直于杆件轴线的横向力，或由作用于包含杆轴的纵向平面内

的一对大小相等、方向相反的力偶引起的，表现为杆件轴线由直线变为受力平面内的曲线。

如单梁吊车的横梁受力后的变形。

MM

弯曲

变形后轴线

5.组合受力与变形：杆件同时发生几种基本变形，称为组合变形。

组合受力

作业：Piol.l;1.2；1.3；1.4

小结

1、材料力学的任务

（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

2、变形固体的基本假设

（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

3、外力及其分类

表面力、体积力；静载荷、动载荷。

4、内力、截面法和应力的概念

内力：

构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作

用而引起的附加相互作用力，称为“附加内力”，简称“内力”。

截面法：

（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面假想把构件切开成两部分，弃去任一

部分，保留另一部分作为研究对象。

（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。

（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上内力的合力.

应力：

rAPdP

正应力、切应力。

5、变形与应变

线应变、切应变。

6、杆件变形的基本形式

（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

第二章拉伸、压缩与剪切

教学学时6学时（拉伸与压缩实验2学时）。

基本内容轴向拉伸与压缩的概念和实例；轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力；直

杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力；材料拉伸时的力学性能；材料压缩时的

力学性能；失效、安全系数和强度计算；轴向拉伸或压缩时的变形；轴向拉伸

或压缩的应变能；拉伸、压缩超静定问题。

教学目标1、熟练掌握拉（压）杆内力、应力和变形计算方法。2、领会胡克定律的实质。

3、明确典型材料拉（压）时的力学性能。4、掌握拉（压）杆强度计算。5、

了解应变能概念。6、掌握简单拉（压）超静定问题的解法。

重点、难点重点：1、胡克定律。2、拉（压）杆的强度计算

难点：1、超静定问题的解法（列写补充协调方程）。

教学手段课堂讲授；实例说明

§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例

1.轴向拉伸与压缩的概念

杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。

2.力学模型

PP

PP

§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

1.轴力

杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用N表示，方向与轴线重合。

求解轴力的方法：截面法。

轴力的符号规则：N与截面的外法线方向一致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉;

轴力为负，杆件受压。

2.轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位

置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截

面位置，为强度计算提供依据

例AB杆受力如图所示，已知片=2.5)WV,P2=4kN,6=L5ZN。试求AB杆

各段内并作轴力图

解：

(1)计算各段的轴力

对AC段，设置截面如图，

由平衡方程Zx=o得

N、=R=2.5KN

对BC段，由平衡方程Zx=o得

U6=0

M=-1.5KN

(2)按比例画轴力图

3.轴向拉(压)时横截面上的应力，强度条件

根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应

力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。

N

(J=—

A

强度条件及其应用:

0=晓

例如图所示托架，已知：AB为钢板条，截面积100cm2,AC为10号槽钢，横截面

面积为A=12.7cm2o若P=65KN,求：各杆的应力。

解：

(1)以节点C为研究对象，受力分析如图所示，建立平衡方程

3

?=0%=M

2y=。N,±=p

25

解方程可得

N、=48.8KN

N2=81.3AW

(2)计算各杆的应力

AB和AC的应力为

N

cr.=—i-=163WPa

A

N、

cr,=—-=6AMPa

A

§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

横截面上的正应力

N

<7=一

A

斜截面上的应力

PP

%=了=^7-=bcosa

acosa

斜截面上的正应力和切应力为

2

b“=pacosa=crcosa

0=P〃sina=—sin2a

2

可以得出

a=0时

bmax=b

a=工时

4

cr

%ax=5

§2.4材料拉伸时的力学性能

1.低碳钢拉伸时的力学性能

材料的力学性能：就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。

试件形状：

(1)弹性阶段

应力一应变曲线上当应力增加到b点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力

超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除，则b点的应力定义为弹性极限0在拉伸(或

压缩)的初始阶段应力b与应变£为直线关系直至。点，此时。点所对应的应力值称为比例

极限bj表示为b=E£

0d'

(2)屈服阶段巴

在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所

对应的应力叫屈服极限b'。到达屈服阶段时，在磨光试件表面会出现沿45度方向的条纹，

这是由于该方向有最大剪应力，材料内部晶格相对滑移形成的。

(3)强化阶段

材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增

加应力。。一e曲线又开始上升，到最高点e处的强度是材料能承受的强度极限。

(4)局部变形阶段

当低碳钢拉伸到强度极限时，在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小，形成缩颈现象。

(5)截面收缩率和延伸率

xlOC%

截面收缩率为

延伸率

6=

(6)卸载定律及冷作硬化

卸载定律：在卸载过程中，应力和应变按直线规律变化。这就是卸载定律。

冷作硬化：卸载后，如在短期内再次加载，则材料比例极限得到了提高，但塑性变形和

伸长率却有降低。这种现象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可消除。

2.其他塑性材料拉伸时的力学性能

3.铸铁拉伸时的力学性能

铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度极限是衡量强度的唯一

指标。

§2.5材料压缩时的力学性能

1.低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但压缩不会破坏，只会越压越

扁，没有强度极限。

2.铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿45度方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。

作业：P542.1；2.2；2.5；2.6

小结

1、轴向拉伸与压缩的概念和实例

杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。

2、轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

(1)轴力；

(2)轴力图；

(3)轴向拉(压)时横截面上的应力，强度条件

根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应

力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布：

NN川i

b=强度条件及其应用：vJ

AA

3、直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力

斜截面上的正应力和切应力为：(T(I=pacos。=crcos**a\xa-pasina=ysin2a

4、材料拉伸时的力学性能

(1)低碳钢拉伸时的力学性能：

材料的力学性能就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。

a)弹性阶段；b)屈服阶段；c)强化阶段；d)局部变形阶段e)伸长率和断面收缩率;

f)卸载定律及冷作硬化。

(2)其他塑性材料拉伸时的力学性能

(3)铸铁拉伸时的力学性能

5、材料压缩时的力学性能

低碳钢及铸铁压缩时的力学性能。

§2.7失效、安全系数和强度计算

1.失效原因

脆性材料在其强度极限％破坏，塑性材料在其屈服极限巴时失效。二者统称为极限应

力理想情形。

极限应力：，crmax<crh(极限应力是材料的强度指标)

若工作应力为

N

(T=­

因此工作应力的最大允许值低于1,%。

塑性材料、脆性材料的许用应力分别为

“3,nb

一般工程中

4=1.5-2.2

n=3.0〜5.0

hO

2.强度条件

VA/max

2^x4口］

等截面杆A

§2.8轴向拉伸或压缩时的变形

1.杆件在轴向方向的伸长为

2.沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为

MNP

S---，(7————o

IAA

3.胡克定律

当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即e=E£,这就是胡克定律。E

为弹性模量。

将应力与应变的表达式带入得

EA

4.横向应变为

A/?b.-b

£=——=------

bb

横向应变与轴向应变的关系为

§2.9轴向拉伸或压缩的应变能（自学部分）

固体在外力作用下，因变形而储存的能量称为应变能。

轴向拉伸或压缩时的应变能（线弹性范围内）：

F-l

匕=W^-FM

2~2EA

应变能密度:

2E

§2.10拉伸、压缩超静定问题

1.静不定问题的概念

对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全

部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。

2.静不定问题的解法

求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等,这要求除了利用理论力学的

知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。

以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。

（1）列A点的平衡方程

Wx=0,N1-2N2sina=0

<N[=N2

门=。,N[+2N]cosa=0

（2）变形几何关系

A/]=A/3cosa

（3）力与变形的关系

E,A,E}A}cosa

NJ

（4）联立补充方程和平衡方程求解未知力

Pcosap

,cE.A,3

2cos3a+1+2——cosa

EME3As

例杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度EA已知，试求两端反力。

解：

（1）列杆的平衡方程

杆的未知反力有用和R?,平衡方程只有一个。即

»=0«+4-P=0

（2）变形几何关系

由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即

A/=A/,+A/2=0,△/]等于AC段变形，A/2等于BC段变形

（3）力与变形的关系

AC段，其轴力凶=&,对BC段，其轴力N2=—&，

由虎克定律

N、aRxaR,b

~EA~~EAEA~EA

代入变形几何关系

M虫_31^=°即Ra-Rb=0

EAEA,2

（4）联立补充方程和平衡方程求解未知力

R]+&-P=0

R】a-R2b=0

解得/?!=-^—PR,=4P

a+ba+b

应该注意，/、/?2方向可任意假设，但在建立补充方程时，杆件所受的力必须与产

生的变形一致，才能得到正确答案。

§2.11温度应力和装配应力（自学部分）

1.温度应力

由于约束限制了温度变化引起的物体的膨胀和收缩所引起杆件的应力，称为热应力或温

度应力。

求解温度应力，除平衡方程外，还需补充变形协调方程。

当温度变化为AT时，杆件的温度变形为:

A/r=a,AT•I

2.装配应力

对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装

配在一起，这样在未受载荷之前，杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。

以下图为例进行讲解。

1.平衡方程

N[sina—Msina=0NiP2N3

N3—N、cosa—N2cosa

2.变形几何方程

A

A/3+V=S

3/coscr

3.物理方程

N、l/

A/,=/gosaNJ

“3A3

联立方程得

短'厂施3A3

i1+44、

2E,A,cos3a,

§2.12应力集中的概念（自学部分）

1.应力集中

等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的，对于构件有圆孔、切

口、轴肩的部位，应力并不均匀，并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。

（原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。）

应力系中系数长=展，cr”名义应力（平均应力）

2.应力集中对构件强度的影响

塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静

强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中有

影响。

脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷

增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首

先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑其影

响。P

§2.13剪切和挤压的实用计算（自学部分）

1.剪切变形与挤压

剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力，大小相等，方向相

反，作用线相距很近。

变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。

可能被剪断的截面称为剪切面。

A

式中Q：剪切面上的剪力,它与P的关系由平

衡方程确定。A：剪切面面积(不一定是横截面的面积,

且与外载荷平行)

挤压应力

式中P:挤压面上的挤压力

Ahs：挤压面面积(与外载荷垂直)，过圆柱直径的横截面面积。

2.剪应力与挤压力的计算

例齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=70mm,键的尺寸

匕x〃x1=20x12x1()()〃”〃，传递的力偶矩m=2kN.m,键的许用应力上］=,许

用挤压应力口〃』=100/0尸“。试校核键的强度。

解：

(1)计算键所受

剪力的大小将键沿

截面n-n假想切开成两

部分，并把截面以下部

分和轴作为一个整体来

考虑。n-n截面上的剪力

Q为

Q=AT=blv

由平衡条件

Z2,=0得m=0

。二年

（2）校核键的剪切强度

2m2x2000=28.6MPa<[r]

T~bld~20x100x70xIO-9

故平键满足剪切强度条件。

.hl

A加=―

（3）校核键的挤压强度键受到的挤压力为P,挤压面面积2,由挤压强度

条件

P_blr_2br_2x20x10-3x28.6x1()6

12x10-3=95.3MPa<\a]

b加丁为"bx

故平键满足挤压强度条件。

例拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为20

号钢，［r］=30A/p,直径d=20mm,厚度

t=8mm,P=\5kN。试校核插销的剪切强度。

若挤压许可应力为［cr;J=1QGMpa,试校核插销的挤

压强度。

解：

（1）计算键所受力的大小

将插销沿截面m-m和n-n假想切开（双剪切面）。列平衡方程可得

（2）校核键的剪切强度

T=—=——15X10-----=23.9MPa<[r]

A2x^(20xl0-3)2

（3）校核键的挤压强度

考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和2dt,故校核中段的挤压强度。

PP15x103_..「］

（y=—=-----=------------；----------r=6A2.C5MDPa<\o,J

hsfaJ

A1K1.5J/1.5x8x10-3x20x10-3

作业：P572.12：2.15；2.43；2.45

小结

1、失效、安全系数和强度计算

（1）失效原因

脆性材料在其强度极限与破坏，塑性材料在其屈服极限5时失效。二者统称为极限应

M=­

力理想情形。塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：4,%

bmax=件)«[M[M

(2)强度条件：、A/max,等截面杆A

2、轴向拉伸或压缩时的变形

(1)杆件在轴向方向的伸长为：A/=/,-I

A/NP

(2)沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：£=—,(T=—=-=

IAA

(3)胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即b=E£,这

就是胡克定律。E为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：A/=—

EA

(4)横向应变为：£=竺=与二2,横向应变与轴向应变的关系为：

bb

3、拉伸、压缩超静定问题

(1)静不定问题的概念

对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全

部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。

(2)静不定问题的解法

求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等,这要求除了利用理论力学的

知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。

第三章扭转

教学学时6学时（其中，扭转实验2学时）。

基本内容扭转的概念和实例；外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图；纯剪切；圆轴扭转时的

应力；圆轴扭转时的变形。

教学目标1、掌握外力偶矩的计算。2、理解扭转剪应力推导过程。3、熟练掌握圆轴扭

转时横截面上剪应力分布规律和强度计算，圆轴扭转变形时的刚度和变形（相

对扭转角）计算。

重点、难点重点：1、扭矩和扭矩图。2、圆轴扭转时强度、刚度和变形计算。

难点：1、剪切胡克定律。2、应力推导的变形几何关系、物理关系和静力关系。

教学手段课堂讲授；实例说明

§3.1扭转的概念和实例

1.外力特征

力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。

2.扭转变形受力特点

杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆件轴线。

3.力偶变形特点

各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

4.工程实例

方向盘轴、传动轴。

§3.2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图

1.外力偶矩的计算

N

m=9549——（N./n）

n

N：功率；71:转速

2.扭矩和扭矩图

（1）内力偶矩：杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号T

（2）内力偶矩计算一截面法

用截面〃一〃将轴分成两部分，按右手螺旋法则把机，T表示为矢量，列出左部分平衡

方程工“、.=0,得到

T=m

当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负。

对于杆件一侧作用多个外力偶矩情况，任一截面的内力偶矩等

于其一侧所有外力偶矩的代数和

（3）扭矩图

表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形，反应出|丁|值及其截面位置，从而进行强

IImax

度计算(危险截面)。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵

轴表示扭矩大小。

例传动轴如图，主动轮A输出功率？=3金W,从动轮B、C、

D输出功率分别为弓=足=1kW,券=14AW,轴的转速为〃=3(X)r/min。试作轴的

扭矩图。

解：

(1)求外力偶矩

9549^-=9549x—=1146V.//1

n300

=954曲=9549x—=350N."

n300

mn=9549^=9549x—=446N.m

Dn300

(2)求截面内扭矩

在BC段内

T1+mB=0

T}==-350N.m

在CA段内

T^+mc=0

2=—mc—mB=—700/V.m

在AD段内

7jn=mD=446/V.m

(3)画扭矩图

§3.3纯剪切

1.薄壁圆筒的扭转实验

试验前后比较现象：

①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。

②各纵向线均倾斜了同一微小角度Y。

③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

得出结论：

纵向截面和过轴线的截面上无正应力，只有切于纵向截面的切应力。

2.薄壁圆筒扭转时的切应力

应用截面法并考虑qq左侧的平衡方程=0,得出加=2加小厂，

m

T=------------

2万•r~t

3.切应力互等定理：

r

由ZM.V=°得，(•tdy)dx=(r•tdxjdy

T=T

由上式得出：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者

都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离该交线。

4.切应变剪切胡克定律

/=y一一切应变

r=Gy一—剪切胡克定律

式中「一半径；。一扭转角；/一圆筒长度；7一—剪应变；G——剪切弹性模量。

5.剪切应变能

扭矩作功

W=g机。

扭转变形能和能密度

22

匕=皿=4〃7°=4加"=mlTl

'22Glp2GIP2Glp

_（7_1m（/）1m尸。

-7-2*2^7<-20

1T~

£2,2G

作业：P1023.1;3.2；3.3；3.5

小结

1、扭转的概念和实例

（1）外力特征：力偶矩矢平行于杆的轴线。力偶矩矢方向按右手螺旋法则确定。

（2）扭转变形受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相反，且作用面垂直于杆

件轴线。

（3）力偶变形特点：各轴线仍为直线，杆件的任意两个横截面发生绕轴线的相对转动。

（4）工程实例：方向盘轴、传动轴。

2、外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图

机=9549•」N（%./〃）

（1）外力偶矩的计算：〃

（2）扭矩和扭矩图

a）内力偶矩：杆件受扭时截面上的内力偶矩。符号T

b）内力偶矩计算一截面法

c）扭矩图

表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形，反应出|T|值及其截面位置，从而进行强

IImax

度计算（危险截面）。该图一般以杆件轴线为横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。

3、纯剪切

（1）薄壁圆筒的扭转实验

（2）切应力互等定理：7=7。在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存

在且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，方向则共同指向或背离该交线。

（3）切应变：7=吊；剪切胡克定律：f=

§3.4圆轴扭转时的应力

1.变形几何关系一圆轴扭转的平面假设

圆轴扭转的平面假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不

变，半径保持为直线；且相邻两截面间距离不变。

_T

“max-/一卬

Pt

其中叱=上，称为抗扭截面模量，是仅与横

'R

截面尺寸有关的量。

为了保证圆轴安全可靠地工作，应使轴内的最大剪应力不超过材料的许用剪应力H，

即°max

根据圆轴扭转的强度条件，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度

计算问题。

§3.5圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时的变形:

0=仔仆］工公

J，G〃

等直杆：9=』Tl-

GO

对于阶梯轴（各段的极惯性矩不同）或轴上有几个外力偶作用时，应分段计算每段的饿

扭转角，然后求代数和，即为两端面间的扭转角:

寸EL

圆轴扭转时的刚度条件:

为了消除长度的影响，用表示扭转变形的程度，令

(P<[(p']

dxGI

p*

例传动轴上有三个齿轮，齿轮2为主动轮，齿轮1和齿轮3消耗的功率分别为

0.756KW和2.98KW。若轴的转速为183.5"min,材料为45钢，H=40MPa。根据

强度确定轴的直径。

解：

(1)计算力偶距

m=9549—=39.3N.〃2

}n

m3=954走=155乂加

n

%=4+?=1943A?.m

(2)根据强度条件计算直径155N.m

从扭矩图上可以看出，齿轮2与3间的扭矩绝对值最大。

TiAT

1max_1max<M

maxW^~7TD3

D>316小0.0272〃

乃同

例若上题规定［切=1.5(。)/〃?，且已知G=80GPa按刚度条件确定轴的直径，并求齿

轮3对齿轮1的转角。

155X物同=1.5

解：£ax

G・？471

32x155x180

D>4=0.02%?

80X109X^2X1.5

Tl39.3x0.33

（pn=-----=-----------------------------------=1.85x10-rad

GIp80xl09x—x（30xl0-3）4

32''

Tl39.3x0.4=-9.75x1004

。23=为一=一155—

「80x砂x—x（30xl0-3）4

32''

（p、3=%+O23=-7.9x10-rad

§3.6圆柱密圈螺旋弹簧的应力和变形（自学部分）

1.弹簧丝横截面上的应力

Fs=F,T=FD/2

FsAF_T_SFD

了一飘‘“max-诃一

「max-G+^-2,max

4c-l।0.615]8尸。_/严。

修正公式：t^ax

4c—4CJ成3成3

式中c=2,k=

d4c-4c

2.弹簧的变形

弹簧的变形是指弹簧在轴向压力（或拉力）作用下，沿轴线方向的缩短量（或伸长量）,

用2表示

在弹性范围内，压力P与变形九成正比。

W=-FA

2

r2128尸。22

嚓一元—G乃2d8P

匕="

r128F2Z）2产广〃2产4F2D3n

匕73丫=百万1>外。3SJ。〃s=一厂

令变形能等于外力作功，即匕=W,于是有

1i4广£>>

—FZ=------

2Gd4

,8FD3HF....「Gd，

2=---1-=一具中C=-7-

Gd4C80%

作业：PIOA8；3.10S3.11S3.14

小结

1、圆轴扭转时的应力

（1）变形几何关系一圆轴扭转的平面假设

d（/）

r=p-r

Pax

（2）物理关系一一胡克定律

%=Gy=Gp牛

dx

（3）力学关系

T=JC"="G^=Gp2dA

圆轴扭转时的应力：r=—/?=—；圆轴扭转的强度条件：r=—<[r]

imTaldxXj117UldX117max

lpw,叱

可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷等三大类强度计算问题。

2、圆轴扭转时的变形

圆轴扭转时的变形：（p=\c-^T—dx=\e-^T—dx.等直杆：夕=—T匕l

圆轴扭转时的刚度条件："=也=工，%=端<[“]

max

dxGIpGIp

第四章弯曲内力

教学学时6学时。

基本内容弯曲的概念和实例；受弯杆件的简化；剪力和弯矩；剪力方程和弯矩方程、剪

力图和弯矩图；载荷集度、剪力和弯矩间的关系。

教学目标1、熟练掌握梁内力计算方法。2、正确画出梁的剪力图和弯矩图。3、掌握载

荷集度、剪力和弯矩间的关系。

重点、难点重点：1、内力计算。2、剪力图和弯矩图。

难点：1、弯曲内力计算。2、载荷集度、剪力和弯矩间的关系；内力方向的确

定；突变位置、方向、大小数值。

教学手段课堂讲授；实例说明

§4.1弯曲的概念和实例

平面弯曲：

受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。

变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。

轴线

§4.2受弯杆件的简化

1.支承简化

可动较固定较支

固定端

2.载荷的简化

集中力、均布载荷、集中力偶

3.静定梁的分类

简支梁外伸梁悬臂梁

例求悬臂梁的约束反力。

解：

（1）分析受力

受集中力P，分布力q,力偶m,固定端简化为〃u、XQYA.

（2）列平衡方程

>=0%=0P=ql

q

YY=O,YA-P-^=O

B

I3

y^jfnA=0,-P/-q-.—l-\-m+mA=0

解得

37

XA=0,r=-ql,m=-ql~

zl