广东省湛江市霞山区2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题（解析版）

2023－2024学年度高二年级5月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡，上的指定位置.2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，，则（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据并集运算求解即可．【详解】由题意,故选：A.2.设，在复平面内对应的点为，若，则点所在区域的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的几何意义即可得解.【详解】因为，所以点所在区域为两个同心圆所形成的圆环，其中一个半径为，另一个半径为，则其面积为.故选：A.3.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的计算公式计算即可.【详解】．故选：C．4.在中，已知A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则，然后由余弦定理得，求解即可.【详解】因为，所以设，，由余弦定理得，，所以，所以．故选：B．5.若直线与单位圆交于A，B两个不同的点，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系与解三角形相关知识，对两个条件进行正反推理论证，即可得结果.【详解】若，则圆心到直线得距离，又半径，，则，，故，即充分性成立；若，则是等腰直角三角形，，则圆心到直线得距离，即，得，则，即必要性不成立；综上所述：是的充分不必要条件．故选：A．6.甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（）A.36种 B.48种 C.60种 D.72种【答案】C【解析】【分析】利用分步计数原理，结合排列组合求解.【详解】先从5个景点选出2个相同的，有种，再从剩下的3个景点选两个分配给甲乙二人，有，所以两人恰好有两个景区相同的选法共有种.故选：C.7.若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出，进而求出直线的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解.【详解】由双曲线的离心率为，得，则，，因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率，所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．故选：C8.在数列an中，已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对于这种类型的递推公式，一般构造成等比数列，进而利用待定系数法求即可.【详解】因为，所以，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，所以，所以．故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5%B.讲座后问卷答题的正确率的众数为85%C.讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】ABC【解析】【分析】通过观察这张图，比较讲座前和讲座后居民的答题正确率情况，易于判断数据的中位数，众数和极差，从而确定A,B,D的正误；对于C，主要从数据的离散程度进行判断即得.【详解】对于A，讲座前的中位数为，所以A正确；对于B，讲座后问卷答题的正确率有4个85%，其余正确率的个数都小于4．所以讲座后问卷答题的正确率的众数为85%，所以B正确；对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差，所以C正确；对于D，讲座后问卷答题正确率的极差为，讲座前问卷答题的正确率的极差为，所以D错误．故选：ABC．10.函数fx=sinωx+φωA.B.C.的零点形成的集合为D.的单调递减区间为【答案】ABD【解析】【分析】对于A，由周期即可求解；对于B，由得，再结合且在单调递增区间内即可得解；对于C，令结合正弦函数性质即可求解；对于D，根据正弦函数单调性令并求解即可得解.【详解】对于A，由已知得最小正周期，又，所以，故A正确；对于B，因为，所以，又因为，且由图可知在单调递增区间内，所以，故B正确；对于C，由选项A和B得，令得，，所以，故C错误；对于D，令，解得，所以当时，单调递减，故D正确.故选：ABD.11.定义域为R的函数的导函数为f'x，若是奇函数，，，且，，，则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函数的性质即可判断A选项；利用抽象函数的赋值法可判定B、C选项；利用赋值法结合抽象函数的奇偶性，周期性即可判断D项.【详解】对于A，因为为奇函数且定义域为R，所以，所以A错误；对于B，令，则，解得．所以B正确；对于C，令得，，即，所以C正确；对于D，令得．，因为，，所以，所以，因为是奇函数，所以是偶函数，所以，所以，所以，所以，所以D正确．故选：BCD．【点睛】抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令,及构造并判定其是否相等，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果，还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，若，则______．【答案】1【解析】【分析】根据向量共线得到方程，解出即可.【详解】因为，所以，所以．故答案为：1．13.小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为______．【答案】##0.9【解析】【分析】设出事件,分别求出和，依题需求，利用条件概率公式计算即得.【详解】设小明周末晚间去打羽毛球为事件，下午去踢足球为事件，则，，依题意，故答案为:．14.已知侧棱长为l的正四棱锥的顶点都在直径为6的同一球面上，则该正四棱锥的体积的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】设高为h，底面边长为a，然后由已知条件得到的关系，求出体积是关于的函数，然后利用导数分析函数的单调性求出最值即可.【详解】l的取值范围是，不妨设高为h，底面边长为a，则，或，所以，，因为，故，，其中，故当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调增区间为和(1,+∞)，减区间为-（2）【解析】【分析】（1）利用导数判断单调性即可；（2）由（1）得，，由题意得，即，解出不等式即可求解.【小问1详解】函数的定义域为，，令得或．当(1,+∞)时，，当-1,1时，，所以的单调增区间为和(1,+∞)，减区间为-1,1【小问2详解】由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减，，，故，在上恒成立，即，故，即，即，解得或，故实数a的取值范围为．16.如图，在正三棱柱中，，O为AB的中点，D为的中点．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证，再通过证明平面，得，即可证⊥平面；(2)由题意，建系，写出相关点的坐标，分别求得两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】因为，O为AB中点，所以，因为D为的中点，所以，在正三棱柱中，平面ABC，因平面ABC，故，又因正三角形ABC，故得，因平面，故平面，又平面,故，因为，平面，故⊥平面．【小问2详解】如图，取的中点为，连接，则，则平面ABC，因，故OB，OC，两两垂直，故可以直线OB，OC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.则，，．由（1）得，平面，则可作为平面的一个法向量．因，，则，，设平面的法向量为n=x,y故可取．则平面与平面夹角的余弦值为．17.A，B两人进行象棋友谊赛，双方约定：在任意一局比赛中，一方获胜、打成平局和失败分别记分、m分和0分．比赛两局，已知在每局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2．各局的比赛结果相互独立．（1）若，求A两局得分之和为5的概率；（2）若，用X表示B两局比赛的得分之和，求X的分布列．【答案】（1）0.2（2）分布列见解析【解析】【分析】（1）由A两局得分之和为5等价于一胜一负，然后根据独立事件的概率公式求解即可；（2）由题意可知X的可能取值为0，3，6，9，12，然后求出相应的概率，从而可求得X的分布列．【小问1详解】若，由已知条件得，A两局得分之和为5等价于一胜一负，所以A两局得分之和为5的概率为．【小问2详解】因为在一局比赛中A获胜、打成平局和战败的概率分别为0.5，0.3，0.2，所以在一局比赛中B获胜、打成平局和失败的概率分别为0.2，0.3．0.5，若，则X的可能取值为0，3，6，9，12，，，，，，所以X的分布列为X036912P0.250.30.290.120.0418.已知抛物线的方程为y2=2pxp>0，直线与交于两点，且AB（1）求；（2）设焦点为，直线与交于两点，且以为直径的圆经过，当时，求点到距离的取值范围．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根据AB=4（2）依题意，进而可以得到关于两坐标的关系式，联立直线和抛物线，结合韦达定理即可得到的关系式，再利用点到直线的距离即可求解范围.【小问1详解】因为直线与C交于A，B两点，且AB=4，所以，所以．【小问2详解】由已知得，F1,0，设Mx1由可得，，所以，，，因为以为直径的圆经过，所以，所以，即，所以将，代入得，因．所以，且，解得或，因为，所以，设点到直线的距离为，所以，令，所以．【点睛】关键点点睛：第（2）问考察抛物线的焦点到直线的距离，解题关键是找到关于的关系．本题中直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理求出，然后表示出，由此可得到的关系，需要注意的是，由直线和抛物线相交于两点得到，再由的关系式，进一步所小的范围．19.设等比数列：的公比为q，其中都为正奇数，a,b,（1）求证：；（2）求证：；（3）把用表示．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）将公比用a，b表示出来，再结合a，b，c构成单调递增的正项等差数列，可以证明；（2）设等差数列a,b,c的公差为,进而推导出a+da-a+2da+d=d（3）设个数所构成的等比数列为,则,由,可得：,,由都为正奇数,则既可为正数,也可为负数,由此能求出结果.【小问1详解】由题意知，又，可得，所以qs+1>1，又是正偶数，所以【小问2详解】设等差数列a，b，c的公差为d，由题意得，，又，，故，可得，又，又，都为正偶数，故，即qs+1又由（1）的结论得，，故有，即．【小问3详解】